Całka podwójna.

20  Download (0)

Pełen tekst

(1)

1 Szereg i transformata Fouriera.

Transformata Laplace’a.

Całka podwójna.

Proponowana literatura:

1. W.Żakowski, W.Kołodziej, Matematyka, część II, WNT, Warszawa, 2. W.Żakowski, W.Leksiński, Matematyka, część IV, WNT, Warszawa,

3. Franciszek Bierski, Funkcje zespolone - Szeregi i przekształcenie Fouriera, przekształcenie całkowe Laplace’a, przekształcenie Laurenta, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Kraków, 1999.

4. R.Leitner, J.Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, WNT, Warszawa, 1994, 5. Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, PWN, Warszawa, 2005,

1.1 Szereg Fouriera

(czyli krótki wstęp do jeszcze krótszej informacji o transformacie Fouriera)

Wstęp do wstępu, który warto przeczytać, by z grubsza wiedzieć, o co chodzi w szeregach Fouriera W kursie Analizy Matematycznej poznaliśmy rozwinięcie Maclaurina (czy ogólniej -rozwinięcie Taylora), które daje pewien sposób przybliżania (aproksymowania) funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnej w danym przedziale za pomocą ciągu wielomianów. W konsekwencji, przy pewnych dodatkowych założeniach, otrzymujemy możliwość przedstawienia ta- kiej funkcji w postaci szeregu, którego wyrazy są jednoznacznie wyznaczone przez zadaną funkcję (szereg Taylora czy Maclaurina).

Wiele zjawisk fizycznych jest jednak opisywanych przez funkcje mniej regularne, często - nawet nieciągłe. Mają one natomiast dodatkową własność - są okresowe. Poznane w kursie Algebry liniowej pojęcia pozwalają na ”przybliżanie” takich funkcji za pomocą ciągu tzw. wielomianów trygonometrycznych, czyli skończonych kombinacji liniowych funkcji sin x i cos x.

Przypomnijmy jednak parę definicji i faktów z elementarnej algebry liniowej.

Niech V będzie przestrzenią liniową. Funkcję (·, ·) określoną na przestrzeni V × V nazywamy iloczynem skalarnym, jeżeli dla dowolnych wektorów ~v1, ~v2, ~u, ~v∈ V spełnione są warunki:

1) (~u, ~v) = (~v, ~u),

2) ( ~v1+ ~v2, ~u) = ( ~v1, ~u) + ( ~v2), ~u), 3) (α~u, ~v) = α(~u, ~v),

4) (~u, ~u) ­ 0 dla wszystkich ~u ∈ V oraz (~u, ~u) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~u = 0.

Przestrzeń liniową z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową, gdy jest skończenie wymiarowa, a prze- strzenią unitarnąw ogólnym przypadku. Za pomocą iloczynu skalarnego można określić tzw. normę wektora wzorem

k~uk =p

(~u, ~u). (1)

Z warunków 1) - 4) wynikają następujące własności normy

Fakt 1.1. 1. dla wszystkich ~u, ~v ∈ V prawdziwa jestnierowno´ s´c Schwarza´

|(~u, ~v)| ¬ k~uk k~vk ; (2)

2. dla wszystkich ~v ∈ ~v mamy k~vk ­ 0, przy czym k~vk = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~v = 0;

3. dla wszystkich ~u ∈ V, λ ∈ IR jestkλ~uk = |λ| k~uk;

4. dla wszystkich ~u, ~v ∈ V mamy k~u + ~vk ¬ k~uk + k~vk,

(2)

5. dla wszystkich ~u, ~v ∈ V zachodzi tzw.regul66666a rownolegl´ 66666oboku

k~u + ~vk2+ k~u − ~vk2= 2(k~uk2+ k~vk2) (3)

Mając zadaną w przestrzeni normę można określić odległość dwu wektorów wzorem

d(~u, ~v) = k~u − ~vk . (4)

Wówczas naturalna jest następująca definicja zbieżności ciągu wektorów lim

n→∞v~n= ~v ←→ lim

n→∞d( ~vn, ~v) = 0. (5)

Przykłady

1) IRn, 2) l2

3) C([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR : f jest ciągła}, L1([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR : f jest całkowalna oraz

b

R

a

|f(t)|dt < ∞},

L2([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR : fjest całkowalna oraz

b

R

a

f2(t)dt < ∞}.

