ab = exp(b ln a), lim h→0 ln(1 + h) h = 1, lim h→0 eh− 1 h = 1, (ln x)0 = 1 x, (ax)0 = axln a, (ex)0 = ex, (xα)0 = αxα−1, (f · g)0 = f0g + f g0

24.11.2017. Grupa C7 i C9.

Imię i nazwisko

———————————————————————————————————————————- a^b = exp(b ln a), lim

h→0

ln(1 + h)

h = 1, lim

h→0

e^h− 1 h = 1, (ln x)⁰ = 1

x, (a^x)⁰ = a^xln a, (e^x)⁰ = e^x, (x^α)⁰ = αx^α−1, (f · g)⁰ = f⁰g + f g⁰,  f

g

⁰

= f⁰g − f g⁰

g² , (g(f (x)))⁰ = g⁰(f (x)) · f⁰(x),

———————————————————————————————————————————-

1. (15p) Znaleźć granicę lim

x→3

√10 − 2x − 2

√6 + x − 3 .

———————————————————————————————————————————-

2. (15p) Znaleźć granicę lim

x→+∞

 1 + 2

x

^x2+1_3x .

———————————————————————————————————————————-

3. (15p) Znaleźć granicę lim

x→0

 7 + 4x 7 − 2x

¹_x .

———————————————————————————————————————————- 4. (15p) Po jakim czasie kapitał oprocentowany na 12% rocznie ulega potrojeniu przy kapitalizacji ciągłej?

Uwaga: ln 3 ≈ 1.098.

———————————————————————————————————————————-

5. (20p) Znaleźć pochodną funkcji √

x ln(1+e^2x) .

———————————————————————————————————————————- 6. (20p) Znaleźć pochodną funkcji f (x) = p³

x²− 4√

x i napisać równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie (4, f (4)).

1

Kolokwium II. Grupa C7, C9, 2018r.

Imię i nazwisko

———————————————————————————————————————————- (ln x)⁰ = 1

x, (a^x)⁰ = a^xln a, (e^x)⁰ = e^x, (sin x)⁰ = cos x, (cos x)⁰ = − sin x, (x^α)⁰ = αx^α−1, (f · g)⁰ = f⁰g + f g⁰,  f

g

0

= f⁰g − f g⁰

g² , (g(f (x)))⁰ = g⁰(f (x)) · f⁰(x),

———————————————————————————————————————————- 1. (20 p) Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji

f (x) = ln x x³ na przedziale [1, e]. [ Uwaga: e > 2 ]

———————————————————————————————————————————- 2. (20 p) Pudełko z przykrywką o podstawie kwadratowej ma mieć objętość 20000 cm³. Cena 1 cm² ściany bocznej wynosi 1 gr, cena 1 cm² podstawy wynosi 2 gr, a cena 1 cm² przykrywki wynosi 3 gr.

Znaleźć wymiar podstawy, przy którym koszt wykonania pudełka jest minimalny.

———————————————————————————————————————————- 3. (20 p) Znaleźć granicę lim

x→0

sin x (e^3x− 1) 1 − cos(2x) .

———————————————————————————————————————————- 4. (40p) Znaleźć przedziały, w których funkcja

f (x) = (1 + 6x) e^−2x, x ∈ R,

maleje lub rośnie, jest wypukła lub wklęsła i naszkicować wykres tej funkcji.

2