Pokaza´c, ˙ze χ(M

Zadania o rozmaito´sciach zespolonych Wersja A.D. 31 maj 2011

Zadania z ♠ jeszcze nie sa_,zrobione.

1) Niech X be_,dzie g ladka_,krzywa_,stopnia d w P². Obliczy´c jej genus.

2) Niech M be_,dzie zwarta_,rozmaito´scia_,zespolona_,, a X podrozmaito´scia_,. Pokaza´c, ˙ze χ(M ) = χ(X) + χ(M − X) .

Dla rozmaito´sci rzeczywistych ta formu la jest prawdziwa mod 2.

3) ♠Uog´olni´c powy˙zsza_,formu le na by´c mo˙ze osobliwe rozmaito´sci zespolone.

4) Pokaza´c, ˙ze standardowa forma symplektyczna na Cⁿ jest niezmiennicza ze wzgle_,du na dzia lanie U (n).

5) Niech (M, ω) be_,dzie rozmaito´scia_,symplektyczna_,, na kt´orej dzia la S¹ (zachowywuja_,c ω) oraz niech µ : M → R be_,dzie funkcja_,spe lniaja_,ca_,warunek ι_λω = dµ, gdzie λ jest polem wektorowym pochodza_,cym od dzia lania S¹. Za l´o´zmy, ˙ze a ∈ R jest warto´scia_,regularna_,µ.

– pokaza´c, ˙ze M_a = µ⁻¹(a) jest S¹-niezmiennicza_,rozmaito´scia_,

– przy za lo˙zeniu, ˙ze dzia lanie S¹ na M_a jest wolne wykaza´c, ˙ze na M_a/S¹ dobrze okre´slona jest forma 2- r´o˙zniczkowa η(v, w) := ω(˜v, ˜w), gdzie ˜v i ˜w sa_,dowolnymi podniesieniami wektor´ow v i w do M_a. Ponadto ta forma jest zamknie_,ta i niezdegenerowana (czyli symplektyczna).

6) Pokaza´c, ˙ze forma Fubini-Study _2πⁱ ∂ ¯∂ log(|z|) na Pⁿ powstaje ze standardowej formy symplektycznej na Cⁿ⁺¹w opisany powy˙zej spos´ob.

7) Za l´o˙zmy, ˙ze odwzorowanie w la´sciwe rozmaito´sci jest rozw loknieniem. Zinterpretowa´c operacje_,pchnie_,cia klasy kohomologii za pomoca_,ca lkowania po w l´oknach.

8) Niech X = {f = 0} be_,dzie g ladka_, hiperpowierzchnia_, stopnia n + 1 w Pⁿ. Skonstruowa´c nigdzie nie znikaja_,ca_,holomorficzna_,n − 1 forme_,na X. Wsk: zastosowa´c residuum i ca lkowanie po w l´oknach do formy f⁻¹dz₀∧ dz1∧ . . . ∧ dzn.

9) Zastosowa´c powy˙zsza_, konstrukcje_, dla krzywej eliptycznej opisanej przez rzeczywiste r´ownanie y²z = x³+ px + q i sprawdzi´c ˙ze ca lka z otrzymanej formy po X ∩ RP² jest niezerowa.

10) Udowodni´c formu le_,projekcji dla odwzorowania w la´sciwego f : M → N , a ∈ H^∗(M ), b ∈ H^∗(N ) f_∗(a ∪ f^∗b) = f_∗a ∪ b .

11) ♠Niech M be_,dzie rozmaito´scia_,zespolona_,, a D g ladka_,hiperpowierzchnia_,dana_,lokalnie r´ownaniem f = 0.

Pokaza´c, ˙ze podprzestrze´n form A^•_C(M − D) lokalnie be_,da_,cych postaci ^df_f ∧ α + β jest podkompleksem oraz,

˙ze kohomologie tego kompleksu sa_,r´owne H^∗(M − D; C).

12) Sprawdzi´c, ˙ze ∗²ω = (−1)^k(n−k)ω dla ω ∈ A^k(M ).

13) Pokaza´c, ˙ze ∗H = H.

14) Poda´c posta´c laplasjanu dla 0, 1 i 2-form na R². 15) Znale´z´c spektrum ∆ dla M = S¹.

1

16) ♠Znale´z´c (w literaturze) spektrum ∆ dla M = S². (Wsk: funkcje sferyczne.)

17) Pokaza´c, ˙ze forma Fubini-Study na Pⁿjest harmoniczna ze wzgle_,du na U (n + 1)-niezmiennicza_,metryke_, riemannnowska_,.

