• Nie Znaleziono Wyników

Udowodnić, że kxk∞= maxi|xi| jest normą

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Udowodnić, że kxk∞= maxi|xi| jest normą"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Ćwiczenia AM II, 13.10.2017 Proszę o dokładne uzasadnianie stwierdzeń.

Zadanie 1. Udowodnić, że kxk= maxi|xi| jest normą.

Zadanie 2. W R2 dana jest norma k · k. Wiadomo, że (domknięta) kula jednostkowa o środku w (0, 0) w tej normie jest zbiorem

([−1, 1] × [−1, 1]) ∪ {(x, y) : (x − 1)2+ y2¬ 1} ∪ {(x, y) : (x + 1)2+ y2¬ 1}.

(a) Oblicz k(5, 0)k, k(0, 5)k, k(9, 3)k.

(b) Udowodnić, że norma ta nie pochodzi od żadnego iloczynu skalarnego.

Zadanie 3. Obliczyć granice (lub wykazać, że dana granica nie istnieje) (a) lim(x,y)→(0,0)xln(x2+ 2y2),

(b) lim(x,y)→(0+,0+)

q 1

x4+y4 +1xq

1 x4+y4 +1y.

Zadanie 4. Wykazać, że |kxk − kyk| ¬ kx − yk. Wywnioskować stąd, że funkcja x 7→ kxk jest funkcją ciągłą.

Zadanie 5. Niech

f(x, y) = ( x2y

x4+y2, jeśli (x, y) 6= (0, 0)

0, jeśli (x, y) = (0, 0). (1)

Pokazać, że obcięcie f|L : L → R funkcji f do dowolnej prostej L ⊂ R2 jest funkcją ciągłą, mimo że funkcja f nie jest ciągła w (0, 0).

Zadanie 6. Normę przekształcenia liniowego A : Rn→ Rn definiujemy jako

kAk := supx∈Rn,x6=0kAxk2

kxk2

.

(a) Uzasadnić, że rzeczywiście A 7→ kAk jest normą.

(b) Znaleźć normę przekształcenia zadanego macierzą

 1 1 0 1



1

Cytaty

Powiązane dokumenty

W konsekwencji przyjmuje ona na całym rozwa- żanym przedziale [10, 50] największą (a zarazem najmniejszą) wartość π/4 (niewymierną, bo π

Pokazać, że również w wyjściowym prostokącie długość jednego z boków musi być liczbą całkowitą.. Wyrazić współczynniki Fouriera funkcji h za pomocą

Gdy odległość pomiędzy pociągami wynosi 1 km, pszczoła zaczyna latać tam i z powrotem pomiędzy pociągami z prędkością 60 km na godzinę.. Wyrazić od- ległość jaką

Wykazać, że kula jednostkowa w dowolnej normie jest

Wykazać, że kula jednostkowa w dowolnej normie jest zbiorem wypukłym..

Niech Λ będzie skończenie generowaną i

Iloma zerami zakończone jest rozwinięcie dziesiętne liczby 1000!.. Iloma zerami zakończone jest przedstawienie w systemie szesnastko- wym

Pokaż, że u jest funkcją harmoniczną na