W tych przestrzeniach standardowy iloczyn skalarny zdefiniowany jest wzorem

(f, g) =

b

Z

a

f(t)g(t)dt. (6)

W kursie Algebry dowodzi się, że w przestrzeni euklidesowej istnieje baza ortogonalna { ~e1e~2, . . . , ~en}, a przedstawienie dowolnego wektora ~v w takiej bazie jest szczególnie proste: ~v = (~v, ~e1) ~e1+ (~v, ~e2) ~e2+ . . . + (~v, ~en) ~en.

Łatwo też sprawdzić, że dla dowolnych parami prostopadłych wektorów ~v1, ~v2, . . . ~vk zachodzi Twierdzenie Pitagorasa, tzn.

n

P

j=1

~ vj

2

=

n

P

j=1

k ~vjk.

Jeżeli V nie jest przestrzenią skończenie wymiarową, to sytuacja jest o wiele bardziej skomplikowana, jednak w dalszym ciągu współczynniki postaci (~v, ~ej) grają dużą rolę. Oczywiste jest, że jeżeli

~

v= (~v, ~e1) ~e1+ (~v, ~e2) ~e2+ . . . + (~v, ~en) ~en, (7) to w dalszym ciągu zachodzi równość

k~vk2=

n

X

j=1

k(~v, ~ej) ~ejk2=

n

X

j=1

|(~v, ~ej)|2. (8)

Podstawowy związek między wektorem ~v, a rozwinięciem (7) daje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.1. Jeżeli { ~e1, ~e2, . . . , ~en} jest zbiorem ortonormalnym w przestrzeni euklidesowej V , to dla dowolnego wektora ~v∈ V i dowolnych skalarów λ1, λ2, . . . λnprawdziwa jest nierówność

~ v

n

X

j=1

(~v, ~ej) ~ej

¬

~v

n

X

j=1

λje~j

.

W powyższej nierówności równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy λj= (~v, ~ej).

Wektor ~u =

n

P

j=1

(~v, ~ej) ~ej jest rzutem ortogonalnym wektora ~v na podprzestrzeń lin{ ~e1, ~e2, . . . , ~en}, tzn. ~u ∈ lin{ ~e1, ~e2, . . . , ~en} oraz ~u ⊥ ~v − ~u. Liczby (~v, ~ej) nazywamy współczynnikami Fouriera wektora ~v względem układu ortonormalnego { ~e1, ~e2, . . .}.

Zauważmy, że twierdzenie powyższe mówi, iż spośród wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu { ~e1, ~e2, . . . , ~en} najlepsze przybliżenie (w sensie zbieżności (5)) daje kombinacja, w której współczynnikami są współczynnikami Fouriera wektora ~v.

Odpowiedź na pytanie o istnienie jakiegoś odpowiednika bazy ortogonalnej w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych daje następujące twierdzenie. Podkreślmy tylko, że w interesujących nas przestrzeniach funkcyjnych wystarczy rozważać przeliczalne zbiory wektorów parami ortogonalnych i do takich się ograniczymy.

(3)

Twierdzenie 1.2. Jeżeli { ~e1, ~e2, . . .} jest zbiorem ortonormalnym w przestrzeni unitarnej V ,to następujące warunki są równoważne:

1) każdy wektor ~∈V można przedstawić w postaci ~v =

P

j=1

(~v, ~ej) ~ej,

2) { ~e1, ~e2, . . .} jest maksymalnym zbiorem wektorów parami prostopadłych (tzn. jedynym wektorem prostopadłym do wszyst- kich wektorów ~ej jest wektor zerowy)

3) lin{ ~e1, ~e2, . . .} jest zbiorem gęstym w H, tzn. każdy wektor przestrzeni V jest granicą (w sensie zbieżności (5)) pewnego ciągu skończonych kombinacji liniowych wektorów ~e1, ~e2, . . .

