METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO

DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0026

__________________________________________

* Zachodniopomorskie Centrum Edukacji Morskiej i Politechnicznej

Piotr FRĄCZAK

^*

METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO

W pracy przedstawiono autorską metodę macierzy rozwiniętych do analizy obwodów prądu przemiennego w ujęciu liczb zespolonych. Metoda ta polega na opisaniu obwo- dów elektrycznych macierzą rozwiniętą impedancji i wektorem rozwiniętym sił elektro- motorycznych. Macierz impedancji i wektor sił elektromotorycznych zapisane w postaci równania macierzowego ujmują prądy gałęziowe. Obliczone wartości prądów gałęzio- wych obwodu elektrycznego metodą macierzy rozwiniętych, porównano z wartościami prądów wyznaczonych metodą Maxwella prądów oczkowych. Otrzymano identyczne wartości prądów gałęziowych. Ponadto metodę macierzy rozwiniętych zastosowano do obliczania mocy i energii elektrycznej odpowiednio gałęziowej i sumarycznej. Oblicze- nia wymienionych wielkości elektrycznych obwodu przeprowadzono w środowisku programu numerycznego Mathcad.

Słowa kluczowe: metody macierzowe opisu obwodów, metoda macierzy rozwiniętych.

1. WSTĘP

Opis analityczny obwodów prądu przemiennego dokonuje się za pomocą układu równań, które tworzy się za pomocą II prawa Kirchhoffa (bilans napięć w oczku obwodu)[1]. Równania te wiążą prądy gałęziowe z impedancjami gałę- ziowymi oraz siłami elektromotorycznych w danym oczku. Liczba prądów gałę- ziowych ujętych układem równań odpowiada liczbie oczek obwodu. Pozostałe prądy gałęziowe wyznaczamy za pomocą I prawa Kirchhoffa (bilans prądów w danym węźle obwodu)[1]. Prądy gałęziowe obwodu prądu przemiennego można wyznaczyć również metodą macierzową Maxwella prądów oczkowych.

Metoda macierzowa Maxwella prądów oczkowych polega na opisaniu obwodu elektrycznego macierzą oczkową impedancji i macierzą jednokolumnową oczkową sił elektromotorycznych. Macierz oczkową impedancji, wektor sił elektromotorycznych oraz macierz łączącą prądy oczkowe z gałęziowymi zapi- suje się w postaci równania macierzowego, które ujmuje prądy gałęziowe.

Celem pracy jest opracowanie nowej metody macierzowej rozwiniętych obli- czania obwodów prądu przemiennego.

2. PREZENTACJA METODY ROZWINIĘTYCH MACIERZY OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO

W celu zaprezentowania metod macierzy rozwiniętych obliczania obwodów prądu przemiennego wykorzystano obwód, którego schemat zamieszczono na rysunku 1.

Rys.1. Schemat obwodu elektrycznego m-oczkowego w ujęciu liczb zespolonych

Obwód elektryczny opisuje się układam m, które tworzy się za pomocą II prawa Kirchhoffa (bilans napięć w oczku obwodu). Równania te wiążą prądy gałęziowe z impedancjami gałęziowymi oraz siłami elektromotorycznych w danym oczku. Układ m równań w zapisie macierzowym ma postać:

2

im i

m2

1,1 2,2

i,i

1j 1m

11 12 1

21 22 2j 2m

i1 i2 ij

m m,m mm

m1 mj

Z Z

Z Z I E

Z Z Z Z I E

= E

Z Z Z Z I

I E

Z Z Z Z

     

     

     

     

     

     

     

     

       

 

 

 

 

   



 

 

 

(2.1)

Równanie (2.1) w postaci zwartej przyjmuje następującą formę:



m m= m

Z I E ^(2.2)

Macierz

Zm

impedancji oraz wektory

Em sił elektromotorycznych

i prą- dów

Im

są zdefiniowane następująco:

im

m2 mj

1j 1m

11 12

21 22 2j 2m

i1 i2 ij

m1 mm

Z Z

Z Z

Z Z Z Z

= Z Z Z Z

Z Z Z Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

Zm

1,1 2,2

i,i

m,m

E E

E

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 E =m

1 2

i

m

I I

I

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 I =m

(2.3) (2.4) (2.5)

Macierz (2.3) znajduje się w lewej górnej części macierzy rozwiniętej impedan- cji (2.6) prezentowanejmetoda (macierzy rozwiniętych).

1,2 1,m 1,m+1

2,2 2,m 2,m+1

2,1 2,n

m,2 m,m+1 m,n

m,1

m+1,1 m+1,2 m+1,m m+1,m+1 m+1,n

n,m

n,2 n,m+1

1,1 1,n

m,m

n,1 n,n

Z Z Z Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zn (2.6)

Z kolei pozostałe elementy macierzy (2.6) uzupełnia się współczynnikami 0, ±1.

