Model matematyczny regulatora stałego przepływu

(1)

ZESZYTY NAUKOWE PO LITECH NIKI ŚLĄ SKIEJ Seria: ENERGETYKA z. 126

1995 N r kol. 1281

Włodzimierz OGULEWICZ

M O D E L M A T E M A T Y C Z N Y R E G U L A T O R A S T A Ł E G O P R Z E P Ł Y W U

S treszczen ie. Opracowano model m atem atyczny reg ulatora stałego przepływu. Podano p a ra m e try m odelu u zyskane n a podstaw ie przepro

wadzonych b ad ań doświadczalnych. U zyskane wyniki badań, model regulatora i wyznaczone p a ra m e try w ykorzystano w opracowanym pro

gram ie obliczeniowym doboru cech konstrukcyjnych reg u lato ra stałego przepływu.

MATHEMATICAL MODEL OF THE CONSTANT FLOW CONTROLLER

Sum m ary. In pap er a m ath em atical model of th e constant flow controller w as described and obtained model p a ra m ete rs were given.

The p aram eters h a s been on basis of experim ental investigations es

tim ated. The controller model and obtained p a ra m ete rs w ere used in computer softw are pack for design com putation of th e constant flow controller.

MATHEMATISCHER MODELL E IN E S REG LERS MIT KONSTANTEM DURCHFLUß

Z u sam m en fa ssu n g . Im A ufsatz w urde ein m athem atischer Modell eines Reglers m it k o n stan tem D urchfluß besprochen u n d auch techni

sche D aten, die aus experim entellen U n tersuchungen dieses Reglers e rm ittelt worden sind. Modell des Reglers u nd sowie erm ittelte und geschätze P a ra m e te r fanden die A nw endung in einem vorbereitetem C om puterprogram , der zwecks P la n u n g s- u n d K onstruktionsberech

nungen des Reglers nach dem P rinzip k o n sta n te r Durchfluß, dienen w erden konnte.

1. W STĘP

W Instytucie M aszyn i U rządzeń Energetycznych Politechniki Śląskiej rozw iązywane są m iędzy innym i zagadnienia zw iązane z projektowaniem ,

(2)

316 Włodzimierz Ogulewicz

k o n stru kcją i badaniem prototypów regulatorów stałego przepływu. Regulato

ry stałego przepływ u przeznaczone są głównie dla urządzeń chłodniczych z obiegiem pompowym, gdzie reg u lu ją ilość czynnika chłodniczego przepływają

cego przez parow niki.

R egulator stałego przepływ u je s t regulatorem bezpośredniego działania i w napędach hydrostatycznych nazyw any je s t również dwudrogowym regulato

rem przepływ u [2], K onstrukcja regulatora, sposób jego działania oraz wyniki b a d ań doświadczalnych zostały omówione w pracach: [1, 3 — 8].

W artykule omówiono m atem atyczny model regulatora stałego przepływu oraz podano param etry modelu uzyskane na podstawie badań doświadczalnych.

Model reg u lato ra i wyznaczone p a ra m etry m odelu znalazły zastosowanie w opracowanym kom puterow ym program ie obliczeń projektowo-konstrukcyj

nych regulatorów stałego przepływ u [8].

Schem at reg u lato ra stałego przepływ u przed staw ia rys. 1.

R egulator sk ład a się zasadniczo z nastaw nego zaworu dławiącego i z zawo

r u różnicowego połączonych szeregowo. W w yniku wieloletnich badań stw ier

dzono, że zachodzi potrzeba projektow ania regulatorów przepływu o wymaga

nych ch arak tery sty kach statycznych dostosowanych do konkretnego miejsca zabudowy reg u lato ra w instalacji. Zw iązane je s t to z różnym i rodzajam i stoso-

APd A Pr

APreg

Rys. 1. Schem at graficzny reg u la to ra stałego przepływu Fig. 1. D iagram of co nstant flow controller

(3)