4) prawdziwa jest tzw.rowno´ s´c Parsevala´ k~vk2=

X

j=1

|(~v, ~ej)|2 (9)

Niech w dalszym ciągu {ϕ1, ϕ2, . . .} będzie ciągiem funkcji całkowalnych parami ortogonalnych. Można udowodnić, że jeżeli szereg ortogonalny

n

P

j=1

cjϕjjest zbieżny jednostajnie (to duuużo więcej niż zbieżny punktowo) do funkcji całkowalnej

na przedziale [a, b], to cn= (f, ϕn)

nk2. Oznacza to, że istnieje co najwyżej jeden szereg ortogonalny zbieżny do danej funkcji jednostajnie na [a, b]. W tym miejscu powinniśmy przypomnieć sobie analogiczne twierdzenie dla szeregu Taylora!

Dla dowolnej funkcji całkowalnej na danym przedziale [a, b] można zdefiniować czysto formalnie pewien szereg tzw.

szereg Fouriera

X

n=1

cnϕj, (10)

gdzie współczynniki Fouriera zadane są wzorem

cn=(f, ϕn)

nk2 (11)

Będziemy wtedy pisać

f(x)

X

n=1

(f, ϕn)

nk2 ϕn (12)

Powstaje pytanie, czy szereg po prawej stronie jest w jakimś sensie zbieżny i do czego!

Zajmiemy się teraz najważniejszym z punktu widzenia zastosowań technicznych szere- giem ortogonalnym - tzw. trygonometrycznym szeregiem Fouriera. Mówiąc o iloczy- nie skalarnym będziemy już zawsze mieć na myśli wyżej określony standardowy iloczyn skalarny w przestrzeniach funkcyjnych.

Rozważmy zdefiniowany na przedziale [−l, l] ciąg funkcji określonych wzorami:

ϕ0 ≡ 1, ϕ2n−1 = cosnπt

l , ϕ2n = sinnπt

l dla n = 1, 2, . . . (13)

• Łatwo sprawdzić, że ciąg ten jest ortogonalny, bo:

0, ϕ2n−1) = Rl

−l1 · cosnπtl dt= ..., 0, ϕ2n) = Rl

−l1 · sinnπtl dt= ..., 2m−1, ϕ2n−1) = Rl

−l

cosmπtl · cosnπtl dt= ..., 2m, ϕ2n) = Rl

−l

sinmπtl · sinnπtl dt= ...,

(4)

2m−1, ϕ2n) = Rl

−l

cos mπtl · sinnπtl dt= ...,

Policzmy jeszcze kwadraty norm powyższych funkcji traktowanych jako elementy prze- strzeni L2([a, b]).

Ponieważ Rl

−l

cos2 mπtl dt= Rl

−l

sin2 mπtl dt= l, więc kϕ0k2 = 2l, kϕmk2 = l, dla n = 1, 2, . . .

• Można też udowodnić, ale to jest trudniejsze, że ciąg ten jest zupełny w przestrzeni L2([a, b]).

Współczynniki Fouriera funkcji f względem wyżej zdefiniowanego układu ortogonalnego mają postać

c0 = 1

2l, c2n−1 = 1 l

Zl

−l

f(t) cosnπt

l dt, c2n = 1 l

Zl

−l

f(t) sinnπt

l dt. (14)

Zgodnie z tradycją trygonometryczny szereg Fouriera funkcji f względem rozważanego trygonometrycznego układu ortogonalnego zapisujemy w postaci

a0

2 +

X

n=1



ancosnπt

l + bnsinnπt l



, (15)

gdzie

a0 = 1 l

l

Z

−l

f(t)dt, an= 1 l

l

Z

−l

f(t) cosnπt

l dt, bn = 1 l

l

Z

−l

f(x) sinnπt

l dt. (16) Dla l = π mamy wówczas

a0

2 +

X

n=1

(ancos nt + bnsin nt), (17)

gdzie

a0 = 1 π

l

Z

−l

f(t)dt, an= 1 π

l

Z

−l

f(t) cos ntdt, bn = 1 π

l

Z

−l

f(x) sin ntdt. (18)

