Wprowadzenie w świat ułamków
W niniejszym artykule przedyskutujemy wprowadzenie uczniów w świat ułamków zwykłych, odnosząc się do ich geometrycznej interpretacji, jako części całości. Dla nas całością będzie zawsze koło, podzielone na odpowied-nią liczbę równych części.
Dziecko już od najmłodszych lat uczy się intuicyjnego pojęcia ułamka. Na przykład podczas dzielenia się ciastkiem dzieli je na dwie części, gdy dostaje do zjedzenia połowę jabłka lub kostkę czekolady. Ułamki jako części całości towarzyszą dziecku od najmłodszych lat. Chociaż warto odnotować, że sam termin „ułamek” nie jest zazwyczaj wykorzystywany w mowie po-tocznej, gdyż na ułamek 1
2, zwykliśmy mówić połowa, na ułamek 1
4 mówimy ćwierć. Również ułamki różnych potraw mają swoje osobne nazewnictwo: w czekoladę dzielimy na kostki lub paski, pomarańcze dzielimy na cząstki, chleb na kromki, itp. Podsumowując uczeń zazwyczaj nie zna terminu „uła-mek”, lecz potrafi dzielić obiekty na równe części, a nawet operować na tych częściach i je ze sobą porównywać. Zatem pojęcie części z całości jest mu dobrze znane. W zaproponowanym wprowadzeniu do ułamków będziemy bazowali na intuicji ułamka, jako części całości, pilnując aby nie zapomi-nać o ich geometrycznej interpretacji przez cały proces uczenia. Ponieważ mówienie o cząstkach pomarańczy, kawałkach ciastka, kostkach czekolady, sprawia, że uczniowie, a czasem także nauczyciel, stają się głodni, będziemy unikać wspominania o jedzeniu przez większą część naszego wprowadzenia.
1.1. Karty pracy
Pojęcie ułamka wprowadzimy z wykorzystaniem kart pracy:
a. Wprowadzenie ułamków, cześć 1. W tej karcie zaczniemy od zapoznania uczniów z ułamkami egipskimi, czyli ułamkami postaci 1
n dla n ∈ N.
Uczniowie nauczą się nazywać ułamki, zapisywać ułamki przy użyciu kreski ułamkowej oraz zaznaczać ułamek jako część okręgu w przypadku ułamków egipskich.
b. Wprowadzenie ułamków, część 2. W tej karcie pracy będziemy rozważali zbiory ułamków egipskich o tych samych mianownikach. W rezultacie
otrzymamy pojęcie ułamka o liczniku większym od jedności. Chociaż nie wspominamy tutaj o sumie ułamków, podejście takie ma na celu przygotować uczniów do dodawania ułamków o tym samym mianowniku. Uczniowie nauczą się nazywać ułamki, zapisywać ułamki przy użyciu kreski ułamkowej oraz zaznaczać ułamek jako część okręgu w przypadku ułamków o liczniku większym od jedności.
c. Budowa ułamka. W tej karcie pracy zapoznamy uczniów z budowa ułam-ka, z pojęciami liczniułam-ka, mianownika i kreski ułamkowej.
d. Ułamki niewłaściwe. W tej karcie pracy będziemy rozważali zbiory ułam-ków egipskich o tych samych mianownikach, gdzie ich liczba będzie prze-kraczała wartość mianownika. W rezultacie otrzymamy pojęcie ułamka niewłaściwego. Ponownie taki sposób myślenia o ułamkach ma przygo-tować uczniów do późniejszego dodawania ułamków. W tej konwencji ułamek 3
2 będziemy utożsamiali z rysunkiem
Natomiast liczbę mieszaną 11
2 utożsamiamy z rysunkiem
UWAGA Przedstawiona tutaj koncepcja nadaje się również do wprowa-dzenia pozostałych tematów związanych z ułamkami zwykłymi. Na przy-kład liczby mieszane, zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy, za-miana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną, skracanie ułamków, doda-wanie ułamków o tych samych mianownikach, odejmododa-wanie ułamków o tych samych mianownikach itd.
UWAGA Jeżeli chcielibyśmy urozmaicić lekcję z zaproponowanymi kar-tami pracy, to możemy dla każdego z uczniów przygotować zestaw wyciętych kolorowych ułamków, aby zamiast kolorowania mogli oni je ponaklejać.
Wprowadzenie ułamków, część 1.
1. Podzielmy koło na trzy rów-ne części.
2. Zaznaczmy kolorem jedną z tych części.
W ten sposób zaznaczyliśmy ułamek jedna trzecia, który zapisujemy również jako
1
3
.
1. Poniżej zaznaczono kolorami ułamki jedna druga, jedna czwarta i jedna szósta, które możemy zapisać również jako
1
2
,
1
4
,
1
6
.
Podpisz ułamki. jedna druga1
2
2. Zaznacz na rysunku ułamek jedna piąta, jedna ósma i jedna dwunasta oraz je podpisz, jako
1
5
,
1
8
,
1
12
.
jedna piąta1
5
jedna ósma jedna dwunasta
3. Zaznacz na rysunku ułamek jedna siódma, jedna dziewiąta i jedna dziesiąta oraz je podpisz, jako
1
7
,
1
9
,
1
10
.
4. Nazwij ułamki zaznaczone na rysunkach Nazwa ułamka
1
4
Nazwa ułamka1
7
Nazwa ułamka Nazwa ułamkaWprowadzenie ułamków, część 2.
Na jednym rysunku możemy zazna-czyć dwa ułamki jedna siódma. Wtedy taki ułamek nazywamy
dwie siódme
i zapisujemy
2
7
.
1. Zaznacz na jednym rysunku 2 ułamki 1 5. dwie piąte
2
5
2. Zaznacz na jednym rysunku 4 ułamki 1 9. cztery dziewiąte
9
3. Zaznacz na jednym rysunku 5 ułamków 1 6. pięć szóstych
4. Zaznacz na rysunku ułamki dwie szóste, trzy ósme i cztery dwu-naste oraz podpisz je, jako
2
6
,
3
8
,
4
12
.
dwie szóste2
6
trzy ósme cztery dwunaste
5. Zaznacz na rysunku i nazwij ułamki.
4
6
5
7
2
3
6. Zaznacz na rysunku ułamki oraz podpisz je.
siedem jedenastych
7
11
pięć dwunastych dwanaście czternastych
7. Zaznacz na rysunku i nazwij ułamki.
7
8
5
13
11
20
Budowa ułamka
Ułamek dwie piąte zapisujemy
2
5
Kreskę w zapisie ułamka nazywamy kreską ułamkową.
Liczbę 2 nad kreską ułamkową nazywamy licznikiem ułamka.
Liczbę 5 pod kreską ułamkową nazywamy mianownikiem ułamka.
2
5
licznik ułamka
mianownik ułamka
kreska ułamkowa
Mianownik 5 oznacza, ze koło podzielili-śmy na pięć równych części.
Licznik 2 oznacza, że ułamek składa się z dwóch ułamków 1
5.
Nazwa ułamka
2. Zapisz i zaznacz na rysunku ułamek o liczniku 4 i mianowniku 9. Nazwa ułamka
3. Zapisz licznik i mianownik zaznaczonego ułamka.
licznik: mianownik: licznik: mianownik: licznik: mianownik: 4. Licznik ułamka 1
5 zwiększono o 2, a mianownik zwiększono o 1. Jaki to ułamek?
5. Licznik ułamka 7
15 zwiększono o 3, a mianownik zwiększono o 2. Jaki to ułamek?
6. Licznik ułamka 7
8 zmiejszono o 4, a mianownik zwiększono o 1. Jaki to ułamek?
Ułamki niewłaściwe
Na rysunku zaznaczyliśmy trzy ułamki 1 2:
Możemy ten ułamek zapisać jako
3
2
bo wzięliśmy 3 ułamki 1 2. Podobnie
możemy zapisać, jako
4
3
.
Ułamki postaci 3 2, 4 3, 5 2, 5 3, 7 4 nazywamy ułamkami niewłaściwymi.
W ułamku niewłaściwym licznik jest większy od mianownika. Ułamkami niewłaściwymi są również:
7 3, 18 5 , 7 2. 2. Zaznacz na rysunkach ułamki niewłaściwe