18) Rozwia_,za´c r´ownanie ciep la na X = S¹ z warunkiem pocza_,tkowym ω₀ = δ₁dt, gdzie δ₁ jest funkcja_, Diraca o no´sniku w 1 ∈ S¹. Upewni´c sie_,, ˙ze formy ω_tdla t > 0 sa_,g ladkie.

19) Czy klasa formy Fubini-Study pochodzi z H²(Pⁿ; Z) ?

20) Dla przestrzeni W = C² znale´z´c baze_,przestrzeni form prymitywnych P^pq= P^k∩Vpq

W_C^∗ ⊂Vk

W_C^∗. 21) ♠Dla przestrzeni W = Cⁿ znale´z´c wymiary przestrzeni prymitywnych P^pq⊂Vk

W_C^∗.

22) ♠Niech W be_,dzie przestrzenia_, liniowa_, z iloczynem hermitowskim. Pokaza´c, ˙ze rozk lad V∗

W_C^∗ = L

p,q,kL^kP^pq jest ortogonalny.

23) Niech X ⊂ Pⁿ be_,dzie zespolona_,hiperpowierzchnia_,stopnia d. Obliczy´c vol(X).

24) Niech Xt ⊂ Pⁿ be_,dzie cia_,g la_, rodzina_, zespolonych podrozmaito´sci (np X = S

t∈CXt ⊂ Pⁿ× C jest zespolona_,podrozmaito´scia_,). Wykaza´c, ˙ze obje_,to´s´c vol(Xt) jest sta la_,.

25) Zadanie o reprezentacjach sl2. Roz lo˙zy´c produkt tensorowy Sk ⊗ S` na reprezentacje nierozk ladalne.

Dla ` = 1 poda´c wektory najwy˙zszej wagi generyja<sub>,</sub>ce podreprezentacje, a dla ` > 1 poda´c tylko ilo´s´c nierozk ladalnych sk ladnik´ow typu S_α.

26) Dla W = C² zbada´c p´o ltoraliniowa_,forma_,na Λ²W_C^∗ zadana_,wzorem B(α, β) = (α ∧ β)/vol. Sprawdzi´c,

˙ze na podprzestrzeniach P^1,1, L(P^0,0), P^2,0i P^0,2forma ta jest okre´slona. Czy otrzymany wynik zgadza sie_,z Twierdzeniem o relacjach dwuliniuowych Hodge’a-Riemanna? (Na cwiczeniach liczyli´smy forme_,dwuliniowa_,, a nie p´o ltoraliniowa_,, co by lo b le_,dem.)

27) Udowodni´c, ˙ze ∂^∗= − ∗ ∂∗ oraz ∂^∗= − ∗ ∂∗.

28) Dla zwartej rozmaito´sci zespolonej X skonstruowa´c nietrywialna_, forme_, dwuliniowa_, dla kohomologii Dolbeault H^q(X, Ω^p) := H^q(A^p,•(X), ∂):

H^q(X, Ω^p) × H^n−q(X, Ω^n−p) → C . (Twierdzenie Serre’a powie, ˙ze jest ona niezdegenerowana.)

29) ♠Sprawdzi´c prostopad lo´sci sk ladnik´ow w rozk ladzie Hodge’a dla ∂ i dla ∂.

30) Sprawdzi´c, ˙ze superkomutator w algebrze la_,cznej z gradacja_,spe lnia super-formu le_,Leibniza.

31) Spawdzi´c, ˙ze forma Fubini-Study jest -cze_,´scia_,urojona_,pewnego iloczynu hermitowskiego na Pⁿ. 32) Niech S be_,dzie powierzchnia_, k¨ahlerowska_,. Znale´z´c sygnature_, S znaja_,c liczby Hodge’a h^p,q = dim H^q(X, Ω^p).

33) Znale´z´c sygnature_,kwadryki (hiperpowierzchni zadanej forma_,kwadratowa_,) w P²ⁿ⁺¹.

(Wsk. Najpierw zbada´c przypadek n = 1. Naste_,pnie mo˙zna przyja_,´c, ˙ze kwadryka jest zadana wielomianem P2n−1

i=0 z_i²+ z_2nz_2n+1= 0 i rozwa˙zy´c dzia lanie C^∗na X zadane wzorem t · [z₀: z₁: . . . z_2n: z_2n+1] = [z₀: z₁: . . . tz_2n: t⁻¹z_2n+1]. Uzasadni´c, ˙ze X mo˙zna roz lo˙zy´c na X₀t X₁t X₂, gdzie X₀= pt, X₁ jest izomorficzne z wia_,zka_,liniowa_,nad kwadryka_,w P²ⁿ⁻¹, a X²' C²ⁿ. Wykaza´c, ˙ze Hⁿ(X; C) = C².)