Z twierdzenia (1.2) wynika zatem, że

dla f ∈ L2([−l, l]) zachodzi równość f = a20 + P

n=1

ancosnπtl + bnsinnπtl . Oznacza to jednak tylko, że

Nlim→∞

l

Z

−l

f(t) − a0 2

N

X

n=1



ancosnπt

l + bnsinnπt l

!2

dt= 0 i nie ma wiele wspólnego z równością punktową funkcji i jej szeregu Fouriera !

W zastosowaniach szczególnie ważna jest punktowa aproksymacja funkcji wielomia- nami trygonometrycznymi i warunki wystarczajace na to, by taka aproksymacja była możliwa zawarte są w następującym twierdzeniu.

(5)

Twierdzenie 1.3. Jeżeli funkcja f spełnia w przedziale [−l, l] tzw. warunki Dirichleta: 1. f jest przedziałami monotoniczna na (−l, l),

2. f jest ciągła w przedziale (−l, l), z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu punk- tów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości x0

spełniony jest warunek

f(t0) = 1

2[f (t0−) + f(t0+)]

3. f (a) = f (b) = 12[f (a−) + f(b+)],

to w każdym punkcie tego przedziału zachodzi równość

f(t) = a0 2 +

X

n=1



ancosnπt

l + bnsinnπt l



.

Jeżeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2l, to równość ta jest prawdziwa dla każdego t z dziedziny funkcji.

Oczywiste jest, że jeżeli funkcja f , spełniająca w przedziale [−l, l] warunki Dirichleta:

1) jest parzysta, to

a0 = 1 l

l

Z

−l

f(t)dt, an= 2 l

l

Z

0

f(t) cosnπt

l dt, bn= 0, więc jej szereg Fouriera ma postać f (t) = a20 + P

n=1

ancosnπtl . 2) jest nieparzysta, to

a0 = 1 l

l

Z

−l

f(t)dt, an = 0, bn = 2 l

l

Z

0

f(t) sin nπt l dt,

więc jej szereg Fouriera ma postać f (t) = a20 + P

n=1

bnsin nπtl .

Przypomnijmy, że e= cos ϕ + i sin ϕ oraz e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ. Dodając i odejmując te równości stronami otrzymujemy wzory Eulera:

cos ϕ = 1

2(e+ e−iϕ), sin ϕ = 1

2i(e− e−iϕ)

Zastosujemy te tożsamości do otrzymania tzw. zespolonej postaci szeregu Fouriera.

cosnπt l = 1

2

einπtl + e−inπtl  oraz sin nπt l = 1

2i

einπtl − e−inπtl . Stąd po przegrupowaniu wyrazów otrzymujemy

ancos nπt

l + bnsin nπt

l = an− ibn

2 einπtl +an+ ibn

2 e−inπtl i wprowadzając oznaczenia

c0 = a0, cn= an− ibn

2 , c−n= an+ ibn

2

(6)

mamy następującą, zespoloną postać szeregu Fouriera f(t)

X

−∞

cneinπtl ,

gdzie współczynniki cn wyrażają się wzorem

cn= 1 2l

l

Z

−l

f(t)e−inπtl dt.

Dla l = π mamy oczywiście:

f(t)

X

−∞

cneint.

gdzie

cn= 1

π

Z

−π

f(t)e−intdt.

Współczynniki cnsą liczbami zespolonymi i wiążą się z nimi ważne w zastosowaniach (np.

w teorii obwodów elektrycznych) pojęcia. Dla funkcji okresowej u(t) = P

−∞cneinωt, gdzie liczba ω = T oznacza tzw. pulsację funkcji u(t) ciąg liczb:

1) An= |cn| nazywamy widmem amplitudowym funkcji okresowej 2) argcn nazywamy widmem fazowym funkcji

okresowej u(t) = P

−∞cneinωt, gdzie liczba ω = T oznacza pulsację funkcji u(t).

