Całka podwójna.

1 Szereg i transformata Fouriera.

Transformata Laplace’a.

Całka podwójna.

Proponowana literatura:

1. W.Żakowski, W.Kołodziej, Matematyka, część II, WNT, Warszawa, 2. W.Żakowski, W.Leksiński, Matematyka, część IV, WNT, Warszawa,

3. Franciszek Bierski, Funkcje zespolone - Szeregi i przekształcenie Fouriera, przekształcenie całkowe Laplace’a, przekształcenie Laurenta, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Kraków, 1999.

4. R.Leitner, J.Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, WNT, Warszawa, 1994, 5. Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, PWN, Warszawa, 2005,

1.1 Szereg Fouriera

(czyli krótki wstęp do jeszcze krótszej informacji o transformacie Fouriera)

Wstęp do wstępu, który warto przeczytać, by z grubsza wiedzieć, o co chodzi w szeregach Fouriera W kursie Analizy Matematycznej poznaliśmy rozwinięcie Maclaurina (czy ogólniej -rozwinięcie Taylora), które daje pewien sposób przybliżania (aproksymowania) funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnej w danym przedziale za pomocą ciągu wielomianów. W konsekwencji, przy pewnych dodatkowych założeniach, otrzymujemy możliwość przedstawienia ta- kiej funkcji w postaci szeregu, którego wyrazy są jednoznacznie wyznaczone przez zadaną funkcję (szereg Taylora czy Maclaurina).

Wiele zjawisk fizycznych jest jednak opisywanych przez funkcje mniej regularne, często - nawet nieciągłe. Mają one natomiast dodatkową własność - są okresowe. Poznane w kursie Algebry liniowej pojęcia pozwalają na ”przybliżanie” takich funkcji za pomocą ciągu tzw. wielomianów trygonometrycznych, czyli skończonych kombinacji liniowych funkcji sin x i cos x.

Przypomnijmy jednak parę definicji i faktów z elementarnej algebry liniowej.

Niech V będzie przestrzenią liniową. Funkcję (·, ·) określoną na przestrzeni V × V nazywamy iloczynem skalarnym, jeżeli dla dowolnych wektorów ~v1, ~v2, ~u, ~v∈ V spełnione są warunki:

1) (~u, ~v) = (~v, ~u),

2) ( ~v1+ ~v2, ~u) = ( ~v1, ~u) + ( ~v2), ~u), 3) (α~u, ~v) = α(~u, ~v),

4) (~u, ~u) ­ 0 dla wszystkich ~u ∈ V oraz (~u, ~u) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~u = 0.

Przestrzeń liniową z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową, gdy jest skończenie wymiarowa, a prze- strzenią unitarnąw ogólnym przypadku. Za pomocą iloczynu skalarnego można określić tzw. normę wektora wzorem

k~uk =p

(~u, ~u). (1)

Z warunków 1) - 4) wynikają następujące własności normy

•

|(~u, ~v)| ¬ k~uk k~vk ; (2)

2. dla wszystkich ~v ∈ ~v mamy k~vk ­ 0, przy czym k~vk = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~v = 0;

3. dla wszystkich ~u ∈ V, λ ∈ IR jestkλ~uk = |λ| k~uk;

4. dla wszystkich ~u, ~v ∈ V mamy k~u + ~vk ¬ k~uk + k~vk,

5. dla wszystkich ~u, ~v ∈ V zachodzi tzw.regul⁶⁶⁶⁶⁶a rownolegl^{´ 66666}oboku

k~u + ~vk²+ k~u − ~vk²= 2(k~uk²+ k~vk²) (3)

Mając zadaną w przestrzeni normę można określić odległość dwu wektorów wzorem

d(~u, ~v) = k~u − ~vk . (4)

Wówczas naturalna jest następująca definicja zbieżności ciągu wektorów lim

n→∞v~n= ~v ←→ lim

n→∞d( ~vn, ~v) = 0. (5)

Przykłady

1) IRⁿ, 2) l2

3) C([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR : f jest ciągła}, L1([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR : f jest całkowalna oraz

b

R

a

|f(t)|dt < ∞},

L2([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR : fjest całkowalna oraz

b

R

a

f²(t)dt < ∞}.

