BADANIA SYMULACYJNE UKŁADU NAPĘDU POSUWOWEGO TRZYOSIOWEGO CENTRUM OBRÓBKOWEGO M

35, s. 93-100, Gliwice 2008

BADANIA SYMULACYJNE UKŁADU NAPĘDU POSUWOWEGO TRZYOSIOWEGO CENTRUM OBRÓBKOWEGO

MIROSŁAW PAJOR, ARKADIUSZ PARUS, ANDRZEJ BODNAR, MARCIN HOFFMANN

Instytut Technologii Mechanicznej, Politechnika Szczecińska

e-mail: miroslaw.pajor@ps.pl, parus@ps.pl, andrzej.bodnar@ps.pl, marcin.hoffmann@ps.pl

Streszczenie. Niniejsza praca zawiera analizę własności dynamicznych nowo projektowanego frezarskiego centrum obróbkowego, które przeznaczone będzie do obróbki przedmiotów o stosunkowo o dużej długości. W obrabiarce tej rozważano zastosowanie dwóch typów napędu posuwowego odpowiedzialnego za ruch wzdłużny. Jednym z rozwiązań było wykorzystanie śruby pociągowej z silnikiem asynchronicznym. W drugiej koncepcji ruch wzdłużny realizowano za pomocą silnika liniowego. Praca obejmuje budowę modelu matematycznego układu MDS obrabiarki oraz modeli dwóch typów napędu posuwowego. W pracy zaprezentowano wyniki symulacji obu typów napędu posuwowego oraz porównano ich własności dynamiczne.

1. WSTĘP

We współczesnych obrabiarkach w napędach posuwu coraz częściej śrubę pociągową zastępuje się układem z silnikiem liniowym. Napęd posuwu decyduje o istotnych własnościach obrabiarki takich jak prędkość, ruch i przyspieszenie, błędach statycznych i dynamicznych, czy błędach pozycjonowania. Jest to istotny element konstrukcji obrabiarki, który w dużym stopniu wpływa na wielkość błędu położenia narzędzia względem przedmiotu obrabianego. W niniejszej pracy, na podstawie badań symulacyjnych, przeprowadzono ocenę i porównanie napędu posuwu ze śrubą pociągowa oraz z silnikiem liniowym na wielkość wyżej wymienionych błędów.

Analizę układów napędowych przeprowadzono dla centrum frezarskiego (rys.1a). Jest to frezarka trzyosiowa, przeznaczona do obróbki elementów o długości do 2 metrów. Układ korpusowy składa się z kilku podstawowych elementów: stół, sanie wzdłużne, kolumna oraz wrzeciennik i elektrowrzeciono. Poszczególne elementy obrabiarki poruszają się po prowadnicach szynowych, a ich ruch zapewniają trzy śruby pociągowe. W innej wersji tej obrabiarki ruch wzdłużny zapewnia silnik liniowy.

2. MODEL UKŁADU KORPUSOWEGO OBRABIARKI

W celu przeprowadzenia badań symulacyjnych własności dynamicznych napędu posuwu należy w pierwszej kolejności zamodelować sam układ napędowy oraz zbudować masowo- dyssypacyjno-sprężysty (MDS) model układu obrabiarki.

Do budowy modelu MDS obrabiarki wykorzystano metodę SES [4,5]. Matematyczny opisu ruchu obrabiarki wymagana znajomości macierzy mas, tłumienia i sztywności.

W pierwszym kroku wyznaczono macierz mas. W tym celu dokonano podziału, wzdłuż połączeń prowadnicowych, układu korpusowego na cztery SES-y. Podział frezarki na bryły sztywne pokazano na rys.1. Na rysunku widoczne są również układy odniesienia przyjęte dla modelu obrabiarki, tj. układ globalny UG związany z narożnikiem stołu frezarki oraz układy lokalne poszczególnych SES-ów (U1, U2, U3,U4).

a) b)

Rys.1. a) Podział układu korpusowego na SES-y

b) Typy wózków tocznych zastosowane w połączeniach prowadnicowych

Na podstawie modelu 3D oraz dokumentacji technicznej poszczególnych elementów korpusowych wyznaczono ich parametry bezwładnościowe (tensor momentów bezwładności) oraz położenie środków ciężkości względem układów lokalnych poszczególnych SES-ów.