Model matematyczny regulatora stałego przepływu. 317

wanych parowników oraz z różną a rm a tu rą im tow arzyszącą. Odpowiedni dobór geometrii szczelin przepływowych oraz sprężyn reg u lato ra (przy zacho

w aniu tej samej konstrukcji korpusu) um ożliw ia indyw idualizację p aram e

trów regulatora w zależności od potrzeb. W celu określenia charak tery sty k statycznych regulatorów, w zależności od geom etrii szczelin przepływowych i stałych sprężyn, opracowano ąuasi-staty czny model m atem atyczny regulato

ra stałego przepływu.

2. QUASI-STATYCZNY MODEL REGULATORA STAŁEGO PRZEPŁYWU Model bazuje n a przedstaw ionych poniżej związkach.

2.1. R ów n a n ie p r z e p ły w u za w o r u d ła w ią c e g o

Równanie przepływ u zaw oru dławiącego w postaci ogólnej dla szczeliny dławiącej dowolnego typu [2] dane je s t zależnością:

Qd = k d • fd ■ Apjj'i (1)

gdzie:

Qd - natężenie przepływ u w szczelinie dławiącej, k d - współczynnik przepływu,

fd - pole powierzchni szczeliny dławiącej, Apd - spadek ciśnienia n a zaworze dławiącym,

n d - w ykładnik potęgi uwzględniający przepływ przez rzeczywistą szcze

linę.

C harak terysty ki przepływowe rzeczywistych szczelin występujących w za

worach dławiących różnią się od c h a ra k te ry sty k dla kryzy ostrokrawędziowej.

Różnice te uwzględnić m ożna przyjm ując w ykładnik potęgowy z przedziału 1 > n > 1/2.

W przypadku n astaw nego zaw oru dławiącego:

fd = fd (x) (2)

gdzie:

x - warto.ść zadana otw arcia zaw oru dławiącego 2.2. R ó w n a n ie p r z e p ły w u za w o r u r ó ż n ic o w e g o

Z uwagi n a podobne wielkości szczelin przepływowych zaworu dławiącego i różnicowego oraz ogólność zależności (1) przyjęto dla zaw oru różnicowego:

(4)

Qr = k r fr Ap?' (3)

gdzie:

Qr - natężenie przepływ u w szczelinie różnicowej, k r - współczynnik przepływu,

fr — pole powierzchni szczeliny różnicowej, Apr - spadek ciśnienia n a zaworze różnicowym,

n r - w ykładnik potęgi.

W yniki pom iarów w skazują n a równość wykładników potęg obu zaworów n r = n d = n.

W przypadku zaworu różnicowego

fr = fr(y) (4)

gdzie:

y — położenie tłoczka zaworu różnicowego oraz

k r = kr(fd) (5)

Zależność (5) określa wpływ stopnia otw arcia zaw oru dławiącego n a przepływ przez zawór różnicowy. Bliskie położenie obu zaworów powoduje widoczny wpływ zaworu dławiącego n a pracę zaworu różnicowego.

2.3. R ó w n a n ie r ó w n o w a g i sił za w o r u r ó ż n ic o w e g o N a tłoczek zaworu różnicowego działają n astępujące siły:

- siła sprężyny:

Fs = k s (y + y0) (6)

gdzie:

k s - s ta ła sprężyny, y0 - ugięcie w stępne,

y - położenie tłoczka zaworu różnicowego,

- siła pochodząca od ciśnień panujących przed i za zaworem dławiącym:

Fw = Apd • Ar (7)

gdzie:

Ar - pow ierzchnia czołowa tłoczka zaw oru różnicowego, Apd - spadek ciśnienia n a zaworze dławiącym,

(5)

- siła ciężkości tłoczka:

F g = m r ■ g (8)

gdzie:

m r - m asa tłoczka,

g - przyspieszenie ziem skie,

- siła hydrodynam iczna (pom inięta w m odelu z uw agi n a m inim alny wpływ):

gdzie:

p - gęstość płynu,

Q - natężen ie przepływu, w - prędkość płynu,

Ar - pow ierzchnia czołowa tłoczka zaw oru różnicowego.

Równanie r ó w n o w a g i s ił przy uw zględnieniu powyższego w yraża się zależ-

Ft — siła tarcia.

2.4. R ó w n a n ie n a tę ż e ń p r z e p ły w u

Dla sta n u ustalonego n atężenie przepływ u przez zawór dławiący regulato

ra - Qd rów na się n atężen iu przepływ u przez zawór różnicowy - Qr, (Qd = Qr = Qust). Po zaistn ien iu zaburzenia (zm iana przepływ u Qustl n a Qust²) istnieje chwilowa nierówność przepływów Qd i Qr spowodowana ruchem tłoczka zawo

ru różnicowego. Z uw agi n a ru ch tłoczka zaw oru różnicowego zm ienia się objętość przestrzen i V pomiędzy zaw oram i. Prow adzi to do zależności:

Fh = p Q • w = (9)

nością:

Apd ■ Ar = k s(y + y0) + m r ■ g ± F t (10) gdzie:

AQ - Qd — Qr — ^ ⁽11⁾

uwzględniając rów nanie (10) oraz fakt, że V = Ar y otrzymujemy:

( 1 2 )

(6)

Rys. 2. S chem at blokowy modelu reg u la to ra stałego przepływ u Fig. 2. Błock diagram of constant flow controller model

(7)

gdzie:

p3 — ciśnienie w p rzestrzeni m iędzy zaw oram i dław iącym i różnicowym.

Zależności (1), (3), (10) i (12) posłużyły do opracow ania schem atu blokowego m odelu regulatora stałego przepływ u przedstaw ionego n a rys. 2.

3. PARAMETRY MODELU

Dane wejściowe do zaprojektow ania reg u la to ra stałego przepływu stanowi charak tery styka lub rodzina ch a ra k te ry sty k przepływowych reg ulato ra Q = f(p l - p2) gdzie param etrem poszczególnych krzyw ych je s t pole powierzchni szczeliny fd zaworu dławiącego lub wielkość z a d an a otw arcia x, przy znanej charakterystyce otw arcia zaw oru dławiącego fd = fd(x). D anym i wyjściowymi n ato m iast są pola powierzchni szczelin przepływowych zaworu dławiącego fd i różnicowego fr oraz sta ła sprężyny k s i pole powierzchni czołowej tłoczka zaworu różnicowego Ar.

Znajomość tych param etró w pozw ala skonstruow ać reg u lator stałego prze

pływu o tak im doborze wym iarów geom etrycznych szczelin przepływowych zaworów, który zapewni uzyskanie żądanych charakterystyk .

W celu wyznaczenia funkcji fd = f(x) i fr = f(y) należy znać następujące wielkości:

n= nd=nr - wykładnik potęgi w rów naniach (1) i (3), k d - współczynnik przepływ u w rów n an iu (1), k r - współczynnik przepływ u w rów naniu (3), Ar - powierzchnie czołową tłoczka w ró w nan iu (10), k s - stałą sprężyny w rów n an iu (10),

mr - m asę tłoczka zaw oru różnicowego w rów naniu (10), Ft - siłę tarcia w rów naniu (10),

y0 - ugięcie w stępne sprężyny w ró w nan iu (10).

P aram etry Ar, k s, m r, y0 - dobiera się podczas projektow ania regulatora, natom iast p aram etry kj, k r, n, F t należy uznać jako stałe dla danej klasy regulatorów stałego przepływu.

W yznaczenia param etró w m odelu k r, k d oraz n dokonano n a podstawie pomiarów. W ychodząc z zależności (1) i (3) otrzym ujem y po zlogarytm owaniu:

lg wd = lg — = lg k d + n d lg (Apd) (13)

r

⁽¹⁴⁾

Są to ró w nania prostych, w których w spółczynnik kierunkow y określa w ykładnik potęgi n, a w yrazy wolne są poszukiw anym i p aram etram i k d i k r.