Przykłady

Wyznaczamy szereg Fouriera, szereg Fouriera w postaci zespolonej oraz widmo amplitu- dowe i fazowe następujących funkcji:

a)f (t) =

1 dla 0 < t < 1},

1

2 dla t = 0 lub t = 1,

f(t − 2n) dla (2n − 1) < t < (2n + 1), −1 1 1

2 3 4

b)f (t) =

t dla |t| < 1, 0 dla t = 2n + 1,

f(t − 2n) dla (2n − 1) < t < (2n + 1), −1 1 1

2 3 4

(7)

c)f (t) =

( 1 − |t| dla |t| < 1,

f(t − 2n) dla (2n − 1) < t < (2n + 1),

−1 1

1

2 3 4

R o z w i ą z a n i e.

a) a0 = 11 R1

−1f(t)dt =R1

0 1dt = 1 an = 11 R1

−1f(t) cos nπtdt =R1

0 cos nπtdt = 1 (sin nπ − 0) = 0 bn = 11 R1

−1

f(t) sin nπtdt = −1(cos nπ − 1), więc b2n = 0 oraz b2n−1 = (2n−1)π2 . Zatem f (t) ∼ 12 + 2π P

n=1 1

2n−1sin (2n − 1)πt cn= 12 R1

−1

f(t)e−inπtdt=R1

0

e−inπtdt= 2nπi (e−inπ− 1), więc c2n = 0 oraz c2n−1 = (2n−1)π−2i .

Stąd An =

( 0 dla n n = 2k,

2

(2k−1)π dla n = 2k − 1, φn =

0 dla n parzystych,

π

2 dla n ¬ −1, nieparzystych

2 dla n ­ 0, nieparzystych b) a0 = R1

−1

tdt= 0, oraz an= R1

−1

tcos nπtdt = 0 bo f jest nieparzysta,

bn = R1

−1tsin nπtdt = 2 (−1)n+1, Zatem f (t) ∼ π2

P n=1

(−1)n+1

n sin nπt cn= 12 R1

−1f(t)e−inπtdt= R1

−1

te−inπtdt= 12he−inπinπ +einπinπ i2n12π2 (e−inπ − einπ)i= 2(−1)ni.

Stąd An = 2 , φn =

( π

2 dla parzystych,

2 dla nieparzystych, c) a0 = R1

−1(1 − |t|)dt = 1, bn = R1

−1(1 − |t|) sin nπtdt = 0, bo f jest parzysta, an = R1

−1(1 − |t|) cos nπtdt = 2R1

0 (1 − t) cos nπtdt = −n21π2((−1)n− 1), więc a2n = 0, a2n+1 = (2n+1)4 2π2 i mamy f (t) ∼ π42

P n=1

(1)

(2n+1)2 cos (2n + 1)πt cn= 12 R1

−1

f(t)e−inπtdt= 12 R1

−1(1 − |t|)e−inπtdt= 12

"

R0

−1

(1 + t)e−inπtdt+R1

0 (1 − t)e−inπtdt

#

=

Stąd An =

( 0 dla n parzystych,

1

dla n nieparzystych, φn =

0 dla n parzystych,

π

2 dla n ¬ −1,

2 dla n ­ 0,

(8)

1.2 Transformata Fouriera

Szeregi Fouriera są dobrym narzędziem przy badaniu funkcji opisujących zjawiska o cha- rakterze okresowym. Pytanie o analogon szeregu Fouriera dla funkcji nieokresowych pro- wadzi do pojęcia transformaty Fouriera. Spróbujmy sobie wyobrazić, jakiego typu wzoru należałoby się spodziewać.

Powiedzmy, że funkcja f spełnia warunki Dirichleta na zadanym przedziale [−l, l] i prze- dłużmy ją okresowo na cały zbiór liczb rzeczywistych. Wówczas w każdym punkcie t ∈ IR zachodzi równość

f(t) =X

−∞

cneinπtl = 1 2l

X

−∞

l

Z

−l

f(τ )e−inπτl

einπtl

Wprowadzając oznaczenia: ωn= l , ∆ω = ∆ωn= ωn+1− ωn= πl, skąd 2l1 = ∆ω, możemy ostatnią równość napisać w postaci

f(t) = 1

X

−∞

l

Z

−l

f(τ )e−iωnτ

ent∆ωn

Chyba wszystkim, którzy wiedzą, jak się konstruuje całkę oznaczoną, prawa strona rów- ności przypomina pewną sumę całkową!

I rzeczywiście - prawdziwe jest następujące twierdzenie, którego dowód wymaga jednak zaawansowanych metod i subtelnych rachunków.

Twierdzenie 1.4. (Wzór całkowy Fouriera) Jeżeli funkcja f : IR −→ IR spełnia w każ- dym skończonym przedziale (a, b) pierwsze dwa warunki Dirichleta oraz całka niewłaściwa

R

−∞|f(t)|dt jest zbieżna, to dla każdego t ∈ IR prawdziwa jest równość

f(t) = 1

Z

−∞

Z

−∞

f(τ )e−iω(t−τ )

(19)

Może lepiej patrzeć na ten wzór tak:

f(t) = 1

Z

−∞

Z

−∞

f(τ )e−iωτ

eiωt

Funkcję zmiennej ω określoną wzorem F(f(t))(ω) =

Z

−∞

f(τ )e−iωτ (20)

nazywamy transformatą Fouriera funkcji f (t). Na ogół stosujemy krótkie oznaczenie f(ω) =

Z

−∞

f(τ )e−iωτdτ .

Przy tych oznaczeniach możemy wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej zapisać na- stępująco

(9)

f(t) = 1

Z

−∞

eiωtf(ω)dω gdzie f(ω) =

Z

−∞

f(τ )e−iωτdτ . (21) Warto mieć zawsze te dwa wzory przed oczami jednocześnie.

Ponieważ f(ω) = R

−∞f(τ )e−iωτ = R

−∞

f(τ ) cos ωτ dτ − i R

−∞f(τ ) sin ωτ dτ więc,

1) jeżeli f (τ ) jest parzysta, to f (τ ) sin ωτ jest nieparzysta i R

−∞

f(τ ) sin ωτ dτ = 0.

Zatem transformata Fouriera funkcji parzystej jest funkcją o wartościach rze- czywistych

f(ω) =

Z

−∞

f(τ ) cos ωτ dτ .

2) jeżeli f (τ ) jest nieparzysta, to f (τ ) cos ωτ jest nieparzysta i R

−∞f(τ ) cos ωτ dτ = 0.

Zatem transformata Fouriera funkcji nieparzystej jest funkcją o wartościach czysto urojonych

f(ω) = −i

Z

−∞

f(τ ) sin ωτ dτ .

Przyporządkowanie F funkcji f (t) zmiennej rzeczywistej t funkcji f(ω) zmiennej ω nazy- wamy prostym przekształceniem Fouriera. Jest oczywiste, że funkcje, które różnią się w skończenie wielu punktach (a nawet na większych zbiorach - tzw. zbiorach miary Lebes- gue’a zero) mają tę samą transformatę Fouriera. Twierdzenie Fouriera ( a więc praktycznie - zależność (21) precyzuje daleko głębszy fakt - określa tzw. odwrotne przekształcenie Fouriera. Mówi mianowicie, że w interesującej nas klasie funkcji każda funkcja jest jed- noznacznie wyznaczona przez swoją transformatę Fouriera. Mamy zatem odpowiedniość

ff.