W środkach ciężkości poszczególnych brył zaczepiono układy współrzędnych kartezjańskich, w których zdefiniowano współrzędne uogólnione. Wyznaczone dane wykorzystano do budowy macierzy bezwładności modelu oraz do przeprowadzenia odpowiednich transformacji przy budowie macierzy sztywności i tłumień.

Elementy korpusowe obrabiarki traktowane są jako bryły nieodkształcalne, jednak podczas ruchów posuwowych bryły korpusowe wykonują drgania w wyniku odkształceń elementów sprężysto-tłumiących (EST-y). Do elementów tych zaliczono śruby pociągowe i wózki toczne. Analizowana obrabiarka wyposażona jest w trzy układy śrub pociągowych. Na całkowitą sztywność układu śrubowego wypływ mają poszczególne składowe tego systemu, m.in.: przekładnia pasowa, sprzęgła, łożyska, śruby, nakrętki i sama śruba pociągowa.

Sztywność poszczególnych układów śrub pociągowych jest zależna od czynnej długości śruby i przyśpieszenia ruchu, które decyduje o poosiowej sile obciążającej układ [9].

Parametry tłumieniowe EST-ów opracowywanego modelu wyznaczono, przyjmując model proporcjonalny tłumienia do sztywności z wykorzystaniem stałych czasowych tłumienia zaczerpniętych z literatury [5].

W badanej frezarce zostały zastosowane trzy rodzaje wózków tocznych firmy Rexroth- Bosch (rys.1b). Parametry sztywnościowe poszczególnych wózków wyznaczono w badaniach identyfikacyjnych przeprowadzonych zgodnie z metodyką prezentowaną w pracy [2].

Parametry tłumieniowe wózków wyznaczono analogicznie jak przy śrubach pociągowych.

Położenie elementów korpusowych ma wpływ na parametry elementów sprężysto- tłumiących modelujących toczne połączenia prowadnicowe oraz śruby pociągowe obrabiarki.

W niniejszej pracy wytypowano dziewięć wariantów wzajemnego ustawienia elementów korpusowych obrabiarki do badań symulacyjnych, dla których zbudowano modele zgodnie z konwencją metody SES. Na rys.2 przedstawiono niektóre warianty ustawienia elementów korpusowych obrabiarki.

1. 2. 3. 4.

Rys. 2. Wybrane warianty wzajemnego położenia elementów korpusowych obrabiarki Określone parametry masowe poszczególnych elementów korpusowych i parametry elementów sprężysto-tłumiących posłużyły do budowy macierzowego modelu obrabiarki w konwencji SES [4,5]. Dla każdej bryły zdefiniowano po sześć przemieszczeń uogólnionych oraz określono siły zewnętrze działające na elementy korpusu. W sumie model składający się z czterech SES-ów ma 24 stopnie swobody. Zapis macierzowy modelu ma następującą postać:

) ( ) ( ) ( )

(t Hu t Ku t Q t u

M^oo + ^o + = (1)

gdzie: M - macierz bezwładności, K - macierz sztywności, H - macierz tłumień, u(t) - wektor przemieszczeń uogólnionych, Q(t) - wektor sił uogólnionych.

3. MODEL UKŁADU NAPĘDOWEGO 3.1. Model napędu z silnikiem indukcyjnym

Pierwszą wersją zastosowanego napędu posuwu wzdłużnego był synchroniczny silnik indukcyjny. Dokonując transformacji trójfazowej maszyny elektrycznej do uogólnionej maszyny dwufazowej oraz przyjmując układ współrzędnych (u-v) wirujący z prędkością kątową ωk, napęd można opisać następującymi układami równań (założono pełną symetrię uzwojeń, pominięto straty na histerezę i prądy wirowe oraz braku nasycenia) [1,3]:

dla stojana (indeksy 1): dla wirnika (indeksy 2):















+

= +

=

+ +

=

− +

=

v m v v

u m u u

u k v v

v

v k u u

u

i L i L

i L i L

dt i d R u

dt i d R u

2 1

1 1

2 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

ψ ψ

ψ ψ ω

ψ ψ ω















+

=

+

=

− + +

=

=

−

− +

=

=

v m v v

u m u u

u e k v v

v

v e k u u

u

i L i L

i L i L

dt i d

R u

dt i d

R u

1 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

) (

0

) (

0

ψ ψ

ψ ω ψ ω

ψ ω ψ ω

(2)

oraz dla części mechanicznej:









= −

= −

2 2

2 1 1 1 1

) (

2

) (

3

J M M p dt d

L i i

L M p

o e b

u v v u m b e

ω

ψ ψ

(3)

gdzie: L, R, ψ – indukcyjność własna, rezystancja oraz strumień uzwojenia stojana i wirnika, Lm – indukcyjność wzajemna, pb – liczba par biegunów, ω2 – prędkość kątowa, wirnika, iu, iv, u_u, u_v – prądy i napięcia stojana i wirnika dla fazy u i v, M_e – moment elektromagnetyczny silnika, Mo – moment obciążenia, J2 – moment bezwładności wirnika.

Zastosowany silnik posiadał sterowanie wektorowe z obserwatorem stanu. Założeniem tego typu sterowania jest utrzymywanie kąta π/2 między wybranymi składowymi pola elektromagnetycznego. Wobec tego przyjęto układ współrzędnych (uv) związany z wirującym strumieniem wirnika tak, aby oś u pokrywała się z wektorem strumienia ψ2. Wtedy:

0 , ₂

2

2_u =ψ ψ _v =

ψ r

(4) Realizując sterowanie w postaci:





+

=

+

=

v kv

v

u ku

u

U U

a u

U U

a u

1 1

1

1 1

1 (5)

gdzie:





+

=

−

−

=

u k k

kv

v k ku

i a

U

i a

a U

1 2 3

1 2 3 2

ω ψ ω

ω ψr

r

,

2 1 3 2 2 2 2

2 2 1

1 , ,

L a a L R a L L

L L

a = L − ^m = = ^m (6)

otrzymuje się model odprzężony, w którym oś u jest odpowiedzialna za sterowanie strumieniem, a oś v za sterowanie momentem. Układ sterowania przedstawiono schematycznie na rys. 3.

Rys. 3 Schemat blokowy układu sterowania wektorowego silnika indukcyjnego

Układ kształtowania strumienia (UKS) odpowiedzialny jest za zmniejszenie wartości strumienia przy wzroście prędkości obrotowej silnika powyżej wartości nominalnej. Na podstawie zadanej wartości prędkości obrotowej ωzad wyznaczane są wartości prądów w osiach u i v, a następnie na ich podstawie wartości napięć, które transformowane są do stacjonarnego układu (ab), a następnie do układu trójfazowego i poprzez modulator PWM sterują silnikiem.

3.2. Model liniowego silnika synchronicznego

Zasada działania liniowego silnika elektrycznego – zarówno asynchronicznego, jak i syn- chronicznego – jest analogiczna jak odpowiedniego silnika obrotowego. Główna różnica występuje w kształcie geometrycznym zasilanej części ruchomej (pierwotnej) oraz nieruchomej (wtórnej). Na podstawie analogii, modelowanie silnika liniowego sprowadza się do modyfikacji równań silnika obrotowego [7,8]. Siła generowana przez silnik liniowy, przy zachowaniu takiej samej mocy, jak dla silnika obrotowego, wyrażona jest równaniem:

b e

SL p

F M τ

=π (7)

gdzie τ jest szerokością bieguna, natomiast liniowe przemieszczenie x oraz prędkość v można wyznaczyć z zależności:

π ω ϕ τ π

τ =

= v

x , (8)

W celu syntezy układu regulacji model silnika opisany układem równań (5,6) został transformowany do układu współrzędnych (dq) zorientowanego tak, aby oś d pokrywała się z wektorem prądu. Wiruje on z prędkością obrotową wirnika (ωk=ω₂=dΘ/dt). Model matematyczny silnika synchronicznego z magnesami trwałymi w układzie (dq) opisują równania [7,8]:

1

1 1 1 2 1

1 1 1 1

1 2

1 1 1 2 1

2

1 1 1 2

2

1 1 1

3 ( )

2

( )

d

d d q

b d q q d

e q

q q d

b e o

d d

q q

u R i d

p i i

dt M

d L

u R i

dt d p M M

L i dt J

L i

ψ ω ψ

ψ ψ

ψ ω ψ

ψ ψ ω

ψ

 = + −

 −

 =

 = + +

 −

 = + =

 =



(9)

gdzie ψ jest strumieniem magnesów trwałych wirnika, a pozostałe oznaczenia są identyczne, ₂ jak dla silnika indukcyjnego.

Rys. 4 Schemat blokowy układu sterowania wektorowego silnika synchronicznego z magnesami trwałymi

W celu uzyskania maksymalnej wartości momentu napędowego, dąży się do zapewnienia przesunięcia fazowego strumienia i prądu o kat π/2. Warunek ten będzie spełniony, gdy i_1d = 0. W układzie tym, podobnie jak dla silnika indukcyjnego, istnieje możliwość

zmniejszenia strumienia poprzez wymuszenie i1d<0 w przypadku pracy silnika z prędkościami przekraczającymi wartość nominalną. Schematycznie układ sterowania wektorowego przedstawiony jest na rys. 4.

4. SYNTEZA MODELU SILNIKA ELEKTRYCZNEGO Z MODELEM UKŁADU MDS Przed przystąpieniem do symulacji własności napędu posuwu należy model tego napędu połączyć z modelem obiektu napędzanego, czyli z układem MDS obrabiarki. Schemat połączenia przedstawiono na rys. 5.

Rys. 5. Połączenie modelu silnika elektrycznego z modelem układu MDS obrabiarki Podukład I składa się z silnika elektrycznego ze śrubą pociągową. Działa na niego wymuszenie w postaci momentu obciążającego M_obc. Drugi podukład to model układ MDS obrabiarki (ruch translacyjny), który wymuszany jest kinematyczne przez nakrętkę u(t). Oba podsystemy sprzężone są poprzez nakrętkę N, która przenosi reakcję dynamiczną, jaką oddziałuje układ MDS na silnik, zmieniając siłę poosiową na moment M_obc obciążający śrubę pociągową. Równania ruchu obu podukładów przyjmą następującą postać.

Podukład I:

( ) ( )

( ) ( )





−

=

− +

− +

=

− +

− +

+

obc w

sp sprz w

sp sprz sp sp

e sp w sprz sp

w sprz w w w w

M k

h J

M k

h h

J

φ φ φ

φ φ

φ φ φ

φ φ

φ

&

&

&

&

&

&

&

&

&

(10)

Podukład II:

ku u h Kx x H x

M&&+ &+ = &+ (11)

przy czym

π φ ρ ) 2 (t _sp

u = , ^Mobc =

[

(

) (

) ]

π ρ

2 (12), (13)

gdzie: J_w, h_w – moment bezwładności i współczynnik tłumienia wirnika silnika; k_sprz, h_sprz – współczynnik sztywności i tłumienia sprzęgła; Jsp – moment bezwładności śruby; φw, φsp – kąty obrotu wirnika silnika i śruby; Me – moment elektromagnetyczny; Mobc – moment obciążenia; h, k – współczynnik tłumienia i sztywność śruby zależna od czynnej długości śruby; u, x – przemieszczenia nakrętki i elementu napędzanego; ρ – skok śruby.

W wersji obrabiarki z silnikiem liniowym idea połączenia podukładów jest analogiczna.

Przy czym „nakrętka” jest częścią ruchomą silnika liniowego, a sztywność śruby jest zastąpiona sztywnością połączenia części ruchomej silnika z korpusem obrabiarki.

5. SYMULACJA PRACY UKŁADU NAPĘDOWEGO

Badania symulacyjne obejmowały wyznaczanie odpowiedzi układu MDS obrabiarki wraz z napędami na zadane sterowanie ruchu kolumny frezarki wzdłuż osi X, ponieważ ten układ posuwowy był źródłem największych błędów ruchu. Spośród wielu analizowanych wariantów ustawienia elementów korpusowych obrabiarki przedstawione tu będą jedynie wyniki analiz jednego wariantu, mianowicie wariantu o dużej podatności oznaczonego cyfrą 3 (rys.2).

W symulacjach wykorzystano modele silników – obrotowego i liniowego. Rozruch obu napędów odbywał się do prędkości 5000 mm/min (0.083 m/s) przy trapezowym profilu zmiany prędkości. Czas rozruchu ustalono na 0.1 s tak, aby zbliżyć się do ograniczeń prądu dla silnika obrotowego, ale ich nie przekroczyć. Parametry regulatorów dobrano tak, by zapewnić dobrą odpowiedź dynamiczną, nie przekraczając ograniczeń prądowych silników.

Dla silnika obrotowego przyjęto model matematyczny opisany przez równania (2) i (3) natomiast dla silnika liniowego model ten opisują zależności (7-9). Wartości poszczególnych parametrów zaczerpnięto z literatury [6].