34) Niech X ⊂ M be_,dzie podrozmaito´scia_,zespolona_,rozmaito´sci k¨ahlerowskiej. Wykaza´c, ˙ze klasa i_∗[X] ∈ H^2codim(X)(M ) jest r´o˙zna od zera.

2

35) Wykaza´c, ˙ze zespolona rozmaito´s´c Iwasawy nie dopuszcza struktury K¨ahlera.

36) ♠Znale´z´c sygnature_,grassmanianu Grass2(Cⁿ) (przestrzenie 2-wymiarowe w Cⁿ).

37) ♠Dane dwie abstrakcyjne struktury Hodge’a (Vi, F_i^∗) wagi ki (gdzie i = 1, 2). Niech f : V1→ V2be_,dzie przekszta lceniem liniowym, takim, ˙ze fC: V1⊗ C → V1⊗ C ´sci´sle zachowuje filtracje_,, czyli

f (F^p(V1⊗ C)) = F^p(V2⊗ C) ∩ f (V1⊗ C).

Pokaza´c, ˙ze je´sli k16= k2, to f = 0.

38) Niech X → Pⁿ be_,dzie rozw l´oknieniem rozmaito´sci K¨ahlerowskiej nad przestrzenia_,rzutowa_,z w l´oknem F . Wykaza´c, ˙ze H^∗(X) ' H^∗(F × Pⁿ),

39) Niech X be_,dzie zwarta_,rozmaito´scia_,K¨ahlerowska_,,

HZ:= H¹(X; Z)/T orsja , HC:= HZ⊗ C = H¹(X; C) = H^1,0⊕ H^0,1. Udowodni´c, ˙ze

1) rzut HZ na H^1,0 jest krata_,(tzn. podgrupa_,dyskretna_,maksymalnej rangi);

2) {x ∈ (H^1,0)^∗: ∀y ∈ HZ hx, yi ∈ Z} jest krata_,w (H^1,0)^∗.

40) Opisa´c strukture_,Hodge’a w kohomologiach krzywych eliptycznych (tj. torusach ze struktura_,zespolona_, C/Λ, gdzie Λ jest krata_,). Pokaza´c, ˙ze znajomo´s´c struktury Hodge’a w H¹(E) pozwala odtworzy´c E.

41) ♠Opisa´c strukture_,Hodge’a w kohomologiach powierzchni K3. (To takie powierzchnie, kt´orych wia_,zka Λ²T X jest trywialna i X jest jednosp´ojna.) Trzeba u˙zy´c twierdzenie Hirzebrucha o sygnaturze, formu le_, Noether i formu le_,Wu, wie_,c jest to zadanie na p´o´zniej [Barth-Hulek-Chris-Van de Ven, Compact complex surfaces, §VIII.3].

42) Niech X ⊂ CP² be_,dzie zadane wzorem z0z₃² = z₁³+ z²₁z0. (Parametryzacja [s³ : s(t²− t²) : t(t²− s²)].) Przedstawi´c X jako push-out diagramu rozmaito´sci g ladkich i prze´sledzi´c jak wyga_,da cia_,g dok ladny obliczaja_,cy kohomologie X z punktu widzenia teorii Hodge’a.

43) ♠? Zbada´c cia_,g Frolichera dla powierzchni Hopfa C²/e^Z.

44) Niech X be_,dzie przestrzenia_,´scia_,lna_,oraz niech X → Sⁿ be_,dzie rozw loknieniem. Znale´z´c kohomologie w l´okna.

45) Zinterpretowa´c cia_,g Wanga jako rezultat cia_,gu spektralnego rozw l´oknienia z baza_,B = Sⁿ. 46) Niech E be_,dzie krzywa_,eliptyczna_,. Opisa´c filtracje_,wagowa_,w kohomologiach E × C i w C^∗× C^∗. 47) Opisa´c filtracje_,wagowa_,w kohomologiach X = {(x, y) ∈ C²: xy(x − y) 6= 0}.

48) ♠Opisa´c filtracje_,wagowa_,w kohomologiach X = P²−(E1∪E2), gdzie E₁i E₂sa_,krzywymi eliptycznymi przecinaja_,cymi sie_,transwersalnie.