(8)

Z przeprow adzonych pom iarów w ynika, że reg u lato r stałego przepływu cechuje się w yraźną h iste re z ą m echaniczną. W prowadzony p a ra m etr Ft - siła ta rc ia - m a n a razie znaczenie bardziej jakościowe, niż ilościowe. Zmierzona i w prowadzona do modelu średnia w artość siły tarc ia będzie m iała większe znaczenie dla k o n stru k to ra po przeprow adzeniu b adań uzupełniających, uwz

ględniających wpływ rodzaju pasow ania, tolerancji współosiowości i klasy gładkości powierzchni elem entów przem ieszczających się względem siebie na jej wartość.

3.1. W y zn a czen ie w s p ó łc z y n n ik ó w k d i n d

N a podstaw ie danych pom iarowych wyznaczono p a ra m etry k j i n^ jako współczynniki regresji liniowej zależności (13), otrzym ując bezpośrednio w ar

tości:

n d = 0,6751 ± 0,0014 kd = 0,005948 ± 0,000028

M aksym alna niepewność aproksymacji pomiarów prędkości wd w szczelinie przepływowej zaworu dławiącego zależnością wd = k<j • (pd)n nie przekracza ±2%.

3.2. W y zn a cza n ie w sp ó łczy n n ik ó w 7 k r i n r

W ykorzystując zależność (14) obliczono współczynniki regresji liniowej dla zadanych w artości otw arcia zaw oru dławiącego. Graficznym przedstaw ieniem zależności (3) we współrzędnych logarytm icznych je st rodzina prostych rów

noległych. N a podstaw ie danych pom iarowych stwierdzono, że wykładnik potęgi n r je s t wielkością sta łą względem zm ian otw arcia zaworu dławiącego i wynosi:

n r = 0,6746 ±0,0011

W drtości wyznaczonych współczynników n d i n r są zbliżone do siebie, a prze

działy niepewności ich wyznaczenia zachodzą n a siebie. Przyjęto więc jedną w spólną dla obu zaworów w artość w ykładnika n, będącą średnią ważoną współczynników n d i n r:

n = n d = n r = 0,6749 ± 0,0013

Z danych pom iarowych w ynika równocześnie, że współczynnik przepływu kr je s t funkcją otw arcia zaworu dławiącego. J e s t to spowodowane bliskim położe

niem obu zaworów. Zaburzenia wywołane przez zawór dławiący wpływają na

(9)

pracę zaworu różnicowego. O ddziaływ anie to je s t tym m niejsze, im większa je s t szczelina przepływowa zaw oru dławiącego. W artość w spółczynnika kr m aleje ze wzrostem pola szczeliny przepływowej zaw oru dławiącego. Założo

no, że ze wzrostem szczeliny zaw oru dławiącego współczynnik kr asym ptoty

cznie zdąża do wartości w spółczynnika kd. Funkcje k r = f(fd) aproksymowano zależnością:

k r = k d + Br ■ e“cr fd (15)

gdzie:

Br = 0,00482 ± 0,00028 Cr = 46000+ 1100

Ilustracją zależność zm ian w spółczynnika k r w funkcji pola szczeliny prze

pływowej zaworu dławiącego fd je s t rys. 3.

kr = f ( f d )

Rys. 3. W spółczynniki przepływ u kd i k r reg u la to ra Fig. 3. Flow coefficients kd, k r of co n stan t flow controller

(10)

M aksym alna niepewność aproksym acji pom iarów prędkości wr w szczelinie przepływowej zaworu różnicowego w yrażona zależnością wr = kr • (pr)n rów

nież nie przekracza ±2%.

T ak wyznaczone p a ra m etry m odelu m atem atycznego regulatora stanowią (po uw zględnieniu rodzaju cieczy przepływającej przez regulator) dane wej

ściowe do program u obliczającego p a ra m etry k onstrukcyjne regulatorów sta

łego przepływ u.

4. UWAGI KOŃCOWE

N a bazie przedstaw ionego m odelu m atem atycznego reg ulatora stałego przepływ u i wyznaczonych param etró w tego m odelu opracowano algorytm obliczeń służących do projektow ania przyszłych konstrukcji regulatorów tego typu. Algorytm obliczeń w postaci ark u sza kalkulacyjnego program u QUATRO PRO 2.0, uw zględniający miejsce zabudowy reg u lato ra w instalacji i z a d an ą ch arak terystykę przepływu, upraszcza projektow anie i konstruow a

nie regulatorów elim inując kosztowne i pracochłonne badania modeli fizycz

nych.

W ydaje się, że niekonw encjonalne rów nanie przepływ u z wykładnikiem potęgowym większym niż 0,5, mimo k sz ta łtu szczeliny klasyfikowanej do grupy „kryza ostrokraw ędziow a”, znajdzie szersze zastosow anie przy opisie przepływów przez szczeliny zaworowe regulatorów .

LITERATURA

[1] Rozwój m aszyn i urządzeń chłodniczych w badaniach teoretycznych i eksperym entalnych. P raca zbiorowa, t. 1 i 2, Pol. Krak. Kraków 1991.

[2] Stryczek S.: N apęd hydrostatyczny. WNT, W arszaw a 1984.

[3] B a rtn ik R., Kopeć St., Ogulewicz W., O koło-K ułak J.: Opracowanie konstrukcji i przeprow adzenie b ad ań prototypu zaworu stałego przepły

w u czynnika chłodniczego (NH3) przeznaczonego do urządzeń chłodni

czych z obiegiem pompowym - praca NB-252, Gliwice 1986 -*■ 19901 .1-5.

[4] Ogulewicz W., O koło-K ułak J.: B adania, identyfikacja i autom atyczna regulacja procesów cieplno-przepływowych w urządzeniach stosowanych w chłodnictwie - p raca BK-372, Gliwice 1991 + 1992, t. 1, 2.

[5] A utom atic flow regu lator for am m onia liquid recirculation system s - B ulletin 41-10, m ay 1971 - R efrigerating Specialties Company - Illinois.

[6] R efrigerant feed control and system s. P a te n t No 3449923 - Ju n e 1969 U nited S tates P a te n t Office.

(11)

[7] M agdziak G., Wilczyński A.: Opracow anie konstrukcyjno-technologiczne oraz b ad an ia laboratoryjne nowego ty p u zaw oru ARP-15 - praca dyplo

mowa - Politechnika K rakow ska.

[8] Ogulewicz W.: M atem atyczny model reg u la to ra stałego przepływu - praca doktorska - Politechnika Śląska

[9] Szolc T.: Chłodnictwo. WSiP, W arszaw a 1970.

[10] Leszczyński H.: A p a ra tu ra i u rząd zen ia chłodnicze. WSiP, W arszawa.

[11] Wesołowski A., Dworski F.: A utom atyzacja urządzeń chłodniczych.

WNT, W arszawa 1984.

[12] K urs obsługi program u kom puterow ego „Q uattro Pro 2.0” - praca zbio

rowa. W arszawa 1991.

[13] Poradnik chłodnictwa - p raca zbiorowa WNT, W arszaw a 1965.

A b stract

In paper a m athem atical model of th e co n stant flow controller was described and obtained model p a ra m ete rs w ere given. The p aram eters has been on basis of experim ental investigations estim ated. The controller model and obtained p aram eters w ere used in com puter softw are pack for design com putation of the con stan t flow controller. The controller consist of adjustable th ro ttle valve and an differential valve linked serial. In practical application is dem and for th e co n stan t flow controller having th e static characteristics adapted to a m ounting place. From m easu ring w as observed th a t constant flow controller h a s an histeresis.