Podstawy przetwarzania sygnałów 7. Dyskretna transformata Fouriera — zadania do samodzielnego rozwiązania

(1)

Zad. 7.1 Wyznacz DFT ciągów

1. x_k= sin k, k = 0, 1, . . . , N − 1;

2. x_k= 2k + 3, k = 0, 1, . . . , N − 1;

3. x_k= (k + 1)(k + 2), k = 0, 1, . . . , N − 1.

Zad. 7.2 Rozważmy dwie dyskretne transformaty Fouriera:

FN : (yk) → (Yn) i FN : (Yn) → (zq).

Wyraź z_q jako funkcję y_k.

Zad. 7.3 Wykaż, że jeśli F_N : (y_k) → (Y_n), to zachodzą własności:

1. (y_k) jest parzysty (nieparzysty) ⇐⇒ (Y_n) jest parzysty (nieparzysty), 2. (yk) jest rzeczywisty ⇐⇒ Y−n = Yn dla każdego n ∈ Z,

3. (yk) jest parzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Yn) jest parzystym cią- giem liczb rzeczywistych,

4. (y_k) jest nieparzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Yn) jest nieparzystym ciągiem liczb czysto urojonych.