Funkcje wielu zmiennych

49  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Funkcje wielu zmiennych

dr Mariusz Grz ˛adziel

Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

semestr zimowy; rok akademicki 2019/2020

(2)

Przestrze ´n n-wymiarowa I

Funkcje odwzorowuj ˛ac ˛a zbiór {1, 2, . . . , n} w zbiór liczb rzeczywistych b ˛edziemy nazywa´c ci ˛agiem sko ´nczonym.

Przykład 1

Ci ˛ag sko ´nczony (2,4,7) -funkcja, która przyporz ˛adkowuje argumentowi 1 liczb ˛e 2, argumentowi 2 liczb ˛e 4, argumentowi 3 liczb ˛e 7.

Definicja 1

Zbiór wszystkich ci ˛agów sko ´nczonych (x1, . . . ,xn), gdzie xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n, b ˛edziemy nazywa´c przestrzeni ˛a n-wymiarow ˛a i oznacza´c Rn.

Przestrze ´n R2nazywamy płaszczyzn ˛a, przestrze ´n R3przestrzeni ˛a trójwymiarow ˛a (lub po prostu przestrzeni ˛a).

Elementy (x1, . . . ,xn)— punkty przestrzeni Rno współrz ˛ednych x1,x2, . . . ,xn.

(3)

Przestrze ´n n-wymiarowa II

Pocz ˛atek układu współrz ˛ednych (punkt, którego wszystkie współrz ˛edne s ˛a równe 0) b ˛edziemy oznacza´c przez0.

Odległo´s´c |AB| punktów A = (a1,a2, . . . ,an)i B = (b1,b2, . . . ,bn) przestrzeni Rn dana jest wzorem

|AB| =q(a1− b1)2+ (a2− b2)2+ . . . + (an− bn)2.

Definicja 2

Otoczeniem punktu A0∈ Rno promieniu r > 0 b ˛edziemy nazywa´c zbiór O(A0,r ) = {A ∈ Rn : |A0A| < r }.

Otoczenie punktu na płaszczy´znie: koło otwarte (bez brzegu — okr ˛egu) .

Definicja 3

S ˛asiedztwem punktu A0∈ Rno promieniu r > 0 b ˛edziemy nazywa´c zbiór S(A0,r ) = {A ∈ Rn:0 < |A0A| < r }.

(4)

Przestrze ´n n-wymiarowa III

Definicja 4

Powiemy, ˙ze zbiór D ⊂ Rnjest ograniczony, je˙zeli jest on zawarty w pewnym otoczeniu punktu0.

Zbiór jest nieograniczony — je˙zeli nie jest ograniczony.

Definicja 5

Powiemy, ˙ze punkt A zbioru P jest punktem wewn ˛etrznym tego zbioru, je˙zeli istnieje otoczenie A, które jest zawarte w P.

Definicja 6

Zbiór wszystkich punktów wewn ˛etrznych zbioru P b ˛edziemy nazywa´c wn ˛etrzem zbioru P i oznacza´c symbolem Int P.

Definicja 7

Zbiór nazwiemy otwartym, je˙zeli ka˙zdy punkt nale˙z ˛acy do niego jest jego punktem wewn ˛etrznym.

(5)

Przestrze ´n n-wymiarowa IV

Definicja 8

Punkt A b ˛edziemy nazywa´c punktem brzegowym zbioru P, je˙zeli w ka˙zdym otoczeniu tego punktu istniej ˛a: punkt nale˙z ˛acy do P i punkt, który nie nale˙zy do P.

Definicja 9

Brzegiem zbioru b ˛edziemy nazywa´c zbiór jego punktów brzegowych.

Przykład 2

Brzegiem koła otwartego o ´srodku w0 i promieniu 1 jest okr ˛ag o

´srodku w 0 promieniu 1.

Definicja 10

(6)

Przestrze ´n n-wymiarowa V

Odcinkiem o ko ´ncach w punktach A = (a1,a2, . . . ,an)i

B = (b1,b2, . . . ,bn)przestrzeni Rn b ˛edziemy nazywa´c zbiór AB okre´slony wzorem

AB = {t(a1,a2, . . . ,an) + (1 − t)(b1,b2, . . . ,bn) :0 ¬ t ¬ 1}.

Definicja 11

Niech A = (a1,a2, . . . ,an)i B = (b1,b2, . . . ,bn)b ˛ed ˛a punktami przestrzeni Rn. Sum ˛e odcinków

A1A2∪ A2A3∪ . . . ∪ Am−1Am,

gdzie Ak ∈ Rn, k = 1, 2, . . . , n, A1=A i B1=B, b ˛edziemy nazywa´c łaman ˛a ł ˛acz ˛ac ˛a punkty A i B.

Definicja 12

(7)

Przestrze ´n n-wymiarowa VI

Powiemy, ˙ze zbiór Z ⊂ R jest obszarem otwartym, je˙zeli jest on niepusty,otwarty oraz ka˙zde dwa jego punkty mo˙zna poł ˛aczy´c łaman ˛a zawart ˛a w Z .

Definicja 13

Powiemy, ˙ze zbiór Z ⊂ Rnjest obszarem domkni ˛etym, je˙zeli mo˙ze by´c przedstawiony w postaci sumy pewnego obszaru otwartego i brzegu tego obszaru.

Funkcj ˛e f odwzorowuj ˛ac ˛a zbiór D ⊂ Rnw zbiór R b ˛edziemy nazywa´c funkcj ˛a rzeczywist ˛a n zmiennych rzeczywistych.

Konwencja notacyjna: zapis f (x1,x2, . . . ,xn) =x1+ . . . +xnmo˙ze by´c odczytana jako skrócona forma zapisu: funkcja f ,

przyporz ˛adkowuj ˛aca argumentowi (x1,x2, . . . ,xn)warto´s´c x1+ . . . +xn.

(8)

Granica i ci ˛ agło´s´c funkcji wielu zmiennych I

Definicja 14

Powiemy, ˙ze ci ˛ag (A(n))punktów przestrzeni Rm jest zbie˙zny do punktu A(n)∈ Rm, je˙zeli

n→∞lim |A(n)A(0)| = 0, co b ˛edziemy zapisywa´c

n→∞lim A(n)=A(0). (1)

Uwaga 1

(9)

Granica i ci ˛ agło´s´c funkcji wielu zmiennych II

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze (1) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy: ci ˛ag pierwszych współrz ˛ednych punktów A(n)jest zbie˙zny do pierwszej współrz ˛ednej punktu A(0), ci ˛ag drugich współrz ˛ednych punktów A(n) jest zbie˙zny do drugiej współrz ˛ednej punktu A(0)itd.

Definicja 15

(10)

Granica i ci ˛ agło´s´c funkcji wielu zmiennych III

Niech f :→ R, D ⊂ R2, gdzie m ­ 2. Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona na s ˛asiedztwie S(A0,r ) punktu A0o promieniu r , gdzie A0∈ R2. Powiemy, ˙ze funkcja f ma granic ˛e g w punkcie A0, co b ˛edziemy zapisywa´c

lim

A→A0f (A) = g, (2)

je˙zeli dla ka˙zdego ci ˛agu A(n)punktów zbioru D ró˙znych od punktu A0takiego, ˙ze

n→∞lim A(n)=A(0) prawdziwa jest równo´s´c

n→∞lim f (A(n)) =g.

Uwagi dotycz ˛ace konwencji notacyjnych:

(11)

Granica i ci ˛ agło´s´c funkcji wielu zmiennych IV

I Je˙zeli A0(a1,a2, . . . ,am), to równo´s´c (2) mo˙zna zapisa´c:

lim

(x1,...,xm)→(a1,...,am)f (x1, . . . ,xm) =g

I dla n = 2, A0= (a, b) równo´s´c (1) mo˙zna zapisa´c:

x →alim

y →b

f (x , y ) = g.

Uwaga 2

Je˙zeli g jest liczb ˛a rzeczywist ˛a, to powiemy, ˙ze jest granic ˛a wła´sciw ˛a; je˙zeli g = −∞ lub g = ∞, to powiemy, ˙ze g jest granic ˛a niewła´sciw ˛a.

Uwaga 3

Punkt A0nie musi nale˙ze´c do zbioru D.

(12)

Granica i ci ˛ agło´s´c funkcji wielu zmiennych V

Definicja 16

Niech f : D → R, D ⊂ Rm. Powiemy, ˙ze funkcja f jest ci ˛agła w punkcie A0, je˙zeli istnieje r > 0 takie, ˙ze O(A0,r ) ⊂ D i

lim

A→A0f (A) = f (A(0)). (3)

Definicja 17

Niech f : D → R, D ⊂ Rm. Powiemy, ˙ze funkcja f jest ci ˛agła na zbiorze D (lub w zbiorze D), je˙zeli jest ci ˛agła w ka˙zdym punkcie zbioru D.

Sformułowanie funkcja f jest ci ˛agła b ˛edziemy rozumie´c jako skrócon ˛a form ˛e sformułowania: funkcja f jest ci ˛agła na swojej dziedzinie.

(13)

Ci ˛ agło´s´c funkcji wielomianowej

Jednomianem n zmiennych nazywamy funkcj ˛e m postaci:

m(x1,x2, . . . ,xn) =ax1k1x2k2. . .xnkn

stopniem jednomianu m b ˛edziemy nazywa´c sum ˛e wykładników stoj ˛acych przy niewiadomych składaj ˛acych si ˛e na jednomian k1+k2+ . . . +kn.

Wielomian zmiennych x1,x2, . . . ,xn: suma jednomianów tych zmiennych. Stopie ´n wielomianu: najwi ˛ekszy ze stopni tych jednomianów (o niezerowych współczynnikach).

Fakt 1

Wielomian wielu zmiennych jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a.

(14)

Twierdzenie 1

Je˙zeli funkcje f : D → R, g : D → R, D ⊂ Rms ˛a funkcjami ci ˛agłymi, to ci ˛agłe s ˛a równie˙z:

I

c1f + c2g, c1,c2∈ R;

I iloczyn f · g;

I iloraz f /g na zbiorze D0= {A ∈ D : g(A) 6= 0}

Twierdzenie 2

Je˙zeli f : D → R, D ⊂ Rmjest ci ˛agła, g : f (D) → R jest ci ˛agła, to zło˙zenie g ◦ f funkcji g i f te˙z jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a.

Twierdzenie 3

Załó˙zmy, ˙ze funkcje f1,f2, . . . ,fm:U → R, U ⊂ Rns ˛a ci ˛agłe, funkcja g : V → R, V ⊂ Rmjest ci ˛agła oraz (f1(x ), f2(x ), . . . , fm(x )) ∈ V dla x ∈ U. Wtedy funkcja

g(f1(x ), f2(x ), . . . , fm(x )) jest ci ˛agła na U.

Twierdzenie 4

Je˙zeli f : D → R, D ⊂ Rmjest ci ˛agła w punkcie A(0)∈ D i f (A(0)) >0, to istnieje  > 0 taki, ˙ze spełniony jest warunek:

Je˙zeli A ∈ D i |AA(0)|, to f (A) > 0. Twierdzenie pozostaje prawdziwe, gdy znak > zmienimy na <.

Twierdzenie 5

Je˙zeli funkcja f : D → R jest ci ˛agła i D ⊂ Rmjest niepusty, domkni ˛ety i ograniczony, to istniej ˛a P1∈ D i P2∈ D takie, ˙ze

f (P1) ¬f (P) ¬ f (P2) dla dowolnego punktu P ∈ D.

(15)

Przykłady

Funkcje

f1(x , y ) = x3+y4+xy , f2(x , y ) = sinx3+y4+xy,

f3(x , y ) = (sin x + cos x )2. s ˛a ci ˛agłe.

(16)

Pochodne cz ˛ astkowe I

Definicja 18

Niech f : D → R, D ⊂ Rm,A ∈ IntD, A = (a1, . . . ,an). Je˙zeli istnieje granica wła´sciwa

h→0lim

f (a1, . . . ,ai−1,ai+h, ai+1, . . . ,am) −f (a1, . . . ,am)

h , (4)

to granic ˛e t ˛e b ˛edziemy nazywa´c pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a pierwszego rz ˛edu funkcji f wzgl ˛edem zmiennej xi w punkcie A i oznacza´c:

∂f

∂xi(A) lub fxi(A).

Granic ˛e (4) mo˙zna oznaczy´c równie˙z:

∂f

∂xi(a1, . . . ,am) lub fxi(a1, . . . ,am).

(17)

Pochodne cz ˛ astkowe II

Symbolem

∂f

∂xi, i = 1, . . . , m (5)

b ˛edziemy oznacza´c funkcj ˛e przyporz ˛adkowuj ˛ac ˛a punktowi A liczb ˛e

∂f

∂xi okre´slon ˛a na zbiorze

{A ∈ D : ∂f

∂xi istnieje}

Funkcje okre´slone wzorem (5): pochodne cz ˛astkowe pierwszego rz ˛edu funkcji f .

Dla m = 2 zmienne niezale˙zne zazwyczaj oznaczamy przez x i y . Pochodne cz ˛astkowe f = f (x , y ) oznaczymy symbolami:

∂f

∂x i ∂f

∂y. (6)

(18)

Pochodne cz ˛ astkowe III

Tak wi ˛ec

∂f

∂x(x0,y0) = lim

h→0

f (x0+h, y0) −f (x0,y0)

h , (7)

∂f

∂y(x0,y0) = lim

h→0

f (x0,y0+h) − f (x0,y0)

h . (8)

Dla m = 3 zmienne niezale˙zne zazwyczaj oznaczamy przez x , y i z. Pochodne cz ˛astkowe f = f (x , y , z) oznaczymy symbolami:

∂f

∂x, ∂f

∂y i ∂f

∂z. (9)

(19)

Pochodne cz ˛ astkowe IV

Mamy

∂f

∂x(x0,y0,z0) = lim

h→0

f (x0+h, y0,z0) −f (x0,y0,z0)

h , (10)

∂f

∂y(x0,y0,z0) = lim

h→0

f (x0,y0+h, z0) −f (x0,y0,z0)

h , (11)

∂f

∂z(x0,y0,z0) = lim

h→0

f (x0,y0,z0+h) − f (x0,y0,z0)

h . (12)

Przykład 3

Niech f (x , y ) = x2+y3+xy

∂f

∂x =2x + y , ∂f

∂y =3y2+x . Pochodne te mo˙zna obliczy´c korzystaj ˛ac z definicji.

Mo˙zna

(20)

Pochodne cz ˛ astkowe V

I obliczy´c ∂x∂f traktuj ˛ac y jako stał ˛a;

I obliczy´c ∂y∂f traktuj ˛ac x jako stał ˛a.

W podobny sposób mo˙zna oblicza´c pochodne cz ˛astkowe funkcji wielu zmiennych, gdy liczba zmiennych jest wi ˛eksza ni˙z 2.

(21)

Pochodne wy˙zszych rz ˛edów I

Definicja 19

Niech f : D → R, D ⊂ Rm. Niech b ˛edzie dany punkt A ∈ D. Je˙zeli w pewnym otoczeniu punktu A istnieje pochodna cz ˛astkowa ∂x∂f

j oraz istnieje

∂f

∂xk

∂f

∂xj

! (A),

to pochodn ˛a t ˛e b ˛edziemy nazywa´c pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a drugiego rz ˛edu funkcji f w punkcie A wzgl ˛edem zmiennych xj i xk i oznacza´c

∂f

∂xk lub fxkxj(A).

(22)

Pochodne wy˙zszych rz ˛edów II

W przypadku, gdy k = j piszemy

2f

∂xk2(A) zamiast 2f

∂xk∂xj(A).

(23)

Przykład

Rozwa˙zmy funkcj ˛e f okre´slon ˛a wzorem f (x , y ) = x4+4x2y3+7xy + 1 Mamy

∂f

∂x =(x4+4x2y3+7xy + 1)x =4x3+8y3x + 7y ,

∂f

∂y =(x4+4x2y3+7xy + 1)y =12x2y2+7x , wi ˛ec

2f

∂x2 =12x2+8y3,

2f

∂x ∂y = 2f

∂y ∂x =24xy2+7,

2f

∂y2 =24x2y .

