Temat: Trapezy.
Trapez – czworokąt mający przynajmniej jedną parę boków równoległych ;
Parę boków równoległych nazywa się podstawami, pozostałe boki noszą nazwę ramion, odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu.
Pole trapezu: P= (a+b)∙ h
2 Obwód trapezu: Obw=a+b+c+d W każdym trapezie:
a) suma kątów wewnętrznych jest równa 360
ob) suma kątów przy każdym z ramion daje 180
o(korzystając z powyższego rysunku: α+=180
ooraz +=180
oc) gdybyśmy połączyli środku ramion trapezu, to odcinek ten ma długość równą połowie sumy podstaw
(korzystając z rysunku: m= a+b 2 )
Wyróżniamy trapezy:
- równoramienny – trapez o ramionach równej długości
-prostokątny – trapez, którego kąt wewnętrzny jest prosty, tj. ma miarę 90°
W trapezie równoramiennym:
-przekątne są równej długości
-kąty przy podstawie doklej są równe, i kąty przy podstawie górnej są równe
Zadanie 1
Rozwiązanie:
Skoro kąty przy ramieniu różnią się o 50
o, tzn., że jeden z nich jest większy od drugiego o 50
o.
Z rysunku widać, że mniejszy kąt jest na dole przy ramieniu, a większy u góry . Możemy wpisać identyczne miary kątów przy drugim ramieniu trapezu i skorzystać z wiadomości, że suma kątów wewnętrznych w czworokącie to 360
o:
α+α+50
o+ α+α+50
o=360
o4α+100
o=360
o4α=360
o-100
o4α=260
o/:4
α=65
o- jest to kąt przy dłuższej podstawie
Kąt przy krótszej podstawie oznaczyliśmy jako α+50
0.Policzmy jego miarę:
α+50
0=65
o+50
o=115
oOdp.: A
*** mogliśmy też skorzystać z drugiego sposobu – wykorzystując wiedzę, że suma kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezy to 180
o. Mielibyśmy równanie: α+α+50
o=180
oZadanie 2
Rozwiązanie:
W trapezach starajcie się zawsze zaznaczać na rysunkach wysokości. Powstaną wtedy trójkąty prostokątne i zapewne trzeba będzie skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa.
Powstał trójkąt prostokątny o bokach: 5, y, 13. Stosujemy Twierdzenie Pitagorasa:
52+y2=132 25+y2=169 y2=169-25 y2=144 /
√
y=
√ 144=12
Liczymy teraz x. Patrząc na dolną podstawę mamy:
x+y=20 x + 14 =20 x = 20 -12 x=8
Liczymy obwód trapezu:
Obw = 5+20+13+8=46 Odp.: B
Zad. 3.20 a)
Mamy na rysunku dwa trójkąty prostokątne: ACD oraz ABC. W trójkącie ACD znane są aż dwa boki z trzech, więc wykorzystując to że jest to trójkąt prostokątny skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa:
22+22=y2 4+4=y2 8=y2 y2=8 /√
y=
√ 8= √ 4 ∙2=2 √ 2
Teraz idziemy do trójkąt ABC i również korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa:
y2+(
2 √ 2
)2=x2(
2 √ 2
)2+(2 √ 2
)2=x28+8=x2 16=x2 x2=16 /√
x=
√ 16=4
***Uwaga!!!! (
2 √ 2
)2=2 √ 2
∙2 √ 2
=4 √ 4
=4∙2=8b)Narysujmy rysunek. Policzmy brakujący kąt w trójkącie APD:
Niebieski odcinek to suma długości x orax y. Musimy więc obliczyć zarówno x jak i y.
Trójkąt APD jest prostokątny, RÓWNORAMIENNY, więc |AP|=|PD| . Oznaczmy na rysunku ich długość jako „x”. Korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta APD:
x2+x2=
( 4 √ 2 )
22x2=32 /;2 x2=16 /√
x=4
Idźmy teraz do trójkąta PBD. On też jest prostokątny, więc także skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa:
x2+y2=52 42+y2=52 16+y2=25 y2=25-16 y2=9 /√
y=3
|AB|=x+y=4+3=7
****UWAGA!!!
( 4 √ 2 )
2 =(4 √ 2 ¿
∙(4 √ 2
)=16 √ 4
=16∙2=32Zad. 3.12
Trapez, którego trzy boki są równej długości, na pewno trapez równoramienny. Zróbmy rysunek.
To, co możemy obliczyć z naszych danych, to kąty α.
2 α+120o+120o=3600
2 α+240o=360o 2 α=360o-240o 2 α=120o /:2 α=60o
Żeby obliczyć długość całej dłuższej (czyli u nas dolnej podstawy), musimy obliczyć długość odcinka x. Skorzystamy z funkcji trygonometrycznych kąta α (czyli kąta 60o). Spójrzmy na trójkąt prostokątny .
W tablicach matematycznych mamy wzory:
nasz kąt α leży tak samo jak kąt α z rysunku w tablicach; nasz „x” jest położony tak jak bok b, a nasza szóstka jest położona tak jak bok c. Połączenie boku b i c to cosα.
cos 60 °= x 6 1
2 = x 6 2 x =6
/:2 x=3Liczymy długość dłuższej podstawy trapezu:
x+6+x=3+6+3=12cm
Zad. 3.14
Na rysunku mamy trójkąt prostokątny (niebiesko – pomarańczowo –zielony). Stosujemy Twierdzenie Pitagorasa:
x
2+ ( 3 √ 3 )
2= ( 2 √ 19 )
2x
2+ 27=76 x
2=76−27 x
2=49
/√x= √ 49=7
Wiemy z podanych przed zad 1 wzorów, że x=
a+b
2
. Podstawimy za iksa liczbę 77=
a+b 2
/∙214=a+b mamy sumę podstaw trapezu;
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny z kątem 60o. Skorzystajmy z funkcji trygonometrycznych i obliczmy c:
sin 60
o= 3 √ 3
c
czytamy wartość sinusa 60o (tablice, str. 15)√ 3
2 = 3 √ 3
c mnożymy na skos
√ 3 c=6 √ 3 /: √ 3
c=
6 √ 3
√ 3 skracamy pierwiastki z trzech c=6
Liczymy obwód trapezu:
Obw= a+b+c+c= 14+6+6=26
Praca domowa (z dwóch lekcji)
Zad 3.20 c, Zad. 3.22 , Zad. 3.17
Zadanie: Dany jest trapez o kątach przy dłuższej podstawie 45o oraz 60o. Wysokość trapezu wynosi 4cm, a krótsza podstawa ma 5cm. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu oraz obwód tego trapezu.
Przyda się Wam rysunek: