Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień w osiowym wieńcu sprężającym z merydionalnym przyspieszeniem strumienia

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: ENERGETYKA z. 31

_______ 1969 Nr kol. 253

ANDRZEJ WITKOWSKI

Katedra Cieplnych Maszyn Wirnikowych

OSIOWO-SYMETRYCZNE POLE PRĘDKOŚCI I CIŚNIEŃ W OSIOWYM WIElfcU SPRĘŻAJĄCYM Z MERYDIONALNYM PRZYSPIESZENIEM STRUMIENIA

Streszczenie. Przedstawiono program oraz wy­

niki obliczeń osiowo-symetrycznego pola pręd­

kości i ciśnień w modelowym wieńcu sprężają­

cym z merydionalnym przyspieszeniem strumie­

nia i przestrzennie ukształtowanymi łopatkami [15]» [16]. Założono ustalony i izentropowy przepływ czynnika ściśliwego. Przyjmując, że obliczony rozkład prędkości i ciśnień wystę­

puje na uśrednionej w kierunku obwodowym po­

wierzchni prądu, umiejscowionej między są­

siednimi łopatkami, wyznaczono następnie w sposób przybliżony [10] rozkład prędkości względnych wzdłuż powierzchni łopatek. Wy­

ciągnięto wnioski odnośnie doskonałości aero­

dynamicznej przekroju merydionalnego oraz ka­

nałów międzyłopatkowych badanego wieńca mode­

lowego. Obliczenia przeprowadzono na elektro­

nowej maszynie cyfrowej UMC-1.

1» Wstęp

Analiza nielicznych opublikowanych materiałów na temat wień­

ców sprężających z merydionalnym przyspieszeniem strumienia wy­

kazała brak informacji na temat własności aerodynamicznych pa­

lisad rozmieszczonych na niecylindrycznych powierzchniach obro­

towych. Przewidywane i częściowo potwierdzone badaniami [2^], [4], [5] korzystne własności przepływowe tego typu wieńców skłoniły autora do podjęcia badań nad nimi.

Zagadnienie jest skomplikowane zarówno przez trójwymiarowość zjawisk aerodynamicznych zachodzących w przepływie jak i przez dużą liczbę zmiennych geometrycznych mających wpływ na osta­

teczny efekt pracy wieńców z ukośnym kierunkiem przepływu czyn­

nika. Na szczególną uwagę zasługuje w tych wieńcach analiza doboru kształtu merydionalnego wirnika oraz przebiegu szkiele­

towej profili poprzez określenie ich wzajemnego wpływu na kształtowanie się warunków przepływu w kanałach międzyłopatko- wych.

Rozwiązanie postawionego problemu można uzyskać na drodze wyznaczenia pola prędkości i ciśnień w kanałach sprężających wirnika i analizę rozkładu tych parametrów na wszystkich po­

wierzchniach omywanych przez czynnik. W aerodynamicznych bada­

niach układów łopatkowych maszyn przepływowych istnieje sze­

reg metod umożliwiających określenie pola parametrów przepływu.

Do metod tych należą metody eksperymentalne polegające na ba­

daniu własności aerodynamicznych nieruchomych palisad płaskich i pierścieniowych i wykorzystaniu tych badań w wieńcach wiru­

jących, metody bezpośredniego pomiaru parametrów przepływu w wieńcach wirujących, metody analityczne oraz numeryczne.

Występowanie w rozpatrywanych wieńcach sił Coriolisa powo­

duje, że badania przepływowe zarówno w nieruchomych palisadach płaskich jak i pierścieniowych byłyby całkowicie nieprzydatne.

Badania przepływu w kanałach wirujących nie wchodzą w ra­

chubę z uwagi na konieczność budowy kosztownego i skomplikowa­

nego stanowiska badawczego oraz wykonania dużej liczby modeli.

Metody analityczne wymagają daleko idącej idealizacji para­

metrów rzeczywistych co w konsekwencji powoduje, że otrzymane wyniki znacznie odbiegają od rozwiązania problemu rzeczywiste­

go.

Powyższe trudności skłoniły autora do szukania rozwiązania na drodze obliczeń numerycznych.

Zważywszy trudności związane z matematycznym określeniem rzeczywistego charakteru przepływu w maszynach przepływowych wprowadza się za szeregiem autorów [6], [7]» [8^, [10^{J, [l2]t}

uproszczenia polegające na założeniu, że przepływ przez wieniec wirnikowy lub kierowniczy odbywa się wzdłuż osiowo- symetrycznych powierzchni prądu oraz,że przepływ na tych po­

wierzchniach może być traktowany jako dwuwymiarowy. Przybliżo­

ny obraz trójwymiarowego pola prędkości i ciśnień uzyskuje się po kolejnym rozwiązaniu dwu dwuwymiarowych przybliżeń izentro- powego przepływu płynu nielepkiego wzdłuż dwu wzajemnie orto­

gonalnych obrotowych powierzchni prądu. Założenie osiowej sy­

metrii przepływu jest równoznaczne z założeniem fikcyjnego wirnika o nieskończonej ilości łopatek. W rzeczywistości po­

wierzchnie prądu są powierzchniami przestrzennymi, co wynika z nierównomiernego rozkładu prędkości merydionalnych w kierunku obwodowym.

W wieńcach łopatkowych o ukośnym kierunku przepływu stosu­

je się zazwyczaj dużą liczbę łopatek i dlatego można założyć nieznaczną zmianę prędkości merydionalnych w kierunku obwodo­

wym i wynikającą stąd osiową symetrię powierzchni prądu.

W oparciu o powyższe założenia wyprowadzono w pracy [15^] równanie równowagi przepływu względnego w kierunku normalnym do rzutu linii prądu na płaszczyznę merydionalną dla ogólnego przypadku wieńca sprężającego z ukośnym kierunkiem przepływu czynnika i przestrzennie ukształtowanymi łopatkami. Równanie powyższe umożliwia łącznie z równaniem ciągłości wyznaczenie pierwszego przybliżenia dwuwymiarowego przepływu w wirniku.

Wyniki obliczeń pierwszego przybliżenia dwuwymiarowego prze­

pływu wykorzystano następnie do wyznaczenia rozkładu prędkości względnych i ciśnień wzdłuż powierzchni łopatek*

Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień.»»______________ 81

2. Badany model

Przyjęta metoda umożliwia określenie racjonalnego kształtu wirnika po uprzednim wyznaczeniu podstawowych parametrów geo­

metrycznych jak stosunek średnic u wlotu i wylotu, zarys kra­

wędzi wlotowej i wylotowej, kąty łopatkowe podziałka łopatek itp. na podstawie konwencjonalnych metod obliczenio­

wych.

Dla zbadania charakteru przepływu w wieńcu sprężającym z merydionalnym przyspieszeniem strumienia zaprojektowano wieniec modelowy MWM 600/75/12 [i 5] z piastą o tworzącej krzywolinio­

wej i cylindryczną osłoną zewnętrzną. Bliższe dane przedstawio­

no w tablicy 1.

Tablica 1 Parametry geometryczne i termodynamiczne wirnika

Średnica zewnętrzna 600 mm

Stosunek średnic na wlocie 0,46

Stosunek średnic na wylocie 0,75

Liczba łopatek 12

Liczba obrotów 3000 obr/min

Prędkość obwodowa wirnika 94,2 m/s

C zynnik powietrze

Natężenie przepływu czynnika 9,248 kg/s Całkowita temperatura na wlocie 15°C

Ciśnienie całkowite na wlocie 1 bar Ciśnienie końcowe sprężania 4293 N/m2

Oslowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień.»« 83

Kształt powierzchni łopatek wyznaczono po przybliżonym okre­

śleniu rozkładu prędkości merydionalnych według zasad przepły­

wu potencjalnego oraz przy założeniu jednakowych przyrostów ciśnienia całkowitego w każdej strudze elementarnej. Szkieleto­

we łopatek i ich profile określono na ośmiu osiowo-symetrycz- nych powierzchniach prądu po uprzednim konforemnym odwzorowaniu ich na płaszczyźnie pomocniczej m, $ (rys. 1) korzystając z wykreśłnej metody Kapłana [li]. W płaszczyźnie tej wyznaczono uprzednio kąty odchylenia strug czynnika od powierzchni łopa­

tek w obszarze krawędzi wlotowej i wylotowej adoptując znane metody w teorii palisad sprężarek i wentylatorów osiowych nor­

malnego typu. W szczególności zastosowano metody opracowane przez Pfleiderera i Howella najlepiej uwzględniające charakter przepływu przestrzennego w rozpatrywanym wieńcu. Przyjęto ko­

łowy kształt szkieletowych profili w płaszczyźnie odwzorowania.

Ze względów wytrzymałościowych łopatki wykonano jako profilo­

wane w oparciu o profil laminarny NACA 65-010. Parametry geo­

metryczne profili zestawiono w tablicy 2.

Tablica 2 Parametry geometryczne profili w płaszczyźnie odwzorowania

Profil *1 M

fi 2

[o]

fim [«]

1 [mm]

R s [mm]

m [mm]

1 2 3 4 _. 5 6 7

1-1 24,38 60,84 42,6 342,57 547,94 232,0 2-2 25,22 64,4 44,8 329,79 491,64 232,5 3-3 26,5 68,8 47,65 314,99 436,52 232,8 4-4 27,7 73,72 50,7 300,93 385,12 233,0 5-5 29,25 78,15 53,75 292,62 352,81 237,0

Rys.

m

odwzorowane na płaszczyźnie pomocni­

czej (m, <&) LlL

2zŁ

3-3

4-4

5-5

£ £

1=L

8-B

1 . P r o f i l e łopatkowe

Oslowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień».. 85

cd. tablicy 2

1 2 3 4 _{5 6 7}

6-6 31,08 83,35 57,22 281,84 319,92 237,0 7-7 33,37 88,55 60,95 273,18 295,34 239,2 8-8 35,5 90,33 62,92 271,83 295,15 242,0

Ze względu na przestrzenne ukształtowanie układu łopatkowego palisadę łopatkową przedstawiany w trzech przekrojach.

Przekrój merydionalny określający kształt merydionalny wir­

nika oraz przebieg linii prądu i ortogonalnych (rys. 2a).

W przekroju tym wyznaczamy wektory osiowej, promieniowej i me- rydionalnej prędkości oraz krzywiznę i kąt nachylenia linii prądu do osi wirnika.

Przekroje modelowe łopatki płaszczyznami prostopadłymi do osi (rys. 2b). W płaszczyznach tych wyznaczamy kąty odchylenia powierzchni łopatek od kierunku promieniowego £ .

Konforemne odwzorowanie na płaszczyznę przekrojów łopatek powierzchniami prądu (rys. 2c) umożliwia określenie geometrii palisady łopatek w układzie współrzędnych m i . W płasz­

czyźnie tej wykreślamy trójkąty prędkości w rozpatrywanych punktach przepływu oraz wyznaczany kąty strumienia , łopatek jg- * & , &-.I zmianę podziałki t i grubości tA w kierun-

i sr o z d ^

ku przepływu. Ponadto ustala się zależność między kątem łopat­

kowym f& mierzonym na płaszczyźnie stycznej do powierzchni prądu w rozpatrywanym punkcie oraz kątem R stanowiącym kąt

* c

łopatkowy w przecięciu cylindrycznym na promieniu rj t g £ = tg ySc cos i + tg £ sin S

232.5 Rys.2a.PrzekrójmerydionalnywirnikaRys.2b.Przekrojemodelowełopatkiwirnika

Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień«.

tll|H‘ Htiiwn* m i-i

Rya. 2c. Palisada profili odwzorowana na płaszczyźnie (m,$)

3. Metoda analizy przepływa

3.1. Pierwsze przybliżenie dwuwymiarowe

W pierwszym przybliżeniu dwuwymiarowym rozpatrujemy warunki równowagi przepływu na założonych powierzchniach prądu stano­

wiących miejsce geometryczne punktów równoodległych w kierunku obwodowym od średnich powierzchni sąsiednich łopatek. Powierz­

chnie te przyjmują kształt średnich powierzchni łopatek za wy­

jątkiem obszaru w płaszczyźnie krawędzi wlotowej i wylotowej^

gdzie występują znaczne różnice między średnim kątem łopatek, a średnim kątem strug. Dla ułatwienia dalszych rozważań po­

wierzchnie te rzutujemy na płaszczyznę merydionalną.

Założenie średniej powierzchni prądu w kanale międzyłopatko- wym jest równoznaczne z przyjęciem do rozważań wirnika o nie­

skończenie wielkiej liczbie nieskończenie cienkich łopatek i osiowej symetrii przepływu. Utrzymanie w wirniku charakteru przepływu osiowo-symetrycznego wymaga zrównoważenia gradientu ciśnienia w kierunku obwodowym przez wprowadzenie do równań równowagi przepływu fikcyjnych sił masowych. Idea zastąpienia różnicy ciśnień występującej po obu stronach łopatek przez rozkład sił działających w kierunku normalnym do ich powierz­

chni została przedstawiona po raz pierwszy przez Lorenza w 1907 r.

Rys. 3» Współrzędne naturalne, składowe prędkości

Równanie równowagi przepływu wyprowadzone w układzie współ­

rzędnych naturalnych m, n, $ (rys. 3) ma postać:

9w— • + Pw + Q » 0

da ^{O )}

Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień.. 89

gdziet

2 2

p s coś fi + sin ft cos S t rk

+ (tg£ c o s <5 - tgjsc sini) cosyg + JŁ sin^g) (2a) 9 m

Q * 2a)£sin£ cos i + cos£ sini (tg£ cos i - tgpc sini)J + a

+ (tg£ cos i - tg« sin£)cosyg sin^g— - (2b) dm

Jest to równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu i po«

siada rozwiązanie ogólne o postaci:

w = exp ( ^n ) [ - / ( Q exp^? dn)dn + cj (3) Dla n rosnącego od piasty do osłony przyjmujemy dla n « 0 w « w , gdzie w prędkość względna przy piaście:

P P

n n n

w . exp (- / P dn)[wp - / (Q exp

J

O 0 0

Jeżeli przyjmiemy, że sąsiednie linie prądu są oddalone od siebie o skończoną małą wartość An, dla której można przyjąć stałość parametrów P i Q wówczas rozwiązanie równania (1) przyjmie postać dogodną do obliczeń numerycznych na maszynie matematycznej:

w *« w exp(- PJn) + -|jexp( - Edn) - i] (4)

Tę postać równania wykorzystano następnie do obliczenia rozkładu prędkości względnych dla każdego kolejnego przedziału An. Niezależnie od równania równowagi w postaci (4) winno być

spełnione równanie ciągłości dla każdej strugi. Zakłada się przy tym, że pomiędzy sąsiednimi liniami prądu przepływają równe ilości czynnika:

Aa. » 25Tr/jn?'w (5)

ł m

Znajomość rozkładu prędkości względnych umożliwia następnie wyznaczenie rozkładu ciśnień statycznych. W przypadku czynnika nieściśliwego korzystany z równania:

p “ po1 + y2 "

natomiast dla czynnika ściśliwego z równania:

^ ’ (?)

gdzie:

1

#-1 2a ,

o1

Przy rozpatrywaniu przepływu w kanele dolotowym lub wyloto­

wym równanie różniczkowe równowagi (1) znacznie się upraszcza zważywszy, że prędkość kątowa W . 0 oraz kąt fi » 0.

Wówczas:

Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień. 91

oraz

ć?w ' w

(

)

n X* .

a - r

3.2. Rozkład prędkości względnych wzdłuż powierzchni łopatki Znajomość rozkładu prędkości na średniej międzyłopatkowej powierzchni prądu umożliwia określenie rozkładu prędkości wzdłuż powierzchni łopatek. W pracy zastosowano przybliżoną metodę opracowaną przez Stanitza i dającą zadowalające rezulta­

ty w porównaniu z metodą relaksacji zastosowaną do rozwiązania równań przepływu potencjalnego na obrotowych powierzchniach prądu [10]. Metoda Stanitza może być zastosowana do wirników o dowolnym kształcie łopatek ze zmienną grubością i kątami /i profili łopatkowych rozmieszczonych na obrotowych powierzch­

niach prądu o dowolnej krzywiźnie. Wychodzimy tu z warunku ze­

rowej cyrkulacji przepływu bezwzględnego wokół dowolnego ob­

szaru zamkniętego nie obejmującego profilu łopatki (rys. 4).

Zakłada się ponadto, że czynnik jest doskonale prowadzony przez łopatki za wyjątkiem obszaru w pobliżu szczeliny nadło- patkowej oraz w płaszczyźnie krawędzi wlotowej i wylotowej.

Warunek zerowej cyrkulacji przepływu bezwzględnego wzdłuż kon­

turu A, B, C, D (rys. 4)»

m % r [ tri . _ . cL

(wcB + u s i n Ą j - (wb + u.sin^) — — +

+ f - k [ (u + *śr 3 i n /3śr) * r * ^ dm " 0 (9) stąd:

7 ^ 1 “ TZźfc + + dl [<U + Wśr sin^ ś r ) ^ r r ]= 0

Rys. 4.

Jeżeli założymy liniowy rozkład prędkości względnych w kierun­

ku obwodowym wówczas:

"oz ■ 2 % r - "b <10>

oraz ostatecznie:

cos£b . cosy8c£ ił . wśr

w b “ c o s ^ + C0SPCZ (cosAsz + U(tS^cz " t8^ b) +

+ §5 [(u + wśr sinAśr) *ą^ £ i - ] j <11>

4. Program obliczeń

Farametry przepływu w wirniku i kanale dolotowym określa się z równań prędkości (4)» (8) i ciągłości (5) metodą kolej­

nych przybliżeń podobnie jak w pracach [6], [7], [8], [14^J rozpatrujących pole przepływu w wieńcach z płaskimi, ściśle promieniowymi łopatkami i promieniowym i ukośnym kierunkiem

Cyrkulacja czynnika w przepływie bezwzględnym

Osiowo-sygetryczne pole prędkości i ciśnień,,.______________ 93

¿

3ys«5.Rozkładliniiprądui ortogonalnychw przekrojumerydionalnymwirnikai kanału lotowego

przepływu czynnika. W pierwszej kolejności wykreślamy w dwu­

krotnym powiększeniu wstępny rozkład linii prądu i ortogonal­

nych w przekroju merydionalnym badanego wirnika i kanału do­

lotowego (rys. 5) wykorzystując wykreślno analityczną metodę podaną przez Broszkę [1] . Punkt początkowy obliczeń obieramy na wybranej linii ortogonalnej w przecięciu z tworzącą piasty traktowaną jako pierwsza linia prądu. W punkcie tym przyjmu­

jemy prędkość początkową wp oraz wstępnie odczytaną z wykre­

su linii prądu (rys. 5) odległość An mierzoną wzdłuż ortogo­

nalnej. Korzystamy z równań (4) i (5) dla iteracyjnego obli­

czenia nowej wartości A n oraz współrzędnych i prędkości w punkcie przecięcia się kolejnej linii prądu z ortogonalną.

Proces iteracji kończymy po uzyskaniu założonej zgodności ob­

liczeń dwóch ostatnich przybliżeń An. Parametry P i Q wy­

stępujące w równaniu (4) obliczamy z rówpari (2a) i (2b) jako średnie dla rozpatrywanego przedziału An. Występujące w tych parametrach wartości krzywizny 1/r^ i kąta nachylenia linii prądu S określamy z wstępnego rozkładu linii prądu. Pochodne dm/dm oraz d Blnfijd m wyznaczamy odpowiednio z wstępnego

rozkładu prędkości względnych obliczonych z zasad przepływu potencjalnego [i] oraz po wykreśleniu kształtu szkieletowych profili na powierzchni odwzorowania. Przedstawiony tok obli­

czeń powtarzamy dla następnego odcinka A n wykorzystując ob­

liczoną w trakcie poprzedniej iteracji prędkość w jako w w równaniu (4)» Przechodząc kolejno od odcinka do odcinka znajdujemy nowy poprawiony rozkład linii prądu i prędkości względnych wzdłuż przyjętej ortogonalnej.

Proces obliczeń opiera się na założonej wstępnie prędkości

*p przy piaście. Jeżeli suma wszystkich obliczonych przedzia­

łów UjAn jest równa z określoną dokładnością f 2 długości całkowitej ortogonalnej n^ wówczas uznajemy,że prędkość wp

Oslowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień« 95

została założona prawidłowo i obliczenia rozkładu linii prądu i prędkości wzdłuż danej ortogonalnej uważamy za zakończone*

W rzeczywistości w celu uzyskania założonej dokładności obli­

czeń należy przeprowadzić szereg przybliżeń prędkości w^ i sumy odcinków A u będącej w efekcie funkcją tej prędkości.

Właściwą prędkość w^ uzyskuje się przy pomocy liniowej in­

terpolacji lub ekstrapolacji.

Podobnie powtarzamy obliczenia dla wszystkich ortogonalnych uzyskując rozkład prędkości względnych i linii prądu w całym przekroju merydionalnym wirnika. Obliczony rozkład prędkości względnych umożliwia wyznaczenie z równania (7a) rozkładu gę­

stości czynnika w przypadku występowania ściśliwości oraz no­

wego przybliżenia pochodnej ć?w/9m. Po uzyskaniu tych danych cały tok obliczeń powtarzamy od początku.

Drugie i następne przybliżenia uzyskujemy po wykreśleniu poprawionej siatki linii prądu i ortogonalnych i wprowadzeniu do obliczeń nowych wartości krzywizny i kąta nachylenia linii prądu. Z uwagi na stabilność obliczeń w każdym kolejnym przy­

bliżeniu uwzględnia się jedynie pewne ułamki przyrostu krzy­

wizny*

Kilkakrotne aż do uzyskania żądanej dokładności obliczeń powtórzenie podanej procedury daje w rezultacie rozwiązanie pierwszego przybliżenia dwuwymiarowego. Z rozkładu prędkości względnych wyznaczamy następnie z równań (6) lub (7) w zależ­

ności od tego czy many do czynienia z czynnikiem ściśliwym lub nieściśliwym rozkład ciśnień statycznych w przekroju merydio­

nalnym wirnika.

Pewną trudność sprawia określenie rozkładu prędkości wzdłuż krawędzi wlotowej wirnika, z uwagi na to, że jej kształt znacz­

nie odbiega od kształtu sąsiednich ortogonalnych oraz występu­

jącą wzdłuż krawędzi nieciągłość warunków przepływu. Zagadnie­

nie to rozwiązuje się przez wykreślenie w obrębie krawędzi wlotowej szeregu normalnych między wyznaczonymi uprzednio li­

niami prądu (rys* 5) i iteracyjne obliczenie rozkładu prędkości wzdłuż krawędzi z równań (4) i (5) przy założeniu An * const*

Traktując obliczone w pierwszym przybliżeniu dwuwymiarowym prędkości względne jako średnie dla kierunku obwodowego obli­

czamy z równań (10), (11) rozkład prędkości i ciśnień wzdłuż strony czynnej i biernej łopatki.

Przedstawiony program obliczeń przystosowano do obliczeń na elektronowej maszynie cyfrowej UIC-1* Sieć działań progra­

mu obliczeń przedstawiono na rys. 6.

5. Przygotowanie danych

Obliczenie parametrów P i Q z zależności (2a) i (2b) dla każdego przedziału An wymaga przygotowania danych okre­

ślających geometrie kanałów międzyłopatkowych oraz przybliżony rozkład prędkości względnych we wszystkich punktach przecięcia siatki linii prądu i ortogonalnych. Dane r, r^, j8 , 8 , € , d/dm s i n £ , -g- mw dd>/dnt wo , ¿In, ? » Q tablicuje się z po­

daniem numeru linii prądu (0, 1, ...., 13) oraz ortogonalnej (0, I, II, .... XIX) 1* wprowadza do maszyny. Parametry rfc, Ó\ fi wyznaczamy z kształtu linii prądu i szkieletowych profi­

li korzystając z zależności:

d r

(

)

6 - arc tg af (13)

Osiowo-syaetryczne pole prędkości i ciśnień. 97

( ^START )

CZYTANIE DANYCH p , . t . . m . x u cz

W. /. O. W ^'**. *•«*,

Oto ort i A 1 ^ . ¡ u , m¥ £y fiu. *"u. "*.WH__________

jUMfcr u,j

OBLCZENIA POMOCNICZE aJtmr6*m(13), róumlW.filry, mu I

fbsr.p/dml^ ' fb w ftm )"

Wfc lm Tm y„ J t;

3 tin fi 7im, Iw /im

QBUCZ:

Qu riwniZbJ

1 W* 1

^71

lOflUCZ: 7. n>ww/<^

| | jOflŁ/CTlrrtwn/frj

(oflUCZ.jn r«m n(s\

n .

[ITERACJA] {DRUKOWANIE WYNIKOw\

■

4 .-J ll!p^ 1

k * t j p . / > ł 1

I>'**to

Uii' "fa r

r^h

)pBUCZ:<4wMm)M \w ^{t s t~}

OSTATECZNE NIE | ^TAK

i - J

NOWE DANE: t^.r^ Prnptrw hc*r«r N it | ^tAK

x

{offowowLff pw j

\ KONIEC OBLICZEŃ |

Rys. 6. Sieć działań programu obliczeń rozkładu prędkości względnych i ciśnień w przekroju merydionalnym wirnika

Średnią powierzchnię prądu między łopatkami określamy przez wyznaczenie zależności d-3/dr i d&fdz w szeregu punktach tej powierzchni?

d$ ,dd> dr dd> dz, _{/ 1} - r di - p <3i d S ł Si <14>

» sini + ^ c osi )

Szczególnej dokładności wymaga określenie krzywizny linii prą­

du, której wartość ma decydujący wpływ na obliczenie parame­

tru P i dalej na wynik końcowy obliczeń An i w.

Wyznaczenie przedstawionych parametrów wymaga zastosowania numerycznych metod interpolacji gwarantujących uzyskanie pier­

wszych i drugich pochodnych o dużej dokładności. W oblicze­

niach wykorzystano dwie metody, tzw. w języku angielskim meto­

dę "cubic spline fit" [13^] oraz metodę najmniejszych kwadratów [3j, w której szukaną funkcję aproksymowano wielomianem trze­

ciego stopnia przechodzącym przez pięć danych punktów. W meto­

dzie "cubic spline fit" szukaną funkcję interpoluje się przy pomocy szeregu wielomianów trzeciego stopnia łączących dane sąsiednie punkty krzywej i spełniających warunek ciągłości po­

chodnych pierwszego i drugiego rzędu w tych punktach. W celu uzyskania koniecznej liczby równań określa się dodatkowe wa­

runki brzegowe na krańcach interpolowanej krzywej. W pracy przyjęto przybliżoną wartość pierwszych pochodnych w punktach początkowym i końcowym krzywej. Zgodnie z autorami [13^{] metoda} ta daje szereg istotnych korzyści:

a) uzyskujemy pojedynczą gładką krzywą,

b) duża prędkość obliczeń. Obliczenia przeprowadza się roz­

wiązując jeden zestaw równań określony dla całej krzy­

wej,

Osiowo-symetryczne pole prędkości 1 ciśnień» 99

c) umożliwia obliczenie wartości pierwszej i drugiej po­

chodnej, interpolację funkcji oraz całkowanie numeryczne*

W praktycznych obliczeniach okazało 3ię, że zgodnie z inten­

cją autorów [13] metoda ta daje dokładne wartości pierwszej po­

chodnej. Natomiast w obliczeniach krzywizny linii prądu gdzie wymagana jest również duża dokładność określenia drugiej po­

chodnej metoda ta okazała się nieprzydatna dla linii prądu o promieniu krzywizny większym niż około 150 mm. Do obliczeń krzywizny linii prądu zastosowano więc metodę najmniejszych kwadratów bardziej pracochłonną ale dającą gładszą krzywą.

Z uwagi na małą dokładność obliczeń na krańcach kolejnych krzy­

wych sąsiednie krzywe nakładano na siebie w dwu skrajnych punk­

tach. Krzywiznę linii prądu oraz pozostałe parametry obliczono t

w programie pomocniczym na maszynie cyfrowej. W programie głów­

nym obliczeń ustalono dokładność iteracji Zln oraz2Mn. Przy­

jęto odpowiednio £ = 0,01 i £ 2 3

6. Wyniki obliczeń

6.1. Rozkład prędkości i ciśnień w przekroju merydionalnym wirnika

W przekroju merydionalnym wirnika i kanału wlotowego wykre­

ślono siatkę 14 linii prądu (i * 0, 1, 2, ... 13) oraz 19 ortogonalnych (k - I, II, ... XIX) (rys. 5) stanowiącą przybliżenie wstępne w procesie obliczeń. Parametry geome­

tryczne kanału międzyłopatkowego oraz wstępny rozkład prędko­

ści względnych określono w 167 punktach siatki linii prądu i ortogonalnych i ujęto w tablicach.

Krzywiznę i kąty nachylenia linii prądu obliczono po zdję­

ciu współrzędnych punktów przecięcia linii prądu i ortogonal-

Tablica 3 Krzywizna i kąt nachylenia 0 linii prądu

1. Metoda "spline fit curve" [13}.

2. Metoda najmniejszych kwadratów [3^]:

2 3

r =* a + az + az + az , dla pięciu punktów krzywej.

Linia prądu "0"

Nr ort.

1 2

1/*k 8 1/*k 8

kr - 1,204 + 0,921 ^{+ 3,250 + 0,908} X + 6,435 + 0,747 + 6,450 + 0,725 XI + 5,960 + 0,604 + 6,580 + 0,616 XII + 6,700 + 0,474 + 6,340 + 0,479 XIII + 3,936 + 0,358 + 4,740 + 0,470 XIV + 1,744 + 0,294 + 1,990 + 0,285 XV + 3,860 + 0,231 + 2,660 + 0,222 XVI + 3,118 + 0,157 + 2,570 + 0,167 XVII + 2,093 + 0,101 + 2,440 + 0,112 XVIII + 2,537 + 0,046 + 2,260 + 0,057 XIX + 1,226 + 0,000 + 2,050 + 0,005

nych w układzie współrzędnych r t z* W tablicy 3 przedstawiono przykładowo wyniki obliczeń krzywizny i kątów nachylenia 0 linii prądu przeprowadzonych dla porównania wyników metodą

"spline fit curve" i najmniejszych kwadratów.

Poprawiony rozkład linii prądu uzyskany w trzecim przybli­

żeniu przedstawiono na rysunku 5 linią przerywaną. Wyraźne różnice w rozkładzie linii prądu występują w obrębie krawędzi wlotowej wirnika. Wynika to z silnego w tym obszarze wpływu krzywizny linii prądu na rozkład prędkości względnych. Bardzo

Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień.. 101

nieznacznym zmianom ulega natomiast przebieg i długość ortogo­

nalnych co ułatwia przebieg obliczeń.

Linie stałych prędkości względnych odniesionych do prędko­

ści obwodowej u wykreślone w przekroju merydionalnym wirni- Z

ka przedstawiono na rys. 7« Szczególnie interesujący z punktu widzenia analizy warunków sprzyjających wystąpieniu zjawiska oderwania strug jest rozkład prędkości wzdłuż powierzchni ograniczających przekrój merydionalny wirnika (rys. 8). Pręd­

kość względna czynnika wzdłuż konturu piasty początkowo szyb­

ko rośnie w obrębie krawędzi wlotowej do punktu A (rys. 7)?

po czym prawie liniowo maleje. Opóźnienie przepływu może wywo­

łać oderwanie warstwy przyściennej, której grubość przy krawę­

dzi wylotowej jest znaczna. Niewątpliwą poprawę warunków prze­

pływu można by uzyskać przez modyfikację kształtu piasty prze­

nosząc jej największą krzywiznę od punktu A w kierunku czę­

ści środkowej i wylotowej. Spowodowałoby to bardziej równomier­

ny rozkład przyspieszeń czynnika wzdłuż piasty przy jednoczes­

nym zmniejszeniu nadmiernego przyspieszenia w obrębie krawędzi wlotowej. Niezależnie od tego przewiduje się pewne wyrównanie rozkładu prędkości wzdłuż ortogonalnych. Wzdłuż osłony zew­

nętrznej wirnika zachodzi równomierny spadek prędkości od 94,83 m/s na wlocie do 75,8 m/s na wylocie. Uwzględniając po­

czynione uwagi rozkład prędkości względnych w przekroju mery­

dionalnym badanego wirnika można uznać za korzystny.

Rozkład ciśnień statycznych p przedstawiono na rys. 9 w postaci linii stałego ciśnienia odniesionego do ciśnienia cał­

kowitego na wlocie P 0-j* w całym obszarze wirnika za wyjątkiem obszaru wlotowego przy piaście zachodzi równomierny przyrost ciśnienia statycznego w kierunku krawędzi wylotowej.

i>-

Liniestałychprędkościwzględnychw przekrojumerydionalnymwirnika(w/u,

Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień». 103

9

00

m•

>>

K Rozkładprędkościwzględnychwzdłużpowierzchniograniczającychkanałprzepływo­ wywirnika

Ostens21twrmtrzna wirnika Liniestałychciśnieństatycznych(p/p

Oaiowo-aymetryczne pole prędkości i ciśnień.» 105

6.2. Rozkłady obciążeń wzdłuż powierzchni łopatek

Szczególne znaczenie dla oceny aerodynamicznej wieńców wi­

rujących ma rozkład prędkości i ciśnień po obu stronach po­

wierzchni łopatek. Zdaje się nie ulegać wątpliwości, że to właśnie profil krzywej obciążenia wiąże się ściśle ze sprawno­

ścią hydrauliczną. Rozkład ten powinien spełniać konkretne żą­

dania:

- stopniowe narastanie obciążenia na krawędzi wlotowej od zera,

- unikanie pulsacji ciśnienia na całej przestrzeni między wlotem a wylotem,

- unikanie nadmiernych ujemnych gradientów prędkości w ob­

szarze krawędzi wylotowej szczególnie po stronie biernej łopa­

tek.

Na rys. 10 przedstawiono wykresy rozkładów prędkości względ­

nych wzdłuż profili łopatkowych przy piaście (a), na powierz­

chni prądu 5-5 (b) oraz przy osłonie zewnętrznej wirnika (c).

Najbardziej obciążony jest profil przy piaście. Wykres obcią­

żenia (rys. 10a) spełnia warunek stopniowego narastania obcią­

żenia w kierunku centralnych części profilu. Niepokoi nadmier­

ny ujemny gradient prędkości po stronie podciśnieniowej łopat­

ki w obrębie krawędzi wylotowej. Opóźnienie przepływu prowadzi do wzrostu grubości warstwy przyściennej i w wyniku do wzrostu strat przepływu. Z wykresów na rys. 10 wynika, że obciążenie łopatki maleje w kierunku od piasty do osłony zewnętrznej. Ob­

ciążenie profili łopatkowych 5-5 (rys. 10b) i przy osłonie zew­

nętrznej (rys. 10c) jest równomiernie rozłożone na całej dłu­

gości łopatki. Zmiany obciążeń łopatki wzdłuż profili można przeprowadzać zarówno przez odpowiednią korekcję kształtu szkieletowych profili jak i przez zmiany kształtu przekroju merydionalnego wirnika.

Rys. I0a. Rozkład prędkości względnych wzdłuż profilu łopatki przy piaście. Profil 8-8

n-Strona podciśnieniowa o-Średnia powierzchnia

0 . 5--- --- --- --- --- ---

' 0 10 20 30 40 50 50 70 80 90 100

Odległość w zd łu ż lin ii prądu m '/ . «—

Rys. I0b. Rozkład prędkości względnych wzdłuż profilu łopatki na powierzchni prądu 5-5. Profil 5-5

Osiowo-symetryczpe pole prędkości i ciśnień.. 107

Rys. 10c. Rozkład prędkości względnych wzdłuś profilu łopatki przy osłonie zewnętrznej. Profil 1-1

Rys. 11. Rozkład prędkości bezwzględnych przy osłonie zewnę­

trznej wirnika

Rozkład prędkości bezwzględnych wzdłuż osłony zewnętrznej (rys. 11). Ponieważ osłona zewnętrzna jest nieruchoma wobec tego dla analizy przepływu wzdłuż jej powierzchni miarodajny jest rozkład prędkości bezwzględnej. Analiza przepływu wzdłuż osłony zewnętrznej jest o tyle interesująca, że najczęściej na tej powierzchni, w pierwszym rzędzie, zachodzi oderwanie strug w momencie wejścia sprężarki w obszar parametrów pracy niesta­

bilnej. Przedstawiony na rys. 11 rozkład prędkości bezwzględ­

nej nie budzi zastrzeżeń z uwagi na równomiernie rozłożony do­

datni gradient prędkości zarówno po stronie biernej i czynnej łopatki.

7. Uwagi końcowe

Z uwagi na trudności związane z określeniem charakteru prze­

pływu w wieńcach wirujących przedstawione w pracy obliczenia oparto na szeregu założeniach upraszczających. Założono, że przepływ jest izentropowy i ustalony, że odbywa się na osiowo- symetrycznych powierzchniach prądu oraz że czynnik jest dosko­

nale prowadzony od wlotu do wylotu przez nieskończoną liczbę łopatek. Uzyskany osiowo-symetryczny przepływ potraktowano za szeregiem autorów [s], [lo], [1 2^{], [}14] jako uśredniony dla kierunku obwodowego i wykorzystano do obliczenia rozkładu pręd­

kości wzdłuż powierzchni łopatek. Założony model przepływu jest zbliżony do rzeczywistego w wieńcach o długich kanałach między- łopatkowych i małej wysokości w porównaniu z promieniem śred­

niej wysokości łopatek. Nie uwzględnia on zjawisk zachodzących w obrębie krawędzi wlotowej i wylotowej wirnika. Występują tu znaczne gradienty ciśnienia wywołujące w wielu przypadkach oderwanie strumienia i powstawanie stref wirowych. Rzeczywisty rozkład prędkości różni się tu znacznie od teoretycznego. Jed­

nakże mimo nieuwzględnienia wielu warunków przepływu rzeczywi-

Osiowo-symetryczne pole prędkości 1 ciśnień... 109

stego metoda ta zdaniem wielu autorów jest bardzo użyteczna przy określeniu wpływu geometrii kanału międzyłopatkowego wieńców wirujących na sprawność przepływu.

W szczególności analiza uzyskanego pola prędkości i ciśnień umożliwia:

- ocenę przepływową bądanego wieńca wirującego przez po­

równanie uzyskanego pola prędkości z rozkładami uznanymi za korzystne,

- lokalizację miejsc w kanale przepływowym szczególnie po­

datnych na wystąpienie oderwania strumienia,

- przewidywanie zjawisk zachodzących w warunkach przepływu rzeczywistego, tworzenia się warstwy przyściennej i wtórnych przepływów,

- określenie wpływu kształtu merydionalnego wirnika oraz szkieletowych łopatek na pole prędkości i ciśnień. Korygując sukcesywnie kształt kanałów międzyłopatkowych można doprowa­

dzić do uzyskania zadowalającego rozkładu prędkości względnych, - badanie pola prędkości w warunkach różnych od obliczenio­

wych oraz w momencie tworzenia się niestabilnej części charak­

terystyki.

Obliczenia przeprowadzono dla modelowego wieńca sprężają­

cego z merydionalnym przyspieszeniem strumienia. W procesie obliczeń przeprowadzono trzy przybliżenia rozkładu siatki li­

nii prądu i ortogonalnych w przekroju merydionalnym wirnika.

Czas obliczeń jednego przybliżenia na maszynie cyfrowej UIIE-1 wynosił około 33 godziny. Czas wykonania dziesięciu iteracji rozkładu prędkości wzdłuż jednej ortogonalnej wynosił 35 mi­

nut. Szczególnie uciążliwe jest przygotowywanie danych do każ­

dego kolejnego przybliżenia, wykreślanie nowego kształtu linii prądu oraz obliczanie krzywizny i rozkładu pochodnych prędko­

ści względnej. Uzyskane rozkłady prędkości względnych wzdłuż profili łopatkowych mają przebieg odpowiadający przebiegowi prędkości w wysokosprawnych osiowych wieńcach sprężających [12], {]13]. Uzasadnia to celowość większego obciążenia tego typu wieńców ( ijfm 0,8). Pewnej korekty wymaga kształt piasty wirnika m obrębie krawędzi wlotowej co uzasadnione zostało w punkcie 6.1. Dalszym etapem pracy będzie wyznaczenie rozkładu linii prądu i prędkości względnych w kierunku obwodowym co umożliwi uzyskanie pełnego tzw. ąuasi-trójwymiarowego rozwią­

zania przepływu. Wyniki obliczeń dadzą podstawę do dalszego uściślenia rozkładu prędkości w przekroju merydionalnym i na­

stępnie w kierunku obwodowym.

Na zakończenie pragnę podziękować Panu Profesorowi mgr inż.

Kazimierzowi Kutarbie za kierownictwo naukowe pracy.

Zestawienie oznaczeń

a [m/s] - prędkość dźwięku w punkcie spiętrzenia c [m/s] - prędkość bezwzględna przepływu

1 [m] - długość cięciwy profilu łopatki

m [m] - odległość mierzona wzdłuż linii prądu od krawędzi wlotowej łopatki w przekroju merydionalnym wirnika m [kg/s] - masa przepływającego czynnika na jednostkę czasu n [m] - odległość mierzona wzdłuż ortogonalnej w przekroju

merydionalnym p [N/m^] - ciśnienie statyczne

P - parametr uwzględniający geometrię łopatki Q - parametr uwzględniający geometrię łopatki r [m] - promień mierzony od osi obrotu

Tjj Cm] “ promień krzywizny linii prądu r3 [m] ” Promień szkieletowej profilu t [m] - podziałka łopatek

Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień... 111

[m] - grubość profilu w kierunku obwodowym u [m/a] - prędkość obwodowa

w [m/s] - prędkość względna przepływu

z [m] - odległość mierzona w kierunku osiowym Z - liczba łopatek wirnika

fi [rad] - kąt między prędkością względną, a rzutem osi maszy­

ny w płaszczyźnie stycznej do powierzchni prądu [rad] - kąt między styczną do linii szkieletowej profilu

łopatki a osią maszyny w przekroju cylindrycznym A - różnica skończona

S [rad] - kąt między styczną do linii prądu w przekroju mery- dionslnym a osią obrotu

£ [rad] - kąt odchylenia krawędzi łopatki od kierunku promie­

nia w płaszczyźnie prostopadłej do osi

#[rad] - składowa obwodowa - wykładnik adiabaty ęfkg/m^]- gęstość czynnika

ty - wskaźnik sprężu

£o[l/s] - prędkość kątowa

T - stopień przewężenia przekroju przepływowego wirnika.

Wskaźniki

b - strona bierna łopatki (podciśnieniowa) cz - strona czynna łopatki (nadciśnieniowa) i - numer ortogonalnej

k - numer linii prądu końc - punkt końcowy obliczeń kr - krawędź wlotowa wirnika

m - składowa merydionalna w kierunku osi m n - składowa w kierunku osi n

o - parametry całkowite lub spoczynkowe

pocz - punkt początkowy obliczeń r - składów promieniowa

6r - parametry na średniej powierzchni prądu - składowa obwodowa

1 - parametry w płaszczyźnie krawędzi flotowej 2 - parametry w płaszczyźnie krawędzi wylotowej

- parametry uśrednione.

LITERATURA

[1 ] BROSZKO M.: Hydromechanika cz. 1. PWT, 1953.

[2] BRUSILOWSKIJ I.W.j Wientiliatory s meridionalnym usko- rienijem potoka* Promyszlennaja aerodinamika, zeszyt 24^, Oborongiz, 1962.

[3] DEMIDOWICZ B.P., MARON I.A., SZUWALOWA E.I.z Hetody nume- ryczne cz. II. PWN, 1965.

[4] ECK B.: Ventilatoren* Springer-Verlag, 1965»

[5] PRITZCHE K.H.: Ein neuer Schaubenlufter mit miridianbe- schleunigter Bauart. Gluckauf, 1956.

[6] HAMRICK J.T., GINSBURG A., OSBORN W.M.: Method of Analy­

sis for Compressible floe through Mixed Plow Centrifugal Impellers of Arbitrary Design. NACA Report No 1082, 1952.

M HQDSKINSON M.G.: A Procedure for Calculating the Axisym- metric Velocity and Pressure Distribution in Centrifugal and Mixed Plow Impeller Channels. Report ULME/B10, Uni­

versity of Liverpool, 1965.

M KATSANIS T.t Use of Arbitrary Quasi-Orthogonals for Cal­

culating Plow Distribution in a Turbomachine. Technical preprint for Annual Winter Meeting of the ASME, Chicago, Illinois, November 1965.

M KRAMER J.J., OSBORN V.M., HAMR1CK J.T.! Design and Test of Mixed Plow and Centrifugal Impeller. Trans. ASME, Se­

ries A.J. of Engineering for Power, 1960.

Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień 113

[10 | STANITZ J.D.: Some Theoretical Aerodynamic Investigations of Impellers in Radial and Mixed Plow Centrifugal Compres­

sors. Trans. ASME, may 1952.

[1 1] STEPANOPP A.J.: Turboblowers. New York, John Willey, 1955»

[1 2} SZERSTIUK A.N.s Rascziet tieczienij w elemientach turbo- maszin. Maszinostrojenije, Moskwa 1967.

[13J WALSH J.L., AHLBERG J.H., and NILSON E.N.: Best Approxi­

mation Properties of the Spline Pit. Jour. Math, and Mech., vol. 11, no 2, Mar. 1962.

[14] VAVRA M.H.: Aero Thermodynamics and Plow in Turbomachines.

John Wiley, London New York, 1960.

[15] WITKOWSKI A.s Metoda analizy przepływu w osiowym wieńcu sprężającym z merydionalnym przyspieszeniem strumienia.

Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Energetyka, z. 25, Gliwice, 1967.

[16] WITKOWSKI A.s Modelowy Wentylator Merydionalny MWM600/75/

12. Projekt techniczny, Gliwice 1967.

OCE CK MME T PtfHHOE H OJIE CKOPOCTEM H flAMEHUK B OCEBOM KOM1PECCOPHOM KOJIECE C MEPWflKOHMbHO yCKOPEHHiiM 1IOTOKOM

P e 3 ^{b u e}

K 3 J i a r a e T C H M e T o j n i c a p a c a e T a o c e c H w w e T p n q H o r o n o a a C K o p o c T e S h j a B J i e H H H b o c e B O M K O ł t n p e c c o p H O M K o a e c e c M e p H s a o H a j i b H O y c - KOpeHHHM nOTOKOM K Iip O C T p a H C T B e H H O nOCTpOeHHUMH JIO n aT K aM H

[ l 5 ] , [16] . I l p e ^ n o J i a r a e T c a « t o T e a e H H e s b j i a e T c a H 3 0 3 H T p o - nH2HŁiM0 y K a s a H H a a 3 a , u a « ł a ^b o c e C H M M e T p H t iH o K n o c T a H O B K e ^{c b o -} f l M T c a H a n e p B O M 3 T a n e k o n p e j e a e H H B $opMhi M e su io n a T O H H o tt n o - s e p z H O C T M p a B H O O T C T o a m e ii o t c w e x H K X a o n a T O K . Ha 3 t o M n o B e p x - h o c t h n o a y a e H O s B y u e p H o e p e m e H H e n o a a C K o p o c T e K u l a B a e H H i i K O T o p o e n c n o a B 3 0 B 8 H 0 j a n Ł D i e ^{r j i z} n p H 6 a H * e H H o r o H 3 y a e H n a p a c - n p e j e a e H H a C K o p o c T e f t n o o 6 B O f l a n n p o c j? iu r e 2 [10^{] .}

AHaan3 noayąeHHUx peayabTaT O B pacw eT a no3BOXHT yayaniHTB $ o p - MHpoBaHHe noTOKa n y T eu pannoHanbHoro npo$nnnpoBaHHa aonaTOK c yaeTOM $op»ai orpaHmjHBajDmHX npoTOHHy» a a c T b nOBepxHOCTeii. P acijeT npoBeseH O Ha 3aeKtpoHHo BhuiHcawTeabHoa ManiHHe yMIi-1.

Osiowo-symetryczne pole prędkości i ciśnień.. 115

THE AXI-SYMMETRIC VELOCITY AND PRESSURE DISTRIBUTION IN AXIAL-FLOW COMPRESSOR IMPELLER WITH MERIDIONAL ACCELERATION

S u m m a r y

The purpose of this paper is to present the program and nume­

rical results of theoretical, aerodynamic investigations for the axi-symmetric fluid flow in axial flow compressor impeller with meridional acceleration and blades of arbitrary spatial shapes [15^{], [l} • It is assumed that the flow processes are isentropic. The analysis is based on the assumptions of a

mean flow surface between blades. On this stream surface a two- dimensional solution for the velocity and pressure distribu­

tions i is obtained and then an approximate calculation of the blade surface velocities [10] is made. The significance of these results of analysis with respect to improved compressor performance has beeb discussed. This report contains a discus­

sion of the numerical techniques required for obtaining solu­

tions with a digital computer UMC-1.