INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA Wykład IX

44  Download (0)

Pełen tekst

(1)

INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA

Wykład IX

(2)

2016-12-17 2

PLAN

• Fizyka około 1900 roku

• Promieniowanie elektromagnetyczne

• Natura materii

• Równanie Schrödingera

• Struktura elektronowa atomu

Oryginalne dokumenty nie pozostawiają wątpliwości, że około 1900 roku fizycy byli w większości przekonani o słuszności fizyki klasycznej i nie widzieli potrzeby

„nowej fizyki„

(3)

„Kiedy rozpoczynałem studia fizyczne u mego czcigodnego nauczyciela P. Jolly’ego

zasięgałem opinii na temat warunków i

perspektyw moich studiów, przedstawił mi on fizykę jako naukę wysoko rozwiniętą, prawie całkowicie dojrzałą, która po ukoronowaniu jej osiągnięć przez odkrycie zasady zachowania energii miała już wkrótce przyjąć ostateczną postać. Wprawdzie w tym czy innym zakątku pozostaje jeszcze do zbadania i usunięcia jakiś pyłek czy pęcherzyk, ale jeśli chodzi o system jako całość, to jest on dość zabezpieczony, a fizyka teoretyczna wyraźnie zbliża się do

osiągnięcia takiej doskonałości, jaka od stuleci jest właściwa geometrii.”

• Max Planck, odczyt w Monachium

(4)

„Wszystkie najważniejsze fundamentalne prawa i fakty w fizyce zostały już odkryte i tak dobrze ustalone, iż jest znikome prawdopodobieństwo, że zostaną one uzupełnione w wyniku nowych odkryć…Przyszłych nowych prawd w

fizyce trzeba będzie szukać na szóstym miejscu po przecinku.”

Albert A. Michelson(1894)

2016-12-17 4

„Pieter Zeeman, słynny fizyk holenderski, laureat Nagrody Nobla 1902 r., w wieku dojrzałym lubił opowiadać, że kiedy był młodym człowiekiem, to ostrzegano go, żeby nie

studiował fizyki. „Fizyka nie jest już dziedziną

obiecującą”-mówiono mu; „jest ona skończona i nie ma tam miejsca na cokolwiek istotnie nowego”. Musiało to być

około roku 1883.”

Hendrik Casimir-HaphazardReality

(5)

Mechanika kwantowa

•Koniec XIX wieku-większość podstawowych zjawisk fizyki klasycznej zostało wyjaśnionych

•Tylko kilka kwestii wymagało rozwiązania m.in.

promieniowanie ciała doskonale czarnego, efekt fotoelektryczny, zjawisko Comptona

•Problemy te zostały rozwiązane przy pomocy nowej nauki-MECHANIKI KWANTOWEJ

•Poznanie struktury elektronowej atomu

rozpoczniemy od spojrzenia na oddziaływanie

promieniowania elektro-magnetycznego z materią

(6)

2016-12-17 6

Promieniowanie elektromagnetyczne

składowa pola magnetycznego składowa pola

elektrycznego

Kierunek

rozchodzenia fali

Parametry fali:

długość (symbol lambda [m])-odległość pomiędzy dwoma kolejnymi „pikami”

częstotliwość (symbol ni [Hz]) –liczba cykli w jednostce czasu

prędkość (u= ·  [m/s])

(7)

Fale elektromagnetyczne

Cechą promieniowania elektromagnetycznego jest stała szybkość c w próżni c=299 792 458 m/s (do obliczeń 3·108m/s)

·=c, gdzie  w [m] a  w [Hz]

Fale te ulegają interferencji, dyfrakcji i polaryzacji

Długość fali

 [m]

Częstotliwość

 [Hz]

Gamma X Ultrafiolet Podczerwień Mikrofale Radiowe

Promienio -wanie

(8)

2016-12-17 8

Promieniowanie ciała doskonale czarnego

Ciało doskonale czarne- ciało pochłaniające

(emitującego) wszystkie rodzaje promieniowania elektromagnetycznego bez względu na długość fali.