Rys. 6 Wyniki symulacji przebiegu rozruchu przy zastosowaniu napędu ze śrubą toczną (a, b) oraz napędu liniowego (c, d): (a) wykres prędkości zadanej i rzeczywistej;

(b, c, d) dynamiczne przemieszczenia względne końcówki wrzeciona

Wykres prędkości zadanej oraz prędkości rzeczywistej w czasie rozruchu napędu ze śrubą toczną pokazano na rys. 6a. Rzeczywista prędkość ruchu narzędzia (oś wrzeciona) wykazuje wyraźne przeregulowanie, lecz mieszczące się w granicach błędu. Rys. 6b pokazuje względne dynamiczne przemieszczenie końcówki wrzeciona (narzędzia) w stosunku do zadanego ruchu nakrętki u(t) na kierunku X. Odejmując od ruchu końcówki wrzeciona zadany ruch nakrętki, usunięto przemieszczenie duże, pozostawiając jedynie wywołane rozruchem drgania sprężyste układu na kierunku X. Drgania w pozostałych kierunkach były w badanym przypadku bardzo małe. Z wykresu widać, że odchylenie końcówki wrzeciona od trajektorii ruchu w momencie startu układu jest na poziomie 22 µm, a oscylacje z częstotliwością 35 Hz mają maksymalną amplitudę międzyszczytową ok. 5 µm.

W wariancie nr 3 z silnikiem liniowym maksymalne przemieszczenie końcówki wrzeciona pod wpływem sił bezwładności jest na poziomie 2.4 µm, a poziom drgań końcówki wrzeciona wywołanych rozruchem jest bardzo mały. Brak przeregulowania wynika z nastaw regulatora.

Ponad ośmiokrotnie mniejszy błąd ruchu wynika z braku wpływu odkształceń śruby pociągowej.

Dodatkowo zbadano rozruch z silnikiem liniowym, przy czasie rozbiegu skróconym do granicy możliwości silnika. Uzyskano przyspieszenie rzędu 0.8g. Na rys. 6d przedstawiono przebieg „błędu położenia”. Jest on na poziomie 13 µm, a maksymalna amplituda drgań układu wynosi ok. 6 µm.

6. WNIOSKI

Wzdłużny napęd kolumny frezarki, zaopatrzony w śrubę toczną, wykazuje co prawda poprawne własności dynamiczne, jednak z powodu stosunkowo nisko położonego rezonansu (35 Hz) i dużego dynamicznego błędu położenia (22 µm) wskazane jest zwiększenie sztywności na tym kierunku. Można to osiągnąć przez zastosowanie napędu liniowego.

Gwarantuje on zdecydowanie lepsze własności dynamiczne frezarki i wysokie przyspieszenia.

Wyeliminowany jest też wpływ miejsca ustawienia kolumny frezarki na prowadnicach.

LITERATURA

1. Afonin A., Kramarz W., Cierzniewski P.: Elektromechaniczne przetworniki energii z komutacją elektroniczną. Szczecin: Wyd. Uczelniane Pol. Szczec. 2000.

2. Jastrzębski D., Szwengier G.: Analiza statycznych właściwości układów nośnych obrabiarek hybrydową metodą elementów skończonych. „Postępy technologii maszyn i urządzeń” 1993, vol.17, nr 2, s. 21-41.

3. Kaźmierowski M.P., Tunia H.: Automatic control of converter-fed drivers. Warszawa: PWN, 1994.

4. Kruszewski J. i in: Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji. Warszawa: Arkady, 1984.

5. Marchelek K.: Dynamika obrabiarek. Warszawa: WNT, 1991.

6. Pajor M., Hofmann M., Okulik X.: Modelowanie układu napędowego obrabiarki. Kraków 2007 7. Rinkieviciene R., Petrovas A.: Dynamic models of linear induction driv. “Information Technology

and Control” 2005, vol. 34(1).

8. Strubin J.-M., Veenstra M., Rufer, A.: Linear induction motor demo-track: a tool for renewed motivation in electrical engineering. W: 3-rd Int. Symp. on Linear Drives for Ind. Appl., Nagano, Japan, 17-19.10.2001

9. Mechanizmy śrubowo-toczne Rexroth Bosch RPL 83 301/10.00.

A SIMULATION OF FEED DRIVE SYSTEM OF 3-AXIS MILLING MACHINE

Summary. The paper contains the analysis of dynamic properties of the milling machine, designed to machine long components. Two types of feed drive were considered for longitudinal movement. In first solution a screw with asynchronous motor was used. In second concept, a longitudinal movement was realized by linear motor. The paper includes the construction of the mathematical model of the MDS system of the machine tool as well as models of two types of the feed drive. The paper presents results of simulation of both types of the feed drive as well as comparison of their dynamic properties.