Zastosowanie metody Monte Carlo do zagadnień przewodzenia ciepła

:___________

.

Z. 24

r f : 3 3 M y o,?-

JÓ ZEF RÓ ZEW ICZ

ZASTOSOWANIE METODY MONTE CARLO DO ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA

i' ■

P O L I T E C H N I K A S L Ą S K A

ZESZYT NAUKOWY Nr 180 - GLIWICE 1967

Str.

P rzed m ow a . . . . 3

0. W s t ę p ...• ... 5

1. M etoda M onte C a r l o ... 7

2. U sta lo n e p rzew o d zen ie ciep ła w ciałach sta ły ch bez źródeł w e w n ę t r z n y c h ... 9

2.1. P ie r w sz e za g a d n ien ie b r z e g o w e ...11

2.2. D ru gie za g a d n ien ie b rzeg o w e . 19 2.3. T rzecie za g a d n ien ie b r z e g o w e ...22

2.4. Z a g a d n ien ie k o n ta k to w e z id ea ln y m sty k ie m . . . . 26

2.5. Z a gad n ien ie k o n ta k to w e z oporem ciep ln ym sty k u . . 28

2.6. M ateriały n iejed n orod n e i a n iz o t r o p o w e ...32

2.7. R óżnorodne w a ru n k i b rzeg o w e ...35

3. U sta lo n e p rzew o d zen ie ciep ła w ciałach sta ły c h ze źród łam i w e ­ w n ę tr z n y m i ... 36

3.1. N ieró w n o m iern y rozk ład ź r ó d e ł ...37

3.2. M iejsco w e źród ła c i e p ł a ... 43

3.3. R ów n om iern ie rozłożone źród ła ciep ła . . . . . 44

3.4. R o z w ią zy w a n ie u o góln ion ego za g a d n ien ia b rzegow ego dru­ giego rod zaju przy p om ocy za stęp czeg o źródła w e w n ę tz r n e g o 44 4. N ieu sta lo n e p rzew o d zen ie ciep ła w ciałach sta ły ch . . . 47

4.1. P ie r w sz e z a g a d n ien ie b r z e g o w e ... 48

4.2. D ru g ie za g a d n ien ie b r z e g o w e ...54

4.3. T rzecie zagad n ien ie b r z e g o w e ...56

4.4. Z agad n ien ie k o n ta k to w e z id ea ln y m sty k ie m . . . . 61

4.5. Z a gad n ien ie k o n ta k to w e z oporem ciep ln y m sty k u . . 64

4.6. R óżnorodne w a ru n k i b r z e g o w e ... 65

5. P ro b lem y o b l i c z e n i o w e ... 66

5.1. G en ero w a n ie liczb l o s o w y c h ... 67

5.2. D ok ład n ość o b l i c z e ń ... 68

5.3. A lg o ry tm iza cja i p ro g ra m o w a n ie ob liczeń . . . . 71

5.4. U w a g i k oń cow e ...75

6. P r z y p i s y ... 77

6.1. P rzy k ła d ro zw ią za n ia zagad n ien ia u stalon ego p rzew od zen ia ciep ła: P o le tem p eratu r w przek roju p oprzecznym chłodzo­ nej ło p a tk i tu rb in y g a z o w e j ... 77

6.2. P rzy k ła d rozw iązan ia za g a d n ien ia ustalon ego p rzew od zen ia ciep ła w ośrodku w i e l o w a r s t w o w y m ... 85

6.3. P rzy k ła d ro zw ią za n ia za g a d n ien ia n ieu sta lo n eg o p rzew o ­ d zen ia c i e p ł a ...89

L i t e r a t u r a ... 96 SPIS TREŚCI

PO L IT E C H N IK A Ś L Ą S K A

ZESZYTY NAUKOWE Nr 180

3 2 ) M S I ć r f

ZASTOSOWANIE METODY MONTE CARLO 00 ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA

PRACA HABILITACYJNA Nr 59

Data otwarcia przew odu habilitacyjnego 12. XII. 1966

R ED AK T O R N A C ZE L N Y ZESZYTÓ W N A U K O W Y C H

p o l i t e c h n i k i Śl ą s k i e j

F r y d e r y k S ta u b

R ED A K TO R D Z IA Ł U R y s z a r d P ete la

S E K R E T A R Z R E D A K C JI T a d e u s z M a tu la

f j 2 5 W

D zia ł N auki — S e k c ja W y d a w n ictw N a u k o w y ch — P o litech n ik i Śląskiej G liw ic e , ul. K on arsk iego 23

N a k } . 100+175 A r k . w y d . 3,7 A r k . d r u k . 6,25 P a p i e r o f f s e t o w y k l . I I I , 70x100, 70 g O d d a n o d o d r u k u 31. 1. 1967 P o d p i s . d o d r u k u 24.2.1967 D r u k u k o ń . w k w i e t n i u 1987

Z a m . 2C8 26. 1. 1967 E-22 C e n a z ł 5,—

PRZEDMOWA

Podstawy m atem aty czn ej t e o r i i p rz e w o d z e n ia c i e p ł a w c i a ł a c h s t a ł y c h sformułowane z o s t a ł y p r z e z J . F o u r i e r a w d z i e l e "Théo­

r i e a n a l y t i q u e de l a c h a l e u r " , k t ó r e u k a z a ło s i ę w 1822 r . W c ią g u u b ie g łe g o wieku b a d a n ia w t e j d z i e d z i n i e prowadzone by­

ł y p r z e d e w szystkim na b a z i e a n a l i z y F o u r i e r a . R e z u l t a t y t y c h p r a c z n a l a z ł y swe o d b i c i e w opublikowanym w 1906 r . d z i e l e H.S.

C arslaw a " I n t r o d u c t i o n t o t h e Theory o f F o u r i e r ’ s S e r i e s and I n t e g r a l s and t h e M ath e m a tic a l Theory o f t h e C onduction o f H e a t " .

W p i e r w s z e j p o ło w ie XX wieku obok znacznego ro zw o ju metod a n a l i t y c z n y c h r o z p o c z ą ł s i ę inten sy w n y rozw ój badań z a g a d n ie ń p rz e w o d z e n ia c i e p ł a za pomocą metod numerycznych. Podstawy me­

t o d y r ó ż n i c skończonych p o d a ł C. Runge w 1908 r . w p r a c y "Über e i n e Methode d e r p a r t i a l l e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g , JU=Constaos n u m e ris c h zu i n t e g r i e r e n " . W c i ą g u p ie rw s z y c h c z t e r d z i e s t u l a t p r a k t y c z n e z a s to s o w a n ie t y c h metod, k t ó r e t e o r e t y c z n i e znacz­

n i e s i ę r o z w i n ę ł y , b y ło o g r a n ic z o n e ze względu na t r u d n o ś c i n a t u r y rach u n k o w ej. Radykalna zmiana w t e j d z i e d z i n i e n a s t ą p i ­ ł a w c ią g u o s t a t n i c h d w u d ziestu l a t , w wyniku p o w s ta n ia nowych u r z ą d z e ń o b lic z e n io w y c h - e le k tro n o w y c h maszyn cyfrow ych.

E lektronow e maszyny cyfrowe S p ły n ę ł y n i e t y l k o na in ten sy w ­ ny rozw ój i s t n i e j ą c y c h metod matem atycznych, a l e spowodowały p o w s t a n ie nowych metod, a nawet c a ł y c h g a ł ę z i m a tem aty k i.

J e d n ą z nowych metod j e s t metoda Monte C a r l o , z n a j d u ją c a s z e r o k i e z a s to s o w a n ie w r ó ż n y c h d z i e d z i n a c h n a u k i .

W m o n o g ra fia c h i p u b l i k a c j a c h z d z i e d z i n y p rzew o d zen ia c i e ­ p ł a n i e zwrócono d o ty c h c z a s uwagi na p r a k ty c z n e m ożliw ości r o z ­ w ią z a ń s z e r e g u z a g a d n ie ń , związane z zastosowaniem t e j nowo­

c z e s n e j metody.

Celem n i n i e j s z e j p r a c y b y ło o k r e ś l e n i e z a l e ż n o ś c i i m o de li s to c h a s t y c z n y c h , u m o ż liw ia ją c y c h a n a l i z ę problemów zw iązanych z przew odzeniem c i e p ł a w c i a ł a c h s t a ł y c h , za pomocą metody Monte C a r l o . W r e z u l t a c i e podano za s a d y s to s o w a n ia metody Monte C a rlo do podstawowych z a g a d n ie ń u s t a l o n e g o i n i e u s t a ­ lo n e g o p rz e w o d z e n ia c i e p ł a w c i a ł a c h s t a ł y c h o r a z n a ś w ie tl o n o z a l e t y i wady w y n ik a ją c e z w ła ś c iw o ś c i k ie r u n k u z a s to s o w a ń .

P r a c a wykonana z o s t a ł a w K a te d r z e C ie p ln y c h Maszyn W irn i­

kowych. K ierow nikow i K a te d r y Panu p r o f . zw. n . t . K azim ierzo ­ wi K u t a r b i e , k t ó r y p r z y wykonywaniu n i n i e j s z e j p r a c y o k a z a ł dużo ż y c z l i w o ś c i i z a i n t e r e s o w a n i a składam t ą d r o g ą s e r d e c z n e sło w a p o d z ię k o w a n ia .

P rag n ę ró w n o c z e ś n ie s e r d e c z n i e podziękować Panu p r o f . d r i n ż . Janow i S z a r g u to w i za cenne uwagi i s u g e s t i e p r z e d s t a w i o ­ ne w p rzep ro w ad zon y ch ze mną d y s k u s j a c h na te m a t s z e r e g u oma­

w ian y ch z a g a d n ie ń .

O. WSTĘP

Wymiana c i e p ł a d r o g ą p rz e w o d z e n ia z a c h o d z i p r a w ie we w s z y s t­

k i c h maszynach i u r z ą d z e n i a c h e n e r g e ty c z n y c h . A n a l i z a te g o z j a ­ w is k a j e s t i n t e g r a l n ą c z ę ś c i ą o b l i c z e ń p ro je k to w y c h i k o n s t r u k ­ c y j n y c h maszyn c i e p l n y c h . Problem ma s z c z e g ó ln e z n a c z e n ie p r z y p r o j e k t o w a n i u t u r b i n parowych i p r z e d e w szystkim t u r b i n gazo­

wych, p r a c u j ą c y c h p r z y wysokich t e m p e r a t u r a c h . Optymalna spraw­

n o ś ć t u r b i n c i e p l n y c h j e s t o s ią g a n a p r z y s to s o w a n iu wysokich t e m p e r a t u r i c i ś n i e ń c z y n n ik a r o b o c z e g o . Wywołuje t o duże na­

p r ę ż e n i a c i e p l n e w ele m e n ta c h k o n s t r u k c j i i wymaga s to s o w a n ia m a t e r i a ł ó w k o n s tr u k c y j n y c h o d p o w ied n iej w y tr z y m a ło ś c i.

A n a li z a wymiany c i e p ł a p r z e z p rz e w o d z e n ie j e s t ś c i ś l e zwią­

z a n a z badaniem p o l a t e m p e r a t u r w c i a ł a c h s t a ł y c h . W pewnych wypadkach o k r e ś l e n i e r o z k ła d u t e m p e r a t u r j e s t głównym zada­

niem , j a k np. p r z y p r o je k t o w a n iu ł o p a t e k tu r b in o w y c h , komór s p a l a n i a , dysz s i l n i k ó w odrzu to w y ch, k t ó r e winny pracow ać p r z y pewnych o g r a n ic z o n y c h te m p e r a t u r a c h . W in n ych n a t o m i a s t p r z y ­ p a d k a c h , z a g a d n ie n i e r o z k ła d u t e m p e r a t u r j e s t zag a dn ien iem b a ­

zowym, um ożliw iającym o k r e ś l e n i e n a p r ę ż e ń t e r m ic z n y c h .

Można wskazać c z t e r y z a s a d n i c z e r o d z a j e metod w yznaczania p o l a te m p e r a t u r w c i a ł a c h s t a ł y c h : a n a l i t y c z n e , numeryczne, w y k r e ś ln e i e k s p e r y m e n ta ln e .

Metody a n a l i t y c z n e p o z w a la ją na z n a l e z i e n i e z a l e ż n o ś c i tem­

p e r a t u r y od w sp ó łrzęd n y ch i c z a su w p o s t a c i wzoru m atematycz­

n e g o . P raw ie we w s z y s t k ic h p rz y p a d k a c h zasto so w ań p r a k ty c z n y c h u k ła d r z e c z y w i s t y musi być u p r o s z c z o n y p r z e z i d e a l i z a c j ę p a r a ­ metrów r z e c z y w i s t y c h , aby z a d a n ie mogło być ro z w ią z a n e na d r o ­ d z e a n a l i t y c z n e j . W t e n sposób w o d n i e s i e n i u do z a g a d n ie ń p r a k ­ t y k i i n ż y n i e r s k i e j otrzym ane w yniki n i e s ą dokładnym r o z w ią z a ­ niem problemu r z e c z y w i s t e g o . N iew ątp liw ą n a t o m ia s t z a l e t ą me­

t o d a n a l i t y c z n y c h s tan o w i możliwość p a r a m e t r y z a c j i r o z w ią z a ń .

Metody numeryczne u m o ż liw ia ją r o z w i ą z a n i e s z e r e g u z a g a d n ie ń , k t ó r y c h r o z w i ą z a n i e a n a l i t y c z n e j e s t b a rd z o .u tru d n io n e lu b p r a k ­ t y c z n i e n ie m o ż liw e . Podstawą t y c h metod j e s t a n a l i z a r ó ż n i c s k o ń c z o n y c h , b ąd ź d ro g ą z a s t ą p i e n i a ró w nan ia różniczkow ego - rów­

n a n ia m i ró żn ic o w y m i, bądź p r z e z u z y s k a n ie u kładu równań r ó ż n i c o ­ wych b e z p o ś r e d n i o d ro g ą e le m e n ta r n y c h b ila n s ó w c i e p l n y c h .

Metody w y k re ś ln e o p i e r a j ą s i ę na t a k i c h samych z a s a d a c h j a k metody numeryczne, p o s i a d a j ą je d n a k m n ie js z y z a k r e s s to s o w a l­

n o ś c i , a otrzym ane w y n ik i m n i e j s z ą d o k ła d n o ś ć .

Metody e k s p e r y m e n ta ln e p o l e g a j ą na b e z p o ś r e d n i c h p o m iarach t e m p e r a t u r w p o s z c z e g ó ln y c h p u n k ta c h badanego o b i e k t u lu b po­

m i a r a c h p aram etró w p o l a modela f i z y c z n e g o sy m ulującego p o le t e m p e r a t u r . W tym o s t a t n i m p rzy p ad k u s ą t o metody a n a l o g i i ek­

s p e r y m e n t a l n e j .

W szy stk ie wskazane metody p o s i a d a j ą pewne z a l e t y i wady.

Z a s to s o w a n ie o k r e ś l o n e j metody do k o n k re tn e g o z a d a n ia winno b yć u z a l e ż n i o n e od warunków z a d a n i a , d o p u szcza ln eg o n ak ład u p r a c y i p o ż ą d a n e j d o k ł a d n o ś c i r o z w i ą z a n i a .

P r z e d s ta w io n a w n i n i e j s z e j p r a c y metoda Monte C a rlo w za­

s to s o w a n iu do z a g a d n ie ń p rz e w o d z e n ia c i e p ł a , s ta n o w i p o ł ą c z e ­ n i e metody num erycznej z metodą a n a l o g i i e k s p e r y m e n ta l n e j.

Otrzymane na z a s a d z i e a n a l i z y r ó ż n i c skończonych ró w nan ia o - g ó l n e s ą r o z w ią z a n e metodą a n a l i z y modelu s t o c h a s t y c z n e g o .

R o zw iąz an ie z a g a d n ie ń p rz e w o d z e n ia c i e p ł a t ą metodą d a j e s z e r e g nowych m o ż liw o ś c i, a l e r ó w n ie ż związane j e s t z pewnymi u t r u d n i e n i a m i , z k t ó r y c h na pierw szym m ie js c u n a l e ż y wymienić b ezw zg lęd n ą k o n ie c z n o ś ć s to s o w a n ia e le k tro n o w y c h maszyn c y f r o ­ wych. Wydaje s i ę , że sposób t e n r o z s z e r z y i s t n i e j ą c y w ach la rz m etod, a d l a pewnych z a g a d n ie ń okaże s i ę n a j d o g o d n i e j s z y .

P ie r w s z e p r a c e związane z zastosow aniem metody Monte Car­

l o do r o z w i ą z a n i a równań różn ic zk o w y ch cząstkow ych ty p u e l i p ­ ty c z n e g o i p a r a b o l i c z n e g o u k a z a ły s i ę w 1951 r . [ 6 , 14, 2 J , 2 4 ] . Rozważania przeprow adzone w t y c h p r a c a c h mogły z n a le ź ć z a s to s o w a n ie do z a g a d n ie ń u s t a l o n e g o i n i e u s t a l o n e g o przewo­

d z e n i a c i e p ł a z warunkami brzegowymi p ie rw s z e g o r o d z a j u . W do-

s t ę p n e j l i t e r a t u r z e b r a k je d n a k i n f o r m a c j i w sk a z u ją c e j na wy­

k o r z y s t a n i e t y c h metod do z a g a d n ie ń c i e p l n y c h . Wynikło t o p r z y ­ p u s z c z a l n i e z b a rd z o o g ran ic zo n eg o za k re su występow ania zadań z pierwszym warunkiem brzegowym w z a g a d n ie n ia c h i n ż y n i e r s k i c h d o ty c z ą c y c h p rzew o d zen ia c i e p ł a .

W p r a c y n i n i e j s z e j p r z e d s ta w io n o m ożliw ości u o g ó l n i e n i a za­

k r e s u s t o s o w a ln o ś c i metody do p r a k ty c z n y c h z a g a d n ie ń przewo­

d z e n i c i e p ł a .

W r o z d z i a l e 1 omówiono l o g i c z n e podstawy metody Monte C ar- l o . W r o z d z i a l e 2 podano wzory u m o ż liw ia ją c e ro zw iązyw anie za­

g a d n i e n i a s t a c j o n a r n e g o bez wewnętrznych ź r ó d e ł c i e p ł a p r z y r ó ż n y c h warunkach brzegowych3^ . R o z d z i a ł 3 poświęcono r o z w i ą ­ zywaniu z a g a d n ie n ia s t a c j o n a r n e g o z wewnętrznymi źró d ła m i c i e ­ p ł a , W r o z d z i a l e 4 p r z e d s ta w io n o z a l e ż n o ś c i d o ty c z ą c e rozwiązywa­

n i a z a g a d n ie ń n i e s t a c j o n a r n y c h . W r o z d z i a l e 5 omówiono problem d o k ła d n o ś c i r o z w ią z a ń o r a z problem ^ związane z a l g o r y t m i z a c j ą i programowaniem r o z w ią z a ń d l a o b l i c z e ń na e le k tro n o w y c h ma­

s z y n a c h cyfrow ych. Liczbowe p r z y k ła d y ro z w ią z a ń podano w p r z y ­ p i s a c h .

1 . METODA MONTE CARLO

Metoda Monte C a rlo s tan o w i ś r o d e k a n a l i z y zdeterminowanych z j a w i s k f i z y c z n y c h lu b z a l e ż n o ś c i matematycznych p r z y pomocy modelu p r o b a b i l i s t y c z n e g o .

Ś c i ś l e zdeterminowane p r o c e s y f i z y c z n e o p i s u j ą n a j c z ę ś c i e j ró w n an ia ró żn iczko w e lu b całkow e. Badanie p r z e b i e g u t y c h p r o ­ cesów p o le g a na r o z w ią z a n iu a n a lity c z n y m lu b numerycznym rów­

n a ń , bądź na b a d a n iu in n y c h procesów f iz y c z n y c h opisyw anych a n a lo g ic z n y m i rów nan iam i.

y ) R ozw iązanie podstawowych problemów obejm ujących t e n r o z d z i a ł podano w opublikow anych u p rz e d n io p r a c a c h [1 5, 2 0 ] .

I s t o t ą metody Monte C arlo j e s t zbudowanie s z tu c z n e g o p r o c e ­ su s t o c h a s t y c z n e g o o r o z k ł a d z i e param etrów s p e łn i a ją c y m zw iąz­

k i o p i s u j ą c e zdeterm inow ane z ja w isk o f i z y c z n e . W ie lo k ro tn e mo­

d e lo w a n ie p r z e b i e g u p r o c e s u s to c h a s t y c z n e g o um ożliw ia wyznacze­

n i e p r z y b l i ż o n e g o r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a f i z y c z n e g o . Dla w ie­

l u problemów u z y s k a n ie r o z w i ą z a n i a na t e j d rodze może okazać s i ę b a r d z i e j celow e i d o g o d n i e j s z e , n i ż p r z e z s to s o w a n ie kon­

w e n c jo n a ln y c h metod numerycznych.

Podstawowe z a s a d y metody w y k o r z y s ta n ia modelu p r o b a b i l i s t y c z ­ nego do r o z w i ą z a n i a problemów m atematycznych o n i e s t o c h a s t y c z - nym c h a r a k t e r z e , w s k a z a l i von Neumann i Ułam w 1945 r . x . P r a ­ ce von Neumanna i Ulama n i e z o s t a ł y opublikowane w 1945 r . , a l ­ bowiem z a s to s o w a n ie i c h d o ty c z y ło b ad ań nad b r o n i ą atomową.

W l a t a c h 1947-1949 F erm i, M e tr o p o l is i Ułam z a s t o s o w a l i me­

t o d ę Monte C a rlo do ro zw iąz y w ania ró w n an ia S c h r ö d in g e r a [1 1, 1 8 ] . P ie r w s z a p u b l i k a c j a o p i s u j ą c a metodę Monte C arlo u k a z a ła s i ę w 1949 r . a u t o r a m i j e j b y l i w sp ó łp raco w n icy F e r m i’ ego - M e t r o p o l i s i Ułam [11] . N a to m ia s t p ie r w s z e p r a c e zw iązane z za s to s o w a n ie m metody do z a g a d n ie ń f i z y c z n y c h z o s t a ł y o g ło s z o n e na sem in ariu m I.B .M . w Nowym J o r k u w 1949 r . a opublikowane d ru k ie m w 195 1 r . [1 4 ].

In ten sy w n y ro zw ó j metody n a s t ą p i ł na s k u te k p r a k t y c z n e j mo­

ż l i w o ś c i r e a l i z a c j i o b l i c z e ń p r z y pomocy e le k tro n o w y c h maszyn c y fro w y c h , m o d e lu ją c y c h p r z e b i e g p r o c e s u s t o c h a s t y c z n e g o .

W r o z w i ą z a n i u z a g a d n ie n i a f iz y c z n e g o metodą Monte C arlo można w yodrębnić t r z y z a s a d n i c z e e t a p y :

1° O k r e ś l e n i e modelu p r o b a b i l i s t y c z n e g o z a g a d n i e n i a .

2° Symulowanie p rz e b ie g ó w p r o c e s u s to c h a s t y c z n e g o p o łą c z o ­ ne ze s t a t y s t y k ą r e z u l t a t ó w .

Pewne e le m e n t a r n e m o ż liw o ś c i zw iązane z modelowaniem p r o b a ­ b i l i s t y c z n y m znane b y ł y z n a c z n ie w c z e ś n i e j . P r a c e P a r y s k i e j Akademii z 1773 r . o p i s u j ą tz w . problem i g ł y , podany p r z e z G.L. B u ffo n a , k t ó r y w yznaczył n a z a s a d a c h p r o b a b i l i s t y c z ­ nych l i c z b ę JT .

3° Wyznaczenie r o z w ią z a n ia na p o d s ta w ie s t a t y s t y k i .

N a j b a r d z i e j p r a c o c h ło n n y e t a p d r u g i r e a l iz o w a n y j e s t p rz y pomocy ele k tro n o w y c h maszyn cyfrow ych. P r z e b ie g procesów s t o ­ c h a s ty c z n y c h od tw arzan y j e s t według k o l e j n o ś c i występowania l i c z b losow ych, w zględ n ie z a s tę p u ją c y c h j e l i c z b pseudo losowych uzyskiw anych p r z y pomocy programu g e n e r a t o r a l i c z b p s e u d o lo s o - wych.

N ależy zw rócić uwagę, że d l a r o z w ią z a n ia t e g o samego zagad­

n i e n i a można z a s to so w ać modele o r ó ż n i ą c y c h s i ę z a s a d n ic z o s c h e m a ta c h . Dobór odpow iedniego modelu może wpłynąć na p r z y ­ s p i e s z e n i e to k u o b l i c z e ń . Sposoby r e a l i z a c j i wskazanych powy­

ż e j etapów p r z e d s ta w io n e z o s t a n ą szczegółowo w n a s tę p n y c h r o z ­ d z i a ł a c h .

2 . USTALONE PRZEWODZENIE CIEPŁA.

W CIAŁACH STAŁYCH BEZ ŹRÓDEŁ WEWNĘTRZNYCH

Z a g a d n ie n ie u s t a l o n e g o p rz ew o d zen ia c i e p ł a w c i a ł a c h s t a ł y c h o p rz ew o d n o ści A, b e z wew nętrznych ź r ó d e ł c i e p ł a sprowadza s i ę do p o s z u k iw a n ia r o z k ł a d u t e m p e r a t u r y w p o s t a c i f u n k c j i 1?(.P ) ,

(P 6 4 2 ) , s p e ł n i a j ą c e j ró w n an ie

V ( A V J ^ ) = 0 ( 2 . 1 )

w o b s z a r z e £1 o r a z warunki brzegow e na b rz e g u o b s z a ru f o . Na dow olnej c z ę ś c i b rz e g u o b s z a r u Ha może z a c h o d z ić je d e n z n a s t ę p u j ą c y c h warunków:

a ) O k reślo n y r o z k ł a d t e m p e r a t u r na b rzeg u

^ ( P p ) = t ( P p ) ( P p 6 ) ( 2 . 2 )

g d z i e : t ( P ) - f u n k c j a o k r e ś l a j ą c a t e m p e r a t u r ę p ły n u o t a c z a j ą ­ cego c i a ł o s t a ł e .

J e s t t o warunek brzegowy p ie rw s z e g o r o d z a j u .

b) Określony rozkład strumienia cieplnego na brzegu

- A V ^ ( P p ) = q(P p ) ( 2 . 3 )

g d z i e : q ( P ) - f u n k c j a o k r e ś l a j ą c a s tr u m i e ń c i e p l n y .

Związek t e n n o s i nazwę warunku brzegowego d r u g ie g o r o d z a j u . P rzy p adek s z c z e g ó l n y z a c h o d z i p r z y q(P r ) = 0 , t j . p r z y i d e a l n e j i z o l a c j i b r z e g u :

V ^ ( P r ) = 0 ( 2 . 4 )

c ) O k reślo n y j e s t zw iąz ek m iędzy t e m p e r a t u r ą i j e j g r a d i e n ­ tem na p o w ie r z c h n i:

A V *K P r ) + r f ( P r ) J > ( P p ) - t ( P r )] = 0 ( 2 . 5 ) g d z i e : ćC(Pr ) - w s p ó łc z y n n ik przejm o w an ia c i e p ł a .

Z ależn o ść t a nazywana j e s t warunkiem brzegowym t r z e c i e g o r o d z a j u .

d ) O k re ś lo n a j e s t wymiana c i e p ł a p r z e z p r z e w o d z e n ie , pomię­

d z y s ty k a j ą c y m i s i ę c i a ł a m i s t a ł y m i .

J e ż e l i na p o w ie r z c h n i s ty k u z a c h o d z i i d e a l n y k o n t a k t c i e p l ­ ny t o

J ^ ( Pp ) = ^ 2 (P r ), ( 2 . 6 )

A 1 V * V V = * 2 V *2 (P r ) . ( 2 . 7 )

g d z i e : w s k a ź n ik i 1 , 2 d o t y c z ą od p o w ied n io , s t y k a j ą c y c h s i ę o b ie k tó w .

W p rzy p ad k u k o n t a k t u n i e i d e a l n e g o z a m ia s t ró w n ania ( 2 . 6 ) z a c h o d z i zw iązek:

(Pp ) - li

(

.

)

g d z i e : E - opór c i e p l n y p o ł ą c z e n i a k ontaktow ego.

O k r e ś l e n i e na ró ż n y c h c z ę ś c i a c h b r z e g u c i a ł a s t a ł e g o wymie­

n io n y c h wyżej warunków w d ow olnej k o m b i n a c ji , um ożliw ia w sp o ­ sób jednoznaczny z n a l e z i e n i e f u n k c j i iHp) s p e ł n i a j ą c e j rów­

n a n i e ( 2 . 1 ) , [ 1 , 9 , 1 2 ] .

2 . 1 . P ie r w s z e z a g a d n ie n i e brzegowe

W z a g a d n ie n i a c h d o ty c z ą c y c h iz o tro p o w y c h c i a ł s t a ł y c h rów­

n a n i e ( 2 . 1 ) można p r z e d s t a w i ć w p o s t a c i ró w n an ia L a p l a c e ’a:

W dalszym c i ą g u ro z p a tr y w a ć będziemy z a g a d n ie n i e dwuwymia­

rowe w o b s z a r z e SI , zorientowanym przy pomocy p r o s to k ą t n e g o u k ła d u w s p ó łrz ę d n y c h , t j . rów nanie

Poszukiw ana j e c t f u n k c j a i ^ ( x , y ) s p e ł n i a j ą c a rów nanie ( 2 .1 0 ) o raz na b r z e g u o b s z a r u warunek:

2

V & = O ( 2 . 9 )

(

.

)

* K x ,y ) = t ( x , y ) (2.1 1)

gdy P ( x ,y ) 6 Pjj .

W t e o r i i równań różniczkow ych cząstkow ych problem t e n ma nazwę z a g a d n i e n i a D i r i c h l e t a .

Celem p r z y b l i ż o n e g o r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a ro z p a trz m y ob­

s z a r <£2, k t ó r y można p o d z i e l i ć n a s k o ń czo n ą c a ł k o w i t ą l i c z b ę kwadratów o boku h .

Zastąpim y o b s z a r r z e c z y w i s t y obszarem siatkowym SI' ( r y s . 1 ) . Przyjmiemy p u n k t O ( 0 , 0 ) wewnątrz

o b s z a r u . Poprowadzimy na p ł a s z c z y ź - XOY dwie r o d z in y p r o s t y c h , równo­

l e g ł y c h do o s i u k ła d u w s p ó ł r z ę d ­ nych w t e n spo só b by p o w s t a ł a s i a t ­ ka kwadratowa o boku h , p rzy czym p o c z ą t e k u k ła d u b y ł węzłem s i a t k i .

O bszar sia tk o w y Si ' s k ł a d a ć s i ę b ę d z i e z węzłów, s ta n o w ią c y c h w i e r z c h o ł k i kwadratów. Węzeł P.

1!’ ^h

E p

VO/ł

p 'm.n-1

0

R y s. 1 . O bszar s iatk o w y

nazywać będziemy wewnętrznym j e ż e ­

l i węzły Pm,n+1* ^ m - l j n

o r a z Pm ró w n ie ż n a l e ż ą do ob­

s z a r u SI . Z b ió r węzłów w ew nętrz­

nych oznaczymy SI h . W szy stk ie po­

z o s t a ł e węzły będziemy nazywać brzegowymi. Z b ió r węzłów b r z e g o ­ wych oznaczymy r

Z a s t ę p u j ą c w ró w n an iu L a p l a c e ’a pochodne czą stk o w e r ó ż n i ­ cami skończonym i, lu b z e l e m e n ta r n y c h b ila n s ó w c i e p l n y c h , o - trsymujemy z a m i a s t ró w n a n ia ( 2 . 1 0 ) , zw iązek obow iązujący d l a węzłów w ew nętrznych:

m,n 4 ^ m + 1 ,n + *m,n+1 + ^ m -1 ,n+ ^ m,n-1 ^ ( 2 .1 2 )

Wprowadzając z a p i s sym boliczny [7 ] s

^ j n + l

, n ^ j n ^ ł l j H

^ » n - l

= ^ » n ^ . n + S + I j n ^ m + I . n + ^ . n + l ^ m jn + l * ^ - 1 ,n*m-1 t n +

, ( 2 .1 3 )

+ ^ j n - l ^ m j n - l

Związek ( 2 .1 2 ) można p r z e d s t a w i ć w p o s t a c i :

t = 1 ( i o i W m „ ( 2 .1 2 a )

m ,n ^ L 1 ^{j *}

D la węzłów brzegowych b e z p o ś r e d n i o z ró w n an ia ( 2 . 1 1 ) mamy:

= t,m,n ( 2 .1 1 a )

Model p r o b a b i l i s t y c z n y dwuwymiarowego z a g a d n i e n i a D i r i c h l e - t a p o d a ł Yowell [24-J. Modelować będziemy tzw. r u c h błęd n y c z ą ­ s t e c z k i na p ł a s z c z y ź n i e . C z ą s t e c z k a z n a j d u j ą c a s i ę chwilowo w w ęźle Fm p r z e c h o d z i w elementarnym ru c h u do jednego z s ą ­

s i e d n i c h punktów Pm+1jn. Pm,n-1* Wybór punk~

t u ma c h a r a k t e r losow y, p rzy czym praw dopodobieństw o p r z e j ś c i a do każdego z ty c h punktów j e s t jednakowe i w ynosi 1 / 4 . Czą­

s t e c z k a b ę d z i e k o l e j n o p r z e m ie s z c z a ć s i ę po w ę z ła c h s i a t k i i z prawdopodobieństwem równym 1 , w s e r i i s k ł a d a j ą c e j s i ę ze s k o ń c z o n e j l i c z b y ruchów e le m e n ta r n y c h , o s i ą g n i e b r z e g obsza­

r u , na którym r u c h c z ą s t e c z k i z o s t a j e zakończony.

P o w t a r z a j ą c a n a l o g i c z n i e s e r i e ruchów G. r a z y , można zauwa-

u

ż y ć , że c z ą s t e c z k a wychodząca z p u n k tu Pm o s i ą g n i e k^ r a ­ zy p u n k t P ^ , k2 r a z y p u n k t P2 , . . . , kr ra z y p u n k t Pr ( p . e r v ) .

•1 n

P rzy czym

x

Z k i = <?k ( 2 *14)

i = 1

J e ż e l i punktom P^ przyporządkow ane s ą w a r t o ś c i f u n k c j i P ^ wg w zoru ( 2 . 1 1 a ) , t o oczekiw ana w a r to ś ć końcowa ruchów

r o z p o c z y n a ją c y c h s i ę w Pm Q w y n ie s ie :

Z

• ' » . n = ^

Można w ykazać, że f u n k c j a o k r e ś l o n a powyższym wzorem s t a n o ­ wi r o z w i ą z a n i e ró w n an ia ró żnico w eg o ( 2 .1 2 ) , a więc p r z y b l i ż o ­ ne r o z w i ą z a n i e z a g a d n i e n i a D i r i c h l e t a .

O pisany model p r o b a b i l i s t y c z n y z r e a liz o w a ć można na maszy­

n i e c y f r o w e j p rz y pomocy n a s t ę p u j ą c e g o a lg o ry tm u . Z programu g e n e r a t o r a l i c z b pseudolosow ych uzyskiwany j e s t c i ą g l i c z b z p r z e d z i a ł u [ 0 , 1 ) , o równomiernym r o z k ł a d z i e . P d j a w i e n i u s i ę l i c z b y 0<C L < 1 / 4 odpowiada p r z e j ś c i e c z ą s t e c z k i - z p u n k tu P_iii j XI w k i e r u n k u poziomym do p u n k tu P_ ,, HI“ i jli, A n a lo g i c z n ie p o ja w i e n ie s i ę l i c z b losow ych L z p r z e d z i a ł ó w [ 1 / 4 , 1/2), [ 1 / 2 , 3 / 4 ) , [ 3 /4 ,1 ) powoduje p r z e s u n i ę c i e s i ę c z ą s t e c z k i odpowiednio do

punktów Pmjn+1. pm+1jn» pm,n-1* w? b ó r p r z e d z ia łó w i p rz y p o ­ rząd k o w an ie kierunków ruchów j e s t t u t a j swobodne, je d n a k z z a ­ chowaniem odpow iedniego r o z k ł a d u praw dopodobieństw a =

= pm,n+1= pm -1 ,n = pm,n-1 = 4*

P o dobnie do symbolu o k re ś lo n e g o wzorem ( 2 .1 3 ) wprowadzimy sym boliczny z a p i s r o z k ł a d u praw dopodobieństw ru c h u c z ą s t e c z k i w p o s z c z e g ó ln y c h k ie r u n k a c h w p o s t a c i :

Pr =

pm,n+1

pm -1fn pm,n pm+1,n

pm,n-1

( 2 .1 6 )

g d z i e : Pffl+-] n - oznacza praw dopodobieństwo p r z e j ś c i a c z ą s t e c z k i z p u n k tu P ^ n do p u n k tu Pm+1>n

pmfn+1 " d0 p u n k tu Pm,n+1 pm -1,n “ do Pu n k tu Pm_1fD

Pm, n-1 - d0 Pm, n-1

p'r rm,n - o znacza praw dopodobieństw o p o z o s t a ­ n i a c z ą s t e c z k i w p u n k c ie Pm,n

2 Pr , j = 1 o raz pr , j e f ° » 1J 0

O czyw iście

W c e l u u p r o s z c z e n i a z a p i s u może otoggiać s i ę wygodne z a s t ą ­ p i e n i e w t a b l i c y ( 2 . 1 6 ) l i c z b p . li c z b a m i do n i c h p r o p o r - c jo n a ln y m i p .. Wtedy p_ . € [O f °o ) .t v

1 »J r • J

W dalszym c i ą g u uznamy za równoważue z a p i s y :

( 2 . 1 6 a )

/ N s N

pm,n+1 pm,n+1

Pm-1 ,n Pm ,n pm+1 ,n 2 pm-1 ,n pm,n Pm+1 ,n

pm ,n-1 pm ,n-1

p rzy czym PT f3 = pr t ó / E pr ł j .