Całkowita energia E

wypromieniowana przez ciało

doskonale czarne o powierzchni 1m2 w czasie 1s

T 4

σ E  

Prawo Stefana-Boltzmana

=5.6710-8 Wm-2K-4

(9)

Promieniowanie ciała doskonale czarnego

długość fali  (nm)

Natężenie promieniowania

Oczekiwana zależność

Ilość energii emitowanej (absorbowanej) przez

dane ciało zależy od temperatury i od długości fali W oparciu o klasyczną teorię promieniowania nie udało się wyjaśnić zależności natężenia

promieniowania od długości fali

Prawo Wiena

max

 T=2.898  10

-4

m  K

λ

4

8π kT E 

Prawo Rayleigha-Jeana

(10)

2016-12-17 10

Rewolucyjna hipoteza Plancka:

Energia jest kwantowana

energia może być oddawana lub pobierana tylko w postaci określonych (dyskretnych) porcji-zwanych KWANTEM ENERGII

Kwant energii ma „wielkość” h  a układ może przekazywać energię jedynie jako całkowite wielokrotności kwantu

:

E=nh

„Potrafię opisać za pomocą równania rozkład energii w widmie promieniowania ciała doskonale czarnego „

Max Planck, grudzień 1900

gdzie: n-liczba całkowita (1,2,3…), h-stała Plancka (wyznaczona eksperymentalna) h=6.626·10-34Js,

- częstotliwość promieniowania emitowanego lub absorbowanego

(11)

Promieniowanie ciała doskonale czarnego

długość fali  (nm)

Natężenie promieniowania

Oczekiwana zależność

 

 

 

1 e

1 λ

c 8π h

E

kT c 5 h

Równanie Plancka

λ4

8π kT E 

Prawo Rayleigha-Jeana

(12)

2016-12-17 12

Fotony i efekt fotoelektryczny

W 1905r, Einstein zaproponował, że promieniowanie elektromagnetyczne wykazuje własności materii i że

„porcje” światła zwane fotonami wykazują

charakterystyczną energię określoną równaniem:

gdzie:

h-stała Plancka, -częstotliwość promieniowania, -długość fali

λ hν hc

E

fotonu

 

światło

Anoda Katoda

elektrony

metal

fotoelektrony Promieniowanie

nadfioletowe

(13)

Fotony i efekt fotoelektryczny

E

fotonu

= w + 1/2m

e

u

2

Praca wyjścia w=hg elektronu e’ Energia kinetyczna e

Większa

intensywność Mniejsza

intensywność

częstotliwość

Liczba wybitych elektronów

Progowa częstotli- wość g

(14)

2016-12-17 15

Dualistyczna natura światła

Światło zachowuje się tak jak

gdyby miało naturę zarówno falową jak i korpuskularną

λ h c hν

E  

L. de Broglie (1892-1987)

mc

2

E 

λ p h

mc  

Z każdą cząstką o pędzie p (p=mu) związana jest fala o długości określonej relacją de Broglie’a

p λ  h

Charakteryzuje

falę Charakteryzuje

cząstkę

Dla światła:

Dla cząstki:

Tak więc

(15)

Falowe własności elektronów

Doświadczenia potwierdzające słuszność teorii de Broglie’a przeprowadzili Davisson

i Germer w 1927 roku oraz Thomson w 1928 roku

Elektrony mogą ulegać dyfrakcji i interferencji

(16)

dNi=0.215nm

Z dyfrakcji

nm 165 .

0 sin 

d

Wzór de Broglie

m eVba p

2

2

nm 167 .

2  0

meVba

h p

h

Doświadczenie C.J.Davissona i L.G.Germera

(17)

Falowe własności elektronów

Doświadczenia potwierdzające słuszność teorii de Broglie’a przeprowadzili Davisson

i Germer w 1927 roku oraz Thomson w 1928 roku

Elektrony mogą ulegać dyfrakcji i interferencji

DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY

wymaga przyjęcia, że obiekty MIKROŚWIATA czasem zachowują się jak fale a czasami zachowują

się jak CZĄSTKI

(18)

Wygląd = Obraz?

Jak wygląda elektron?

2016-12-17 19

(19)
(20)

2016-12-17 21

(21)
(22)

2016-12-17 23

(23)
(24)

2016-12-17 25

(25)

WYGLĄD nie jest kategorią obiektywną…

WYGLĄD jest pochodną tego JAK oglądamy

Warunkiem koniecznym jest możliwość zarejestrowania obrazu

UKŁAD OPTYCZNY

OBRAZ

(26)

Aby fala odbiła się od obiektu, jej długość musi być około 2 razy mniejsza niż wymiar

obiektu

2016-12-17 27

1

<D

1

/2

D1

odbicie ugięcie

2

>D

2

/2

D2

1 2

(27)

Aby zobaczyć elektron (zarejestrować obraz) należy go oświetlić falą o długości ok. 10

-16

m Fala taka jest równoważna strumieniowi fotonów

o energii:

J 10 λ 2

c v h

h

E

f

     

9

kg 10

c 2

m

f

 E

2f

 

26

…którym zgodnie ze wzorem Einsteina odpowiada masa

Masa elektronu około 10-30 kg

(28)

Gdyby elektron miał masę 1kg to….

Zatem obrazu elektronu nie zarejestrujemy……

To nie jest problem techniczny

To nie jest możliwe w sensie fizycznym

2016-12-17 29

tony 22

foton elektron

(29)

Mikroświata, czyli świata obiektów o rozmiarach mniejszych niż 10

-10

m

Nie możemy sobie wyobrazić

(pojęcie obrazu nie ma sensu)

ROZUMIEĆ MAKROŚWIAT- umieć przewidzieć jego zachowanie, jego reakcję na jakiś

bodziec, ale także WYOBRAZIĆ je sobie ROZUMIEĆ MIKROŚWIAT – umieć przewidzieć

jego zachowanie, jego reakcję na jakiś bodziec

(30)

Czasami opisujemy zachowanie obiektów MIKROŚWIATA wykorzystując równania,

które opisują zachowanie się cząstek MAKROSKOPOWYCH

Wtedy mówimy, że obiekty mikroświata zachowują się jak CZĄSTKI

(a nie że są cząstkami!!!)

Czasami opisujemy zachowanie obiektów

MIKROŚWIATA wykorzystując równania fal w przestrzeniach MAKROSKOPOWYCH

Wtedy mówimy, że obiekty mikroświata zachowują się jak FALE (a nie że są FALAMI!!)

2016-12-17 31

(31)

Dualistyczna natura światła

(32)

Zasada Nieoznaczoności

W 1920 roku N. Bohr i W.Heisenberg rozpatrzyli

hipotetyczny eksperyment: Jak dokładnie można określić

„zachowanie” cząstek elementarnych ?

Rozważano dwie zmienne : położenie cząstki (x) i jej pęd (p) Wynik:

Nie jest możliwe równoczesne określenie z dowolnie dużą precyzją pędu i położenia

p·x h/(4)

Gdzie p- nieoznaczoność p, x- nieoznaczoność x (pierwiastek ze średniego kwadratowego odchylenia pędu (położenia) od jego wartości średniej)

Istnieją pary wielkości fizycznych, których

RÓWNOCZEŚNIE nie można zmierzyć z absolutną dokładnością

x h/(4) t h/(4)

(33)

2016-12-17 34

Budowa atomu

Jak sporządzić jego model ? Jak opisać ruch elektronu (elektronów) w atomie ?

Skoro elektron to cząstka materialna ...

.. to należy stworzyć jego mechaniczny model (Newton) czyli podać jego równanie ruchu, to znaczy...

Poruszający się elektron zachowuje się jak fala...

Można go więc opisać, znajdując parametry fali:

- amplitudę (energię ruchu falowego) - długość fali

MECHANIKA FALOWA

MECHANIKA KWANTOWA

(34)

2016-12-17 35

Dualizm korpuskularno-falowy (de Broglie’a) Zasada nieoznaczoności Heisenberga

1. Zgodnie z teorią falową światła natężenie promieniowania (ilość

energii przenoszona przez przekrój o powierzchni jednostkowej) jest wprost proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali świetlnej

2. Zgodnie z teorią kwantową światła natężenie promieniowania jest wprost proporcjonalne do liczby przepływających kwantów

Mechanika kwantowa opiera się na dwóch prawach

p λ h

xh/(4)

Kwadrat amplitudy fali świetlnej jest wprost

proporcjonalny do liczby kwantów promieniowania

Dla elektronu kwadrat amplitudy fali de Broglie’a jest wprost proporcjonalny do prawdopodobieństwa

napotkania elektronu

(35)

Funkcja falowa 

Podstawowy postulat mechaniki kwantowej:

Stan układu złożonego z N cząstek określa

funkcja falowa Ψ (x1, y1, z1, x2, y2, z2, .. xN, yN, zN, t) gdzie xk, yk, zk współrzędne k-tej cząstki

Przepisem pozwalającym znaleźć funkcję falową w każdym przypadku jest tzw. równanie Schrödingera, które jest

podobne do równania fali w akustyce

Erwin Schrödinger, 1887-1961

Nobel 1933

Ψ Ψ E

H

c

- operator Hamiltona (hamiltonian), którego postać jest jednoznacznie określona przez wyrażenie na energię całkowitą układu Ec

H

Rozwiązać powyższe równanie, to znaczy znaleźć taką funkcję Ψ(x,y,z) i taką wartość Ec, dla których

równanie to jest spełnione

(36)

2016-12-17 38

CO TO JEST OPERATOR?