Zapisując transformatę f(ω) w postaci wykładniczej

f(ω) = |f(ω)|ei·argf(ω) (22) otrzymujemy ważne w zastosowaniach technicznych (głównie w analizie obwodów elek- trycznych) pojęcia:

1) f(ω) - charakterystyka widmowa, gęstość widmowa, widmo funkcji f (t) 2) |f(ω)| - charakterystyka amplitudowa, gęstość amplitudowa, funkcji f(t) 3) argf(ω) - charakterystyka fazowa, widmo fazowe, funkcji f (t)

(10)

Przykłady

Posługując się definicją wyznaczamy transformaty Fouriera oraz charakterystyki widmowe następujących funkcji:

a) f1(t) =

1 dla 0 < t < 1},

1

2 dla t = 0 lub t = 1,

0 dla t < 0 lub t > 1, −1 1

1

2 3 4

b) f2(t) =

t dla |t| < 1,

1

2sgnt dla |t| = 1, 0 dla |t| > 1,

1

−1 1

1

2 3 4

c) f3(t) = e−|t|

3 4

−2 −1 0 1 2

1 2

d) f3(t) = e−t2

−2 −1 0 1 2

1 2

3 4

R o z w i ą z a n i e.

a)Funkcja f spełnia oczywiście warunki twierdzenia Fouriera R

−∞|f(τ)|dτ =R1

0

1dt = 1,

!

a resztę widać na obrazku, więc:

– dla ω 6= 0 możemy policzyć:

f(ω) = R

−∞

f(τ )e−iωτ =R1

0

e−iωτ = −iω1 (e−iω− 1) = sin ωω + icos ω−1ω ).

– f(0) = R1

0

1dτ = 1

Znajdźmy jeszcze charakterystyki widmowe tej funkcji.

Ponieważ sin ω = 2 sinω2 cos ω2 oraz cos ω = cos2 ω2 − sin2 ω2, więc

e−iω− 1 = (cos2 ω2 − sin2 ω2) − (cos2 ω2 + sin2 ω2) − i2 sinω2 cosω2 = 2 sinω2(− sinω2 − i cosω2).

Stąd −iω1 (e−iω− 1) = 2 sinωω2(cosω2 − i sin ω2) = 2 sinω ω2(cos −ω2 + i sin −ω2).

(11)

Zatem:

1) f(ω) = 2 sinω ω2eω2i - charakterystyka widmowa,f (t) 2) |f(ω)| = |2 sinω ω2| - charakterystyka amplitudowa, f(t) 3) argf(ω) = −ω2 - charakterystyka fazowa, f (t)

b) f jest nieparzysta, więc:

– dla ω 6= 0 mamy:

f(ω) = −i R

−∞f(τ ) sin ωτ dτ = −i R1

−1

τsin ωτdτ = iω22(sin ω − ω cos ω). – f(0) = R1

−1

τ dτ = 0 Zatem:

1) f(ω) = −i R1

−1

τsin ωτ dτ = iω22(sin ω − ω cos ω)- charakterystyka widmowa,f (t) 2) |f(ω)| = |ω22(sin ω − ω cos ω)| - charakterystyka amplitudowa, f(t)

3) argf(ω) = π2 - charakterystyka fazowa f (t).

c) f jest parzysta, więc f(ω) = R

−∞e−|τ |cos ωτdτ = 2 lim

T→∞

hω

sin ωT −cos ωT

1+ω2 + 1+ω1 2

i= 1+ω2 2. Zatem:

1) f(ω) = 1+ω2 2 - charakterystyka widmowa, funkcji f (t) 2) |f(ω)| = 1+ω2 2 - charakterystyka amplitudowa, funkcji f (t) 3) argf(ω) = 0 - charakterystyka fazowa, funkcji f (t)

d)

e−t2(ω) = R

−∞e−τ2e−iωτ = R

−∞e−τ2−iωτ = R

−∞e−τ2−iωτ = R

−∞e−[(τ +2)2+ω

2 4 ]

= eω

2 4

R

−∞e−(τ +2)2 = eω

2 4

R

−∞e−(τ +2 )2d(τ +2) = πeω

2 4 .

Podstawowe własności przekształcenia Fouriera

Przekształcenie Fouriera ma kilka bardzo ważnych własności, których wykorzystanie uła- twia, a czasem wręcz - czyni mechanicznym, rozwiązywanie wielu skomplikowanych za- gadnień (np. w teorii równań różniczkowych). Pierwsze cztery z nich są oczywistą kon- sekwencją wiadomych własności całki. Dowody pozostałych wzorów są nietrudne, pod warunkiem, że zdajemy sobie sprawę z konieczności wykorzystania głębokich twierdzeń dotyczących możliwości zamiany kolejności różnych przejść granicznych. We wszystkich poniższych wzorach zakładamy, że funkcje, do których stosujemy przekształcenie Fourie- ra, spełniają założenia twierdzenia Fouriera. Powinniśmy też pamiętać, że symbol R jest tu tylko pewnym skrótem i tak naprawdę, stosując całkowanie przez podstawienie−∞

czy przez części mamy do czynienia z całką niewłaściwą ( co w przypadku bezwzględnej

(12)

całkowalności jest równoważne warunkowi R

−∞|f(x)|dx = limT

→∞

T

R

−T |f(x)|dx ) i powinniśmy postępować tak, jak w przykładzie c).

• Liniowość transformaty Fouriera

(A1f1(t) + A2f2(t))(ω) = A1(f1(t))(ω) + A2(f2(t))(ω) (23)

• Transformata Fouriera funkcji f (at), a∈ IR (f (at))(ω) = 1

a(f (t))

ω a



(24) D o w ó d

(f (at))(ω) = R

−∞f(aτ )e−iωτ = 1a R

−∞f(s)e−iωasds = 1a(f (t))(ωa).

• Transformata Fouriera funkcji e0tf(t)

(e0tf(t))(ω) = (f (t))(ω − ω0) (25) D o w ó d.

(e0tf(t))(ω) = R

−∞

e0τf(τ )e−iωτ = R

−∞f(τ )e−i(ω−ω0 = (f (t))(ω − ω0)

• Przesunięcie w argumencie funkcji f

(f (t − to))(ω) = e−iωt0(f (t))(ω). (26) D o w ó d.

(f (t − t0))(ω) = R

−∞

f(τ −t0)e−iωτ = R

−∞

f(s)e−iω(s+t0)ds

= R

−∞e−iωt0f(s)e−iωsds= e−iωt0(f (t))(ω)

• Pochodna transformaty Fouriera dk((f (t)))

k 0) = (−i)k(tkf(t))0) (27) D o w ó d. (dla k = 1)

d(f (t))

0) = lim

h→0 1

h((f (t))0+ h) − (f(t))0))

= lim

h→0 1 h

R

−∞f(τ )e−i(ω0+h)τ R

−∞

f(τ )e−iω0τ

!

= lim

h→0

R

−∞f(τ )e−i(ω0)τ e−ihτh−1

= R

−∞(−iτ)f(τ)e−i(ω0 lim

h→0

e−ihτ−1

−ihτ =

= (−i) R

−∞

τ f(τ )e−i(ω0 = (−i)(tf(t))(ω0).

(13)

• Transformata Fouriera pochodnej

(f(n)(t))(ω) = (iω)n· (f(t))(ω) (28) D o w ó d. ( dla k = 1)

(f(t))(ω) = R

−∞f(τ )e−iωτ = f (τ )e−iωτ

−∞ R

−∞f(τ )(−iω)e−iωτ = (−iω)(f(t))(ω), bo dla funkcji f (t) spełniającej warunek R

−∞|f(t)|dt < ∞ mamy oczywiście

τ→−∞lim f(τ )e−iωτ = 0 oraz lim

τ→∞f(τ )e−iωτ = 0.

• Transformata Fouriera całki

t

Z

t0

f(τ )dτ

(ω) = 1

· (f(t))(ω) (29)

Przykłady

Wykorzystując własności przekształcenia Fouriera wyznaczamy transformaty Fouriera na- stępujących funkcji:

a) g1(t) =

1 dla |t| < 1},

1

2 |t| = 1,

0 dla |t| > 1 −1 1

1

2

3 4

b) g2(t) =

t2 dla |t| < 1,

1

2sgnt dla |t| = 1, 0 dla |t| > 1,

−2 −1 1 2

1

3 4

c) f3(t) = e−α|t|

3

−2 −1 0 1 2

1 2

3 4

α= 2

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :