Równania funkcyjne w teorii układów o parametrach rozłożonych

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O LIT ECHNIKI ŚL Ą S K I E J Seria: E L E K T R Y K A z. 95

_________ 1985 Nr kol. 820

M a ciej S IWC Z Y Ń S K I P o l i t e c h n i k a ślęska

Z u z a n n a S I W C Z Y Ń S K A

W y ż s z a S z k o ł a Inż yn i e r s k a w Opolu

R Ó W N A N I A FUN K C Y J N E W T E ORII UK Ł A D Ó W O P A R A M E T R A C H R O Z Ł O Ż O N Y C H

S t r e s z c z e n i e . W p r a c y s f o r m u ł o w a n o teorię n i e j e d n o r o d n y c h l i n i o- wyc h o b w o d ó w o p a r a m e t r a c h r o z ł o żo n yc h z u ż y ciem równ a ń f u n k c y j ­ nych. P o dan o o gól ne r o z więz a ni a równania fun k c y j n e g o obwodu. N a ­ s t ęp nie r o z p a t r z o n o o b w o d y k a w a łk a mi r ó ż n i c z k o w a l n e , k a w a ł k a m i J e d ­ n orodne, kaw a ł k a m i analitycz n e . W tych p rz y p a d k a c h równanie f u n k ­ c yjne s p r o w a d z o n o do równań c a ł k o w y c h o b o w ię z u j ę c y c h na kawałkach.

Podano ro zwi ę z a n i e tych r ów na ń c a ł k o w y c h metodę p e r t u r b a c y j n ę , m e ­ todę k o l e j n y c h p r z y b l i ż e ń i m e todę s z e r e g ó w potęgowych. Z a p r o p o n o ­ w a n o też m e t o d ę f a k t o r y z a c j i równ an i a funkcyjnego.

Na rysunku 1 pokaz a n o c z w ó r n i k s k u ­ piony, w którym w e k t o r n a p i ę c i e - pręd v 1 jest z w i ę z a n y z w e k t o r e m n a p i ę c i e - p ręd o d w z or o w a n i e m a f i n i c z n y m

( A , a ) :

m (a,b)v2 - A v 2 + a (l)

O d w z o r o w a n i e to składa się z m a c i e r z y łańcuchowej A i w e k t o r a ź r ó d e ł a.

C z w ó r n i k nie z a w i e r a j ę c y ź r ó d e ł a u t o n o m i c z n y c h ma z e r o w y w e k t o r ź r ó d e ł i będzie n a z y w a n y b e z ź r ó d ł o w y m . Jedno s t k o w e o d w z o r o w a n i e a f i n i c z n e ma p o s ­ tać (i,®), g dzie I Jest maclerz ę Jednostkowę. Z ł o ż e n i e o d w z o r o w a ń a f i n i c z n y c h , o d p o w i a d a j ę c e kaskadzie c z w ó rn i kó w , od bywa się w e d ł u g w z o r u :

(Aj.aj)'®" (A2 ,a2 ) = (^a1A 2 , A ±a 2 + a ^ (2)

2. R ó w n a n i a funkc yjn e linii

W p o k a z a n y m na rys. 2 odcinku, linii op e r a t o r a f i n i c z n y w i ę ż ę c y n a p i ę ­ cie i pręd w mi e j s c u x z n a p i ę c i e m i p r ę de m w m i ej s c u y z a l e ż y od p a ry (x , y ) , 0 < x < y < l t

1. C z w ó r n l k i s k up ione

(A, a)

< ’]

^{V2= u 2 l2J}

Rys. i. C z w ó r n i k sk u p i o n y

140 M. S l w c z y ń s k l , Z. S l w e z y ń s k a

v(x) = “ ] ( * )

\i(y) =

“ ] (y)

(A,a) (x,z)

A ______

x y

Rys. 2. Od c i n e k linii

( A , a ) (x,y) ( A . a ) (y,z) ^

x y

Z

Rys. 3. Dwa p r z y l e g a j ą c e o d c i n k i

v(x) » (A,a) (x.y)v(y) ■ A ( x , y ) v ( y ) + a(x,y). (3)

K a s k a d a w i d o c z n a na rys. 3 p r o w a d z i b e z p o ś r e d n i o do r ó w n a n i a fun k c y jn e go , w k tór ym n i e w i a d o m a Jest o p e r a t o r a f i n i c z n y odci n k a l inii z a w a r t e g o m i ę ­ d z y p r z e k r o j a m i x,y:

(a,a)(x,z) « (A,a)(x,y) o (A, a ) ( y, z ), (4)

g d z ie x y z.

S f o r m u ł u j e m y p o d s t a w o w a w ł a s n o ś ć r ó w n a n i a " (4). W tym celu d o k o n a m y tzw. r e g u l a r n e g o po d z i a ł u linii d z i e l ą c Ję na s k o ń c z o n y cięg r o z ł ą c z n yc h ,

p r z y l e g a j ą c y c h d o sieb i e o t w a r t y c h o d c i n k ó w A k<

k - i,2,... (rys. 4). S y m b o -

^k-1 V 1

Rys. 4. R e g u l a r n y p o d z i a ł linii

lami t)A k , A k c), ć)A|(ć) ozna*

c z ym y b r z e g i o d c i n k a A k o d ­ p o w i e d n i o : lewy, p r a w y i o b u ­ stronny. P rzez A k (x ) o z n a ­ c z ać b ę d z i e m y o d c i n e k , do k t ó r e g o nale ż y x.

N i e c h x , y , z « A k i n iech ( A, a )k (x,y) sp e ł n i a r ó w n a n i e f u n k c y j n e (4) - p o w i e m y też, że f unk cja (A,a)k (x,y) s p e ł n i a r ó w n a n i e (4) na o d c i nk u W ó w c z a s funkcj a

(A,a)(x.y) i ( A . a ) k ( x ) (x, A ^ x ) ) ° (a,a) [k(x)łl] ( 3 A [ k(x] +1j ) ° ...

o ( A ,a ) [ k ( y ) - i ] {^ [ k (y ) - i ] ) ° ( A . a ) k ( y ) ( i ó k ( y ) .y) (5)

jest r o z w i ą z a n i e m rów n a n i a (4).

Z a ł o ż e n i e o p e r a t o r ó w a f i n l c z n y c h d a n e w z o r e m (2) r o z b i j a r ó w n a n i e (4) na d wa r ów n a n i a f u nkcyjna

A(x,z) » ^a(^x,y) A(y,z)

a(x,z) » a(x,y) a(y,z) + a(x,y).

(6a) (6b)

I

R ó w n a n i a funkcyjne w teorii układów. 141

W i d ać , że r ó wnanie (6a) Jest niez a l e ż n e od (6b). D l a t e g o równ a n i e (6a) od g r y w a ć będzie dalej rolę zasadniczę.

Ze w z g l ę d ó w p r a k t y c z n y c h dużę rolę o d g r yw a ję linie k a w a ł k a m i r ó ż n l c z - k o w a l n e , tj. takie dla których istnie j ę re gularne po d z i a ł y na o d c i n k i 4 k#

na k t ó r ych funkcj e ( A,a )k (x,y) sę r ó ż n iczkowalne, R ó ż n i c z k u j ę c w ó w c z a s równan i a (6) na o d c i n k u 4 k podług z w punk ci e z = y o t r z y m a m y :

sę tzw. tw or z ą c y m i m a c i e r z y A k (x,y) i źród ł a a k (x,y), będz i e m y też m ó ­ wili: t wor z ą c y m i na od c i n k u A k . T w o r z ą c e r e p r e ze n tu j ą rozkłady p a r a m e ­ trów i ź r ó d e ł a u t o n o m i c z n y c h w z d ł u ż linii, d la t e g o uw a ż a m y je za z n a n e w p r oc e s i e a n a l i z y obwodu. Funkcje A k (x,y), a k (x,y) możns w y z n a c z y ć p r zez r o z w i ą z a n i e równa ń r ó ż n i c z k o w y c h (7) p r z y w a r u n k a c h pocz ą t k o w y c h

R o z w i ą z a n i e równan ie fun kc y j n e g o (4) dla funkcji kawałkami r ó ż n i c z k o w a l - n ych ma postać:

P o w r ó ć m y do równań (7a,b) dla odcin ka 4 k . J e żeli z n aj d z i e m y r o z w i ą z a n i e równa n i a (7a) , to r o z wiązanie równania (7b) m ożna o k r e ś l i ć w z o r e m

A k , y ^ * ' y ^ = A k (x,y )Hk (y) (7a)

8 'k , y ( x . y ) - A k ( x , y ) h k (y) (7b)

gdzie

(8a,b)

A k (x,x) - I, a k (x,x) » © (9a,b)

(a,a)(x,y)

o ( A -a ) k ( y ) ( 8 4 k ( y ) ' y) ( 1 0 )

V

(

^{1 1}

)

x \

O d c i n e k 4 k naz w i e m y w z a j e m n y m . Jeżeli nie z a w i e ra on r o z ł o ż o n y c h ź r ó ­ d eł s t e rowa nych, tj. gdy ma c i e r z ma s t r u k t u r ę

142 M. S i w c z y ó s k i , Z. S i w c z y ń s k a

M y ) =

(y)

^{( 12)}

g d z i e Z k i Y k to i mpe d a n c j a p o d ł u ż n a i a d m i t a n c j a p o p r z e c z n a odcin k a na j e d n o s t k ę długości. Ź r ó d ł a s t e r o w an e r o z ło ż o n e z a p e ł n i a j ą m i e j s c a z e­

rowe w m a c i e r z y (12). Z t o ż s a m o ś c i O a k o b i e g o dla r ó w n a n i a (7a) w y n i k a , że dla o dci nka w z a j e m n e g o

|A k (x.y )| = ex

JF t r h (P ] d 3

(13)

3. Linie z n i e z n a c z n a n i e j e d n o r o d n o ś c i ą

R o z w a ż m y o d c i n e k linii, na kt órym is t n i e j e t w o r z ą c a H + E F ( x ) , gdzie H Jest stałę m a c i e r z o w ę , a £ m a ł y m par a m et r em . R ó w n a n i e r ó ż n i c z k o w e (7a) na tym o d c i n k u p r z y j m u j e postać:

A'y (x,y) = A ( x ,y) [h + £ F(y)] . (14)

R ó w n a n i e to d o p r o w a d z i m y do r ó w n an i a c a ł k o w e g o V ol t e r r y :

A( x,y) = e (y_x)H + £ j łA(x, x + ^ ) F ( x + ^ ) e (y-X_S )Hd§ (15) 0

S t o s u j ę c m e t o d ę p e r t u r b a c y j n ą p o s z u k u j e m y r o z w i ą z a n i a równa n i a (15) w po­

s t a ci sz e r e g u p o t ę g o w e g o para m e t r u :

A(x,y) = [i + £ A 1 (x,y) + £ 2A 2 (x,y) ♦ ---] e (y_ x )H (1 6)

P o d s t a w i a j ą c funkcję (16) do r ó w n an i a (15) łatwo o t r z y m u j e się form u ły r e k u r e n c y j n e dla m a c i e r z y A (x,y):

y -x

A n * l ( x 'y) * / A n ( x 'x + P ° ^ F ( x + S )e" ^ H d ^' (l7) 0

A 0 (x -y) =

P o s z c z e g ó l n y c h funkcji A n (x,y) będz i e m y p o s z u k iw a ć w p o s t a c i s z e r e g ó w R ó w n a n i a funkc yjne w teorii układów...________________________________________ i43

A n (x,y) = (y-x)n ^ (y-x)m A n m (x) (18)

m =0

W tym celu r o z w i n i ę t o w szereg p o t ę go w y funkcję

F ( x * p = FQ (x) + ^ F1(x) + J 2 F2 (x) + ----

(19)

Fn (x> ■ ń T [ F ( n ) <x + ^ ] 5 = 0

K o r z y s t a j ą c ze w z o r u 9akera - Camp b el l a - H au sdorffa [2]

eA Be"A = B + Q A , B ] + | [ A,[A , B ] ] + y y [ A , [A . [ A , 3]] ] + ...

gdzie

[a,b] = a b - b a

Jest k o m u t a t o r e m m acierzy, m amy kolejne rozwinięcia:

e ! H F0 ( x ) e " 3 H = Fq(x) + 5 [h,F0 (x)] + * ^ 2 [H . [H , FQ (x )] ] +

♦ 3 r 3 3 tH -CH,QH,F0 ( x ) ] ] ] +

...

+ ^ 2 [H.F1 (^x)] + 5 - ^ 3 [^h,[^h,F1 (^x)] ] +

♦ 3t 5 4 [ h . [ h . C h . f 1 (x)]]] + ...

e'SH52F2( x ) e ' 5 H = 5 2 F2 (x) ♦ J|3 CH , F2 (x > ] ♦ j J4[ h , [ h , F2(x)]] *

♦ 3T ^5t H .[ H ,[ H , F2( x ) ] ] ] ł ...

Po z s u m o w a n i u po wyż s z y c h w z o r ó w o t r z y m u j e m y r oz w inięcie

et H F ( x + 5 ) e " 3 H » Q 0 (x) + |0 1(x) + 5 2Q 2 (x) + ... (20)

144 M. S l w c z y ń s k l . Z. S i w c z y ń s k a

gdzie

O o (x) = Fo (x)

(x) » [^h.F^q(^x)] + F x (x)

Q 2 (x) - | [ H . t H , F 0 (x)]] 4 [ H , F 1 (x): + F2 (x)

Q

j

(

x

) - 5

j

[

h

, [

h

, [

h

.

f

0 (

x

)JJ] 4 5 [

h

, [

h

,

f

1 (

x

) ]] 4 [

h

,

f

2 (

x

)] 4

f

3 (

x

)

Z a n i m s k o r z y s t a m y ze w z o r u (17), trzeba w y m n o i y ć szer e g i (18) i ( 2 0 ) i

An ( x ,X 4 $ ) e * HF ( x 4 ] p e “ 3 H >

■ 1 n £ 5 " A n . ( x > [ Q o (x) + W X > + ” m*0

“ S n A n o (x)Qo (x) + S n + 1 [A n l (x)Qo (x) + A n o ( x ) Q l (x)] +

+ S n + 2 [A n 2 (x)Qo (x) + A n l ( x ) Q i*x) + A n o (x)Q2 (x)J + *'*

W z ó r (17) d aj e

(21)

A n + i ( x .y) ■ (y-x )n4l

T r T T A n o (x) Q o (x) +

+ (Y - x)i T T - 5 [ A n l (x) Q o (x) + A n o (x) Q l (x)] +

+ (Y - x)2 i r r - s [ A n 2 (x) Q o (x) + A n l (x) Q l (x) +

+ A n o (x) Q 2 (x)3 +

S t ę d łatwo o k r e ś l i ć w z ó r r e k u r e n c y j n y dla m a c i e r z y - w s p ó ł c z y n n i k ó w s z e ­ regu (18) :

A n 4 l , m (x) = — Ł T T i E A n . m - p (x > Q p (x > ■ p*0

(22)

p r z y czym

Aq o(x) ■ I, A o m (x ) = ® » dla m > 0.

R ó w n a n i a f u nkcyjne w teorii układów.. 145

4. L inie kaw a ł k a m i a nali t y c z n e

Linię k a w a ł k a m i a n a l i t y c z n a n a z y w a m y linię, dla której i s t n i e j e p o dz i a ł r e g u l a r n y taki, że na p o s z c z e g ó l n y c h od c i n k a c h tego p o d z i a ł u i s t n i e j e t w o r z ę ca rozwij alna w o d p o w i e d n i o zbieżne s z er e gi potęg p r z y r o s t ó w a r g u ­ m e n t u x. W e ź m y pod u wagę o dcinek A linii, na k tórym i s t n i e j e t w o r z ę c a H + F ( x ) , g dzie H Jest mac i e r z ę nie z a le ż na od x.

R ó w n a n i e (7a) ma w tym p rzypadk u postać:

A y (x, y) - a(x,y )[h + F(y)] (23)

R ó w n a n i e (23'' łatwo d o p r o w a d z i ć do równania c a łk o w e g o Volt e r r y :

A (x ,y) - a (y ~ *) H +

J ^a ( x , x +$) F ( x +£)

e ^ y ' x" ^ )Hd^ (24) O

R o z w a ż m y r ównani e (24) z p unktu w i d z e n i a zasa d y od w z o r o w a ń z w ę ż a jących.

N iech <8 będzie t a kim c i ą g ł y m o p e r a t o r e m p r z e k s z t a ł c a j ą c y m p r z e s t r z e ń m e ­ t r y c z na R w siebie, że pewna Jego potęga 3) = $ n Jest zwęż e n i e m , w ó w ­ c z a s równanie

X - 3 ( x )

ma w i* J e d n o z n a c z n e rozwiązanie. Iatotnie, niech X będzie p u n k t e m s t a ­ łym o pe r a t o r a

S)

, tj.

3)

(x) n X.

W t e d y

s (x) « <8[£)k (x)] - 2)k [ S (x)] = 2)k (xo )— x , ( k - ~ ° ° )

p o n i e w a ż o p e r a t o r

3)

jest z w ę ż e n i e m i d l a t eg o cięg 5 )(x0 ), 2)2 (x0 ), i)3 (xo ),...

dla d o w o l n e g o X Q « R d ąiy do pu nktu stałego X o p e r a t o r a 3). Z a t e m 3 ( x ) = x. T en punkt s t a ł y Jest Jedyny, gdyż d o w o l n y punkt s t a ł y w z g l ę d e m

¡j Jest stały również w z g l ę d e m operatora z w ę ż a j ą c e g o 3 > dla k t ó r e g o punkt s t a ł y może być tylko Jeden. Niech

[3(A)] (x,y) - e (y-x )H + Vj a ( x . x +$ T

F ( x +| )

e (y- X" ? )Hd^ (251 O

Oest to więc op e r a t o r równania (24). Z b a d a m y i 8t n ie n i e i j e d n o z n a c z n o ś ć ro z w i ę z a n i a równania (24) w p r zed z ia l e : x , y t A .

146 M. Slwczyóski, Z. Slwczyńska

M e t r y k ę w p r o w a d z i m y nastę p u j ę c o :

p( A , , A , ) - max ÜAjfxiy) - A (x,y)|

x . y « A

g d z i e li • II Jest z w y k ł ę n ormę m a c i e r z y A ■ [ 8 ij]' “ 11 ,N

IX

“ "a* X > t 1 |.

W y k a ż e m y , że pewna p o t ę g a o p e r a t o r a (25 ^ J e s t z w ę ż e n i e m :

U [ S Í A j ^ l í x . y ) - [ 3 (a2 )] (x ,y) || -

' 7 0

y - x

J [A jí x . x + J ) - A^x.x-t-^)] F ( x + ^ ) e ^ y _ x ”P Hd £

< u ( y - x ) max I A,(x,y) - A_(x,y)|| ■ u(y-x) p(A,,A_), 4 x,yc¿ "

g d z ie

p. max || F(x)e(V-x)HIL x,y « 4

S t ę d

2

Z a t e m :

(A1 )](x,y) - [ ^ ( A g ) ] ( x , y ) | | ^ p 2 p ( A ltA 2 )

[3°(Ai)]('l*y)

- [ 3 n (A2 >] t‘n f,Łn ^ n p ( A ltA 2 >

gdżle IA I oznacza długość odcinka A . Wynika stęd, że zawsze można wy­

brać na tyle duże n, aby

( /X|A|)n _

.

— n f - *■ 1 -

Czyli 3 n Jest zwężeniem i równanie (24) posiada Jednoznaczne rozwlęza-

nle, które Jest granicę cięgu danego wzorom:

R ó w n a nia f unkcy jne w teorii układó w 147

A n + i (x ,y) - e (V - x)H + Vj A n (x .x+ p F(x+$) e (V - x - P H d^ (26)

O

W celu dalszej an a l i z y równania (24) w p r o w a d z i m y p o j ę c i e s z e regu a b s o ­ lutnie <1 - zbieżnego. S zereg

O O

_

i : * v

n =0

(27)

gdzie A n sę s t ałym i m a c i e r z a m i , n a zy w am y abso l ut n i e <J - zbie ż n y m . J e ­ żeli ist n i e j e taka liczba 6 > 0, że dla k a ż de g o |x| < cl s z ereg l i c z b o w y

£ ] M n ||An || <2 8 >

n=0

jest zbieżny. S z c z e g ó l n y m p r z y p a d k i e m jest szereg a b s o l u t n i e zbieżny, dla k t ó r e go przy w s z y s t k i c h x szere g (28) Jest zbieżny. Łatwo p r z e k o n a ć się, że s zeregi

e x A , c o s ( x A ) , sin(xA)

sę p r z y k ł a d a m i s z e r e g ó w a b s o l u t n i e zbieżnych. Oc zywiście w i e l o m i a n

A_ + X A . + ... + X ° A ,

o i n

Jest s z e r e g i e m a b s o l u t n i e zbieżnym. Niech szeregi

n =0 n=0

będę a b s o l u t n i e ó - zbieżne. Z b a d a j m y iloc z y n sum c z ę ś c i o w y c h :

N N N N 2N

E E ■ i : E ■ E - V

n»0 m « 0 n=0 m*0 n«0

gdzie

n

C * S A B . n / .i n-p p

p=0

148 M. Slwczyńskl. Z. Slwczyńska

Z a c h o d z i n i e r ó w n o ś ć

2N 2 N n 2 N n

E l x | n |Cn || - E |x|n| l E A n - p B p H X > n X > n -

n n O n « 0 p = 0 n = 0 p=0

2 N n N N

E lx|nE i i An-piniBpii = E E |x,n+>niinB«J ■

n «0 p «0 n= 0 m * O

- E ix|niAni i E |x|"iiB™11,

n *0 m =0

z k tórej w y n i k a , że i l o c z y n a b s o l u t n i e <J - z b i e ż n y c h s z e r e g ó w r ó w n i e ż J e s t a b s o l u t n i e <5 - zbieżny.

Z a ł ó ż m y teraz, że m a c i e r z F ( x + P ro z k ł a d a się w a b s o l u t n i e 6 - z b i e ż ­ n y s z e r e g (19). S z e r e g ten p o m n o ż o n y p r z e z a b s o l u t n i e z b i e ż n y s z e r eg f u n k­

c j i e ^ y - x " S ^ H d a j e w w y n i k u s z e r e g a b s o l u t n i e ó - zbież n y . P r z y j m u j ę c A o (x,x+J) s i i c a ł k u j ą c o t r z y m a m y A 1 (x,y) w p o s t a c i a b s o l u t n i e <5 - z b i e ż n e g o s z e r e g u p o t ę g (y-x). Z d r u g i e j s t r o n y łatwo z a u w a ż y ć , że o p e ­ r a t o r (25) p r z e k s z t a ł c a a b s o l u t n i e 6 - z b i e ż n y s z e r e g p otęg (y-x) w a b s o l u t n i e <T - z b i e ż n y szereg tych potęg. Na z a s a d z i e i n d u k c j i w y n i k a w i ę c ze w z o r u (26), że ró w n a n i e (24) ma J e d n o z n a c z n e a b s o l u t n i e - z b i e ż ­ ne r ozw ią z a n i e . P r z y j m u j ą c

A 0 (x.y) - e (y- x >H

i stosując iteracje (26) otrzymamy

A^(x ,y) - e (y“x)H ♦

J*

e5H F(x*$).(y-x-$ >H«ę -

0

- [ i + (y-zJPjjiz) + (y-x)2 P12(x) + ...] e^y_x^H -

- P ^ . y ) .(y-^H,

gdzie P j ^ . y ) Jeet absolutnie

d

- zbieżnym szeregiem potęg (y-x).

Podstawiając do w z o r u . (26)

pB pl

A n (x.y) - Pn (x,y) e (y -x )H,

R ó w n a n i a funkcylne w teorii układów. 149

g dz i e Pn (x,y) Jest abso l u t n i e - z b i e ż n y m s z e r e g i e m p otęg (y-x) i Pn ( x , x ) = I, o t r z y m a m y

A n + i { x -y) - pn + i ( x -y> * (y" x ) H .

gd zie p n + i(x 'V0 też Jest abso l u t n i e cJ - z b i e ż n y i P n + 1 ( x , x ) = I.

Z a t e m J e d y n y m r o z w i ę z a n i e m równania (24) Jest funkcja

A(x, y) = [p 0 (x ) ♦ ( y - x ) P 1 (x) + (y-x)2 P2 (x) + ...] e ^ y _ x ) H , (29)

PQ ( x ) = I, g dzie szere g w n a wiasie k w a d r a to w ym Jest a b s o l u t n i e ó - z b i e ż ­ ny. R ó w n a n i e (24) p r z e p i s z e m y w formie

y-x

A ( x , y ) e ^ x - y ^H • I +

J

a(x,x+ £ ) F(x+^) e ”^ HdJ. (30)

O

Bę d z i e m y w y z n a c z a ć n i e w i a d o m e mac i e r z e P 1 (x), P2 (x),... b e z p o ś r e d n i o , w s t a w i a j ę c f unkc ję (29) do r ó wnani a (30):

(y-x) P 1 (x) + ( y-x)2 P2 (x) + ... -

y-x

= / [ p0 (x) + ^ p l (x) + ^ 2p2 ^ x) + F ( x+ J ) e ' l Hd^. (31)

O

R o z w i j a m y w szer eg p o t ę g o w y funkcję

• t H F ( x * $ ) e " i H = 0 Q (x) * ' $ Q 1 U ) + ^ 2Q 2 (X ) + •••

p rzy c z ym m a c i e r z e Qq(x) , Qj(x) , Q 2 (x),... w y z n a c z a m y za p o mocę w z o r ó w (19) 1 (21). W y m n o ź e n i e s z e r e g ó w daje:

[ p0 (x ) + ^ P i(x ) + ^ 2 P2 ( x ) + . . . ] [Q 0 (x) + $ Q 1 ( x ) + ^ 2Q2 ( x ) + . . . ] -

= P0 ( x )Q q ( x ) + J [ p 1 ( x )U0 ( x ) + P q ( x )Q1 ( x ) ] +

^ 2 [ p2 (x )Q0 (x ) + p 1 (x)Q1 (x) + P^q(^x)Q2 (^x)] + (32)

150 M. S i w c z y ń s k i , Z. S i w c z y ń s k a

W s t a w i a j ę c s ze reg (32) do równan i a (31) i c a ł k u j ą c o t r z y m a m y

( y - x ) P 1 (x) + (y -x)2 P2 (x) + ( y - x ) 3 P 3 (x) + ...

= ( y - x ) P 0 ( x)Q 0 (x) + (y-x)2

| [ p 1 ( x )Q0 ( x )

+ P o ( x ) 0 1 (x)] +

+ ( y - x ) 3 3-[p2 (x ) Q 0 ^x) * p i(x ^ l ^ x ^ + p0 (x)Q2 (x )] + •••>

a stęd w y n i k a j ą w z o r y r e k u r e n c y j n e :

P a (x) = P 3 (x )Qp (x)

P 2 (x) = ¿ |^p1 (^x)Qq (x ) + P0 ( x ) Q 1 (x)J

P 3 (x) = ^ [ P 2 (x)0o (x) * P 1 ( x ) Q 1 (x) +

P q ( x )Q2 ( x ) ]

^ n - 1

P (x ) = i _{n m x} Pn . _n-l-m

( x ) q (

_m

x )

m =0

O e ż e l i funkcja p ( x t p w rów n a n i u (24) rozwi j a się w a b s o l u t n i e <J - zbież­

ny s zer eg potęg ^ , to r ó w n a n i e to ma j e d y ne r o z w i ą z a n i e (29), g d z ie s z e ­ reg w n a w i a s i e k w a d r a t o w y m jest a b s o l u t n i e zbieżny. W n i o s e k ten ma z n a ­ c z e n i e w ó w c z a s , g d y F ( x + p Jest w i e l o m i an e m.

5. F a k t o r y z a c j a r o z w i ą z e n i a [ć]

W tym r o z d z i a l e o t r z y m a m y m a c i e r z A(x,y ) w p o s t a c i i l o c z y n u w i e l o ­ m i a n ó w i funk cji w y k ł a d n i c z y c h . Z a p i s z m y ró w n a n i e (7a) w p o s t a c i

A’ = A H , O (3 4 )

g d zie

H Q (y) * H(y)

jest tw o r z ą c ą o d c i n k a linii, s y mb o l A* o z n a c z a Ay(x,y).

P o d s t a w m y w rów n a n i u (34):

A ( x # y) * A d l ( x , y ) A Q ( x , y ) .

Ró w n a n i a funkcyjne w teorii układów. 151

co z a p i s z e m y k r ó t k o

(35)

O t r z y m a m y równanie

(36)

odzie

(37)

M a c i e r z A., n a z w i e m y m a c i e r z ? linii resztkowej. L i n i a r e s z t k o w a s p eł n i a r ó w n a n ie (36) z t w orz ącą H 1 (x,y)

di

zadaną w z o r e m (37). M a c i e r z linii r esz t k owe j p owin na być moż l i w i e bliska m a c i e r z y j e d n o s t k o w e j , co ma m i e j ­ sce g d y t w orząc a H 1 (x,y) Jest równa m a c i e r z y zerowej, c zyli gdy s p e ł ­ nione Jest równ ani e:

P o n i e w a ż m a c i e r z resz t k o w a A dl spełnia równanie (36) o takiej samej s tr u k t u r z e co równ ani e (34), m ożna więc z m a ci e r z ? A rfl p o s t ą p i ć tak s a ­ mo jak z m a c i e r z ? A. K o n t y n u u j ą c ten proces dalej u z y s k u j e się c i ą g r ó w ­ nań :

H 2 = ( A1H 1 - A ’1 ) A 1_1

H3 = (A2 H 2 - A’2 )A2 _1

A , s A . -A dn d ,n+ l n

Proces ten jest p r o w a d z o n y w k ieru n k u u z y sk a ni a n a j m n i e j s z e j co do n ormy m a c i e r z y tworzęcej Hn# Stęd o t r z y m u j e m y

152 M. S i w c z y ń s k i . Z. S i w c z y ń s k a

W p o w y ż s z y m c iąg u r ównań n a j w a ż n i e j s z e są te, które u j ę t o w ramki.

W p r a k t y c e p r o c e s z a c z y n a m y od w y b o r u f u n k c ji A Q (x,y), a n a s t ę p n i e ob­

l i c z a m y H j ^ . y ) p r z y j m u j ę c H Q (y) = H(y). P otem w y z n a c z a m y A 1 (x,y), a s tę d H2 (x,y). P o s t ę p u j ą c tak dalej w ki e r u n k u w y z n a c z o n y m p rzez s t r z a ł ­ ki d o c h o d z i m y d o pewnej tworzącej H n + i ^ x >y^' która p o w i n n a być mała co do normy. K aż de z r ów nań u j ę t y c h w ramki m o ż na z a s t ą p i ć r ó w n a n i e m c a ł k o ­ w y m Vo lt e r r y , d l a t e g o p r o c e s r o z w i ą z y w a n i a równa n i a (34) może być s p r o w a ­ d z o n y d o n a s t ę p u j ą c e j p r o c e d u r y :

Wyb i eram y, fu n kcj ę A Q (x,y), w y z n a c z a m y r e k u r e n c y j n i e

(39)

y-x

(40)

O

z a p i s u j e m y r o z w i ę z a n i e w formie i l o cz y n u

(41)

to f u n k c j i A n (x,y) b ę d z i e m y p o s z u k i w a ć w fo rmie s z e r e g u :

A n (x,y) = I + ( y - x ) P n l (x) + ( y - x ) 2 Pn 2 (x) + ...

a m a c i e r z e pn i ^ x ) w y z n a c z y m y ze w z o r ó w (33) :

We w z o r z e (39) z a c h o d z i k o n i e c z n o ś ć o d w r ó c e n i a m a c i e r z y A n (x,y). M oż n a to z r o b i ć w y k o r z y s t u j ą c w zór

(I + X ) - 1I + X ) " 1 = I - X + X 2 - X 3 + . . .

słus z ny przy II XII < 1. W tym prz y p a d k u za X p r z y j m u j e m y c z ę ś ć szer eg u fu n k c j i A n (x,y), tj.!

(y - x ) P n l (x) + ...

D z i ę k i temu o t r z y m a m y ma c i e r z A ~ 1 (x,y) w p o st a c i s z e r e g u p otęg (y-x).

U w z g l ę d n i a j ą c o b c i ę t y szereg

I - X + ... + (-1)N XN

p o p e ł n i a m y błąd, k tóry m ożna o k re śl i ć z równości

(i + X) I - X + ... + (-1)N X N - 1 ♦ (-1)N X N+1

O e ż e l i p r zyjąć

(y-x)E .(x)

A n . x (x.y) e , (42)

R ó w n a n i a funkcyjne w t eorii układów...______________________________ 153

to

( y-x )En_ 1 ( x)r , (x-y ) E n_ x (x)

Hn (x,y) = e [Hn - l ^ x , y ) “ E n- l ^x J 6

p o krywa się z w y n i k i e m o t r z y m a n y m w rozdziale 6. M a c i e r z e w s p ó ł c z y n n i ­ ki r o z k ł a d u funkcji H n (x,y) w s z e r e g u z y s ku j em y ze w z o r ó w (21). ¿Jeżeli natomiast

H n (x,y) - Q n o (x) ♦ ( y-x)Qn l (x) + ... + (y-x)N Q n|g( x ) ,

A n (x,y) = I + (y-x)Pn l (x) ♦ ... + (y-x)M Pn M (x), (43)

to

H n + l ( x 'y) * L Pn l (x) + (y - x )2 P n 2 (x) + ••• + (y- x) " + M ( N + M ł l ) P n , N +M + l (x) "

- Pn l (x) - ( y - x ) 2 P n 2 (x) - ... - (y-x)M ‘ 1M P n M (x)]A ‘ 1 ( x >y) -

- [ ( y - x ) M (M+ l ) Pn M + 1 (x) ♦ ... + (y-x)N + M (N+M+ l ) P n > N + M + 1 ( x ) ] A ; 1 (x,y)

S t o s u j ą c na p r z e m i a n funkcje (42) i (43) o t r z y m a m y funkcję A(x,y) w pos­

taci n a p r z e m i e n n e g o i l oczynu w i e l o m i a n ó w potęg (y-x) i m a c i e r z y w y k ł a d ­ n i c z y ch arg u m e n t u (y-x).

M. S l w c z y ń s k l . Z. Slwczyrtska

L I T E R A T U R A

£l] B e l l m a n R. : I n t r o d u c t i o n to M a t r i x Analysis. M c G r a w - H i l l 1960.

[2] B r ockett R . : Lie a l g e b r a s and Lie g r o up s in c o n t r o l theory. Proc. of the N A T O A d v a n c e d s tudy ins t i t u t e h e l d at London, A u g u s t 27 - S e p t e m ­ b e r 7, 1973, D o r d r e c h t - Bosto n , D, R e i d e l P u b l i s h i n g Compa n y , 1973, pp, 43-82.

(" ³ ]

K o ł m o g o r o w A.N. , Fomin S.W. : E l e m e n t y te orii funkcij i f u n k c j o n a l n o w o

a na liza. Nauka, M o s k w a 1976.

£4] L a n k a s t e r P.: T h e o r y of M a t r i c e s , A c a d e m i c P ress .1969,

TsT R e d h e f f e r R . M . ; N o v e l uses of f u nc t i o n a l e q u a t i o n s , 0. R a t i o n a l Mech.

L Anal. 3 1954, pp. 271-279.

[e] S i w c z y h s k a 2. : I t e r a c y j n e m e t o d y r o z w i ą z y w a n i a l i n i o w y c h n i e j e d n o r o d ­ n y c h o b w o d ó w o p a r a m e t r a c h r oz ł o żonych. Praca d o k t o r s k a . P o l i t e c h n i k a śl ą s k a , G l i w i c e 1982.

$yHKUHOHAJIbHHE yPABHEHUH B IE0PHM UEHEki

C P A C

Iffi&EJliSHHHMH 1IAPAMETPAMH

P

e 3 10

m

e

B

p a d o ie pa3pa6oiaH a TeopHH HeonHopoAHnx jiHHeSHHx ueneft

c

pacnpeAejigH- humh napauexpauE

c

npaueHeKHeu cfyHKUHOHajibHux ypaBueHHti. HaftAeHO o6qee

pe-

meHHe ®yHKUH oHajibHO ro ypaBHeHHH n ew . Hajiee paccMoipeHH KycoHHo-peryjwpHtie

uenH,

Kyoosao-OAHopoAHiie

h

KycoHHo-ajtajiHTiraecKHe u e m .

B sthx

cjtjm asx <SyH- KUHOHajibHue ypaBaeHHH CBexeHu

k

KycoHHo-HHTerpapeeuuM ypaBHeHXHii. HaitneHo pemeHHe s th x HHTerpajibHtoc ypaBHeKHit

m s t o a o m

wajioro napaueT pa, HHTepauHOH-

h h m

MeiOAOM

h

MeioAOB oTeneHHbix

phaob. IIpeAJioxeH

la x z e uetoA 4>aKTopH3aiiHH peneHHH $yHKHHOHajii>Horo ypaBHSHHH.

F U N C T I O N A L EQ UA T I O N S IN T H E T H E O R Y OF THE S Y S T E M S W I T H D I S T R I B U T E D PAR AM E T E R S

S u m m a r y

The t h e o r y of n o n h o m o g e n o u s s y s te m s w i t h d i s t r i b u t e d p a r a m e t e r s by the m e a n s of f u n c t i o n a l e q u a t i o n s w a s f or m ulated. The g e n e r a l s o l u t i o n of c i r c u i t f u n c t i o n a l e q u a t i o n s w a s given. P i e c e w i s e d i f f e r e n t i a b l e , p i e c e ­ w i s e h o m o g e n o u s , and p i e c e w i s e a n a l y t i c c i r c u i t s w e r e examined. The f u n c­

t i o n a l e q u a t i o n s of this c a s e s are r e d uced to i n t e g r a l e q u a t i o n s s u it a bl e for the pieces. T he s o l u t i o n of the in t e g r a l e q u a t i o n s w i t h the use of p e r i u p b a t i o n m et hod, s tep by step m e t h o d and p ow e r s e r i e s m e t h o d is g i ­ ven. The f a c t o r i z a t i o n of f u n c t i o n a l e q u a t i o n s o l u t i o n is proposed.