Odpowiedzi do zada´n przygotowawczych do drugiego kolokwium wersja 2.0
1a
∂2f
∂2x = −
sin(y+z) (x+y)2
∂2f
∂2y = 2 cos(y+z)x+y −sin(y+z)(x+y)2 − ln(x + y) sin(y + z)
∂2f
∂2z = − (ln(x + y) sin(y + z))
∂2f
∂x∂y = ∂y∂x∂2f = cos(y+z)x+y −sin(y+z)
(x+y)2
∂2f
∂x∂z = ∂z∂x∂2f = cos(y+z)x+y
∂2f
∂z∂y = ∂y∂z∂2f = cos(y+z)x+y − ln(x + y) sin(y + z) 1b
∂2f
∂2x = −2 x y3z3
(1+x2y2z2)2
∂2f
∂2y = −2 x3y z3
(1+x2y2z2)2
∂2f
∂2z = −2 x3y3z
(1+x2y2z2)2
∂2f
∂x∂y = −2 x2y2z3
(1+x2y2z2)2 + 1+x2zy2z2
∂2f
∂x∂z = −2 x2y3z2
(1+x2y2z2)2 +1+x2yy2z2
∂2f
∂z∂y = −2 x3y2z2
(1+x2y2z2)2 +1+x2xy2z2
2a (13e14, 25e14, 37e14) 2b (2, 2, 2, 2, 2)
3a R´ownanie: 2x − z = 1.
Proste: L1 : (t, t − 1, 2t − 1), L2 : (t, −t + 1, 2t − 1).
3b R´ownanie: cos(t)x + sin(t)y − z = 0
4a Nie ma lokalnych eksterm´ow (punkt (1, −5/2, 2) jest siod lowy).
4b Jedynie (−2, 3, −2) jest lokalnym ekstremum (minimum).
4c Punkty postaci x = −y = (k + 34)π sa, lokalnymi minimami. Pr´ocz tego jest niesko´nczenie wiele punkt´ow siod lowych.
5 infimum=−8 przje,te w punkcie (0,4), supremum=0 przyje,te w punkcie (0,0).
6 infimum=0 przje,te w punkcie (0,0), supremum=4 przyje,te w punkcie (1,1).
7 infimum=1−2√
3 przje,te w punkcie (−
√3
2 , −12), supremum=1+2√
3 przyje,te w punkcie (
√ 3 2 ,12).
8 infimum=0 przje,te w punktach (1,0,0) i (0,1,0), supremum=1 przyje,te w punkcie (0,0,1).
9a ln(2) 9b 1