Oblicz ∞ X m=0 1 m! lim n→∞ Z {(x,y):2x2+y2<n2

Ćwiczenia 2, AM 2, semestr letni, 9.03.2017 Całki wielowymiarowe, środek ciężkości.

Zadanie 1. Oblicz

Z

A

e^−xyd(x, y), A= {(x, y) : 0 < ax < y < bx}, 0 < a < b.

Zadanie 2. Oblicz

∞

X

m=0

1 m! lim

n→∞

Z

{(x,y):2x²+y²<n²}



1 − 2x²+ y² n²

n²

x^2md(x, y) .

Zadanie 3. Oblicz objętość zbiorów

(a) {(x, y, z) : (x²+ y²)e^z2 < x},

(b) {x, y, z) : 0 < x < z, 0 < y < z, x + y + z < 1}, (c) {(x, y, z) : x, y > 0, xy < z, x⁴+ z⁴< x²z}.

Zadanie 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: 2xy = 1, xy = 2, y = 2x, x = 2y, z = 0, yz = 1 w zbiorze {(x, y, z) : x > 0, y > 0}.

Zadanie 5. Znajdź środek ciężkości

(a) zbioru {(x, y, z) : x²+ y²+ z²<1, x²+ y²< x}, (b) półkuli trójwymiarowej o promieniu 1.

Zadanie 6. Obliczyć moment bezwładności kuli o promieniu R względem prostej znajdującej się w odległości r od środka kuli.

Zadanie 7. Obliczyć moment bezwładności jednorodnego walca W = {(x, y, z) : x²+ y² < a²,|z| < h} względem prostej x = y = z.

Zadanie 8. Zbadać różniczkowalność funkcji (a) f(x, y) = R_A

x,y|t − s|dλ2(t, s), Ax,y = {(t, s) : 0 < t < x²,0 < s < y²}, (b) f(t) = R_x2+y2+z2¬th(x²+ y²+ z²)d(x, y, z), gdzie h : [0, ∞] → R jest ciągła.

Zadanie 9. Niech Ax, Ay, Az oznaczają kolejno rzuty zbioru mierzalnego A ⊂ R³ na płaszczyzn Oyz, Ozx, Oxy. Udowodnić, że

λ3(A) ¬q

λ2(A_x)λ2(A_y)λ2(A_z).

Zadanie 10. Obliczyć moment bezwładności czworościanu foremnego względem

(a) prostej przechodzącej przez wierzchołek i środek przeciwległęj ściany, (b) prostej zawierającej krawędź czworościanu.