W tych przestrzeniach standardowy iloczyn skalarny zdefiniowany jest wzorem

(f, g) =

b

Z

a

f(t)g(t)dt. (6)

W kursie Algebry dowodzi się, że w przestrzeni euklidesowej istnieje baza ortogonalna { ~e1e~2, . . . , ~en}, a przedstawienie dowolnego wektora ~v w takiej bazie jest szczególnie proste: ~v = (~v, ~e1) ~e1+ (~v, ~e2) ~e2+ . . . + (~v, ~en) ~en.

Łatwo też sprawdzić, że dla dowolnych parami prostopadłych wektorów ~v1, ~v2, . . . ~vk zachodzi Twierdzenie Pitagorasa, tzn.

n

P

j=1

~ vj

2

=

n

P

j=1

k ~vjk.

Jeżeli V nie jest przestrzenią skończenie wymiarową, to sytuacja jest o wiele bardziej skomplikowana, jednak w dalszym ciągu współczynniki postaci (~v, ~ej) grają dużą rolę. Oczywiste jest, że jeżeli

~

v= (~v, ~e1) ~e1+ (~v, ~e2) ~e2+ . . . + (~v, ~en) ~en, (7) to w dalszym ciągu zachodzi równość

k~vk²=

n

X

j=1

k(~v, ~ej) ~ejk²=

n

X

j=1

|(~v, ~ej)|². (8)

Podstawowy związek między wektorem ~v, a rozwinięciem (7) daje następujące twierdzenie.

•

~ v−

n

X

j=1

(~v, ~ej) ~ej

¬

~v−

n

X

j=1

λje~j

.

W powyższej nierówności równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy λj= (~v, ~ej).

Wektor ~u =

n

P

j=1

(~v, ~ej) ~ej jest rzutem ortogonalnym wektora ~v na podprzestrzeń lin{ ~e1, ~e2, . . . , ~en}, tzn. ~u ∈ lin{ ~e1, ~e2, . . . , ~en} oraz ~u ⊥ ~v − ~u. Liczby (~v, ~ej) nazywamy współczynnikami Fouriera wektora ~v względem układu ortonormalnego { ~e1, ~e2, . . .}.

Zauważmy, że twierdzenie powyższe mówi, iż spośród wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu { ~e1, ~e2, . . . , ~en} najlepsze przybliżenie (w sensie zbieżności (5)) daje kombinacja, w której współczynnikami są współczynnikami Fouriera wektora ~v.

Odpowiedź na pytanie o istnienie jakiegoś odpowiednika bazy ortogonalnej w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych daje następujące twierdzenie. Podkreślmy tylko, że w interesujących nas przestrzeniach funkcyjnych wystarczy rozważać przeliczalne zbiory wektorów parami ortogonalnych i do takich się ograniczymy.

•

1) każdy wektor ~∈V można przedstawić w postaci ~v =

∞

P

j=1

(~v, ~ej) ~ej,

2) { ~e1, ~e2, . . .} jest maksymalnym zbiorem wektorów parami prostopadłych (tzn. jedynym wektorem prostopadłym do wszyst- kich wektorów ~ej jest wektor zerowy)

3) lin{ ~e1, ~e2, . . .} jest zbiorem gęstym w H, tzn. każdy wektor przestrzeni V jest granicą (w sensie zbieżności (5)) pewnego ciągu skończonych kombinacji liniowych wektorów ~e1, ~e2, . . .

4) prawdziwa jest tzw.rowno^´ s^´c Parsevala^´ k~vk²=

∞

X

j=1

|(~v, ~ej)|² (9)

Niech w dalszym ciągu {ϕ¹, ϕ2, . . .} będzie ciągiem funkcji całkowalnych parami ortogonalnych. Można udowodnić, że jeżeli szereg ortogonalny

n

P

j=1

cjϕjjest zbieżny jednostajnie (to duuużo więcej niż zbieżny punktowo) do funkcji całkowalnej

na przedziale [a, b], to cn= (f, ϕn)

kϕⁿk². Oznacza to, że istnieje co najwyżej jeden szereg ortogonalny zbieżny do danej funkcji jednostajnie na [a, b]. W tym miejscu powinniśmy przypomnieć sobie analogiczne twierdzenie dla szeregu Taylora!

