STYCZEŃ 2013

(1)

MATEMATYKA - poziom podstawowy

STYCZEŃ 2013

Instrukcja dla zdającego

1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron.

2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

3. W zadaniach od 1 do 23 są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedną odpowiedź i zaznacz ją na karcie odpowiedzi.

4. Zaznaczając odpowiedzi w części karty przeznaczonej dla zdającego, zamaluj pola do tego przeznaczone. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe.

5. Rozwiązania zadań od 24 do 32 zapisz starannie i czytelnie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku.

6. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za to rozwiązanie możesz nie dostać pełnej liczby punktów.

7. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.

8. Nie używaj korektora. Błędne zapisy przekreśl.

9. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.

10. Obok numeru każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów możliwych do uzyskania.

11. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

12. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający. Nie wpisuj żadnych znaków części przeznaczonej dla egzaminatora.

Życzymy powodzenia

Czas pracy:

170 minut

Liczba punktów

do uzyskania:

50

(2)

ZADANIA ZAMKNIĘTE

W zadaniach o numerach od 1 do 23 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź

Zadanie 1. (1 pkt)

Liczba

3

2 2

1

8 1 2 16 1

−



 



⋅

− −

jest równa

A . 2⁻¹ B. −2 C.

2

1 D. 1

Zadanie 2. (1 pkt) Wyrażenie

α α sin

1 sin² −

dla kąta ostrego α jest równe

A . sinα −1 B. tgαcosα C. −ctgαcosα D.

α α sin sin² − 1 Zadanie 3. (1 pkt)

Liczbąodwrotną do liczby

2 2

1 2 2

1

+

−

− jest liczba

A. 2

2 B. 2 2 C. 2 D. 2

Zadanie 4. (1pkt)

Jeżeli cena towaru brutto(23% podatku VAT) wynosi 1845 zł, to cena tego towaru netto jest równa A. 424,35zł B. 1420,65zł C. 1500zł D. 1424zł

Wartość liczbowa wyrażenia −log₄16+2log₄8 jest równa

A . 4 ¹ B. 4 ² C. 4⁻¹ D. 4 ⁰

Wykresy funkcji liniowych

2 41

−2 +

= x

y i y=

(

m−2

)

x+msą prostymi prostopadłymi dla

A . m=2 B. m=2,5 C. m=−2 D. m=−2,5

Wyrażenie x + x−2− x+1 dla x∈ 0,1 jest równe

A . x−1 B. − x−1 C. − x+1 D. x+1

(3)

BRUDNOPIS

(4)

Zadanie 8. (1 pkt)

Funkcja określona wzorem f(x)=−(x−1)(x+3)przyjmuje wartości ujemne dla

A . x∈(−3;1) B. x∈(−1;3) C. x∈(−∞;−3)∪(1;+∞) D. x∈(−∞;−1)∪(3;+∞) Zadanie 9. (1p)

Jeśli jeden bok trójkąta ma długość 3 a drugi 5, to długość trzeciego boku nie może być równa

A . 5 B. 6 C. 7 D. 9

Zadanie10. (1pkt)

Jaka jest największa wartość funkcji kwadratowej f(x)=−x²−4x+3 w przedziale x∈ −3;1 ?

A . 5 B. 6 C. 7 D. 8

Dla jakiego argumentu funkcja

( )

3 2 1 2

−

= + x x x

f przyjmuje wartość 3?

A . 2− B. 0 C. 2 D. 3

Prostokąt o bokach 4 i 6 obracając się dookoła prostej zawierającej dłuższy bok wyznacza bryłę o objętości równej

A.48 π B. 72 π C. 96 π D. 144 π

Punkty B =

(

^{−1; 2}

)

^{i D =}

(

^{− 4; 4}

)

^s^ą przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy

A. 13

2

1 B. 13

3

1 C.

4

13 D.

5 13 Zadanie 14. (1pkt)

Pole wycinka koła (zacieniowana część na rysunku) jest równe

rysunek

A. ² 3

1πr B. ²

4

1πr C. ²

6

1πr D.

3 2πr²

Stosunek pola kwadratu wpisanego w okrąg do pola kwadratu opisanego na tym okręgu wynosi A. 4

1 B.

2

1 C.

2

1 D.

2 2

1

Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego wynosi 40 . Miara k⁰ ąta nachylenia wysokości opuszczonej na ramię tego trójkąta do jego podstawy jest równa

A .20 ⁰ B.40 ⁰ C. 50 ⁰ D. 70 ⁰

(5)

BRUDNOPIS

(6)

Zadanie17. (1 pkt)

Suma dziesięciu początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego a_n = n2 −1 wynosi

A . 80 B. 90 C. 100 D. 110

Odchylenie standardowe zestawu danych liczbowych: 1, 3, 5, 7 jest równe

A . 3 B. 3 C. 5 D. 5

Zadanie19. (1 pkt)

Jeżeli w ciągu geometrycznym (a_n) pierwszy wyraz ciągu jest równy 3

−2, a drugi wynosi 2, to

A .a₄ =−18 B. a₄ =18 C. a₄ =6 D. a₄ =−6

Liczbą, która nie należy do zbioru wartości funkcji 10 5 ) 2

( +

= − x x

f jest

A . 0 B. 5 C. 10 D. 5−

Funkcja







−

− +

=

3 2

1 4 )

( ²

x x x x f

dla dla dla

, , ,

)

; 2

) 2

; 2

) 2

; (

+∞

∈

−

∈

−

−∞

∈

x x x

A . nie ma miejsc zerowych B. ma dwa miejsca zerowe C. ma jedno miejsce zerowe D. ma trzy miejsca zerowe

Wskaż zbiór rozwiązań nierówności (6− x)² ≤2

A. x∈ 2;6 B. x∈ 4;8 C. x∈ 2;8 D. x∈ 3;8

Dla pewnego zdarzenia losowego A prawdziwe jest równanie (A^'−zdarzenie przeciwne do zdarzenia A )

( )

A +4P

( )

A′ =1,39

P , zatem

A. P

( )

A =0,13 B. P

( )

A =0,39 C. P

( )

A =0,61 D. P

( )

A =0,87

(7)

BRUDNOPIS

(8)

ZADANIA OTWARTE

Rozwiązania zadań o numerach od 24 do 32 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Rozwiąż równanie 1 2 1

3

2 + =

+

− x

x .

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x²+9≥6x.

Dany jest ciąg

( )

a_n określony wzorem dla n

a_n ⁿ n 1 ) 3

1

( ₂

+

− −

= n≥1. Oblicz a₃ i a₆.

(9)

Zadanie 27. (2 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach a i b. Długość boku a zmniejszono o 10% a długość boku b zwiększono o 20%. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta otrzymanego po dokonaniu zmian długości boków.

Oblicz dla jakich wartości parametrów m i n proste o równaniach: 2x−y+n=0 i 6x+ my−12=0 są dwiema różnymi prostymi równoległymi.

(10)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe 64, a pole powierzchni ścian bocznych 288. Oblicz objętość ostrosłupa.

Zadanie 30. (4 pkt)

Liczby 3, y, x są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jeśli liczbę y zmniejszymy o 1, a liczbę x zwiększymy o 10, to otrzymane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz wartości liczbowe x i y.

(11)

W trójkącie prostokątnym ABC, w którym kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym, poprowadzono środkowe AD i BE. Udowodnij, że ⁴

(

^AD²⁺ ^BE²

)

⁼⁵^AB²

Punkty o współrzędnych A=(−1;−7),B=(3;5), C=(−1;3)są wierzchołkami trapezu.

Ramię trapezu AD jest prostopadłe do podstaw AB i CD. Oblicz współrzędne punktu D oraz pole powierzchni tego trapezu.

(12)

BRUDNOPIS

(13)

BRUDOPIS

(14)