Procesy stochastyczne
7. Rozkłady stacjonarne – zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 7.1 (J. S., Zad. 2 str. 297) Znajdź wszystkie rozkłady stacjonarne dla łańcuchów Markowa o macierzach przejścia
1 3
2
3 0 0
1 4
3
4 0 0
0 0 15 45 0 0 45 15
i
1
5 0 0 45 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
.
Zad. 7.2 (J. S., Zad. 5 str. 298) Niech S = {1, . . . , m}, a P będzie macierzą podwójnie sto- chastyczną, tj. macierzą stochastyczną taką, że Pmi=1pij = 1, j = 1, . . . , m. Udowodnić, że rozkład πi ≡ m1, i = 1, . . . , m jest rozkładem stacjonarnym dla łańcucha Markowa z tą macierzą przejścia.
Zad. 7.3 (B.M.P.) Rozważmy łańcuch Markowa opisujący poruszanie się po wierzchołkach trój- kąta. W każdym kroku możemy przejść do sąsiedniego wierzchołka, przy czym z prawdo- podobieństwem p poruszamy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a z prawdopodo- bieństwem 1 − p zgodnie ze wskazówkami zegara. Wyznacz macierz przejścia oraz wykaż, że łańcuch jest nieprzywiedlny i nieokresowy. Wyznacz rozkład stacjonarny tego łańcucha oraz znajdź średnią częstość przebywania łańcucha w każdym z wierzchołków.
Zad. 7.4 Przy drodze stoi znak ostrzegawczy. Każdego dnia z prawdopodobieństwem p może on zostać zniszczony przez nieostrożnego kierowcę. W takim przypadku, pod koniec dnia, służba drogowa zastępuje zniszczony znak nowym. Niech Xn oznacza liczbę dni, które upłynęły od ostatniej wymiany znaku do końca dnia n. Wyznacz rozkład stacjonarny łańcucha Xn. Jaka jest średnia liczba dni między kolejnymi wymianami znaku?
Zad. 7.5 Rozważmy łańcuchy Markowa o przestrzeni stanów S = {0, 1, 2, . . .} i macierzach przej- ścia P zadanych następująco:
a) pi,0 = i+1i+2, oraz pi,i+1 = i+21 dla i = 0, 1, 2, . . ., b) pi,0 = i+21 oraz pi,i+1 = i+1i+2 dla i = 0, 1, 2, . . . Znajdź rozkłady stacjonarne tych łańcuchów.