..to PRZEPIS mówiący o tym co mamy zrobić z funkcją, na którą operator działa

operator różniczkowania po zmiennej x:

Wyrażenie na energię, a równanie Schrödingera

E

c

=E

kin

+E

pot

Wykonanie powyższej operacji na funkcji falowej powinno dać jako wynik tę samą funkcję pomnożoną przez odpowiadającą jej wartość energii.

dx D d

^

2 3

^ 2

9x 2x

2 )

3x x

(2x

D     

Jest to tzw. operator Laplace’a (laplasjan)

2 2 2

2 2

2

z y

x 2

 

E Ψ Ψ

c

2

(37)

Okazało się, że rozwiązać to równanie jest znacznie łatwiej jeżeli w miejsce KARTEZJAŃSKIEGO UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH będziemy posługiwali się SFERYCZNYM UKŁADEM WSPÓŁRZĘDNYCH.

..po przekształceniu rozwiązaniem równania Schrödingera:

będzie funkcja:

= (r,,f)

nlm

(r,  , f ) = R

nl

(r)· 

lm

(  , f )

Jeżeli funkcja jest zapisana we

współrzędnych sferycznych to można ją przedstawić w postaci iloczynu:

część kątowa część radialna

Ψ Ψ Ec

2

(38)

2016-12-17 40

Liczby kwantowe

Funkcję falową elektronu,, opisującą rozkład

prawdopodobieństwa napotkania elektronu w jakimkolwiek atomie nazywamy:

ORBITALEM ATOMOWYM Zaczynamy od atomu wodoru:

Funkcja falowa  (r,,f) zależy od trzech parametrów liczbowych n, l, m, co zanotujemy jako nlm(r,,f)

Parametry te zwane liczbami kwantowymi muszą spełniać pewne warunki aby funkcja falowa miała sens:

n= 1,2,3…………

l=0,1,2…………(n-1)

-l, -(l-1),...,l-1,l

Główna liczba kantowa Orbitalna liczba

kwantowa

Magnetyczna liczba kwantowa

(39)

Przykładowe zestawy liczb

n = 1 l = 0 m = 0

n = 2

l = 0

l = 1

m = 0

m = -1 m = 0

m = 1

Poboczna liczba kwantowa ma oznaczenia literowe:

l 0 1 2 3 4

s Sharp

p principal

d diffuse

f

fundamental

g

powłoka podpowłoki orbitale

(40)

2016-12-17 42

Warunki jakie muszą być spełnione aby rozwiązania równania Schrödingera (w części radialnej i kątowej) były funkcjami porządnymi:

1. Energia całkowita elektronu może przyjmować tylko wartości:

2. Moment pędu elektronu może przyjmować tylko wartości:

3. Moment pędu może mieć tylko określone orientacje w przestrzeni; składowa „zetowa” Mz (w kierunku osi z) przyjmować może tylko wartości

O liczbach kwantowych cd

2 2

2 o

4 e

n const n

h 2ε

πm e

E  

 

h 1) l

( l

M   

h m Mz   

•ciągła,

•jednoznaczna,

•znikająca w nieskończoności Kiedy funkcja

jest porządna?

h h n=1,2,3…

Główna liczba kwantowa

l=0,1,2…(n-1)

Poboczna liczba kwantowa m: -l, -(l-1)…0…(l-1), l

Magnetyczna liczba kwantowa

(41)

Orbitale atomu wodoru-część radialna

liczba maksimów części radialnej orbitalu wynosi zawsze n-l

wysokość maksimów rośnie z r

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w odległości od jądra

zawartej pomiędzy r a

r+dr (tj. pomiędzy dwiema współśrodkowymi kulami o promieniach r i r+dr):

P=r2R2dr

nlm (r,,f) = Rnl(r)·Ylm(,f)

a0; promień Bohra Stan podstawowy

Promień Bohra

Radialna gęstość prawdopodobieństwa napotkania elektronu P=r2R2

2s 1s

3s 2p

3p

3d

(42)

2016-12-17 44

Orbitale atomu wodoru-część kątowa

nlm(r,,f) = Rnl (r)·Ylm(,f)

1s 2s 3s

(43)

Orbitale atomu wodoru (typu p) -część kątowa

(44)

2016-12-17 46

Orbitale atomu wodoru (typu d)-część kątowa

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :