W iesław G R Z E S IK IE W IC Z
In sty tu t P ojazdów , Politechnika W arszawska E lżbieta JA R Z Ę B O W S K A
In sty tu t Techniki Lotniczej i M echaniki Stosowanej, Politechnika W arszawska A ndrzej W A KU LICZ
In sty tu t M atem atyczny, Polska A kadem ia Nauk w W arszawie
N IEK LA SY C ZN Y O PIS RUCHU U K ŁA D ÓW M ECH A N ICZN Y CH Z O G RA N ICZEN IA M I
Streszczenie. W pracy przedstaw iono opis dynam iki układu skrępow anego w ięzam i jednostronnym i. Opis sformułowano z w ykorzystaniem pojęć analizy w ypukłej. W ięzy przedstaw iono za pom ocą zbiorów dopuszczalnych położeń, prędkości i przyspieszeń. Przyspieszenia układu nieswobodnego w yznaczono n a podstaw ie zasady G aussa. Proponow ana m eto d a je st nieklasycznym spo
sobem analizy dynam icznej układów nieswobodnych, d la których więzy wy
m a g a ją uw zględnienia obszaru dopuszczalnych przyspieszeń.
A N O N CLA SSICA L M ETH O D O F CO N STRA IN ED SY STEM S D E SC R IPT IO N
Sum m ary. T h e m ethod of description of a system constrained w ith u n ila
teral co n strain ts has been presented in th e paper. These principles have been form u lated w ith th e use of convex analysis concepts. C onstraints are descri
bed by sets of perm issible positions, velocities and accelerations. C o n strain ed system accelerations have been determ ined on th e base of the G auss principle.
T h e proposed m eth o d is th e nonclassical way of dynam ical analysis of con
stra in e d system s, w here constraints require to tak e a dom ain of perm issible accelerations in to accout.
H E K JIA C C H H E C K H K M E T O R O n H C A IIM H M E X A H H H E C K M X C H C T E M C O rP A H H H E H M H M H P e 3K>Me. B p a b o x e npeACxanaeHO AmiaMMuecKnti a n a jin 3 cm ctcm m cnn- zaHHott 0OT0 CT0 p 0HHblMH.CBn3bnMM. n p m im fflb l C(])OpMyJIHpOBaHO C MCnOJlb- 30BanneM noiCHTnvf B binyw ioro aHa;iH3a. CDii3bH npeA C xanjieno Kai< cob p a- u w î jionycTHM bix noJiowenHÜ, CKopocxn h ycK opeim il. Y cK opeim ji cncxeM bi onpejieneH O n a ocHOBaiuw n p u n u n n a T a y c c a . npeA C xaB Jieuuuii MexoA axo neKJiaccHHecKHil c n o c o b AHHaMHuecKoro aHaJiH3a n ecB o 6 omioM cncxeM bi, rvre x p eb y ip x . y u x e u H n n p o c .ip a n c x B a AonycxnM bix ycKopeMHU.
108 W. Grzesikiewicz, E. Jarzębow ska, A. W akulicz
1. C H A R A K TE R Y ST Y K A UK1ADU M ECHA NICZN EG O
Rozważam y układ m echaniczny złożony z punktów m aterialnych lub ciał sztyw nych.
Ruch układ u analizujem y w przestrzeni fizycznej, któ rą jest czasoprzestrzeń Galileusza.
P rzestrzeń położeń m a postać jedno-, dwu- lub trójw ym iarow ej przestrzeni Euklideso
wej. W przestrzeni tej obieram y inercjalny, kartezjański układ odniesienia. Konfigurację układu opisuje N w spółrzędnych, określających jego ruch w przestrzeni konfiguracji R N.
Rozważam y układ, którego ruch skrępowany je st różnorodnym i więzam i. Mogą to być więzy geom etryczne, kinem atyczne, dynam iczne, jedno- lub dw ustronne, ąuasi-więzy.
2. O PIS RUCHU UKŁADU B EZ O GRAN ICZEŃ
Rozważam y układ m echaniczny swobodny; jego ruch je s t opisany następująco:
M X = F ( t , X , X ) , (1)
gdzie:
X , X , X € R N - w ektory w spółrzędnych, prędkości, przyspieszeń uogólnionych,
F 6 R N, F : R 2N+1 —* R n - w ektor uogólnionych sil zew nętrznych działających n a układ, M G RNxN - m acierz bezw ładności, sym etryczna, dodatnio określona.
D la układu (1) rozw iązujem y dw a zadania dynam iki:
- “pierw sze” zadanie dynam iki polega na wyznaczeniu przyspieszenia układu X = <M t,X ,X )
< ^(t,X ,X ) : = M - 'F ( t , X , X ) ( l n )
“d rugie” zadanie dynam iki polega na wyznaczeniu skończonych kinem atycznych lów nari ruchu
X 6 W 2([0 ,T ), R N)
X (0) = Xo, X (0) = V 0 (16)
3. O PIS O G R A N IC Z EŃ RUCH U UKŁADU N a ruch układu (1) nakładam y więzy:
— X ( t) 6 f!o(t) — więzy geom etryczne, (2a)
— X ( t) £ f i i ( t , X ( t ) ) — więzy kinem atyczne, (2b)
— X ( t) e f i 2( t , X ( t ) , X ( t ) ) — więzy dynam iczne, (2c)
Zbiory Ho, LR, fl2 nazyw am y odpowiednio zbiorem dopuszczalnych położeń, prędkości, przyspieszeń. W ięzy (2) n a k ła d a ją następujące ograniczenia na ruch układu:
X ( t ) G f!0(t), (3a)
X ( t ) G fio(t), (3a)
X ( t )
g -z?n0(t, x(t))nii1(t,
X (t) ), (36)x(t)
gZ52n0(t,x(t),x(t))nr>n0(t,x(t),x(t))nn2(t,x(t),x(t)),
(3c)gdzie:
D Q o (t,X ( t)) := | X G RN : lim inf d ( v , ^-fl0(t + r ) - x ) = o } . Zależność (3c) zapisujem y w postaci:
X e f i ( t , X , X ) . (4)
Zbiór i! je st wypukły, nazyw am y go zbiorem dopuszczalnych przyspieszeń. O dgryw a on podstaw ow ą rolę w opisie ruchu układu nieswobodnego.
4. P O S T U L A T Y R EL A C JI
Jeżeli ruch u kładu je st ograniczony więzami (2), w tedy działa n a niego dodatkow a siła
— siła reakcji więzów, k tó ra pow oduje, że przyspieszenie układu osiąga w artość należącą do zbioru fi. W obec tego układ rów nań ruchu układu skrępowanego w ięzam i m a postać:
M X = F ( t , X , X ) + r X G f i ( t , X , X ) } (5) Istnieje zatem tak i zbiór sił reakcji, że
r G M fl — F.
W przyrodzie więzy realizow ane są za pom ocą siły reakcji doskonałej, to znaczy
r G X ( X ,f l ) . (6 )
R elacja (6 ) je s t odw zorowaniem wielowartościowym, X jest stożkiem norm alnym do zbioru fi w punkcie X oraz
£ ( X , f i ) : = { r G Rn : r T ( ( - X ) > 0 V £ G il} , (6a) Wobec tego “pierw sze” zadanie dynam iki układu z więzami opisuje jednoznacznie układ zależności (5) i (6 ), z których w yznaczamy w artości dopuszczalnych przyspieszeń i sił reakcji.
110 W. Grzesikiewicz, E. Jarzębow ska, A. W akulicz
5. SFO R M U ŁO W A N IE RÓW NOW A ŻNE
Z adanie dynam iki opisane zależnościam i (5) i (6) sformułowano na bazie zasady d y n a
micznej równowagi sił. Z adanie to m ożna sformułować inaczej, opierając się n a zasadzie Gaussa. Z asadę tę przedstaw iam y w nieklasycznym sformułowaniu. D efiniujem y funkc
jonał G aussa Z : RN —» R 1, czyli potencjał przyspieszeń:
Z { a) := ^ a TM a - a TF , (7)
gdzie a £ R N — w ektor przyspieszeń.
Zgodnie z zasad ą G aussa, układ m echaniczny porusza się z przyspieszeniem , d la którego funkcjonał G aussa osiąga m inim um
X ( t) := arg m in -Z(a). (8 )
aen(t,X,X) W obec tego zbiór sił reakcji r spełnia zależność
r = arg m in - p TM - 1p.
pe(Mfi-F) 2
O ba sform ułow ania, to znaczy zależności (5) i (6) oraz (7) i (8 ) są równoważne. W zory (5) i (6) są to w arunki K u h n a-T u ck era dla zadania optym alizacji (8 ).
W niniejszej pracy przedstaw ione zostały podstawowe form uły opisujące ruch układu z więzami jed n o stro n n y m i holonom icznym i lub nieholonomicznymi. Opis został p rzed sta
wiony w nieklasycznym sform ułowaniu z w ykorzystaniem podstaw ow ych pojęć analizy wypukłej. Szczególnie ważny w ty m sformułowaniu jest sposób opisu ograniczeń za po
m ocą zbioru dopuszczalnych położeń, prędkości i przyspieszeń, do których m uszą należeć analogiczne wielkości osiągane w trakcie ruchu układu nieswobodnego. Pow yższa m eto d a ułatw ia sform ułow anie i analizę dynam iczną nieklasycznych zadań m echaniki, to znaczy takich, w których w ystępują więzy jednostronne (2), siły opisyw ane za pom ocą funkcji wielowartościowych, np. siły tarcia suchego.
6 . PR ZY K ŁA D
Rozważm y układ, d la którego zbiór dopuszczalnych przyspieszeń fł m a postać:
f l : = { X € R N : D TX + d = 0, G TX + g > 0 } . (9) N a m ocy p o stu la tu doskonalej realizacji więzów (6 ) mam y:
r = DA + G /i, D e R Nxn\ G £ R Nx"2, (10) oraz
A e R ni, / i > 0 .
Wobec tego przyspieszenia układu skrępowanego więzami (9) obliczam y z warunków:
M X = F ( t, X , X ) + DA + G /i ' D TX + d = 0
G TX + g > 0 i . (11)
i*T( G TX + g) > 0
A G R1“ , (1 £ R"+! , /i > o
Zależności pom iędzy A, /i i rów naniam i więzów (9) przedstaw ione są na rys. 1.
Rys. 1. a) więzy dw ustronne; b) więzy jednostronne Fig. 1. a) bilateral constraints; b) unilateral contraints
L IT ER A TU R A
[1] Grzesikiew icz W .: C om putation of Forces Com pressing R ail-C ars D uring Train B raking Process, T h e Archives of T ran sp o rt, Vol. II, No. 4, 1990.
[2] G utow ski R.: A nalytical M echanics, PW N (in Polish), 1971.
[3] Jarzębow ska E.: T he Problem of Small O scillations of M echanical System s w ith A r
b itrary O rd er N onholonom ic P rogram C onstraints, N onlinear V ib ratio n Problem s.
No. 24, 1991.
[4] P ars L.A.: A nalytical D ynam ics, Moscow (in R ussian), 1971.
W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.
Recenzent: Dr hab. inż A ndrzej Buchacz
112 W. Grzesikiewicz, E. Jarzçbow ska, A. W akulicz
A b s t r a c t
T he m eth o d of description of rigid body system s constrained w ith various unilateral or b ilateral holonom ie or nonholonom ic constraints has been presented in th e paper. T he principles p resented herein have been form ulated w ith th e use of convex analysis concepts.
D escription of constraints (2) is presented w ith the use of sets of perm issible positions, velocities and accelerations. On this basis th e resu ltan t set of perm issible accelerations is determ in ed , th a t is necessary for the com plete dynam ical description of a constrained system . T his set has th e form of multiple-valued m apping fl : R 1 x R N x R N —* cl P ( R ), it m eans th a t for each tim e t 6 R N th e relation x (t) G f2 (t,x ,x ) has to be fulfilled. Inertial properties of bodies of a system has been described by a functional called th e acceleration energy S ( x ; t ,x ,x ) . On th e basis of these values functional (7) called G auss functional has been determ ined.
A cceleration values have been determ ined on th e base of th e G auss principle according to it a dynam ical system changes its states w ith the acceleration given by eq. (S) th a t m inim alizes th e G auss functional.
It has also been shown th a t em ploying K uhn-T ucker conditions th e principle m en
tioned above can be presented in th e form of conditions including: m otion equations, co n train t, acceleration and force descriptions and an ideal accom plishm ent of m otion re
strictio n s p ostulate.
An exam ple illu stratin g th e application of th e proposed m ethod has been shown in th e paper.
T h e description m ethod proposed herein is th e nonconventional way of dynam ical analysis of contrained system s w here th e variety of restrictions requires to take a dom ain of perm issible accelerations into account. T he above m ethod gives possibility to consider also o th e r constrained system when kinem atical unilateral or bilateral constraints are im posed. T h e m ethod lets understanding the analytical m echanics stru c tu re b e tte r and in m any cases m akes a form ulation and dynam ical analysis of system s w ith dry friction forces an d nondifferential constraints easier.
