Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, P(Xn = n2

Zadania RP 1, seria VII (nieobowiązkowa) Proszę wybrać dwa zadania.

Zadanie 1. Niech (X_n) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

P(Xn = n²) = 1

n² = 1 − P(Xn= −1).

Udowodnij, żeP∞

n=1Xn= −∞ p. n.

Zadanie 2. Zmienne X1, X2, . . . są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem 3. Dowieść, ze ciąg X₁·1{X1¬1}+ X2·1{X2¬2}+ . . . + Xn·1{Xn¬n}

n jest zbieżny p.n. i wyznaczyć granicę.

Zadanie 3. Liczby 1, 2, . . . , n ustawiono w sposób losowy w ciąg (a1, a₂, . . . , a_n). Niech N oznacza największą liczbę o własności: a_k ­ ak−1dla k ¬ N . Wyznacz EN .

Zadanie 4. Niech (ε_n) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych Rademachera. Udowodnij, że S =P∞

n=1ε_n/2ⁿ jest zbieżny p. n., a ponadto S ∼ U ([−1, 1]).

Zadanie 5. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Xn∼ U ([_n¹,_n¹]). Udowodnij, że (a) szeregP∞

n=1Xn jest zbieżny p.n., (b) P∞

n=1|Xn| = +∞ p.n.

Zadanie 6. Na kampusie są dwie restauracje, po 120 miejsc. Wiadomo, że codziennie 200 osób będzie chciało zjeść obiad, a wyboru dokonują losowo (rzucając symetryczną monetą. Jaka jest szansa, że w jednej z restauracji zabraknie miejsc? Ile należy przygotować miejsc, żeby to prawdopodobieństwo było mniejsze od 0.001?

1