Podstawą obliczeń współczynników są prądy odI do ₁ I odpowiadające elemen-_n tom macierzy rozmieszczonym na głównej przekątnej. Współczynnik ±1 danego prądu I_k określa się na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa w danym węźle.

Węzeł należy dobrać tak, aby wszystkie prądy towarzyszące I_k posiadały indeksy mniejsze od k. Brak danego prądu w rozpatrywanym węźle oznacza się współ- czynnikiem 0.

Macierz rozwinięta jednokolumnowa (wektor) sił elektromotorycznych okre- ślana się w oparciu o wektora (2.4). W wektorze rozwiniętym sił elektromoto- rycznych wiersze od 1 do m odpowiadają wierszom wektora (2,4), natomiast wiersze od m+1 do n uzupełnia się współczynnikami 0. wektor siły elektromoto- rycznych definiuje się następująco:

1,1 2,2

m,m

E E

E 0

0

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 





En (2.7)

3. ZASTOSOWANIE METODY ROZWINIĘTYCH MACIERZY DO ANALIZY OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO

W celu zaprezentowania opracowanej metody macierzy rozwiniętych zasto- sowaną ją do obliczania wybranych wielkości elektrycznych obwodów elek- trycznych.

3.1. Obliczanie metodą macierzy rozwiniętych prądów gałęziowych w zapisie liczb zespolonych obwodu elektrycznego

Strukturę obwodu elektrycznego (rys.1) można opisać równaniem macierzo- wym:



n n= n

Z I E ^(3.1)

gdzie: Zn– macierz rozwinięta impedancji(2.6), En – wektor rozwinięty sił elektromotorycznych (2.7), In– wektor rozwinięty prądów gałęziowych.

Mnożąc lewostronnie równanie (3.1) przez macierz odwrotną (Zn)^–1 do ma- cierzy rozwiniętej impedancji Zn uzyskuje się:

-1



-1

n n n n n

Z Z I = Z E ^(3.2)

skąd po zastosowaniu znanych właściwości macierzy:

-1  

n n

Z Z  oraz I = I n n (3.3)

gdzie: symbol  – macierz jednostkowa, otrzymuje się wektor rozwinięty prądów gałęziowych w następującej postaci:

-1

n n n

I = Z E ^(3.4)

gdzie: In– wektor prądów gałęziowych. Wektor In zdefiniowano następująco:

1 2

m m+1

n

I I

I I

I

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 



 In

(3.5)

3.2. Obliczanie metodą macierzy rozwiniętych mocy w zapisie liczb zespolonych obwodu elektrycznego

3.2.1. Moc gałęziowa

Moc pozorna gałęziową S w zapisie macierzowym obwodu elektryczne-g

go[2], wyznacza się z równania macierzowego

  *

g d d n

S = I Z I ^(3.6)

gdzie:I – macierz diagonalna prądów gałęziowych, d Z – macierz diagonalna d

impedancji gałęziowych,I – wektor sprzężony prądów gałęziowych. Macierz n^*

I , d Z oraz wektord I są definiowane następująco: n^*

1 2

k

n

I 0 0 0

0 I 0 0

0 0 I 0

0 0 0 I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

Id ^(3.7)

k

1 2

n

z 0 0 0

0 z 0 0

0 0 z 0

0 0 0 z

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

Zd

  ^{   }

  ^{ }  

     

     

*

1 1

2 2

k k

n n

Re I + -j Im I Re I + -j Im I

Re I + -j Im I

Re I + -j Im I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 In

(3.8)

(3.9)

3.2.2. Moc sumaryczna

Moc sumaryczną S w zapisie macierzowym obwodu elektrycznego[2], wy- znacza się z równania macierzowego

^{S =}



^ZdIn



^{T In* (3.10)}

gdzie:Z – macierz diagonalna impedancji gałęziowych (3.8), d I – wektor prą-n

dów gałęziowych (3.5), I – wektor sprzężony prądów gałęziowych (3.9). n^*

3.3. Obliczanie metodą macierzy rozwiniętych energii w zapisie liczb zespolonych obwodu elektrycznego

3.3.1. Energia elektryczna gałęziowa

Energię elektryczną gałęziową obwodu elektrycznegoW wyznacza się z g

równania macierzowego (3.6), mnożąc go lewostronne przez T d

   *

g d d d n

W = T I Z I ^(3.11)

gdzie: T – macierz diagonalna czasu,d I – macierz diagonalna prądów gałęzio-d

wych (3.7),Z – macierz diagonalna impedancji gałęziowych (3.8),d I – wek-n^*

tor sprzężony prądów gałęziowych (3.9). Macierz T jest zdefiniowana następu-d

jąco:

k

1 2

n

t 0 0 0

0 t 0 0

0 0 t 0

0 0 0 t

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

Td (3.12)

3.3.2. Energia elektryczna sumaryczna

Z kolei energię elektryczną sumaryczną obwodu elektrycznego W w zapisie macierzowym, wyznacza się z równania