15

A lgorytm p r z e w i d u j e r e a l i z a c j ę do w o ln ej l i c z b y s e r i i ruchów b łę d n y c h r o z p o c z y n a ją c y c h s i ę w P _{iu |U} . W r e z u l t a c i e wyznaczone s ą w a r t o ś c i :

( 2 . 1 7 ) d=1

g d z i e : ^ = 1 , j e ż e l i s e r i a z a k o ń c z y ła s i ę w P^

o r a z Ą j = 0 , j e ż e l i s e r i a z a k o ń c z y ła s i ę n i e w Pi f

Wyznaczone l i c z b y k^ p o z w a la ją n a o b l i c z a n i e w a r t o ś c i f u n k c j i w ed łu g w zoru (2^.1 5^{) ,}

W zw iązk u z wprowadzeniem z a p i s u sy m b o liczn eg o r o z k ł a d u praw d op o d o b ień stw ( 2 . 1 6 ) , uogólnimy go w t e n sp osó b by można b y ło o b ją ć nim d a l e j r o z p a tr y w a n e z a g a d n i e n i a .

O z n a c z e n ie p^ Q w ś r o d k u t a b l i c y ( 2 .1 6 ) może d o ty c z y ć n a s t ę p u j ą c y c h t r z e c h przypadków:

1 . C z ą s t e c z k a , k t ó r a z a t r z y m a ł a s i ę w p u n k c ie wyjściowym, może w następnym elem entarnym ru c h u p r z e m i e ś c i ć s i ę do p u n k tu s ą s i e d n i e g o l u b d a l e j p o z o s t a ć chwilowo w m i e j s c u . Dotyczy to dowolnego p u n k tu o b s z a r u .

2. C z ą s t e c z k a z o s t a j e w p u n k c ie p o c h ł o n ę t a , kończąc s e r i ę . D otyczy t o punktów p o ło ż o n y c h n a b r z e g u zewnętrznym o b s z a r u . W tym p r z y p a d k u p unktow i p o c h ł o n i ę c i a będziemy p rz y p o rz ą d k o ­ wywać w a r t o ś ć f u n k c j i t ±t o d p o w ia d a ją c ą punktow i n a l e ż ą c e ­ mu do o t o c z e n i a badanego o b s z a r u , k t ó r y p r z y l e g a b e z p o ś r e d n i o do m i e j s c a p o c h ł o n i ę c i a c z ą s t e c z k i .

3 . J e ż e l i c z ą s t e c z k a z n a j d u j e s i ę w p u n k c ie położonym na l i n i i s t y k u dwóch o b szaró w , t o p o z o s t a j ą c w p u n k c ie w y j ś c i o ­ wym, może z o s t a ć przy p o rząd k o w an a drugiem u o b s z a r o w i, s t y k a ­ jącemu s i ę z o b szarem , w którym zjgjpjdowała s i ę p r z e d ruchem e lem entarny m .

D la punktów wewnętrznych o b s z a r u z a c h o d z i t y l k o p ie r w s z a m o żliw o ść, a więc t a b l i c a ro zk ład ó w praw dopodobieństw ruchów c z ą s t e c z k i j e s t n a s t ę p u j ą c a :

Pr =

P 1

^m,n+1

pm -1,n pm,n pm+1,n

pm,n-1

( 2 .1 3 )

g d z i e : Pm n ~ oznacza praw dopodobieństw o chwilowego zatrzy m a­

n i a c z ą s t e c z k i w p u n k c ie pm _ , p o z o s t a ł e o z n a - ul jli

c z e n i a j a k w ( 2 . 1 6 ) .

W p rzy p ad k u punktów brzegowych mogą być do wyboru możliwo­

ś c i 1 i 2 . Rozkład praw dopodobieństw o k r e ś l a t a b l i c a :

r i 1»2

pm,n+1

pm-1,n - m .n P°m.n

hdh-1 ,n

pm, n—1

( 2 . 1 9 )

g d z ie : pm n - oznacza praw dopodobieństw o p o c h ł o n i ę c i a c z ą ­O s t e c z k i w p u n k c ie Pffi ,

p o z o s t a ł e o z n a c z e n ia ja k w ( 2 . 1 6 ) .

Dla u p r o s z c z e n i a z a p i s u będziemy uważać za równoważne symbo­

l e :

pm,n+1

pia,D

pm,n+1

pm - 1 ,n 0 Pm+1,n pm ,n -1

pm - 1 ,n pm,n pm+1,n pm ,n-1

( 2 . 1 9 a )

oraz

pm,n+1

0 _

pm,n+1

pm -1,n o ^m+1,n

ym,n pm -1,n o pm+1,n

pm,n

pm,n-1 ^ pm,n-1

(2.19t> )

W p rz y p a d k u punktów p o ło ż o n y c h na wspólnym b r z e g u dwu ob­

szarów mogą z a c h o d z ić r ó w n o c z e ś n ie m o ż liw o ś c i 1 i 3 . Wtedy r o z ­ k ł a d praw d o p o do b ień stw o k r e ś lo n y może być p rzy pomocy t a b l i c y :

pm,n+1

pm -1 ,n pm,n

J

pm,n-1 r.1.3

g d z i e : p” Q - o zn ac za praw dopodobieństw o p o z o s t a n i a c z ą s t e c z ­ k i w p u n k c ie wyjściowym z ró w n o czesn ą zmianą p r z y p o rz ą d k o w a n ia o b s z a r u ,

p o z o s t a ł e o z n a c z e n ia j a k w ( 2 . 1 8 ) .

W c e l u d a l s z e g o u p r o s z c z e n i a z a p i s u będziemy uważać za rów­

noważne sym bole:

pm,n+1 pm,n+1

pm -1,n pm,n | 0 pm+1,n pm -1,n pm,n Pm+1,n

pm,n-1 pm,n-1

( 2 .2 0 a )

oraz

pm,n+1

p m -1,n ° j pm , n p m+1,n

=

pm - 1 , n

pm,n+1

|p m,n pm +1,n (2.2Qb)

p m,n-1

pm,n-1

A n a lo g i c z n ie do ( 2 . 1 6 a ) , będziemy uznawać z a równoważne t a b l i c e , w k t ó r y c h w s z y s t k ie w i e l k o ś c i p . z a s t ą p i o n o w i e l - k o ś c ia m i do n i c h p r o p o r c jo n a ln y m i pi 9 ^J

2 . 2 . D ru g ie z a g a d n ie n i e brzegowe

Problem p o s z u k iw a n ia f u n k c j i V* ( x , y ) s p e ł n i a j ą c e j wewnątrz o b s z a r u £i ró w nan ie ( 2 . 1 0 ) o r a z warunek:

= q ( x , y ) (2 .2 1 )

gdy P ( x , y ) £ rsi , s ta n o w i d r u g i e z a g a d n ie n i e brzeg o w e, zwane ró w n ież zag a d n ien iem Neumana.

W r o z d z i a l e tym rozważymy p rzy p ad e k s z c z e g ó ln y d ru g ie g o z a ­ g a d n i e n i a brzegowego:

U - = O ( 2 .2 1 a )

d n

P rzyp ad ek ogólny r o z p a t r z o n y j e s t w u s t ę p i e 3 . 4 .

Z a g a d n ie n ie ma s e n s f i z y c z n y w ted y , j e ż e l i warunek ( 2 .2 1 a ) za c h o d z i t y l k o na c z ę ś c i b r z e g u o b s z a r u , a na p o z o s t a ł y c h c z ę ś c i a c h b r z e g u zac h o d zą in n e w arunki b rzegow e, np. ( 2 . 1 1 ) .

W p racy [15] rozważono szczegółow o t e n p rzy p ad e k i podano model p r o b a b i l i s t y c z n y , p o le g a ją c y na zm ian ie schem atu p r z e ­ m ie s z c z e ń c z ą s t e c z k i w p rzy p ad k u d o j ś c i a do b r z e g u z warun­

kiem brzegowym d r u g ie g o r o d z a j u .

Wewnątrz o b s z a r u r u c h u b łę d n e n a l e ż y modelować a n a l o g i c z n i e j a k w p rz y p a d k u z a g a d n i e n i a D i r i c h l e t a , n a t o m i a s t j e ż e l i c z ą ­ s t e c z k a d o j d z i e do b r z e g u z warunkiem ( 2 .2 1 a ) i " z a m ie r z a "

w ko lejn y m r u c h u w y jść p oza o b s z a r , to n a le ż y z m ien ić schem at ru o h u c z ą s t e c z k i , w t e n s p o só b by c z ą s t e c z k a p o w r ó c iła do wnę­

t r z a o b s z a r u . J e ż e l i n p . p r z y modelowaniu na m aszynie c y f r o ­ w e j, p r z e d o s ią g n i ę c ie m i zamierzonym p r z e k r o c z e n ie m l i n i i b rzeg o w ej z warunkiem ( 2 .2 1 a ) p o j a w i e n i u s i ę l i c z b y lo so w ej z p r z e d z i a ł u [ 0 , 1 / 4 ) odpow iadało p r z e m i e s z c z e n i e w k ie r u n k u dodatnim o s i x , to po zamierzonym p r z e k r o c z e n i u t e j l i n i i , odpowiadać b ę d z i e p r z e s u n i ę c i e w k i e r u n k u ujemnym. P o dobnie p o j a w i e n i e s i ę l i c z b y z p r z e d z i a ł u ['1 /2 , 3 / 4 ) powodować wtedy b ę l z i e r u c h w k i e r u n k u d o d atn im .

L'k%)

[%. Zz) b ) f * . A )

- M ) [o.H )

[ % 0 L3A .1 )

Rys. 2 . Schemat ruchów c z ą s t e c z k i

Ruch c z ą s t e c z k i w edług sch em atu r y s . 2a z o s t a j e z a s tą p io n y ruchem w edług sch em a tu r y s . 2 b , lu b o d w r o tn ie . Sygnałem zmia­

ny k i e r u n k u w in ie n być d o p ie r o z am iar p r z e k r o c z e n i a l i n i i b r z e ­ gow ej, albowiem c z ą s t e c z k a może z t e j l i n i i s a m o d z i e ln i e l o s o ­ wo p o w r ó c ić . Z ak o ń c zen ie s e r i i ruchów b łę d n y c h może n a s t ą p i ć t y l k o w w ę z ła c h na b r z e g u z warunkami brzegowymi ( 2 . 1 1 ) .

I s t n i e j e o p ró cz te g o d ru g a możliwość modelowania z a g a d n ie ­ n i a z warunkami a d ia te r m ic z n y m i na b r z e g u . R o z p a t r u j ą c w ęzeł poło żo n y na b r z e g u z warunkiem ( 2 . 2 1 a ) , p rz y czym d l a u s t a l e -

c

L. C r—-» fi

f “1 r

n i a uwagi przyjm iem y, że w ęzeł j e s t położony na dolnym b r z e g u o b s z a r u

( r y s . 3 ) otrzymamy rów nanie e l e m e n t a r ­ nego b i l a n s u c i e p ln e g o o t o c z e n i a wę­

z ł a :

,"m+1 . n - ł m.n h „^m.n+1 “ ^m.n

, a E " 2 + A — T . h +

| = o ( 2 .2 2 ) Rys. 3 . Obszar s i a t ­

kowy z b rzeg iem a d i a - termicznym OBCMBCE

Po p r z e k s z t a ł c e n i a c h a l g e b r a i c z ­ nych otrzymujemy:

m,n

_1_

4

2

1 0 O

t m,n ( 2 .2 2 a )

Prawdopodobieństwo r u c h u z l i n i i brzeg o w ej do w n ę tr z a ob­

s z a r u j e s t d w u k ro tn ie w ięk sze n i ż w p o z o s t a ł y c h dwu k ie r u n k a c h . D la in n y c h p o ło ż e ń węzłów na b r z e g u ad iaterm iczn ym obowią­

zywać b ę d ą z a l e ż n o ś c i a n a l o g i c z n e do ( 2 . 2 2 a ) .

P rzy p o ł o ż e n i u w ęzła na prawym b r z e g u (p u n k t A’ na r y s . 3 ) , t a b l i c ę { } we wzorze ( 2 . 2 2 a ) n a le ż y o b r ó c ić o 90° w k ie r u n k u dodatnim i podobnie d l a in n y c h p o ło ż e ń .

N ależy ró w n ie ż r o z p a t r z y ć p r z y p a d k i s z c z e g ó l n e , p o ł o ż e n i a w n a ro ż a c h zewnętrznym B lu b wewnętrznym C.

Z równań e le m e n ta rn y c h b ila n s ó w c i e p l n y c h d l a ty c h p rz y p a d ­ ków otrzymujemy:

m.n 2

1

O O

m.n ( 2 .2 2 b )

oraz

= - 4 - < 2 ^{O l l (}2^.22^{c )}

m,n 6 1 ^{( m>n}

Z powyższych równań w y n ik a ją r o z k ła d y praw dopodobieństw r u ­ chu c z ą s t e c z k i w p o s z c z e g ó ln y c h k ie r u n k a c h .

D la s z c z e g ó ln y c h przypadków u s y tu o w a n ia punktów w n a ro ż a c h te g o samego t y p u , odpowiednie wzory można otrzym ać z z a l e ż n o ­ ś c i (2.22b ) i (2.22c ) p r z e z c y k l i c z n e p r z e s t a w i e n i e elementów t a b l i c { }. Tak n p . d l a punktów Bł o raz C’ ( r y s . ? ) n a le ż y w o d p o w iedn ich w zo rach o b r ó c i ć t a b l i c e { } o 90^° w k ie r u n k u do­

d a tn im .

R e a l i z a c j a o b l i c z e ń z a g a d n i e n i a z g r a n ic a m i a d i a t e r m i c z n y - mi p r z e b i e g a a n a l o g i c z n i e j a k d l a z a g a d n i e n i a z g r a n ic a m i i z o - te rm ic z n y m i. W końcowym e t a p i e d l a w y zn acze n ia te m p e r a tu r y

^m n n a leż7 s k o r z y s t a ć ze wzoru (2.1 5) . 2 . 3 . T r z e c i e z a g a d n ie n i e brzegowe

W z a g a d n i e n i a c h p rz e w o d z e n ia c i e p ł a w y s tę p u ją c y c h w p r a k ­ ty c e i n ż y n i e r s k i e j n a j c z ę ś c i e j p o szukiw ana j e s t f u n k c j a *7’( x , y ) s p e ł n i a j ą c a wewnątrz o b s z a r u rów nanie ( 2 . 1 0 ) , o ra z warunek

- A 4 ~ = a ± [ * K x ,y ) - t l (2^.2 3⁾

cl o 1 J

gdy p ( x , y ) e r .

P ro b lem t e n n o s i nazwę t r z e c i e g o z a g a d n i e n i a brzegow ego.

R o zw iąz an ie p r z e b i e g a ć b ę d z i e p odobnie j a k w p rzy p adk u z a ­ g a d n i e n i a D i r i c h l e t a . Rozpatrzmy ponownie o b s z a r siatk o w y ( r y s . 4 ) , w którym modelować będziemy ru ch y b łę d n e c z ą s t e c z k i

[

].

2

D la z b i o r u węzłów wewnętrznych Si ^ obow iązu je n a d a l zwią­

zek ( 2 . 1 2 ) . Równanie d l a z b i o r u węzłów brzegowych o trzym a­

my z b ila n s ó w c i e p l n y c h , o k r e ś l o ­ nych d l a obszarów e le m e n ta rn y c h o t a c z a j ą c y c h w ęzły .

R o z p a t r u ją c w ę z e ł położony na b r z e g u przy ś c i a n i e p ł a s k i e j z warunkiem ( 2 . 2 3 ) , op. p u n k t A ( r y s . 4 ) z n a j d u ją c y s i ę na d o l ­ nym b r z e g u o b s z a r u , otrzymujemy n a s t ę p u j ą c e ró w n anie b i l a n s u d l a o t o c z e n i a tego p u n k tu w

Pm,r>

r ć .

■ “ 1 t

1— ^C

j o y 1

Rys. 4 . O bszar siatko w y z t r z e c im warunkiem brze­

gowym

/ m+1 , n m . n h . Wj . a + 1. „ _SR h +

a h 2 h +

( 2 .2 4 ) +A ^m-1 1ri~yia.,,p. h a ( t )h=0

+ h 2 m ,n v mn ny®

Fo p r z e k s z t a ł c e n i a c h a l g e b r a i c z ­ nych:

m,n Bi + 2 / i

1 o o

^ m , n +

Bi

B i + 2 fcm,n ( 2 ‘ 25>

g d z i e :

Bi =

taf_ _ h

ID «D

A ( 2 . 2 5 a '

R ozkład p raw dopodobieństw ruchów w p o s z c z e g ó ln y c h k i e r u n ­ k a c h , d l a w ę z ła A o k r e ś l a t a b e l a o d p o w iad ająca równanius

( 2 . 2 5 ) :

Pr = ¹2 B i ^{T H I}2

O

( 2 .2 6 a )

W ogólnym p rz y p a d k u d l a w ę z ła Pffl d o w o lnie położonego na b r z e g u z warunkiem (2.2 3) ró w n an ie b i l a n s u o k r e ś l a wzór:

Z ] * - 1 ' 3 h m' - H , j h ( ‘ » , n - r » , n Ł = 0 ‘2 - 27>

i . d g d z i e :

i , j = m + m,n + 1 ; m - 1 , n ; m ,n -1 ;

s . . - s t o s u n e k d ł u g o ś c i l i n i i o d d z i e l a j ą c e j o b s z a r

1 «

e le m e n ta r n y o t a c z a j ą c y punkty s ą s i e d n i e do h (s^ . 1 » U p r z y jm u je w z a l e ż n o ś c i od u s y tu o w a n ia w ęzła ^ w arto śc i:

0» 2* 1 ^ ♦

r m n ~ stosUDek d ł u g o ś c i l i n i i o d d z i e l a j ą c e j o b s z a r e le m e n ta r n y o t a c z a j ą c y p u n k t Pffl od p ły n u do h

^r m,n ~ •

Z ró w n a n ia b i l a n s u po p r z e k s z t a ł c e n i a c h a l g e b r a i c z n y c h 0- trzym ujem y:

^m ,n ^ B i+Z Is^ ^ ) j s m- 1 , n

s m,n+1 >

0 s m+1 *n

s m,n -1 -

Bi

. m,n

I O

( 2 .2 8 ) g d z ie :

B i _ — IŁJł

R ozkład praw dopodobieństw ruchów c z ą s t e c z k i d l a dow olnie usytuowanego w ę z ła z warunkiem (2^.2 3) o k r e ś l a t a b l i c a .

Pr =

">D1 ,n+1

3m -1,n B i

s

m+1 ,n m,n- 1

( 2 .2 9 ?

Rozpatrzmy dwa c h a r a k t e r y s t y c z n e p o ł o ż e n i a s z c z e g ó ln e punk­

tów, a m iano w icie p u n k t B w n a r o ż u zewnętrznym o raz p u n kt C w n a r o ż u wewnętrznym. D la t y c h przypadków ze wzoru (2^.29⁾

otrzymujemy:

prB ~

_1_

2

pr C =

1 2 Bi

0

1 Bi

1

2

1

2

(2 .2 6 b )

( 2 .2 6 c )

Dla p o s z c z e g ó ln y c h przypadków u s y tu o w a n ia punktów na b r z e ­ gach z warunkiem ( - .2 3) otrzymujemy a n a l o g i c z n e t a b l i c e r o z ­ k ła d u p raw dopodobieństw , p rzy czym można j e wyznaczyć z t a ­ b l i c y o g ó ln e j (2.29) , lu b t e ż d r o g ą c y k lic z n e g o p r z e d s t a w i e ­ n i a elementów t a b l i c ( 2 . 2 6 , a , b , c ) .

R e a l i z a c j a o b l i c z e ń , d r o g ą modelowania p r o b a b i l i s t y c z n e g o t r z e c i e g o z a g a d n i e n i a brzegow ego, p r z e b i e g a a n a l o g i c z n i e ja k w przy p ad k u opisanym w u s t . 2^.1^.

, 1

2.4. Zagadnienie kontaktowe z idealnym strykiem

pod obszarów Si ^ i £1 2

Rozpatrzmy pokazany na r y s . 5 o b s z a r i i s k ł a d a j ą c y s i ę z dwu o r ó ż n y c h w s p ó łc z y n n ik a c h p rzew o d zen ia

c i e p ł a i A 2 .

Z a g a d n ie n ie u s t a l o n e g o przew odze­

n i a c i e p ł a w takim p rzy p ad k u s p r o ­ wadza s i ę do p o s z u k iw a n ia dwu f u n k c j i * ^ ( x , y ) i *^2 ( x , y ) s p e ł ­ n i a j ą c y c h odpow iednio wewnątrz ob­

szarów Si^ i S i2 ró w n an ie L a p l a - ce* a:

' k i

&

a,

Sl2 A B

rz*

R y s . 5 . O b sz ar sia tk o w y zło żo n y z dwu p o d c b s s a - rów o ró ż n y c h w sp ó łczy n ­ n i k a c h p rz e w o d z e n ia c i e ­

p ł a

9 \

« x 2

d 2 A

(2.30) 9 y

k = 1 ,2

na wspólnym b r z e g u w aru n k i:

2*.(( x , y ) = ^ 2 ( x , y ) (2.3 1)

. (2,32)

1 0 n 2 6>n

d l a P ( x , y ) 6 r ^

o r a z odpow iednie w aru n ki brzegowe na p o z o s t a ł y c h b r z e g a c h . .7 c e l u r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a d z i e lim y pod o b szary .£2^ i £ź^

p rz y pomocy s i a t k i kw adratow ej o boku h , p rzy czym zakładam y, że i s t n i e j e możliwość p o d z i a ł u każdego z t y c h obszarów w t a k i s p o s ó b . L i n i a k o n t a k t u p o d o b s z a r ó w I S l p l e ż e ć b ę d z i e na l i n i i p o d z i a ł u o b s z a r u s ia tk o w e g o <S2 (D rugą, n i e r o z p a t r y ­ waną t u t a j m o ż liw o ś c ią , j e s t p o d z i a ł o b s z a r u i i w te n s p o s ó b , by l i n i a k o n t a k t u p r z e b i e g a ł a pomiędzy dwiema l i n i a m i po­

d z i a ł u o b s z a r u 12 na o b s z a r s iatk ow y n ) .

D la węzłów s i a t k i p o d z i a ł u n i e le ż ą c y c h na l i n i i k o n ta k tu o b o w iązu ją wzory podane powyżej w u s t . 2 . 1 , 2 . 2 , i 2 . 3 . Dla punktów P„ „€

r

ID i n ^ 2

w ie d n ie wzory można otrzym ać z równań e le m e n ta r n y c h b ila n s ó w c i e p l n y c h :

2Z ‘Vi,a,iŁ ł V ,i.a;z

( 2 .3 3 ) g d z i e : i , a = m + 1 ,n * m,n+1*, m -1 ,n ; m ,n -1 ;

iP - - & _

1 - 2 ;m ,n ” 1*,m,n " 2 im ,n ,

^ w z a l e ż n o ś c i od u sy tu o w an ia może b y ć ,

k» 1 , J

% i . a ll* ^ 2,1 .a

s . - s to s u n e k d ł u g o ś c i l i n i i p o d z i a ł u pomiędzy

1 » 0 1 ,

oto czen iem p u n k tu P. • znajd u jącym s i ę wew-

1 J J

n ą t r z o b s z a r u £i ^ do h ,

s . -.o - j a k wyżej - wewnątrz o b s z a r u ii o »

1 > 2 \ <-

1 , .

s . - ,ą o p r z y jm u ją w a r t o ś c i 0 , o , 1 , w z a l e ż n o ś c i od

1 » 1 Ł

u sy tu o w an ia w ę z ła .

Z ró w n an ia ( 2 .3 3 ) otrzymujemy po p r z e k s z t a ł c e n i a c h :

s i , j ; k ^

1 , tJ V

x X * s“ k m - 1 ,n ik

£ * k s m,n + 1 *k

ę ^ k s m+1 , n i k

^“' A k s m ,n - 'iik k = 1 , 2

ł .kim ,n

( 2 .3 4 )

Z powyższego r ó w n a n ia widoczny j e s t r o z k ł a d prawdopodobieństw ruchów w p o s z c z e g ó ln y c h k i e r u n k a c h , p rz y modelowaniu p rz e m ie ­ s z c z e ń c z ą s t e c z k i .

W p rz y p a d k a c h s z c z e g ó ln y c h d l a punktów A i B otrzymujemy odpow iednio:

T A ^O

A

A . + A

1 2

( 2 .3 5 a J

rB

A^ + A^

A 1 + A2

2 ( 2 .3 5 b )

D alszy p r z e b i e g r e a l i z a c j i o b l i c z e ń j e s t a n a l o g ic z n y j a k w w yżej o p is a n y c h z a g a d n i e n i a c h .

2 . 5 . Z a g a d n ie n ie k o n tak to w e z oporem cieplnym s t y k u

Rozpatrzmy z a g a d n i e n i e p o ł ą c z e n i a kontaktow ego z w y s tę p u ją ­ cym oporem c ie p ln y m . Na s k u te k oporu c i e p ln e g o na s t y k u n i e o - b o w ią z u je ró w n an ie ( 2 . 3 1 ) .

D la t a k i e g o z a g a d n i e n i a w aru n k i brzegowe p r z y jm u ją p o s t a ć :

* 1 = + [ * 2 ^ ( 2 .3 6 )

o ra z

*2 = s [ * V x ’y) “ ^2(x»y}J (2-3?) d l a P ( x , y ) e r h1_2

Celem r o z w ią z a n ia z a g a d n ie n i a rozpatrzym y obszary £1^ i.f22 pokazane na r y s . 6.

Dla punktów le ż ą c y c h na l i n i i kon­

t a k t u n a l e ż ą c y c h ró w n o c z e ś n ie do obydwu obszarów , wprowadzimy pod­

wójne o z n a c z e n ia P ^ ^ i ^ ^ - 2* Tak oznaczone punkty będziemy p r z y ­ porządkowywać ty l k o jednemu o b sza­

ro w i £2^ lu b ^ i w t e n sposób p o z o r n ie r o z d z i e li m y wspólny b r z e g n a rh1 i r h 2 .

Punktom należącym do T ^ przyporządkujem y te m p e r a tu r y V"* ,

a punktom należącym do tem­

p e r a t u r y j*2 .

D la o t o c z e n i a n a le ż ą c e g o do £i^

punktów ze z b i o r u T ^ rów nanie e le m en tarn eg o b i l a n s u c i e p ln e g o j e s t :

S L t

P n . ---f

n ; 1

P m n ; 2

r * A t \

§ 1-Z

r b z A z

a ,

E y s . 6. Dwa s t y k a j ą c e s i ę o bszary s ia tk o w e z oporem' cieplnym na l i n i i k o n ta k ­

t u

i * d

g d z ie : E

i? . - i?’

1;mt n

si,óh + s

m,n i.O si » 0

(2.J8) - opór c i e p l n y p o ł ą c z e n i a kontaktow ego w Pffi Q,

= m + "l^n; m,n + 1 ; m - 1 , n ; m,n + 1$

- s to s u n e k d ł u g o ś c i l i n i i o d d z i e l a j ą c e j o b s z a r e l e ­ mentarny o t a c z a j ą c y punkt Pffl od obszarów e le m e n ta r n y c h o t a c z a j ą c y c h punkty s ą s i e d n i e z o b s z a r u SŁ 1 ^{do h ,}

( s H p rz y jm u je w a r t o ś c i : 0 \ 1^{) .}

1 | J

29

r n . - s t o s u n e k d ł u g o ś c i l i n i i k o n t a k t u o b s z a r u e l e ­ m entarnego z obszarem do h} ( r ffl n = 1 ) . D la punktów n a l e ż ą c y c h do f hp rów nanie b i l a n s u j e s t po­

d o b n e, z t ą r ó ż n i c ą że w ró w n an iu ( 2 .3 8 ) n a le ż y w s k a ź n ik i 1 z a s t ą p i ć w skaźnikam i 2 i o d w r o tn ie .

Z ró w n an ia b i l a n s u ( 2 .3 3 ) otrzymujemy po p r z e k s z t a ł c e n i a c h ;

1K 1 ;m ,n

( r m,n h / * 1 Em ,n } + S s i , j

3m-1 ,n

3m,n+1

O

sm,n-1

3m+1 ,n ^l• 1im ,n^{V . +}

t ---Im'' f l h / A '1 Rln’°--- tf1, ( 2 . 3 9 J

^ E» , „ * 2 s i j d

D la modelowania ruchów b łę d n y c h c z ą s t e c z k i wprowadzimy n a s t ę ­ p u j ą c e zasady d l a punktów p o ło ż o n y ch na b r z e g u C z ą s t e c z ­ k a może z p u n k tu P^ p r z e j ś ć do jed n eg o z punktów s ą s i e d n i c h n a l e ż ą c y c h do o b s z a r u S l^ lu b zatrzy m ać s i ę w p u n k cie P.

W tym o s t a t n i m p rzy p ad k u będziemy uważać, że c z ą s t e c z k a zna­

l a z ł a s i ę w p u n k c ie P^.

Zgodnie z równaniem ( 2 .3 9 ) schem at r o z k ł a d u prawdopodo­

b i e ń s t w ruchów b łę d n y c h c z ą s t e c z k i o k r e ś l a t a b l i c a :

A n a lo g i c z n ie c z ą s t e c z k a z n a j d u j ą c a s i ę na b r z e g u T fa2 może z p u n k tu P2 p r z e j ś ć do jed n eg o z punktów s ą s i e d n i c h z o b sza­

r u Si>2 lu b p o z o s ta ć w p u n k cie P , p rze c h o d z ą c z P2 do P ^ . D la dwóch c h a r a k t e r y s t y c z n y c h p o ło ż e ń punktów, a mianowi­

c i e A i B otrzymujemy n a s t ę p u j ą c e r o z k ła d y praw dopodobieństw ruchów c z ą s t e c z k i :

Dla A^ i A2 ;

1

prA1 = i I Ch / A 1 E) ( 2 .4 1 a ) O

O

( 2 .4 1 b )

1 o raz d l a B^ i B2

prB.1

1 2

J | (h / A , H) O ( 2 .4 2 a )

O 1 2

prB'2

J | (h / A 2 R) 1 ( 2 .4 2 b )

1

D la punktów n i e l e ż ą c y c h na b r z e g u r h ^_2 modelowanie ruchów b łę d n y c h odbywa s i ę na o p is a n y c h u p r z e d n i o z a s a d a c h .

2 . 6 . M a t e r i a ł y n ie je d n o r o d n e i a n iz o tro p o w e

Z a g a d n ie n i e u s t a l o n e g o p rz e w o d z e n ia c i e p ł a w dwuwymiarowym o śro d k u n ie jed n o ro d n y m sprowadza s i ę do p o s z u k iw a n ia r o z w ią z a ­ n i a ró w n a n ia

V = o (2.4 3)

g d z i e : A = A ( x , y ) ,

p rz y w arunkach brzegowych 1 , 2 , lu b 3 r o d z a j u .

Rozpatrzmy ponownie o b s z a r sia tk o w y £2’ pokazany na r y s . 1 . C i ą g ł ą zmianę w sp ó łc z y n n ik a p rz e w o d z e n ia c i e p ł a będziemy a p r o k -

symować zm ianą skokową i p rzy p o rząd k ujem y obszarom e l e m e n t a r ­ nym o ta c z a ją c y m w ęzeł Pm w a r t o ś c i w sp ó łc z y n n ik a przewodze­

n i a c i e p ł a A m .

Zakładam y, że i l o ś ć c i e p ł a p r z e p ły w a ją c e g o pomiędzy dwoma s ą s i e d n i m i ele m e n ta rn y m i o b szaram i o ta c z a j ą c y m i punkty w ęzło ­ we j e s t p r o p o r c j o n a l n a do z a s t ę p c z y c h współczynników przew odze­

n i a c i e p ł a A ^ pomiędzy w ęzłam i:

1 1 o

* % , j = * i , j ~ ł f m>n h

g d z i e : A . . - z a s tę p c z y w sp ó łc z y n n ik p rz e w o d z e n ia c i e p ł a . J e ż e l i A ( x , y ) - j e s t f u n k c j ą c i ą g ł ą to można p r z y j ą ć

A i , j = \ [ A ( x m»yn} + A ( x i « ^ ) ]

Przy takim z a ł o ż e n i u ró w n an ie e le m e n ta rn e g o b i l a n s u c i e p l ­ nego d l a o t o c z e n i a w ęzła j e s t :

iK . - 1?

E i . 11,1 h m,n h - 0 ( 2 . 4 5 )

i » 3

i , j = m + 1 , n ; m,n+1\ m -1 ,n ; m,n-1 Pd p r z e k s z t a ł c e n i a c h a l g e b r a i c z n y c h otrzymujemy:

i »j 1 , 0

m,n+1

m-1,n O

A

“m+1 ,n m ,n-1

• -fim,n ( 2 .4 6 )

Przy modelowaniu p r z e m ie s z c z e ń c z ą s t e c z k i d l a r o z p a tr y w a n e ­ go p rz y p a d k u , r o z k ł a d praw dopodobieństw ruchów w p o s z c z e g ó ln y c h k i e r u n k a c h w in ie n odpowiadać t a b l i c y :

i . O m-1 ,n

m,n+1

O *

Am,n-1

mt-1 ,n ( 2 . 4 ? )

W z a l e ż n o ś c i od warunków brzegowych można z b ila n s ó w e l e ­ m entarnych o k r e ś l i ć odpow iednie wzory d l a węzłów po ło ż o n y ch na b r z e g u obszaru.52.

W pewnych o śro d k a c h n a t u r a l n y c h lu b s z tu c z n y c h w a r t o ś c i współczynników p rzew o d zen ia c i e p ł a n i e z a l e ż ą od p o ł o ż e n i a p u n k tu l e c z od k ie r u n k u p rzep ły w u c i e p ł a .

33

J e ż e l i r ó ż n i ą s i ę t y l k o w s p ó ł c z y n n ik i p rz e w o d z e n ia c i e p ł a w k i e r u n k a c h w zajem nie p r o s t o p a d ł y c h :

Ax * A y ( 2 .4 8 )

to o ś ro d e k nazywamy ortotropow ym .

Równanie b i l a n s u c i e p l n e g o d l a e le m e n ta rn e g o o b s z a r u o t a c z a ­ ją c e g o w ę z e ł Pm Q, n a l e ż ą c y do o b s z a r u SI ^ p rzy jm uje w tym p rz y p a d k u p o s t a ć :

+ A m~1 va > 1 ° h + A

(2.49) h = O

skąd otrzymujemy

m,D 2(Ax + V

y

t _X O A_X

A

m.n

(

.

)

R ozkład p raw dopodobieństw ruchów b łę d n y c h c z ą s t e c z k i p rzy modelowaniu z a g a d n i e n i a d l a o ś ro d k a c h a r a k t e r y z u j ą c e g o s i ę a n i ­ z o t r o p i ą w k i e r u n k a c h o r to g o n a l n y c h o k r e ś l a t a b l i c a :

JV x O Ax ( 2 .5 1 )

Odpowiednie z a l e ż n o ś c i można o k r e ś l i ć d l a in n y c h przypadków p o ł o ż e n i a węzłów brzegowych z równań e le m e n ta r n y c h b ila n s ó w c i e p l n y c h .

2 . 7 . Bóżnorodne w arunki brzegowe

Powyżej r o z p a t r z o n o z a s a d n i c z o je d n o ro d n e w aru n k i brzegow e.

W p rzy p ad k u ró ż n o ro d n y ch warunków brzegowych na p o s z c z e g ó ln y c h c z ę ś c i a c h l i n i i b r z e g o w e j, o bow iązuje r o z s z e r z o n y na z a s a d z i e

g d z i e :

k^_ - i l o ś ć s e r i i ruchów zakończonych w p u n k ta c h brzegowych o te m p e r a t u r z e t ^ n a b r z e g u z pierwszym warunkiem kV - i l o ś ć s e r i i ruchów zakończonych w p u n k ta c h brzegowych

Z ak o ń c zen ie s e r i i ruchów może n a s t ą p i ć t y l k o na b r z e g a c h z pierwszym lu b tr z e c im warunkiem brzegowym. J e ż e l i e l e m e n t a r ­ ny o b s z a r s i a t k i p o d z i a ł u j e s t położony w t e n s p o s ó b , że na j e d n e j l i n i i o g r a n i c z a j ą c e j o b s z a r e lem en tarn y z a c h o d z i p ie rw ­ szy warunek brzegowy a na i n n e j t r z e c i , t o za dominujący uznać t r z e b a p ie rw s z y warunek brzegowy.

Węzłowi z n a jd u jąc em u s i ę w takim o b s z a r z e przyporządkow ać n a le ż y te m p e r a t u r ę

s u p e r p o z y c j i wzór (2^.1 5) w p o s t a c i :

r s

( 2 .5 2 )

o te m p e r a t u r z e p rzy t y c h p u n k ta c h t ? , na b r z e g u z t r z e c i m warunkiem.

O czyw iście :

r s

( 2 .5 3 )

i=1 i=1

m,n t,m,n