(24)

Przykład

Rozwa˙zmy funkcj ˛e f okre´slon ˛a wzorem f (x , y ) = sin x cos y . Mamy

∂f

∂x =cos x cos y ,

∂f

∂y = −sin x sin y , wi ˛ec

2f

∂x2 = −sin x cos y ,

2f

∂x ∂y = 2f

∂y ∂x = −cos x sin y ,

2f

∂y2 = −sin x cos y .

(25)

Twierdzenie 6

Je˙zeli w pewnym otoczeniu punktu (x0,y0)pochodne

2f

∂xj∂xk i 2f

∂xk∂xj

istniej ˛a i s ˛a ci ˛agłe, to s ˛a sobie równe w tym punkcie.

(26)

Definicja 20

Pochodne cz ˛astkowe wy˙zszych rz ˛edów okre´slamy podobnie.

Pochodna cz ˛astkowa rz ˛edu k -tego jest wi ˛ec wynikiem k po sobie nast ˛epuj ˛acych ró˙zniczkowa ´n ze wzgl ˛edu na zmienne x i y (w przypadku, gdy obliczamy pochodne cz ˛astkowe funkcji dwóch zmiennych). Pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a rz ˛edu k -tego, któr ˛a otrzymamy:

obliczaj ˛ac p razy pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a wzgl ˛edem x , a nast ˛epnie obliczaj ˛ac q razy pochodn ˛a wzgl ˛edem y , gdzie p + q = k , b ˛edziemy oznacza´c symbolem:

kf

∂xp∂yq lub fxp,yq. (13)

(27)

Przykład

Dla funkcji f (x , y ) = x4− 4x2y2+y4chcemy obliczy´c ∂x ∂y3f2. Mamy

∂f

∂x =4x3− 8xy2,

2f

∂x ∂y = −16xy ,

3f

∂x ∂y2 = −16x .

Wynik ostateczny nie b ˛edzie zale˙zał od porz ˛adku, w jakim obliczamy pochodne cz ˛astkowe, o ile wszystkie pochodne cz ˛astkowe a˙z do rz ˛edu n-tego wł ˛acznie s ˛a ci ˛agłe, por.

Twierdzenie 6.

Symbole (13) s ˛a „wystarczaj ˛ace do oznaczenia wszystkich pochodnych cz ˛astkowych rz ˛edu k -tego”.

(28)

Przykład

Dla funkcji f okre´slonej wzorem f (x , y , x , t) = y2x3+t2y3xz2

3f

∂x ∂y ∂z =6t2y2z;

3f

∂y2∂x =6x2+6t2yz2. Równo´sci te wynikaj ˛a z nast ˛epuj ˛acych faktów:

∂f

∂x =3x2y2+t2y3z2;

2f

∂x ∂y =6x2y + 3t2y2z2.

(29)

Gradient

Definicja 21

Niech f : D → R, D ⊂ Rm, gdzie D jest zbiorem otwartym. Je˙zeli istniej ˛a wszystkie pochodne cz ˛astkowe

∂f

∂x1, ∂f

∂x2, . . . , ∂f

∂xm

pierwszego rz ˛edu w punkcie A, to wektor

 ∂f

∂x1(A), ∂f

∂x2(A), . . . , ∂f

∂xm(A)



b ˛edziemy nazywa´c gradientem funkcji f w punkcie A i oznacza´c symbolem grad f (A) lub ∇f (A). Funkcj ˛e przyporz ˛adkowuj ˛ac ˛a ka˙zdemu punktowi A, w którym gradient jest okre´slony, wektor

∇f (A), b ˛edziemy oznacza´c symbolem grad f lub ∇f .

(30)

Przykład

Niech f (x , y , z) = xy2+3z4. Wyznaczy´c gradient funkcji f i grad f (2, 5, 3).

Mamy

∂f

∂x =y2

∂f

∂y =2xy

∂f

∂z =12z3.

grad f (2, 5, 3) = (52,20, 12 · 33) = (25, 2, 324).

(31)

Twierdzenie 7

Niech f : D → R, D ⊂ Rm. Je˙zeli funkcja f ma ci ˛agłe pochodne cz ˛astkowe pierwszego rz ˛edu w punkcie A ∈ Int D, to

v →0lim

f (A + v ) − f (A) − grad f (A) ◦ v

kv k =0

gdzie , , ◦00oznacza iloczyn skalarny, kv k długo´s´c wektora v .

(32)

Uwaga 4

Dla wektorów x , y ∈ Rm, x = (x1,x2, . . . ,xm), y = (y1,y2, . . . ,ym) ich iloczyn skalarny definiujemy wzorem

x ◦ y =

m

X

k =1

xkyk.

Długo´s´c kx k wektora x = (x1,x2, . . . ,xm) ∈ Rm okre´slona jest wzorem

kxk =qx12+x22+ . . . +xm2.

(33)

Zastosowanie do oblicze ´n przybli˙zonych

Niech f (x , y ) = xy2+2y3. Mamy

∂f

∂x =y2, ∂f

∂y =2xy + 6y2. Dla A = (1, 1) i X = (1,1; 1,2)

1,1 · 1,22+2 · 1,23=f (X ) ≈ f (A) + grad f (A) ◦ (X − A) =

=3 + (1, 8) ◦ (0,1; 0,2) = 3 + 0,1 + 1,6 = 4,7.

(34)

Gradient — interpretacje geometryczne

Wektor grad f (A)— kierunek najszybszego wzrostu warto´sci funkcji f w punkcie A; − grad f (A) kierunek najszybszego spadku warto´sci funkcji f w punkcie A.

W oparciu o poj ˛ecie gradientu mo˙zna okre´sli´c poj ˛ecie płaszczyzny stycznej.

(35)

Definicja 22

Mówimy, ˙ze funkcja f : D → R, gdzie D ⊂ Rm, ma w punkcie A ∈ D maksimum lokalne, je˙zeli istnieje O(A, r ) takie, ˙ze O(A, r ) ⊂ D i dla ka˙zdego x ∈ O(A, r )

f (x ) ¬ f (A). (14)

I Je˙zeli w warunku (14) zamienimy nierówno´s´c słab ˛a , , ¬00na nierówno´s´c ostr ˛a , , <00, otrzymamy definicj ˛e maksimum lokalnego wła´sciwego.

I Je˙zeli w warunku (14) zamienimy nierówno´s´c słab ˛a , , ¬00na nierówno´s´c , , ­00, otrzymamy definicj ˛e minimum lokalnego.

I Je˙zeli w warunku (14) zamienimy nierówno´s´c słab ˛a , , ¬00na nierówno´s´c , , <00, otrzymamy definicj ˛e minimum lokalnego wła´sciwego.

Gdy funkcja f ma w punkcie A maksimum lokalne lub minimum lokalne, to mówimy, ˙ze ma w A ekstremum lokalne.

(36)

Poj ˛ecie punktu stacjonarnego

Definicja 23

Niech f : D → R, gdzie D ⊂ Rm. Mówimy, ˙ze punkt A ∈ D jest punktem stacjonarnym funkcji f , je˙zeli

∂f

∂x1(A) = ∂f

∂x2(A) = . . . = ∂f

∂xm(A) = 0.

Definicja 24

Niech f : D → R, gdzie D ⊂ Rm. Je˙zeli f ma ekstremum lokalne w punkcie A i istniej ˛a pochodne cz ˛astkowe

∂f

∂x1(A) = ∂f

∂x2(A) = . . . = ∂f

∂xm(A), to A jest punktem stacjonarnym funkcji f .

(37)

Funkcja f (x1, . . . ,xm)mo˙ze mie´c ekstrema lokalne tylko w punktach stacjonarnych lub w punktach, dla których nie istnieje co najmniej jedna z pochodnych cz ˛astkowych pierwszego rz ˛edu tej funkcji.

Przykład 4

Mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze punkt (0, 0) jest punktem stacjonarnym funkcji f , ale funkcja ta nie ma ekstremum lokalnego w tym punkcie: dla dowolnego r > 0 mamy

f (0, r /2) < f (0, 0) = 0 < f (r /2, 0).

(38)

Definicja 25

Niech funkcja f ma wszystkie pochodne cz ˛astkowe rz ˛edu drugiego w punkcie A. Macierz

2f

∂x2(A) ∂x ∂y2f (A)

2f

∂y ∂x(A) ∂y2f2(A)

b ˛edziemy nazywa´c macierz ˛a Hessego dla funkcji f i punktu A i oznacza´c MH(A) a jej wyznacznik przez H(A).

(39)

Twierdzenie 8

Załó˙zmy, ˙ze A = (x0,y0)b ˛edzie punktem stacjonarnym funkcji f (x , y ) oraz ˙ze istnieje r > 0 takie, ˙ze funkcja ta ma ci ˛agłe wszystkie pochodne rz ˛edu drugiego na O(A, r ). Wtedy:

1. Je˙zeli H(A) < 0, to funkcja nie ma ekstremum lokalnego w punkcie A;

2. Je˙zeli H(A) > 0, to funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie A:

I je˙zeli fxx(A) < 0, to f ma wła´sciwe minimum lokalne w A;

I je˙zeli fxx(A) > 0, to f ma wła´sciwe maksimum lokalne w A.

(40)

Przykład

Niech funkcja f b ˛edzie okre´slona wzorem f (x , y ) = x2+6x + y2− 8y . Mamy

fx(x , y ) = 2x + 6, fy(x , y ) = 2y − 8.

Funkcja f ma wi ˛ec jeden punkt stacjonarny w A = (−3, 4).

Poniewa˙z

fxx(x , y ) = 2, fxy(x , y ) = fxy(y , x ) = 0, fyy(x , y ) = 2 dla (x , y ) ∈ R2i

MH(A) = 2 0 0 2

!

, H(A) = 4 > 0,

gdzie A = (−3, 4), wi ˛ec funkcja ma w punkcie A minimum lokalne wła´sciwe.

(41)

Przykład

Jeste´smy zainteresowani wyznaczeniem najwi ˛ekszej warto´sci iloczynu xyz trzech liczb dodatnich, których suma x + y + z = 6.

Niech f (x , y ) = xy (6 − x − y ). Mamy

fx(x , y ) = y (6 − 2x − y ), fy(x , y ) = x (6 − x − 2y ).

Je˙zeli A = (x , y ) o współrz ˛ednych dodatnich jest punktem stacjonarnym, to 2x + y = 6

x + 2y = 6,

sk ˛ad: 3x + 3y = 12 wi ˛ec x + y = 4 i x = 2, y = 2. Poniewa˙z

fxx(x , y ) = −2y , fxy(x , y ) = fxy(y , x ) = 6 − 2x − 2y , fyy(x , y ) = −2x dla (x , y ) ∈ R2i

MH(A) = −4 −2

−2 −4

!

, H(A) = 12 > 0,

gdzie A = (2, 2), wi ˛ec funkcja ma w punkcie A maksimum lokalne wła´sciwe.

(42)

Twierdzenie Weierstrassa

Twierdzenie 9

Je˙zeli funkcja f : D → R jest ci ˛agła oraz zbiór D ⊂ Rmjest niepusty, domkni ˛ety i ograniczony, to w zbiorze tym istniej ˛a punkty P1,P2 takie, ˙ze dla dowolnego punktu P zbioru D zachodz ˛a nierówno´sci:

f (P1) ¬f (P) ¬ f (P2). (15) Uwaga terminologiczna Nierówno´s´c (15) mo˙zna „odczyta´c”

nast ˛epuj ˛aco: funkcja f ma minimum globalne f (P1)osi ˛agane w punkcie P1i maksimum globalne f (P2)osi ˛agane w punkcie P2. Ekstremum globalne f : minimum globalne f lub maksimum globalne f .

(43)

Rozwa˙zmy problem: znale´z´c minimum globalne funkcji f (x ) = 1/x przy warunku: x ∈ (0, ∞) nie ma rozwi ˛azania; minimum globalne nie istnieje. Istnieje natomiast kres dolny zbioru {f (x ) : x ∈ (0, ∞)}

(najwi ˛eksza liczba ograniczaj ˛aca ten zbiór z dołu): jest on równy 0.