49) Opisa´c filtracje_,wagowa_,w kohomologiach X = P²− (L1∪ L2∪ L3∪ L4), gdzie L_i sa_,prostymi przeci- naja_,cymi sie_,transersalnie.

50) Niech X ⊂ Pⁿ be_,dzie g ladka_,podrozmaito´scia_,, a ˆX ⊂ Cⁿ⁺¹sto˙zkiem afinicznym nad X, tzn podzbiorem Cⁿ⁺¹opisanym takimi samymi r´ownaniami jak X w Pⁿ. Opisa´c filtracje_,wagowa_,w kohomologiach ˆX − {0}.

(Wsk. skorzysta´c z trudnego tw Lefschetza i zcia_,gu Gysina.) 3

51) Opisa´c filtracje_,wagowa_,w kohomologiach X = C³−(trzy osie wsp´o lrze_,dnych).

52) ♠Niech E be_,dzie krzywa_,eliptyczna_,, e ∈ E oraz X = (E − {e}) × (E − {e})−(przeka_,tna). Opisa´c filtracje_, wagowa_,w kohomologiach X.

53) Niech E be_,dzie krzywa_,eliptyczna_,. (Pamie_,tajmy, ˙ze E ma strukture_,grupy abelowej.) X = {(e, f ) ∈ E²: e 6= f i e 6= −f }. Opisa´c filtracje_,wagowa_,w kohomologiach X.

54) ♠* Obliczy´c wymiary kohomologii hiperpowierzchni stopnia d w Pⁿ. Wsk. Obliczy´c najpierw charak- terystyke_,Eulera za pomoca_,rachunku klas charakterystycznych.

55) ♠Znale´z´c filtracje_, wagowa_, dla X = Pⁿ−(suma transwersalnie k przecinaja_,cych sie hiperpowierzchni liniowych).

56) ♠Sprawdzi´c, ˙ze X^##= X dla:

a) obrazu zanurzenia Segre: P¹× P¹→ P³

([s0: s1], [t0, t1]) 7→ [s0t0: s0t1: s1t0: s1t1] b) obrazu zanurzenia Veronese: P¹→ P³

[s₀: s₁] 7→ [s³₀: s²₀s₁: s₀s²₁: s³₁] c) powierzchni w P² zadanej wzorem x³+ y³+ z³= 0.

57) ♠Udowodni´c, ˙ze X^##= X.

58) ♠Znaja_,c X^#dla X ⊂ Pⁿ wyznaczy´c X^# dla X zanurzonego w Pⁿ⁺¹.

(wie_,cej zada´n o dualno´sci dla krzywych w [Hartshorne, Algebraic geometry, str 304-305])

59) M´owimy, ˙ze przestrze´n topologiczna X jest Q-homologiczna_,rozmaito´scia_,wymiaru n, je´sli dla ka˙zdego punktu x mamy H^∗(X, X − {x}; Q) ' H^∗(Rⁿ, Rⁿ − {0}; Q). Niech X be_,dzie hiperpowierzchnia_, z os- obliwo´sciami izolowanymi zadana_, r´ownaniem f = 0. Wykaza´c, ˙ze je´sli monodromia w ka˙zdym punkcie osobliwym nie ma warto´sci w lasnej r´ownej 1, to X jest Q-homologiczna_,rozmaito´scia_,.

60) ♠Zrobi´c film o monodromii dla osobliwo´sci kwadratowej f (z1, z2) = z²₁+ z₂², w kt´orym mo˙zna be_,dzie prze´sledzi´c ewolucje_,cykli na w l´oknie Milnora.

61) ♠Udowodni´c, ˙ze indeks pola wektorowego w punkcie osobliwym jest r´owny indeksowi przecie_,cia (w wia_,zce stycznej do rozmaito´sci) przekroju zerowego z przekrojem zadanym przez pole wektorowe.

62) ♠Niech X be_,dzie rozmaito´scia_, K¨ahlerowska_,, a E → X wia_,zka_,holomorficzn’a. Wykaza´c, ˙ze na P(E) mo˙zna dobra´c metryke_,K¨ahlerowska_,.

63) ♠Wyrazi´c sygnature_,powierzchni za pomoca_,c²₁ i c2,

64) ♠Dla powierzchni mamy 12|(c2+ c²₁). Czy dla rozmaito´sci wymiaru 3 dostajemy jaka_,´s nietrywialna_, informacje_,o podzielno´sci liczb Cherna? (Wsk: wypisa´c wz´or na χy.)

31 maj 2011

4