^{d n}



^{T n*}

W = T Z I I (3.13)

gdzie:T – macierz jednostkowa czasu,Z – macierz diagonalna impedancji ga-d

łęziowych (3.8), I – macierz jednokolumnowa prądów gałęziowych (3.5), n n*

I – wektor sprzężony prądów gałęziowych (3.9). Macierz jednostkowa czasu T jest definiowana następująco:

 

^t



T (3.14)

4. WERYFIKACJA METODY ROZWINIĘTYCH MACIERZY OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO

Prądy gałęziowe w obwodach elektrycznych można obliczyć między innymi metodą prądów oczkowych Maxwella z równania [2]:

 -1 

n o = o o

I = B I Z E ^(4.1)

gdzie:B – macierz łącząca prądy oczkowe z prądami gałęziowymi, I – wektor o

prądów oczkowych, Z – macierz impedancji oczkowych,o E – wektor sił elek-o

tromotorycznych oczkowych, I – wektor rozwinięty prądów gałęziowych (3.5). n

MacierzeB i Z oraz wektory o E io I są definiowane następująco: o

1,1 1,2 1,i 1,m

2,1 2,2 2,i 2,m

k,1 k,2 k,i k,m

n,i n,m n,1 n,2

B B B B

B B B B

B B B

B B B B

B

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

B (4.2)

gdzie:

B – współczynnik (k,i

B = 0,±1 ). k,i

1,i 1,m

2,1 2,2 2,i 2,m

i,1 i,2 i,m

m,1 m,2 m,i

1,1 1,2

i,i

m,m

Z -Z -Z -Z

-Z Z -Z -Z

-Z -Z Z -Z

-Z -Z -Z Z

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

Zo

(4.3)

2

o1 1

o 2

oi i

om m

E (Σ ± E)

E (Σ ± E)

E = (Σ ± E)

E (Σ ± E)

   

   

   

   

    

   

   

   

   

   

 

 

Eo

o1 o2 oi om

I I

I

I

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 



 Io

(4.4)

(4.5)

5. OBLICZANIE W PROGRAMIE MATHCAD OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO ZA POMOCĄ METODY

ROZWINIĘTYCH MACIERZY

W celu dokonania analizy obwodu prądu przemiennego w programie Ma- thcad [3] zastosowano metodę macierzy rozwiniętych. W środowisku programu Mathcad napisano odpowiednie równania (3.4), (3.6), (3.10) ,(3.11) i (3.13) ujmujące prądy, moce i energie oraz wpisano parametry obwodu. Ponadto obli- czone prądy gałęziowe obwodu metodą macierzy rozwiniętych zweryfikowano metodą Maxwella prądów oczkowych.

RRys.2. Schematt obwodu elektrrycznego czteroooczkowego w ujęciu liczb zesspolonych

5. WNIOSKI

 Metoda macierzy rozwiniętych analizy obwodów prądu przemiennego w ujęciu liczb zespolonych, sprowadza się do zdefiniowania dwóch macierzy (macierz rozwinięta impedancji i macierz jednokolumnowa rozwinięta sił elektromotorycznych).

 Analizę obwodów prądu przemiennego w ujęciu liczb zespolonych metodą macierzy rozwiniętych można przeprowadzać w środowisku programu nume- rycznego Mathcad.

 Obliczenia prądów gałęziowych obwodu prądu przemiennego metodę macie- rzy rozwiniętych, zweryfikowano metodą Maxwella prądów oczkowych, otrzymano identyczne wyniki.

 Opracowana metoda macierzy rozwiniętych obliczania obwodów prądu przemiennego w ujęciu liczb zespolonych, stanowi doskonałą pomoc dydak- tyczną w nauczaniu teorii obwodów elektrycznych.

LITERATURA

[1] Bolkowski S., Teoria obwodów elektrycznych, wyd. 5, Warszawa, WNT 1995, ISBN 83-204-2218-3

[2] Frączak P., Obliczenia numeryczne obwodów elektrycznych i układów cyfrowych, Szczecin, Wydawnictwo PPH ,,Zapol’’ Dmochowski, Sobczyk Sp.j. 2012, 173 s., ISBN 978-83-7518-432-7

[3] Palczewski W., Mathcad 12,11, 2001i, 2000 w algorytmach, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2005, ISBN 83-87674-81-8

THE MATRIX METHOD OF CALCULATING CIRCUITS OF AC CURRENTS The paper presents the original matrix method developed for the circuits analysis of current AC in in the record of complex numbers. This method describ electrical circuits by of the developed impedance matrix and of the developed electromotive forces vector .The impedance matrix and the vector of electromotive forces in the described form of matrix equation they contain of branch currents. The calculated values of the branch currents of the electric circuit using the developed matrix method were compared with the values of the currents determined by Maxwell's loop current method. The same val- ues of branch currents were obtained. In addition, the developed matrix method was used to calculate the power and electric energy respectively branch and total. Calculations of the above-mentioned electrical values of the circuit were carried out in the environment of the Mathcad numerical program

(Received: 31.01.2018, revised: 05.03.2018)