Dla dowolnej funkcji całkowalnej na danym przedziale [a, b] można zdefiniować czysto formalnie pewien szereg tzw.

szereg Fouriera

∞

X

n=1

cnϕj, (10)

gdzie współczynniki Fouriera zadane są wzorem

cn=(f, ϕn)

kϕⁿk² (11)

Będziemy wtedy pisać

f(x) ∼

∞

X

n=1

(f, ϕn)

kϕⁿk² ϕn (12)

Powstaje pytanie, czy szereg po prawej stronie jest w jakimś sensie zbieżny i do czego!

Zajmiemy się teraz najważniejszym z punktu widzenia zastosowań technicznych szere- giem ortogonalnym - tzw. trygonometrycznym szeregiem Fouriera. Mówiąc o iloczy- nie skalarnym będziemy już zawsze mieć na myśli wyżej określony standardowy iloczyn skalarny w przestrzeniach funkcyjnych.

Rozważmy zdefiniowany na przedziale [−l, l] ciąg funkcji określonych wzorami:

ϕ0 ≡ 1, ϕ_2n−1 = cosnπt

l , ϕ2n = sinnπt

l dla n = 1, 2, . . . (13)

• Łatwo sprawdzić, że ciąg ten jest ortogonalny, bo:

(ϕ0, ϕ_2n−1) = ^Rl

−l1 · cos^nπtl dt= ..., (ϕ0, ϕ_2n) = ^Rl

−l1 · sin^nπtl dt= ..., (ϕ_2m−1, ϕ_2n−1) = ^Rl

−l

cos^mπt_l · cos^nπtl dt= ..., (ϕ2m, ϕ_2n) = ^Rl

−l

sin^mπt_l · sin^nπtl dt= ...,

(ϕ_2m−1, ϕ2n) = ^Rl

−l

cos ^mπt_l · sin^nπtl dt= ...,

Policzmy jeszcze kwadraty norm powyższych funkcji traktowanych jako elementy prze- strzeni L2([a, b]).

Ponieważ ^Rl

−l

cos^{2 mπt}_l dt= ^Rl

−l

sin^{2 mπt}_l dt= l, więc kϕ⁰k² = 2l, kϕ^mk² = l, dla n = 1, 2, . . .

• Można też udowodnić, ale to jest trudniejsze, że ciąg ten jest zupełny w przestrzeni L2([a, b]).

Współczynniki Fouriera funkcji f względem wyżej zdefiniowanego układu ortogonalnego mają postać

c0 = 1

2l, c_2n−1 = 1 l

Zl

−l

f(t) cosnπt

l dt, c2n = 1 l

Zl

−l

f(t) sinnπt

l dt. (14)

Zgodnie z tradycją trygonometryczny szereg Fouriera funkcji f względem rozważanego trygonometrycznego układu ortogonalnego zapisujemy w postaci

a0

2 +

X∞

n=1



ancosnπt

l + bnsinnπt l



, (15)

gdzie

a₀ = 1 l

l

Z

−l

f(t)dt, an= 1 l

l

Z

−l

f(t) cosnπt

l dt, bn = 1 l

l

Z

−l

f(x) sinnπt

l dt. (16) Dla l = π mamy wówczas

a0

2 +

X∞

n=1

(ancos nt + bnsin nt), (17)

gdzie

a0 = 1 π

l

Z

−l

f(t)dt, an= 1 π

l

Z

−l

f(t) cos ntdt, bn = 1 π

l

Z

−l

f(x) sin ntdt. (18)

Z twierdzenia (1.2) wynika zatem, że

dla f ∈ L2([−l, l]) zachodzi równość f = ^a₂⁰ + ^P∞

n=1

ancos^nπt_l + bnsin^nπt_l ^. Oznacza to jednak tylko, że

Nlim→∞

l

Z

−l

f(t) − a₀ 2 −

N

X

n=1



ancosnπt

l + bnsinnπt l

!2

dt= 0 i nie ma wiele wspólnego z równością punktową funkcji i jej szeregu Fouriera !

W zastosowaniach szczególnie ważna jest punktowa aproksymacja funkcji wielomia- nami trygonometrycznymi i warunki wystarczajace na to, by taka aproksymacja była możliwa zawarte są w następującym twierdzeniu.

•

2. f jest ciągła w przedziale (−l, l), z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu punk- tów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości x0

spełniony jest warunek

f(t₀) = 1

2[f (t₀−) + f(t0+)]

3. f (a) = f (b) = ¹₂[f (a−) + f(b+)],

to w każdym punkcie tego przedziału zachodzi równość

f(t) = a₀ 2 +

X∞

n=1



ancosnπt

l + bnsinnπt l



.

Jeżeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2l, to równość ta jest prawdziwa dla każdego t z dziedziny funkcji.

Oczywiste jest, że jeżeli funkcja f , spełniająca w przedziale [−l, l] warunki Dirichleta:

1) jest parzysta, to

a₀ = 1 l

l

Z

−l

f(t)dt, an= 2 l

l

Z

0

f(t) cosnπt

l dt, bn= 0, więc jej szereg Fouriera ma postać f (t) = ^a₂⁰ + ^P∞

n=1

ancos^nπt_l ^. 2) jest nieparzysta, to

a₀ = 1 l

l

Z

−l

f(t)dt, an = 0, bn = 2 l

l

Z

0

f(t) sin nπt l dt,

więc jej szereg Fouriera ma postać f (t) = ^a₂⁰ + ^P∞

n=1

bnsin ^nπt_l ^.

Przypomnijmy, że e^iϕ= cos ϕ + i sin ϕ oraz e^−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ. Dodając i odejmując te równości stronami otrzymujemy wzory Eulera:

cos ϕ = 1

2(e^iϕ+ e^−iϕ), sin ϕ = 1

2i(e^iϕ− e^−iϕ)

Zastosujemy te tożsamości do otrzymania tzw. zespolonej postaci szeregu Fouriera.

cosnπt l = 1

2

e^inπtl + e^{−inπtl } oraz sin nπt l = 1

2i

e^inπtl − e^{−inπtl }. Stąd po przegrupowaniu wyrazów otrzymujemy

ancos nπt

l + bnsin nπt

l = an− ibⁿ

2 e^inπtl +an+ ibn

2 e^−inπtl i wprowadzając oznaczenia

c0 = a0, cn= an− ibⁿ

2 , c_−n= an+ ibn

2

mamy następującą, zespoloną postać szeregu Fouriera f(t) ∼

X∞

−∞

cne^inπtl ,

gdzie współczynniki cn wyrażają się wzorem

cn= 1 2l

l

Z

−l

f(t)e^−inπtl dt.

Dla l = π mamy oczywiście:

f(t) ∼

X∞

−∞

cne^int.

gdzie

cn= 1 2π

π

Z

−π

f(t)e^−intdt.

Współczynniki cnsą liczbami zespolonymi i wiążą się z nimi ważne w zastosowaniach (np.

w teorii obwodów elektrycznych) pojęcia. Dla funkcji okresowej u(t) = ^P∞

−∞cne^inωt, gdzie liczba ω = ^2π_T oznacza tzw. pulsację funkcji u(t) ciąg liczb:

1) An= |cⁿ| nazywamy widmem amplitudowym funkcji okresowej 2) argcn nazywamy widmem fazowym funkcji

okresowej u(t) = ^P∞

−∞cne^inωt, gdzie liczba ω = ^2π_T oznacza pulsację funkcji u(t).

Przykłady

Wyznaczamy szereg Fouriera, szereg Fouriera w postaci zespolonej oraz widmo amplitu- dowe i fazowe następujących funkcji:

a)f (t) =







1 dla 0 < t < 1},

1

2 dla t = 0 lub t = 1,

f(t − 2n) dla (2n − 1) < t < (2n + 1), −1 1 1

2 3 4

b)f (t) =







t dla |t| < 1, 0 dla t = 2n + 1,

f(t − 2n) dla (2n − 1) < t < (2n + 1), −1 1 1

2 3 4

c)f (t) =

( 1 − |t| dla |t| < 1,

f(t − 2n) dla (2n − 1) < t < (2n + 1),

−1 1

1

2 3 4

R o z w i ą z a n i e.

a) a0 = ¹₁ ^R1

−1f(t)dt =^R1

0 1dt = 1 an = ¹₁ ^R1

−1f(t) cos nπtdt =^R1

0 cos nπtdt = _nπ¹ (sin nπ − 0) = 0 bn = ¹₁ ^R1

−1

f(t) sin nπtdt = ⁻¹_nπ(cos nπ − 1), więc b²ⁿ = 0 oraz b_2n−1 = _(2n−1)π² . Zatem f (t) ∼ ¹₂ + ²_π ^P∞

n=1 1

2n−1sin (2n − 1)πt cn= ¹₂ ^R1

−1

f(t)e^−inπtdt=^R1

0

e^−inπtdt= _2nπⁱ (e^−inπ− 1), więc c²ⁿ = 0 oraz c_2n−1 = _(2n−1)π⁻²ⁱ .

Stąd An =

( 0 dla n n = 2k,

2

(2k−1)π dla n = 2k − 1, φn =







0 dla n parzystych,

π

2 dla n ¬ −1, nieparzystych

3π

2 dla n ­ 0, nieparzystych b) a0 = ^R1

−1

tdt= 0, oraz an= ^R1

−1

tcos nπtdt = 0 bo f jest nieparzysta,

bn = ^R1

−1tsin nπtdt = _nπ² (−1)ⁿ⁺¹, Zatem f (t) ∼ π²

P∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n sin nπt cn= ¹₂ ^R1

−1f(t)e^−inπtdt= ^R1

−1

te^−inπtdt= ¹₂^h−^e−inπinπ +^e_inπ^inπ− i²n¹²π² (e^−inπ − e^inπ)ⁱ= 2⁽⁻¹⁾_nπⁿi.

Stąd An = _nπ² , φn =

( _π

2 dla parzystych,

3π

2 dla nieparzystych, c) a0 = ^R1

−1(1 − |t|)dt = 1, bⁿ = ^R1

−1(1 − |t|) sin nπtdt = 0, bo f jest parzysta, an = ^R1

−1(1 − |t|) cos nπtdt = 2^R1

0 (1 − t) cos nπtdt = −_n²¹_π²((−1)ⁿ− 1), więc a2n = 0, a2n+1 = _(2n+1)⁴ 2π² i mamy f (t) ∼ π⁴²

P∞ n=1

(1)

(2n+1)² cos (2n + 1)πt cn= ¹₂ ^R1

−1

f(t)e^−inπtdt= ¹₂ ^R1

−1(1 − |t|)e^−inπtdt= ¹₂

"

R0

−1

(1 + t)e^−inπtdt+^R1

0 (1 − t)e^−inπtdt

#

=

Stąd An =

( 0 dla n parzystych,

1

nπ dla n nieparzystych, φn =







0 dla n parzystych,

π

2 dla n ¬ −1,

3π

2 dla n ­ 0,

1.2 Transformata Fouriera

Szeregi Fouriera są dobrym narzędziem przy badaniu funkcji opisujących zjawiska o cha- rakterze okresowym. Pytanie o analogon szeregu Fouriera dla funkcji nieokresowych pro- wadzi do pojęcia transformaty Fouriera. Spróbujmy sobie wyobrazić, jakiego typu wzoru należałoby się spodziewać.

Powiedzmy, że funkcja f spełnia warunki Dirichleta na zadanym przedziale [−l, l] i prze- dłużmy ją okresowo na cały zbiór liczb rzeczywistych. Wówczas w każdym punkcie t ∈ IR zachodzi równość

f(t) =^X∞

−∞

cne^inπtl = 1 2l

X∞

−∞







l

Z

−l

f(τ )e^−inπτl dτ





e^inπtl

Wprowadzając oznaczenia: ωn= ^nπ_l , ∆ω = ∆ωn= ωn+1− ωⁿ= ^π_l, skąd _2l¹ = ^∆ω_2π, możemy ostatnią równość napisać w postaci

f(t) = 1 2π

X∞

−∞







l

Z

−l

f(τ )e^−iωnτdτ





e^iωnt∆ωn

Chyba wszystkim, którzy wiedzą, jak się konstruuje całkę oznaczoną, prawa strona rów- ności przypomina pewną sumę całkową!

I rzeczywiście - prawdziwe jest następujące twierdzenie, którego dowód wymaga jednak zaawansowanych metod i subtelnych rachunków.

•

∞R

−∞|f(t)|dt jest zbieżna, to dla każdego t ∈ IR prawdziwa jest równość

f(t) = 1 2π

Z∞

−∞



 Z∞

−∞

f(τ )e^{−iω(t−τ )}dτ



dω (19)

Może lepiej patrzeć na ten wzór tak:

f(t) = 1 2π

Z∞

−∞



 Z∞

−∞

f(τ )e^−iωτdτ



e^iωtdω

Funkcję zmiennej ω określoną wzorem F(f(t))(ω) =

Z∞

−∞

f(τ )e^−iωτdτ (20)

nazywamy transformatą Fouriera funkcji f (t). Na ogół stosujemy krótkie oznaczenie f^∧(ω) =

Z∞

−∞

f(τ )e^−iωτdτ .

Przy tych oznaczeniach możemy wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej zapisać na- stępująco

f(t) = 1 2π

Z∞

−∞

e^iωtf^∧(ω)dω gdzie f^∧(ω) =

Z∞

−∞

f(τ )e^−iωτdτ . (21) Warto mieć zawsze te dwa wzory przed oczami jednocześnie.

Ponieważ f^∧(ω) = ^∞R

−∞f(τ )e^−iωτdτ = ^∞R

−∞

f(τ ) cos ωτ dτ − i ^∞R

−∞f(τ ) sin ωτ dτ więc,

1) jeżeli f (τ ) jest parzysta, to f (τ ) sin ωτ jest nieparzysta i ^∞R

−∞

f(τ ) sin ωτ dτ = 0.

Zatem transformata Fouriera funkcji parzystej jest funkcją o wartościach rze- czywistych

f^∧(ω) =

Z∞

−∞

f(τ ) cos ωτ dτ .

2) jeżeli f (τ ) jest nieparzysta, to f (τ ) cos ωτ jest nieparzysta i ^∞R

−∞f(τ ) cos ωτ dτ = 0.

Zatem transformata Fouriera funkcji nieparzystej jest funkcją o wartościach czysto urojonych

f^∧(ω) = −i

Z∞

−∞

f(τ ) sin ωτ dτ .

Przyporządkowanie F funkcji f (t) zmiennej rzeczywistej t funkcji f^∧(ω) zmiennej ω nazy- wamy prostym przekształceniem Fouriera. Jest oczywiste, że funkcje, które różnią się w skończenie wielu punktach (a nawet na większych zbiorach - tzw. zbiorach miary Lebes- gue’a zero) mają tę samą transformatę Fouriera. Twierdzenie Fouriera ( a więc praktycznie - zależność (21) precyzuje daleko głębszy fakt - określa tzw. odwrotne przekształcenie Fouriera. Mówi mianowicie, że w interesującej nas klasie funkcji każda funkcja jest jed- noznacznie wyznaczona przez swoją transformatę Fouriera. Mamy zatem odpowiedniość

f ⇋ f^∧.

Zapisując transformatę f^∧(ω) w postaci wykładniczej

f^∧(ω) = |f^∧(ω)|e^i·arg^f∧(ω) (22) otrzymujemy ważne w zastosowaniach technicznych (głównie w analizie obwodów elek- trycznych) pojęcia:

1) f^∧(ω) - charakterystyka widmowa, gęstość widmowa, widmo funkcji f (t) 2) |f^∧(ω)| - charakterystyka amplitudowa, gęstość amplitudowa, funkcji f(t) 3) argf^∧(ω) - charakterystyka fazowa, widmo fazowe, funkcji f (t)

Przykłady

Posługując się definicją wyznaczamy transformaty Fouriera oraz charakterystyki widmowe następujących funkcji:

a) f1(t) =







1 dla 0 < t < 1},

1

2 dla t = 0 lub t = 1,

0 dla t < 0 lub t > 1, _{−1 1}

1

2 3 4

b) f₂(t) =







t dla |t| < 1,

1

2sgnt dla |t| = 1, 0 dla |t| > 1,

1

−1 1

1

2 3 4

c) f₃(t) = e^−|t|

3 4

−2 −1 0 1 2

1 2

d) f3(t) = e^−t2

−2 −1 0 1 2

1 2

3 4

R o z w i ą z a n i e.

a)Funkcja f spełnia oczywiście warunki twierdzenia Fouriera ^∞R

−∞|f(τ)|dτ =^R1

0

1dt = 1,

!

a resztę widać na obrazku, więc:

– dla ω 6= 0 możemy policzyć:

f^∧(ω) = ^∞R

−∞

f(τ )e^−iωτdτ =^R1

0

e^−iωτdτ = _−iω¹ (e^−iω− 1) = ^{sin ω}ω + i^{cos ω−1}_ω ).

– f^∧(0) = ^R1

0

1dτ = 1

Znajdźmy jeszcze charakterystyki widmowe tej funkcji.

Ponieważ sin ω = 2 sin^ω₂ cos ^ω₂ oraz cos ω = cos^{2 ω}₂ − sin^{2 ω}₂, więc

e^−iω− 1 = (cos^{2 ω}₂ − sin^{2 ω}₂) − (cos^{2 ω}₂ + sin^{2 ω}₂) − i2 sin^ω₂ cos^ω₂ = 2 sin^ω₂(− sin^ω₂ − i cos^ω₂).

Stąd _−iω¹ (e^−iω− 1) = ^{2 sin}_ω^ω2(cos^ω₂ − i sin ^ω₂) = ^{2 sin}_ω ^ω2(cos −^ω₂ + i sin −^ω₂).

Zatem:

1) f^∧(ω) = ^{2 sin}_ω ^ω2e^−ω2i - charakterystyka widmowa,f (t) 2) |f^∧(ω)| = |^{2 sin}ω ^ω2| - charakterystyka amplitudowa, f(t) 3) argf^∧(ω) = −^ω₂ - charakterystyka fazowa, f (t)

b) f jest nieparzysta, więc:

– dla ω 6= 0 mamy:

f^∧(ω) = −i ^∞R

−∞f(τ ) sin ωτ dτ = −i ^R1

−1

τsin ωτdτ = i^_ω²2(sin ω − ω cos ω)^. – f^∧(0) = ^R1

−1

τ dτ = 0 Zatem:

1) f^∧(ω) = −i ^R1

−1

τsin ωτ dτ = i^_ω²2(sin ω − ω cos ω)^- charakterystyka widmowa,f (t) 2) |f^∧(ω)| = |^ω²²(sin ω − ω cos ω)^| - charakterystyka amplitudowa, f(t)

3) argf^∧(ω) = ^π₂ - charakterystyka fazowa f (t).

c) f jest parzysta, więc f^∧(ω) = ^∞R

−∞e^{−|τ |}cos ωτdτ = 2 lim

T→∞

h_ω

sin ωT −cos ωT

1+ω² + _1+ω¹ 2

i= _1+ω² 2. Zatem:

1) f^∧(ω) = _1+ω² 2 - charakterystyka widmowa, funkcji f (t) 2) |f^∧(ω)| = 1+ω^{2 2} - charakterystyka amplitudowa, funkcji f (t) 3) argf^∧(ω) = 0 - charakterystyka fazowa, funkcji f (t)

d)

e^−t2∧(ω) = ^∞R

−∞e^−τ2e^−iωτdτ = ^∞R

−∞e^{−τ2−iωτ}dτ = ^∞R

−∞e^{−τ2−iωτ}dτ = ^∞R

−∞e^{−[(τ +iω2)2+ω}

2 4 ]dτ

= e^−ω

2 4

∞R

−∞e^{−(τ +iω2)2}dτ = e^−ω

2 4

∞R

−∞e^{−(τ +iω2 )2}d(τ +^iω₂) =√ πe^−ω

2 4 .

Podstawowe własności przekształcenia Fouriera

Przekształcenie Fouriera ma kilka bardzo ważnych własności, których wykorzystanie uła- twia, a czasem wręcz - czyni mechanicznym, rozwiązywanie wielu skomplikowanych za- gadnień (np. w teorii równań różniczkowych). Pierwsze cztery z nich są oczywistą kon- sekwencją wiadomych własności całki. Dowody pozostałych wzorów są nietrudne, pod warunkiem, że zdajemy sobie sprawę z konieczności wykorzystania głębokich twierdzeń dotyczących możliwości zamiany kolejności różnych przejść granicznych. We wszystkich poniższych wzorach zakładamy, że funkcje, do których stosujemy przekształcenie Fourie- ra, spełniają założenia twierdzenia Fouriera. Powinniśmy też pamiętać, że symbol ^∞R jest tu tylko pewnym skrótem i tak naprawdę, stosując całkowanie przez podstawienie−∞

czy przez części mamy do czynienia z całką niewłaściwą ( co w przypadku bezwzględnej

całkowalności jest równoważne warunkowi ^∞R

−∞|f(x)|dx = lim_T

→∞

T

R

−T |f(x)|dx ) i powinniśmy postępować tak, jak w przykładzie c).

