Ćwiczenia AM II, 13.10.2017 Proszę o dokładne uzasadnianie stwierdzeń.
Zadanie 1. Udowodnić, że kxk∞= maxi|xi| jest normą.
Zadanie 2. W R2 dana jest norma k · k. Wiadomo, że (domknięta) kula jednostkowa o środku w (0, 0) w tej normie jest zbiorem
([−1, 1] × [−1, 1]) ∪ {(x, y) : (x − 1)2+ y2¬ 1} ∪ {(x, y) : (x + 1)2+ y2¬ 1}.
(a) Oblicz k(5, 0)k, k(0, 5)k, k(9, 3)k.
(b) Udowodnić, że norma ta nie pochodzi od żadnego iloczynu skalarnego.
Zadanie 3. Obliczyć granice (lub wykazać, że dana granica nie istnieje) (a) lim(x,y)→(0,0)xln(x2+ 2y2),
(b) lim(x,y)→(0+,0+)
q 1
x4+y4 +1x−q
1 x4+y4 +1y.
Zadanie 4. Wykazać, że |kxk − kyk| ¬ kx − yk. Wywnioskować stąd, że funkcja x 7→ kxk jest funkcją ciągłą.
Zadanie 5. Niech
f(x, y) = ( x2y
x4+y2, jeśli (x, y) 6= (0, 0)
0, jeśli (x, y) = (0, 0). (1)
Pokazać, że obcięcie f|L : L → R funkcji f do dowolnej prostej L ⊂ R2 jest funkcją ciągłą, mimo że funkcja f nie jest ciągła w (0, 0).
Zadanie 6. Normę przekształcenia liniowego A : Rn→ Rn definiujemy jako
kAk := supx∈Rn,x6=0kAxk2
kxk2
.
(a) Uzasadnić, że rzeczywiście A 7→ kAk jest normą.
(b) Znaleźć normę przekształcenia zadanego macierzą
1 1 0 1
1