Temat: Postać iloczynowa funkcji kwadratowej.
Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej ma postać:
y= a(x-x1)∙(x-x2)
W powyższym wzorze: x1, x2 – to miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Ćwiczenie 1. Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej y= a(x-x1)∙(x-x2) wiedząc, że:
a x1 x2 Postać iloczynowa y= a(x-x1)∙(x-x2) 1 2 3 y= 1(x-2)∙(x-3)
2 4 4 y= 2(x-4)∙(x-4) 3 -5 5 y= 3(x-(-5))∙(x-5)
y= 3(x+5)∙(x-5) -4 8 -6 y= -4(x-8)∙(x-(-6))
y= -4(x-8)∙(x+6)
-2 -9 1
0
y= -2(x-(-9))∙(x-10) y= -2(x+9)∙(x-10) 8 -6 9 y= 8(x-(-6))∙(x-9)
y= 8(x+6)∙(x-9) -9 7 0 y= -9(x-7)∙(x-0)
y= -9(x-7)∙x
Ćwiczenie 2. Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej, odczytaj miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
Porównuj wzór y= a(x-x1)∙(x-x2) ze wzorem z każdej linijki tabeli
Wzór funkcji Miejsce zerowe x1 Miejsce zerowe x2
y=2(x-3)(x-6) -x1 = -3 /: (-1) x1=3
- x2= -6 / : (-1) x2=6
y= -4(x-9)(x-5) -x1 = -9 /: (-1) x1 =9
-x2 = -5 /: (-1) x2 = 5
y= 7(x+4)(x-2) -x1 = 4 /: (-1) x1 = -4
-x2 = -2 /: (-1) x2 = 2
y= 8(x-6)(x+11) -x1 = -6 /: (-1) x1 = 6
-x2 = 11 /: (-1) x2 = -11 y= -1(x+3)(x+4) -x1 = 3 /: (-1)
x1 = -3
-x2 = 4 /: (-1) x2 = -4 y= 9(x-1)(x-8) -x1 = -1 /: (-1)
x1 = 1
-x2 = -8 /: (-1) x2 = 8
y= 5(x+12)(x+1) -x1 = 12 /: (-1) x1 = -12
-x2 = 1 /: (-1) x2 = -1
Funkcja kwadratowa ma postać iloczynową, jeśli ma ona miejsca zerowe. Jeśli funkcja kwadratowa nie będzie miała miejsc zerowych, nie będzie miała postaci iloczynowej.
Zadanie 1. Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej, jeśli dana jest postać ogólna:
a) y= 3x2 +3x -6 Rozwiązanie:
Wypisujemy współczynniki: a= 3 b=3 c= -6 Liczymy deltę i miejsca zerowe:
∆=b2
−4 ∙ a ∙ c=3
2− 4 ∙ 3 ∙(−6 )=9+72=81
delta jest dodatnia więc są dwa miejsca zerowe x1= −b− √∆
2a = −3− √ 81
2 ∙ 3 = −3−9 6 = −12
6 =− 2
x2= −
b+√
∆2 a = −3+ √ 81
2∙ 3 = −3+9 6 = 6
6 =1
Uzupełniamy postać iloczynową funkcji kwadratowej y= a(x-x1)∙(x-x2) i mamy:
y= 3(x-(-2))∙(x-1) y= 3(x+2)∙(x-1)
b) y= 1x2+4x+4 Rozwiązanie:
Wypisujemy współczynniki: a= 1 b=4 c= 4 Liczymy deltę i miejsca zerowe:
∆=b2
−4 ∙ a ∙ c=4
2− 4 ∙ 1∙ 4=16−16=0
delta jest równa zero więc jest jedno miejsce zerowe x0= −b
2 a = −4 2∙ 1 = −4
2 =−2
Uzupełniamy postać iloczynową funkcji kwadratowej y= a(x-x1)∙(x-x2) podstawiając w miejsce x1 oraz miejsce x2 nasze wyliczone miejsce zerowe czyli -2
y= 1(x-(-2))∙(x-(-2)) y= 1(x+2)∙(x+2)
