1. Dane jest m monet, z których wszystkie waża tyle samo oprócz jednej, której masa jest inna. Jakie jest najwie,ksze m takie, że podróbke, da sie, znaleźć w co najwyżej n ważeniach na wadze szalkowej bez odważników, jeśli
(a) wiadomo czy moneta fałszywa jest cie,ższa czy lżejsza od pozostałych.
(b) nie wiadomo czy moneta fałszywa jest cie,ższa czy lżejsza od pozostałych.
2. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x1, x2, . . . , xn dla których za- chodzi x1x2. . . xn zachodzi nierówność:
1
n− 1 + x1 + 1
n− 1 + x2 + . . . + 1
n− 1 + xn ¬ 1.
3. W kwadracie ABCD na boku AB obrano taki punkt P , że 2|AP | = 3|P B|, zaś na przeka,tnej AC taki punkt Q, że |AQ| = 4|QC|. Wykaż, że ka,t DQP jest prosty.
4. W sześcioka,cie wypukłym ABCDEF ka,ty przy wierzchołkach A, C i E sa, równe oraz
|AB| = |BC|, |CD| = |DE| i |EF | = |F A|. Wykazać, że w sześcioka,t ABCDEF da sie, wpisać okra,g.
5. Punkty A, B i C leża, na prostej k w tej właśnie kolejności. Okra,g o środku w punkcie O1 przechodzi przez punkty A i B, zaś okra,g o środku O2 przechodzi przez punkty B i C, przy czym punkty O1 i O2 leża,po tej samej stronie prostej k. Okre,gi te przecinaja,sie, w punkcie P , zaś okre,gi opisane na trójka,tach O1AB i O2BC przecinaja, sie, w punkcie Q. Wykazać, że jeśli punkty P , Q i B sa,współliniowe, to okre,gi opisane na trójka,tach ABO1i BCO2 sa,przystaja,ce.
6. Cia,g a0, a1, a2, a3, . . .jest zdefiniowany naste,puja,co:
a0 i an+1 = 3an+
√5a2n−4
2 .
Wykazać, że wszystkie wyrazy cia,gu (an) sa, liczbami całkowitymi.
7. Rozstrzygna,ć, czy istnieje wielomian W o współczynnikach całkowitych, który przyjmuje dla każdego argumentu całkowitego wartość be,da,ca,liczba, pierwsza,.
8. Wykazać, że w sześcianik n ×n×n da sie, wpisać różne liczby całkowite tak, by w każdym sześcianiku jednostkowym była jedna liczba i by suma liczb w n sześcianikach na osi równoległej do krawe,dzi sześcianika była równa 0.