Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach. Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach

Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

W tej lekcji skupimy się na działaniach na potęgach o takich samych podstawach. Przypomnimy

i zastosujemy znane od szkoły podstawowej własności w nieco trudniejszych niż dotychczas zadaniach.

Zaskakiwać może fakt, jak wiele zastosowań mają tak, na pierwszy rzut oka, proste i oczywiste prawa działań.

Twoje cele

Zastosujesz wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach.

Zastosujesz wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach.

Zastosujesz wzór na potęgę potęgi.

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach

pxhere.com.

Przeczytaj

Od szkoły podstawowej wiemy, że dla niezerowej liczby a oraz naturalnych liczb k

i m

prawdziwe są wzory:

a^k⋅ a^m= a^{k + m} a^k:a^m= a^{k -m} Przypomnijmy powód, dla którego powyższe równości zachodzą:

a^k· a^m= a · . . . · ak czynników· a · . . . · a · am czynników= a · . . . · a · a · . . . · a · ak + m czynników= a^{k + m}

a^k:a^m=

a^k a^m

=

k czynników a· . . . · a· a a· . . . · am czynników

=

k -m czynników a· . . . · a

1 = a^{k -m}

Z powyższych własności wynika również równość a^{k m}= a^{k · m} prawdziwa dla niezerowego a

i dowolnych liczb naturalnych k i m

:

a^{k m}= a^k· a^k· . . . · ak m czynników= a

m składników k + k + . . . + k = a^{k · m}

Formalny dowód powyższych własności przeprowadza się zwykle metodą indukcji matematycznej, którą obrazowo można opisać przy pomocy kostek domina ustawionych jedna obok drugiej.

Ponumerujmy kostki domina kolejnymi liczbami naturalnymi począwszy od jedynki, przewrócenie się kostki oznacza, że badana własność zachodzi dla liczby naturalnej o numerze znajdującym się na kostce.

Własność jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych, gdy przewrócą się wszystkie kostki, zaś to stanie się, gdy (1)

przewróci się pierwsza kostka oraz (2)

każda kostka będzie w stanie przewrócić następną. Stosując metodę indukcji matematycznej postępujemy analogicznie: (1)

sprawdzamy, czy rozważana własność jest prawdziwa dla liczby 1 oraz (2)

badamy, czy z faktu, że własność jest prawdziwa dla liczby naturalnej n wynika prawdziwość tej własności dla liczby n + 1

. Jeśli oba warunki zachodzą, twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych. Metodą indukcji matematycznej dowodzi się wielu twierdzeń dotyczących liczb naturalnych – zwykle tam, gdzie w dowodzie “szkolnym” pojawiają się trzy kropki “. . .

” oznaczające mniej więcej “domyślamy się, co tu ma być”.

( )

( )

Źródło: licencja: CC 0, [online], dostępny w internecie: pixabay.com.

Dla wykładników należących do zbiorów innych niż zbiór liczb naturalnych, definicje potęg konstruujemy tak, aby powyższe równości były prawdziwe.

Zatem dla dodatniej liczby a i dowolnych liczb rzeczywistych x i y

zachodzi:

a^x⋅ a^y= a^{x + y} a^x:a^y= a^{x -y}

a^{x y}= a^{x · y} Przykład 1

Stosując powyższe własności uprościmy wyrażenie b²· b⁷ :b^-10 : b^-8: b³· b² .

b²· b⁷ :b^-10 : b^-8: b³· b² =

= b⁹:b^-10 : b^-8:b⁵ =

= b¹⁹:b^-13=

= b³² Przykład 2

Przedstawimy podane wyrażenia w postaci jednej potęgi:

2 ⋅ 5^1,5+ 3 ⋅ 5^1,5= 5^1,5(2 + 3) = 5^1,5⋅ 5 = 5^1,5⋅ 5¹= 5^{1,5+ 1}= 5^2,5 5 ⋅ 3^0,3- 2 ⋅ 3^0,3= 3^0,3(5 - 2) = 3^0,3⋅ 3 = 3^0,3⋅ 3¹= 3^{0,3+ 1}= 3^1,3 2^4,5- 12 ⋅ 2^0,5= 2^{2+ 2,5}- 3 ⋅ 2²⋅ 2^0,5= 2²⋅ 2^2,5- 3 ⋅ 2^{2+ 0,5}=

= 4 ⋅ 2^2,5- 3 ⋅ 2^2,5= 2^2,5(4 - 3) = 2^2,5 Przykład 3

( )

[( ) ] [ ( )]

[( ) ] [ ( )]

[ ] [ ]

Zapiszemy wyrażenie 15 · 5

7

6+ 50 ·

√

625^-

1 6· 5^-

4 3:25^-

3 2

w postaci potęgi liczby 5 :

15 · 5

7

6+ 50 ·

√

625^-

1 6· 5^-

4 3:25^-

3 2

=

=

3 · 5¹· 5

7

6+ 2 · 5²·

√

5^{4 -}

1 6

· 5^-

4 3: 5^{2 -}

3 2

=

=

3 · 5¹· 5

7

6+ 2 · 5²· 5

1 6

5^-

4 6· 5^-

4 3:5^-3

=

= 3 · 5

13 6 + 2 · 5

13 6

5^-

2 3· 5^-

4 3:5^-3

=

= 5

13

6 · (3 + 2) 5^-2:5^-3

=

= 5

13 6 · 5 5^{-2- ( -3)}

=

= 5

13 6 · 5 5¹

=

= 5

13 6

Przykład 4

Wyznaczymy liczbę dzielników liczby 2⁷+ 2⁸+ 2⁹ .

Zauważmy, że 2⁷+ 2⁸+ 2⁹= 2⁷+ 2 · 2⁷+ 2²· 2⁷= 2⁷· 1 + 2 + 2² = 7 · 2⁷ .

Zatem dzielnikiem tej liczby jest każda potęga liczby 2 o wykładniku będącym liczbą naturalną od 0

do 7

oraz każda liczba będąca iloczynem takiej potęgi przez 7 . Jest dokładnie osiem potęg liczby 2

o wykładnikach naturalnych od 0

( ) ( )

( )

do 7

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷

oraz osiem iloczynów takich potęg przez liczbę 7

7 ⋅ 2⁰, 7 ⋅ 2¹, 7 ⋅ 2², 7 ⋅ 2³, 7 ⋅ 2⁴, 7 ⋅ 2⁵, 7 ⋅ 2⁶, 7 ⋅ 2⁷ Wszystkich dzielników liczby 2⁷+ 2⁸+ 2⁹

jest więc 16 .

Przykład 5

Obliczymy wartość liczbową wyrażenia 0, 2^-1· 5√³ √³_{: 125}

1 3· 5√³

.

0, 2^-1· 5√³ √³ : 125

1

3· 5√³ ₌

= 5 · 5√³ √³

: 5 · 5√³ ₌

= 5¹⁺√³ √³_{: 51+}√³ ₌

= 5√^{3+ 3} _{: 5}¹⁺√³ ₌

= 5√^{3+ 3-1-}√³₌

= 5²=

= 25 Przykład 6

Wykonamy działania:

a) 3^-1,5+ 81^-0,5 3^-1,5- 3^-2 = 3^-1,5+ 3^{4 -0,5} 3^-1,5- 3^-2 =

= 3^-1,5+ 3^-2 3^-1,5- 3^-2 = 3^-1,5· 3^-1,5- 3^-2 + 3^-2· 3^-1,5- 3^-2 =

= 3^-3- 3^-3,5+ 3^-3,5- 3^-4= 3^-3- 3^-4=

1 27-

1 81 =

2 81

b) 3^1,5+ 2^1,5 3^1,5- 2^1,5 = 3^1,5· 3^1,5- 2^1,5 + 2^1,5· 3^1,5- 2^1,5 =

= 3³- 3^1,5⋅ 2^1,5+ 2^1,5⋅ 3^1,5- 2³= 3³- 2³= 27 - 8 = 21

Słownik

indukcja matematyczna

metoda dowodzenia twierdzeń o prawdziwości nieskończonej liczby stwierdzeń oraz definiowania rekurencyjnego; w najbardziej typowych przypadkach dotyczą one liczb naturalnych; najstarszy znany

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ^{( )} ) ^{( )}

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

dowód indukcyjny, dotyczący sumy początkowych liczb nieparzystych, podał Francesco Maurolico (1494 – 1575) w pracy Arithmeticorum libri duo („Dwie księgi o arytmetyce”) z 1575 roku

Film samouczek

Polecenie 1

Przeanalizuj informacje zawarte w filmie samouczku.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Na podstawie przykładów rozwiązanych w animacji rozwiąż zadanie. Oblicz wartości wyrażeń. Wpisz wynik w wyznaczone miejsca.

Wyrażenie Wynik

(0,25)^-2⋅2⁷ 4⁴

3

2 3⋅ 9

7 3:27

7 9

5√⁸ √²_{⋅ 5}√³ √²⁷ 5¹⁰

2⁵:2^-7⋅ 4^-5

( ) ( )

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Oblicz wartość wyrażenia

4 3 -

4 3 2 3

- 0, 75:

3 4

1 9

· 123

3 7

.

輸

{ ^{[ ( ) ] ( )} }

Ćwiczenie 2

Połącz w pary wyrażenia, które mają tę samą wartość.

<math><msup><mn>3</mn><mn>6,5</mn></msup></math>, <math><msup><mn>3</mn>

<mn>1,5</mn></msup></math>, <math><msup><mn>3</mn><mn>4,5</mn></msup></math>,

<math><msup><mn>3</mn><mn>2,5</mn></msup></math>, <math><msup><mn>3</mn>

<mn>5,5</mn></msup></math>, <math><msup><mn>3</mn><mn>3,5</mn></msup></math>

4 ⋅ 3^1,5- 3^1,5 2 ⋅ 3^2,5+ 3^2,5 5 ⋅ 3^2,5+ 4 ⋅ 3^2,5 5 ⋅ 3^1,5- 4 ⋅ 3^1,5 2 ⋅ 3^5,5- 3^5,5 5 ⋅ 3^4,5+ 4 ⋅ 3^4,5

輸

Ćwiczenie 3

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Wyrażenie 3⁴+ 3⁵ jest równe:

4 ⋅ 3⁴ 3⁹ 4 ⋅ 9²

Wyrażenie 2⁵+ 2⁶ ma:

6 dzielników 10 dzielników 12 dzielników

Wyrażenie 3⁴+ 3⁵+ 3⁶ jest równe:

3¹⁵ 13 ⋅ 3⁴ 9⁵

Wyrażenie 3⁴+ 3⁵+ 3⁶ ma:

6 dzielników 8 dzielników 10 dzielników

醙

Ćwiczenie 4

Oblicz wartość liczbową wyrażenia 3√² √⁸_{· 9}

3 2:

√

.

醙

( )

Ćwiczenie 5

Zapisz w postaci potęgi liczby 2 wyrażenie 4³· 16

1 4:

√

64^-

3 4· 8

5 3

. Uporządkuj poniższe wyrażenia arytmetyczne, aby otrzymać rozwiązanie zadania.

= 2^{5, 5}

= 2^6-

1 2 =

4³· 16

1 4:

√

64^-

3 4· 8

5 3

=

= 2⁶ 2^-

9 2+ 5

=

=

2⁶· 2:2 2^-

9 2· 2⁵

=

= 2⁶ 2

1 2

=

=

2^{2· 3}· 2^4·

1 4:2⁵

1 5

2^{6· -}

3 4 · 2^{3 ·}

5 3

=

=

2^{2 3}· 2⁴

1 4

: 2⁵

1 5

2^{6 -}

3 4

· 2³

5 3

=

醙

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ćwiczenie 6

Zapisz w postaci potęgi liczby 3

wyrażenie

6 · 27^{0, 25}+ 3^{1, 75}

6 · 9

3 8- 3 ·

1 3 -

3 4 -

9 4

.

醙

[ ^{( )} ]

Ćwiczenie 7

Oblicz wartości wyrażeń. Wpisz wyniki w prawej kolumnie.

Wyrażenie Wynik

3^0,5+ 1 3^0,5- 1

4^1,5+ 1 4^1,5- 1

3^0,5+ 2^0,5 3^0,5- 2^0,5

3^1,5+ 2^1,5 3^1,5- 2^1,5

難

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

Dla nauczyciela

Autor: Sebastian Guz Przedmiot: Matematyka

Temat: Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach Grupa docelowa:

Szkoła ponadpodstawowa, liceum ogólnokształcące, technikum Podstawa programowa:

Treści nauczania – wymagania szczegółowe:

I. Liczby rzeczywiste. Zakres podstawowy. Uczeń:

4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje obywatelskie;

kompetencje cyfrowe;

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.

Cele operacyjne (językiem ucznia):

Zastosujesz wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach.

Zastosujesz wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach.

Zastosujesz wzór na potęgę potęgi.

Strategie nauczania:

konstruktywizm;

konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

odwrócona klasa;

rozmowa nauczająca w oparciu o treści zawarte w sekcji „Film samouczek” i ćwiczenia interaktywne;

dyskusja.

Formy pracy:

praca indywidualna;

praca w parach;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji Przed lekcją:

1. Uczniowie zapoznają się z treściami zapisanymi w sekcji „Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Ustalenie celu lekcji i kryteriów sukcesu w temacie: „Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach”.

2. Nauczyciel prosi o przygotowanie w parach pytań związanych z tematem. Czego się uczniowie chcą dowiedzieć? Co ich interesuje w związku z tematem lekcji?

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie w zespołach dwuosobowych zapoznają się z treścią polecenia nr 1 „Obejrzyj film o mnożeniu i dzieleniu potęg o tych samych podstawach, a następnie rozwiąż polecenie.” z sekcji

„Film samouczek” i zawartym w niej materiałem.

2. Wybrani uczniowie wykonują ćwiczenia nr 1‑2 na forum klasy. Nauczyciel sprawdza poprawność wykonanych zadań, omawiając je wraz z uczniami na bieżąco.

3. W kolejnym kroku uczniowie realizują w parach ćwiczenia 3‑5, po ich wykonaniu porównują otrzymane wyniki z inną parą.

4. Uczniowie realizują indywidualnie ćwiczenia 6‑8 z sekcji „Sprawdź się”. Po ich wykonaniu nauczyciel omawia najlepsze rozwiązania zastosowane przez uczniów.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

Praca domowa:

1. Zadanie dla kolegi/koleżanki. Uczniowie dobierają się w pary i opracowują zadania analogiczne do ćwiczeń 7 i 8 z sekcji „Sprawdź się”. Następnie przesyłają je do siebie mailem, rozwiązują i na następnej lekcji porównują wyniki.

Materiały pomocnicze:

E‑podręcznik z matematyki na stronie: www.epodreczniki.pl Wskazówki metodyczne:

Medium w sekcji „Film samouczek” można wykorzystać na lekcji jako podsumowanie i utrwalenie wiedzy w temacie „Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach”.