• Liniowość transformaty Fouriera

(A1f₁(t) + A2f₂(t))^∧(ω) = A1(f1(t))^∧(ω) + A2(f2(t))^∧(ω) (23)

• Transformata Fouriera funkcji f (at), a∈ IR (f (at))^∧(ω) = 1

a(f (t))^∧

ω a



(24) D o w ó d

(f (at))^∧(ω) = ^∞R

−∞f(aτ )e^−iωτdτ = ¹_a ^∞R

−∞f(s)e^−iωasds = ¹_a(f (t))^∧(^ω_a).

• Transformata Fouriera funkcji e^iω0tf(t)

(e^iω0tf(t))^∧(ω) = (f (t))^∧(ω − ω0) (25) D o w ó d.

(e^iω0tf(t))^∧(ω) = ^∞R

−∞

e^iω0τf(τ )e^−iωτdτ = ^∞R

−∞f(τ )e^{−i(ω−ω0)τ}dτ = (f (t))^∧(ω − ω⁰)

• Przesunięcie w argumencie funkcji f

(f (t − t^o))^∧(ω) = e^−iωt0(f (t))^∧(ω). (26) D o w ó d.

(f (t − t⁰))^∧(ω) = ^∞R

−∞

f(τ −t⁰)e^−iωτdτ = ^∞R

−∞

f(s)e^−iω(s+t0)ds

= ^∞R

−∞e^−iωt0f(s)e^−iωsds= e^−iωt0(f (t))^∧(ω)

• Pochodna transformaty Fouriera d^k((f (t))^∧)

dω^k (ω₀) = (−i)^k(t^kf(t))^∧(ω₀) (27) D o w ó d. (dla k = 1)

d(f (t))^∧

dω (ω₀) = lim

h→0 1

h((f (t))^∧(ω₀+ h) − (f(t))^∧(ω₀))

= lim

h→0 1 h

∞R

−∞f(τ )e^{−i(ω0+h)τ}dτ − ^∞R

−∞

f(τ )e^−iω0τdτ

!

= lim

h→0

∞R

−∞f(τ )e^{−i(ω0)τ e−ihτ}_h⁻¹dτ

= ^∞R

−∞(−iτ)f(τ)e^−i(ω0)τ lim

h→0

e^−ihτ−1

−ihτ dτ =

= (−i) ^∞R

−∞

τ f(τ )e^−i(ω0)τdτ = (−i)(tf(t))(ω0).

• Transformata Fouriera pochodnej

(f⁽ⁿ⁾(t))^∧(ω) = (iω)ⁿ· (f(t))^∧(ω) (28) D o w ó d. ( dla k = 1)

(f^′(t))^∧(ω) = ^∞R

−∞f^′(τ )e^−iωτdτ = f (τ )e^{−iωτ∞}

−∞− ^∞R

−∞f(τ )(−iω)e^−iωτdτ = (−iω)(f(t))^∧(ω), bo dla funkcji f (t) spełniającej warunek ^∞R

−∞|f(t)|dt < ∞ mamy oczywiście

τ→−∞lim f(τ )e^−iωτ = 0 oraz lim

τ→∞f(τ )e^−iωτ = 0.

• Transformata Fouriera całki





t

Z

t0

f(τ )dτ





∧

(ω) = 1

iω · (f(t))^∧(ω) (29)

Przykłady

Wykorzystując własności przekształcenia Fouriera wyznaczamy transformaty Fouriera na- stępujących funkcji:

a) g1(t) =







1 dla |t| < 1},

1

2 |t| = 1,

0 dla |t| > 1 −1 1

1

2

3 4

b) g2(t) =







t² dla |t| < 1,

1

2sgnt dla |t| = 1, 0 dla |t| > 1,

−2 −1 1 2

1

3 4

c) f3(t) = e^−α|t|

3

−2 −1 0 1 2

1 2

3 4

α= 2