5. Całkowanie ciągów funkcyjnych (wstęp) – zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 5.1 Oblicz granicę
n→∞lim
Z 2 0
n2sinx2 n2l(dx).
Zad. 5.2 Oblicz granicę limn→∞R01(1 − sinnx)l(dx).
Zad. 5.3 Oblicz granicę limn→∞R01 √n
x ln xl(dx).
Zad. 5.4 Oblicz granicę limn→∞R01(1 + xn)e−xl(dx).
Zad. 5.5 Oblicz granicę
n→∞lim
Z
An
x2n
2n l(dx), An= {x; |x| ¬ 1 − 1 n}.
Zad. 5.6 Oblicz granicę
n→∞lim
Z +∞
1
l(dx) x2+ | cos x|n. Zad. 5.7 Oblicz granicę
n→∞lim
Z +∞
0
(e−xI[0,n](x) + I(n,n+1)(x))l(dx).
Zad. 5.8 Oblicz granicę dla 0 < a < b < 1
Z
[a,b]
∞
X
n=1
nxn−1l(dx).
Zad. 5.9 Oblicz granicę limn→∞RAfn(x)µ(dx), gdzie a) A = N, µ =P∞k=1kδk,
fn(x) = x exp {−x −ex n}.
b) A = R+, µ = l,
fn(x) = ne−xsinx n. c) A = R+, µ =P∞k=1δk/k4,
fn(x) = n2cosx n. Zad. 5.10 (2003) Oblicz granicę
n→∞lim
∞
X
k=1
k · 2−n+1n k.
