Pokaza´c, ˙ze χ(M

Zadania o rozmaito´sciach zespolonych

5 Niech M be_,dzie zwarta_,rozmaito´scia_,zespolona_,, a X podrozmaito´scia_,. Pokaza´c, ˙ze χ(M ) = χ(X) + χ(M − X) .

Dla rozmaito´sci rzeczywistych ta formu la jest prawdziwa mod 2.

8 Znale´z´c macierz odwrotna_,do 1 1 i −i

 .

12 Obliczy´c Aut(P¹). Czy sa_,automorfizmy bez punkt´ow sta lych?

13 Opisa´c r´ownaniem obraz zanurzenia Pl¨uckera Gras₂(C⁴) → P(Λ²C⁴).

14 Dany a ∈ D. Opisa´c wzorem wszystkie automorfizmy f : D → D takie, ˙ze f (a) = 0.

15 Wykaza´c, ˙ze ka˙zda zwarta krzywa zespolona genusu 1 jest izomorficzna z C/Λ 21 Wykaza´c hα, ∗βi = (−1)^k(d−k)h∗α, βi.

22 Wykaza´c ∗² = (−1)^k(d−k) na k-formach.

24 Dana przestrze´n V z iloczynem hermitowskim. Sprawdzi´c, ˙ze przekszta lcenie (V, I) → (V^1,0, i) be_,da_,ce z lo˙zeniem w lo˙zenia V → V_C i rzutowania w sumie prostej V_C = V^1,0⊕ V^0,1 jest C-liniowe, ale nie jest izometria_,. (Iloczny hermitowskie r´o˙znia_,sie_,o skalar.)

26 Udowodni´c, ˙ze ∂^∗ = − ∗ ∂∗ oraz ∂^∗ = − ∗ ∂∗.

30 Zadanie o reprezentacjach sl₂. Niech (V, I) be_,dzie przestrzenia_,ze struktura_,zespolona_,i iloczynem skalarnym I-niezmienniczym. Roz lo˙zy´c Λ^∗V^∗ na reprezentacje nierozk ladalne. (Lub poweiedzie´c jaka jest krotno´s:c Sk.)

32 Opisa´c formy harmoniczne na torusie Rⁿ/Zⁿ z p laska_,metryka_,.

33 Rozwia_,zac r´ownanie ciep la na S¹ = R/(2πZ) z warunkiem pocza,tkowym α = δ⁽ⁿ⁾₀ dx, gdzie δ₀⁽ⁿ⁾ jest n-ta_,pochodna_,delty Diracka. Czy α(t) jest forma_,g ladka_,dla t > 0?

36 Przyjmijmy, ˙ze Pⁿma metryke_,riemannowska_,U (n+1)-niezmiennicza_,i unormowana_,, tzn vol(Pⁿ) = 1/n!. Niech X ⊂ Pⁿ be_,dzie zespolona_,hiperpowierzchnia_,stopnia d. Obliczy´c vol(X).

38 Metryka Fubini-Study: iloczyn hermitowski w T_[w]Pⁿ jest zdefiniowana jako

< α, β >= 1 π

< w, w >< ˜α, ˜β > − < ˜α, w >< w, ˜β >

< w, w >² ,

gdzie ˜α, ˜β ∈ TwCⁿ⁺¹ sa_, podniesieniami wektor´ow α, β ∈ T_[w]Pⁿ. Sprawdzi´c, ˙ze wz´or nie zale˙zy ow wyboru poniesie´n i reprezentanta w.

40 Pokaza´c, ˙ze ka˙zda rozmaito´s´c zespolona dopuszcza metryke_,hermitowska_,, ale sa_,rozmaito´sci, kt´ore nie dopuszczaja_,metryki k¨ahlerowskiej (powierzchnia Hopfa (C²\ {0})/e^Z ).

42 Dla formy k¨ahlerowskiej ω na rozmaito´sci zwartej i dla ka˙zdej formy harmonicznej α iloczyn ω ∧ α jest forma_,harmoniczna_,. Czy iloczyn dowolnych form harmonicznych jest forma_,harmoniczna_,?

44 Niech d^c= I⁻¹dI. Udowodni´c: je´sli d^cα = 0 i α ∈ im(d), to istnieje β taka, ˙ze α = dd^cβ.

47 Udowodni´c to˙zsamo´sci K¨ahlera dla p laskiej metryki.

48 Wykaza´c, ˙ze suma sp´ojna P²#P² nie mo˙ze mie´c struktury k¨ahlerowskiej.

49 Niech N ⊂ M be_,dzie podrozmaito´scia_,zespolona_,kowymiaru c w rozmaito´sci K¨ahlera. Wykaza´c,

˙ze klasa dualna do klasy fundamentalnej P D⁻¹([N ]) ∈ H^2c(M ; C) jest typu (c, c) i jest niezerowa, gdy N 6= ∅.

1

50 Znale´z´c sygnature_, kwadryki (hiperpowierzchni zadanej forma_, kwadratowa_,) w P²ⁿ⁺¹. (Wsk. Najpierw zbada´c przypadek n = 1. Naste_,pnie mo˙zna przyja_,´c, ˙ze kwadryka jest zadana wielomi- anemP2n−1

i=0 z_i²+z2nz2n+1= 0 i rozwa˙zy´c dzia lanie C^∗ na X zadane wzorem t·[z0 : z1 : . . . z2n : z2n+1] = [z₀ : z₁ : . . . tz_2n: t⁻¹z_2n+1]. Uzasadni´c, ˙ze X mo˙zna roz lo˙zy´c na X₀t X₁t X₂, gdzie X₀ = pt, X₁ jest izomorficzne z wia_,zka_,liniowa_,nad kwadryka_,w P²ⁿ⁻¹, a X²' C²ⁿ. Wykaza´c, ˙ze Hⁿ(X; C) = C².)

51 Znale´z´c sygnature_,grassmanianu Grass2(Cⁿ) (przestrzenie 2-wymiarowe w Cⁿ).

52 Niech X → P¹ be_,dzie rozw l´oknieniem rozmaito´sci K¨ahlerowskiej nad prosta_, rzutowa_, z w l´oknem F . Wykaza´c, ˙ze H^∗(X) ' H^∗(F × P¹). (To te˙z jest prawda dla X → B, gdy B jest jednosp´ojne.)

56 Skonstruowa´c krate_,Λ ⊂ C² taka_,, ˙ze C²/Λ nie da sie_,zanurzy´c w przestrze´n rzutowa_,. 57 Opisa´c rozklad Hodge’a kohomologii produktu rozmaito´sci rozmaito´sci k¨ahlerowskich. Tzn

H^p,q(X × Y ) '?

58 Niech f : X → Y be_,dzie odwzorowaniem holomorficznym rozmaito´sci ka_,hlerowskich. Wykaza´c, f^∗(H^p,q(Y )) ⊂ H^p,q(X)

60 Niech X ⊂ P^N be_,dzie n-wymiarowa_, g ladka_, rozmaito´scia_, rzutowa_,. Niech cX^∗ ⊂ C^{N +1} be_,dzie sto˙zkiem afinicznym nad X z wyrzuconym wierzcho lkiem. Wyrazi´c kohomologie cX^∗ za pomoca_,koho- mologii X oraz rozk ladu Lefschetza zadanego przez forme_,Fubini-Study. (Wsk. skorzysta´c z trudnego tw Lefschetza i zcia_,gu Gysina.)

61 Dane dwie abstrakcyjne struktury Hodge’a (V_i, F_i^∗) wagi k_i (gdzie i = 1, 2). M´owimy, ˙ze przek- szta lcenie liniowe f : V1 → V₂ ´sci´sle zachowuje filtracje_,, czyli gdy

f (F^p(V₁⊗ C)) = F^p(V₂⊗ C) ∩ f(V1⊗ C).

Pokaza´c, ˙ze

– gdy k₁= k₂, to f ´sci´sle zachowuje strukture_,Hodge’a;

– oraz k1> k2, to f = 0.

64 Niech p : E → S¹be_,dzie rozw l´okninieniem, E₀⊂ E takie, ˙ze p_|E0 jest rozw l´oknieniem trywialnym.

Wykaza´c, ˙ze mo˙zna skonstruowa´c monodromie_,w l´okna F , kt´ora jest sta la na F₀ = E₀∩ F .

66 M´owimy, ˙ze przestrze´n topologiczna X jest Q-homologiczna, rozmaito´scia_, wymiaru m, je´sli dla ka˙zdego punktu x mamy H^m(X, X − {x}; Q) ' Q oraz H^k(X, X − {x}; Q) = 0 dla k 6= m. Niech X be_,dzie hiperpowierzchnia_, z osobliwo´sciami izolowanymi zadana_, r´ownaniem f = 0 w Cⁿ. Przez S,p oznaczamy dostatecznie ma la_,sfere_,wok´o l punktu p. Wykaza´c, ˙ze je´sli monodromia rozw l´oknienia Milnora

f /|f | : S_,p\ X → S¹

w ka˙zdym punkcie osobliwym p nie ma warto´sci w lasnej r´ownej 1, to X jest Q-homologiczna_, roz- maito´scia_,.

68 Niech X ⊂ P^N g ladka_, rozmaito´scia_, rzutowa_,, a CX ⊂ P^{N +1}. Przedstawi´c CX jako push-out diagramu rozmaito´sci g ladkich i prze´sledzi´c jak wyga_,da cia_,g dok ladny obliczaja_,cy kohomologie CX z punktu widzenia teorii Hodge’a.

69 Niech X be_,dzie zwartym zbiorem algebraicznym. Dla suriektywnego odwzorowania f : eX → X z g ladkiej zwartej rozmaito´sci rozwa˙zmy podprzestrze´n kohomologii K( eX) = ker(f^∗ : H^∗(X) → H^∗( eX)).

Wykaza´c, ˙ze K( eX) nie zale˙zy od eX.

70 Niech X be_,dzie g ladka_,rozmaito´scia_,algebraiczn. Dla g ladkiego uzwarcenia i : X → X rozwa˙zmy podprzestrze´n kohomologii I(X) = im(i^∗ : H^∗(X) → H^∗(X)). Wykaza´c, ˙ze I(X) nie zale˙zy od uzwarcenia.

Propozycja terminu EGZAMINU PISEMNEGO: 6 luty 2017 2