W tym przypadku kres dolny warto´sci funkcji f (albo krócej: kres dolny funkcji f ) na danym zbiorze nie jest osi ˛agany.

Twierdzenie Weierstrassa głosi, ˙ze funkcja ci ˛agła f osi ˛aga swoje kresy na zbiorze D, który jest domkni ˛ety i ograniczony.

(44)

Korzystaj ˛ac z serwisu WolframAlpha (WA )mo˙zemy naszkicowa´c wykres konturowy funkcji f (x , y ) = xy (6 − x − y ) na prostok ˛acie o wierzchołkach (−1, −1), (3, −1), (3, 3), (−1, 3):

contour plot x y (6 - x - y) from (-1,-1) to (3,3) Maksima lokalne funkcji przy u˙zyciu WA mo˙zna obliczy´c wydaj ˛ac polecenie

local maxima x*y*(6-x-y)

(45)

Przykład 5

Funkcja f (x , y ) = xy (6 − x − y ) osi ˛aga warto´sci: minimaln ˛a i maksymaln ˛a na zbiorze

D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 6, 0 ¬ y ¬ 6 i x + y ¬ 6}.

Warto´s´c minimalna (minimum globalne) jest osi ˛agane w punktach brzegowych trójk ˛ata D, tj. w punktach (x , y ) ∈ D takich, ˙ze

x = 0, y = 0 lub x + y = 6.

Je˙zeli A = (x , y ) ∈ Int D, to funkcja f mo˙ze mie´c w A maksimum globalne, je˙zeli ma w A maksimum lokalne (wła´sciwe lub

niewła´sciwe). Wynika st ˛ad (i z twierdzenia Weierstrassa), ˙ze f osi ˛aga maksimum globalne w A = (2, 2).

(46)

Maksimum globalne na D mo˙zna znale´z´c wydaj ˛ac polecenie w WA:

global maximum x*y*(6-x-y) subject to (0 <= x <= 6) and (0 <= x <= y) and (x+y <=6)

(47)

Metoda wyznaczania ekstremów globalnych

Niech f b ˛edzie funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na obszarze domkni ˛etym i ograniczonym D. Poszukiwanie ekstremów mo˙ze (w wielu praktycznych przypadkach) by´c przeprowadzone zgodnie ze schematem:

I Na obszarze otwartym Int D szukamy punktów, w których f mo˙ze mie´c ekstrema lokalne.

I Na brzegu D szukamy punktów, w których f ma ekstrema warunkowe (warunkiem jest nale˙z ˛ace do brzegu D).

I Porównujemy warto´sci funkcji w wyznaczonych punktach i na tej podstawie wyznaczamy ekstrema globalne.

(48)

Definicja 26

Powiemy, ˙ze zbiór D ⊂ R jest wypukły, je˙zeli dla dowolnych A, B ∈ D odcinek AB ⊂ D.

Definicja 27

Powiemy, ˙ze funkcja f : D → R, D ⊂ Rmjest wypukła, je˙zeli jej nadzbiór

{(x, y ) : x ∈ D, y ­ f (x)}

jest wypukły.

(49)

Zbiory i funkcje wypukłe

Je˙zeli D ⊂ Rm jest zbiorem otwartym i wypukłym i funkcja f : D → R jest wypukła, to z faktu, ˙ze f ma minimum lokalne w A ∈ D wynika, ˙ze w punkcie A ma równie˙z minimum globalne.

f (x , y ) = x2+y2, (x , y ) ∈ R2jest wypukła; g(x , y ) = x2− y2, (x , y ) ∈ R2nie jest wypukła.

Wypukło´s´c funkcji f : D → R, D ⊂ Rm maj ˛acej ci ˛agłe drugie pochodne mo˙zna bada´c wykorzystuj ˛ac poj ˛ecie macierzy Hessego funkcji f (A) dla punktów A ∈ Int D.

Metody numeryczne optymalizacji wypukłej — du˙zy post ˛ep w ostatnich 30 latach, por. Boyd, Vandenberghe, Convex Optimization.

Zagadnienie optymalizacji wypukłej: wyznaczy´c minimum funkcji wypukłej w zbiorze wypukłym i domkni ˛etym.

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :