Optyka Fourierowska

Optyka Fourierowska

Wykład 8 Holografia

Holografia

• Holografia to zapis zmodulowanej postaci założonej fali przedmiotowej.

• Powstały w ten sposób element optyczny to hologram

• Hologramy analogowe

– Tworzące ciągłe fronty falowych

• Hologramy cyfrowe (optyka dyfrakcyjne,

dyfrakcyjne elementy dyfrakcyjne (DOE), optyka binarna)

– Tworzące dyskretne rozkłady próbek frontu falowego

Historia holografii

• Odkryta przez Dennisa Gabora w 1948 roku przed wynalezieniem lasera, nagroda Nobla

• Wcześniej sformułowana teoretycznie (bez weryfikacji eksperymentalnej) przez

Mieczysława Wolfkego w 1920 roku

• Rozkład natężenia będący sumą zadanej fali i fali odniesienia zawiera informacje o

amplitudzie i fazie fali przedmiotowej

Fala przedmiotowa i odniesienia

• Załóżmy że zadana (przedmiotowa) fala ma postać:

• Inna fala (odniesienia) przedstawiona jest jako

• Obie fale zazwyczaj padają pod pewnym kątem względem siebie na ośrodek zapisujący wrażliwy na natężenie

   

u ,  , ^{ ,}

   

R ,  , ^{ ,}

Zapis koherentnego frontu falowego

• Zapisany obraz ma więc postać:

gdzie ostatni czynnik równy AB*+A*B zawiera informację zarówno o amplitudzie jak i fazie fali przedmiotowej

 ^{x y A} ^{x y B} ^{x y A}   ^{x y B x y}     ^{x y x y} 

I ,  , ²  , ² 2 , , cos  ,  ,

Hologram

• Zakładamy, że ośrodek zapisuje obraz liniowo jako swoją transmitancję natężeniową (amplitudową).

Powstały w ten sposób element optyczny nazywamy hologramem.

• Zakładając że fala odniesienia jest falą płaską (B=const.) padającą prostopadle na płaszczyznę hologramu

(ψ=const.) otrzymujemy więc transmitancję

 





t ,    ²  ^*  ^*

Odtworzenie

• u1 – przeskalowana fala odtwarzająca Q

• u2 – szum

• u3 – fala przedmiotowa (rozbieżna oraz pozorny)

– jeśli odtwarzamy falą Q=R

• u4 – fala sprzężona do przedmiowej (zbieżna, obraz rzeczywisty)

– jeśli odtwarzamy falą Q=R*

 

 

 

 







4 2 3

1

, ,

,

, ^{2 * *}

u u u

u

y x RQu

y x Qu R

Q y

x u QC

y x

Qt       

Hologram Gabora

• Zakładamy że obiekt jest jasny, tzn. duża część fali oświetlającej przechodzi przez niego bez

zaburzeń stanowiąc falę

odniesienia, efekt dyfrakcji na elemencie będzie falą

przedmiotową. Drugi czynnik zawierający natężenie fali

przedmiotowej w związku z tym założeniem jest zaniedbywalny.

• Otrzymujemy obraz pozorny (3 wyraz) oraz rzeczywisty (4 wyraz) oraz falę odtwarzającą (1 wyraz) umieszczone współosiowo na osi optycznej

Ograniczenia hologramu Gabora

• Obiekt musi być jasny, tzn. różnice jasności muszą być dużo mniejsze od jej średniej wartości. W

przeciwnym wypadku drugi wyraz przestaje być zaniedbywalny i może zdominować obraz.

• Obraz pozorny i rzeczywisty leżą na jednej osi.

Oznacza to, że obrazowi rzeczywistemu towarzyszy rozogniskowane pole obrazu

pozornego i na odwrót. Obrazy są więc mocno zaszumione.

Hologram Leitha-Upatnieksa

(z przesuniętą wiązką odniesienia)

• Rozdzielenie przestrzenne

obrazów uzyskuje się przez użycie fali odniesienia

padającej na ekran pod kątem

   

R ,  , ^{2 }

Hologram Leitha-Upatnieksa

(z przesuniętą wiązką odniesienia)

• Odtwarzając hologram falą płaską o takiej samej amplitudzie jak fala odniesienia

otrzymamy:

 

   

     

     

y i

e y x u B y

x RQu y

x u

e y x u B y

x Qu R

y x u

y x u B y

x u

CB y

x u



















2

* 2

* 4

2 2

* 3

2 2

1

, ,

,

, ,

,

, ,

,

 











Minimalny kąt rozsunięcia

• W obszarze Fraunhofera składowe fale będą podobne do swoich widm Fourierowskich a więc

• U1 ma widmo punktowe, U2 ma widmo równe

podwojonej szerokości widma fali przedmiotowej, U3 i U4 są odsunięte o α i mają szerkośc taką jak widmo fali przedmiotowej. Aby obrazu nie przykrywały się musi zachodzić:

   

      

   

  ^  ^{ }









 



 



 



 

y x

y x

y x y

x

y x y

x y

x

y x y

x

f f

U f

f U

f f U f

f U

f f U f

f U f

f U

f f C f

f U

, ,

, ,

, ,

,

, ,

4 3 2 1

 _max 

min

max arcsin 3

2

3f  1 f

  

Rodzaje hologramów

• Hologramy mogą działać transmisyjnie (informacja jest oglądana w świetle

przechodzącym) lub odbiciowo (informacja jest oglądana jako wynik odbicia od hologramu)

• Hologramy Fresnela i Fraunhofera

– w zależności od odległości między hologramem a obrazem/przedmiotem

• Hologramy obrazowe i Fourierowskie

• Hologramy tęczowe i wyciskane

• Hologramy objętościowe

Hologramy obrazowe (Fresnela)

• W hologramie zapisujemy falę przechodzącą przez obiekt lub odbitą od obiektu

• Falą odniesienia najczęściej jest fala płaska

Hologramy Fouriera

• Zapisywane jest widmo fali przedmiotowej, a więc obraz w ognisku soczewki

• Falą odniesienia jest fala płaska

• Po odtworzeniu obraz znajduje się w

nieskończoności wymaga więc dodatkowej soczewki (np. oka) do powstania

• W wyniku zawsze powstają 2 obrazy symetryczne względem osi optycznej

• Rozdzielczość kliszy może być w takiej sytuacji niższa niż w przypadku hologramu Fresnela

Bezsoczewkowy hologram Fouriera

• Zamiast używać soczewki można jako fali odniesienia użyć fali sferycznej rozbieżnej o takiej krzywiźnie jak fala przedmiotowa

• Oznacza to, że źródło fali musi być w tej samej odległości od hologramu (kliszy) jak

przedmiot

Warunki zapisu hologramów

• Różnica dróg optycznych wiązki

przedmiotowej i odniesienia musi być krótsza od drogi koherencji światła (interferencja)

• Natężenie wiązek musi być porównywalne (kontrast)

• Układ musi być zabezpieczony przed

drganiami (stabilność w czasie naświetlania)

• Kąt między wiązkami musi być możliwie mały (rozdzielczość)

Światło monochromatyczne

• Hologramy jako elementy dyfrakcyjne oparte o na zjawisku interferencji tworzone są przez

światło koherentne a więc monochromatyczne (jednobarwne)

• Również fala odtwarzająca musi być monochromatyczna.

• Użycie innej długości fali powoduje przeskalowanie obrazu

Właściwości obrazów holograficznych

• W każdym punkcie kliszy holograficznej przedmiot jest widziany z innego kąta (paralaksa)

• Ponieważ w wyniku odtworzenia hologramu powstaje fala świetlna tożsama z falą

przedmiotową odtworzone są wszystkie właściwości takie jak paralaksa, głębia, zjawiska optyczne (w granicach drogi koherencji)

Hologramy tęczowe (Bentona)

• Pozwalają na obserwację hologramu w świetle białym

• Kosztem tej metody jest brak paralaksy w jednym kierunku przestrzennym

• Proces zapisu jest dwuetapowy

– Tworzymy zwykły hologram za pomocą światła monochromatycznego

– Odtwarzamy ten przez wąską szczelinę

– Powstający w ten sposób obraz rzeczywisty zapisujemy na kliszy holograficznej za pomocą nowej monochromatycznej sferycznej fali odniesienia

• Po oświetleniu hologramu Bentona światłem białym w jednym kierunku odtwarza się obraz widziany przez szczelinę w prostopadłym do niego mamy paralaksę widzianą dla kolejnych długości fali (barw)

Hologramy wytłaczane

• Wytłaczanie jest popularną metodą

powielania płyt CD i DVD które mają struktury porównywalne z długością fali.

• Podobne techniki mogą być używane do taniego powielania hologramów

• Dzięki temu powszechnie stosowane są do zabezpieczeń kart kredytowych, książek,

wydawnictw audiowizualnych oraz banknotów

Hologramy wytłaczane

• Pierwszym krokiem jest zapis hologramu w fotorezyście – substancji, która po wywołaniu zostaje utwardzona w

zależności od natężenia oświetlającego światła w danym punkcie

• Na podstawie kształtu fotorezystu w procesie

galwanoplastyki zostaje utworzony metalowa maska hologramu

• Używając takiej maski można wytłaczać hologramy

– Wytłaczanie płaskie – Wytłaczanie obrotowe – Stemplowanie na gorąco

• Materiałem w którym wytłaczane są hologramy

najczęściej jest poliester metalizowany następnie dla uzyskania hologramu odbiciowego

Hologramy grube (objętościowe)

• Główną zaletą takich hologramów jest automatyczny wybór przez nie z widma światła białego długości fali światła zapisu

• Dodatkowo hologramy takie mają bardzo duża wydajność dyfrakcyjną

• Obraz prążków holograficznych zapisywany jest w całej objętości emulsji światłoczułej

Gruby czy cienki

• Siatka dyfrakcyjna o stałej Λ zapisana prostopadle powierzchni emulsji o współczynniku załamania n i

grubości d w całej jej objętości będzie się zachowywać jak gruba (Q>1) lub cienka (Q<1) w zależności od

wartości parametru Q

gdzie λ₀ jest długością fali światła w próżni

• W siatkach (i hologramach) grubych o front falowy determinowany jest przez zjawiska Bragga

• Oznacza to, że taka siatka przepuszcza (i ugina) tylko jedną długość fali

2 0

  n Q  d

Hologramy objętościowe

Co przedstawia wzór sinusoidalny z okresem równym

 

 

     

 

r o

s

s r

o r

o

r o

r k i r r

r k i o o

k k

k

r k

A A I

I

r u r

u r

I

e A r

u

e A r

u

r o







 











 

 

























cos 2

2

ks

p 2



Hologramy objętościowe

• Jeśli fala odniesienia biegnie wzdłuż osi

optycznej, zaś fala przedmiotowa pod kątem θ, zachodzi:

sin 2 2  

 p

Odtwarzanie hologramu objętościowego

• Z powodu warunków Bragga hologram

zostanie odtworzony jedynie jeśli oświetlić go falą tożsamą z falą odniesienia co do długości fali i kierunku

• Jeśli oświetlimy światłem białym element wybierze sobie więc właściwy kierunek i długość fali i odtworzy falę przedmiotową

Obrazowanie holograficzne

• Przyjmijmy założenia:

– Fale przedmiotowa i odniesienia są falami sferycznymi wychodzącymi odpowiednio z punktów o

współrzędnych (x_o,y_o,z_o) oraz (x_r,y_r,z_r)

– Sferyczna fala odtwarzająca może być różna od fali odniesienia i wychodzić z punktu (x_c,y_c,z_c)

– Fala odniesienia i odtwarzająca mają odpowiednio długości fali λ_r i λ_c. Długości te mogą się różnić

– Odtworzony obraz może różnić się wielkością od

przedmiotu. Punkt w płaszczyźnie z=0 dla przedmiotu zaznaczymy jako (x,y) zaś odpowiadający mu punkt otworzenia jako (x’,y’)

Obrazowanie holograficzne

• Używając przybliżenia przyosiowego dla położenia przedmiotu i jego odtworzenia można traktować przedmiot jak złożony z pojedynczych koherentnych punktów

• Pole w płaszczyźnie zapisu hologramu wyrażone będzie równaniem:

       ^{   } 







   







   

 exp ^{2 2} exp ^{2 2}

, _{o o}

o r r

r r

r

y y x

z x A i

y y x

z x B i

y x

u 







• Transmitancja amplitudowa hologramu będzie więc równa

z czego ważne są wyrazy trzeci i czwarty

Zapis hologramu

 

   

  ^{   } 

   

  ^{   } 







       









       









2 2

2

* 2

2 2

2

* 2 2 2

exp exp ,

o o

o r r

r r

r

o o

o r r

r r

r

y y x

z x y i

y x

z x AB i

y y x

z x y i

y x

z x AB i

A B

y x I

















   

  ^{   } 

   

  ^{   } 







       

 







       

 

2 2

2

* 2 4

2 2

2

* 2 3

exp exp

o o

o r r

r r

r

o o

o r r

r r

r

y y x

z x y i

y x

z x AB i

t

y y x

z x y i

y x

z x B i

A t







 







 

Odtworzenie hologramu

• Oświetlamy hologram falą sferyczną:

• W wyniku czego powstają fale:

      







   

 exp ^{2 2}

, _{c c}

c c

c x x y y

z C i

y x

u 



      

      







   









   



2 2

4 4

2 2

3 3

exp ,

exp ,

c c

c c

c c

c c

y y x

z x C i

t y x u

y y x

z x C i

t y x u









Obraz holograficzny

• Ponieważ w wyrażeniach na wszystkich fal pojawiają się jedynie składniki liniowe

(przesuniecie) oraz kwadratowe

(ogniskowanie) w wynikowym frontem falowym będzie także fala sferyczna

wychodząca z punktu odtworzonego obrazu o współrzędnych (x_i,y_i,z_i):

 











   

 exp ^{2 2}

, _{i i}

i c

i x x y y

z K i

y x

u 



Lokalizacja punktu obrazowego

r c

r r o

o c

c i

i

r r o

o c

c i

i

o r

c i

z y z

y x

y z

y

z x z

x x

x z

x

z z

z z



 































 1

1 1

1 • Górne znaki dotyczą fali

z jednego wyrazu, zaś dolne z drugiego wyrazu fali wychodzącej z

hologramu

• Jeśli z_i jest ujemne obraz jest urojony, w przeciwnym razie jest rzeczywisty

Powiększenie

• Powiększenie poprzeczne i podłużne nie jest takie samo. Podobnie jest przy obrazowanie soczewką

• Ponieważ jednak przy holografii obrazujemy obiekty trójwymiarowe należy pamiętać, że ulegają one

zniekształceniu

• Jeśli stosunek długości fal γ=M_xy uzyskujemy M_xy=M_z

2

1

1

xy o

i z

c o r

o o

i o

i o

i xy

z M M z

z z z

z z

z y

y x

M x







 

 





 

 



 



