Ćwiczenia nr 3, RP, 18.3.2020
Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność zdarzeń.
Zadanie 1. Dziecko wyjęło kartę z talii 24-kartowej i poinformowało nas, że jest to król. Jakie są szanse, że jest to król pik?
Zadanie 2. Losujemy bez zwracania dwie krawędzie graniastosłupa prawidłowego, którego podstawą jest sied- miokąt foremny. Jakie są szanse, że wylosowane krawędzie są równoległe?
Zadanie 3. Niech P(B) > 0. Udowodnić, że funkcja A 7→ P(A|B) jest prawdopodobieństwem.
Zadanie 4. Losujemy 13 kart z talii 52 kart. Wśród pierwszych sześciu wyciągniętych kart są dokładnie 3 asy.
Jakie są szanse, że będziemy mieli komplet asów?
Zadanie 5. Losujemy jedną rodzinę spośród rodzin z dwojgiem dzieci. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybie- rzemy rodzinę z dwoma chłopcami, jeśli wiemy, że w tej rodzinie
(a) starsze dziecko jest chłopcem, (b) jest co najmniej jeden chłopiec.
Zadanie 6. Wybrano losowo rodzinę z dwojgiem dzieci i okazało się, że jedno z dzieci ma na imię Franek. Jaka jest szansa, że drugie dziecko jest chłopcem (nie wykluczamy, że też ma na imię Franek)?
Zadanie 7. Z talii 52 kart losujemy 2 bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że są to asy, jeśli wiemy, że (a) mamy co najmniej jednego asa,
(b) mamy asa koloru czarnego, (c) mamy asa pik,
(d) pierwsza wylosowana karta jest asem,
(e) pierwsza wylosowana karta jest asem koloru czarnego, (f) pierwsza wylosowana karta jest asem pik.
Porównać otrzymane wyniki.
Zadanie 8. Roztargniony matematyk zapomniał ostatniej cyfry numeru telefonicznego i wykręca w zamian cyfrę losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że dodzwoni się po co najwyżej trzech próbach. Jak zmieni się odpowiedź, jeśli wiadomo, że ostatnia cyfra jest nieparzysta?
Zadanie 9. W urnie znajdują się trzy białe i cztery czarne kule. Losujemy kulę, wyrzucamy bez oglądania, a następnie losujemy kolejną kulę z urny.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga kula jest biała?
(b) Załóżmy, że za drugim razem wyciągnięto białą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wylosowano kulę czarną?
Zadanie 10. Zaobserwowano, że dwóch kolegów A i B, matematyków, często gubi swoje parasole. Matematyk B zapomina wziąć swój parasol wychodząc z pracy z prawdopodobieństwem 1/2, zaś A nigdy o tym nie zapomina. Obaj zostawiają swoje parasole wychodząc z kawiarni z prawdopodobieństwem 1/4. Zwykle idąc do pracy wstępują do kawiarni, a także podczas powrotu do domu. Pewnego typowego dnia obaj wzięli parasole wychodząc z domu do pracy. Oblicz prawdopodobieństwo, że na koniec dnia
(a) oboje wrócili do swoich domów z parasolami, (b) tylko jeden z nich zgubił parasol.
(c) Wiadomo, że któryś z nich zgubił parasol. Jakie są szanse, że jest to matematyk
Zadanie 11. Prawdopodobieństwo pk, że losowo wybrana rodzina ma k dzieci jest dane wzorem p0= p1= a, pk = (1 − 2a)2−(k−1), (k 2). Wiadomo, że w danej rodzinie jest dwóch chłopców. Jakie jest prawdopo- dobieństwo, że
(a) ta rodzina ma dokładnie dwoje dzieci,
1
(b) ta rodzina ma także dokładnie dwoje dziewczynek.
Zadanie 12. Które z poniższych zdań są prawdziwe:
(a) W pewnych dwóch szkołach na Mazowszu przeprowadzono testy dotyczące umiejętności czytania ze zrozumieniem. Zarówno chłopcy ze szkoły pierwszej mieli lepszy średni wynik niż chłopcy z drugiej, jak i dziewczęta ze szkoły pierwszej miały lepszy wynik niż dziewczęta z drugiej. Czy z tego wynika, że średni wynik pierwszej szkoły był lepszy, niż średni wynik drugiej?
(b) Bolek i Lolek chodzą do tego samego liceum, Bolek w klasie o profilu matematycznym, Lolek — humanistycznym. W każdym z trzech lat uczęszczania do szkoły średnia ocen Bolka była wyższa niż Lolka. Czy średnia ocen z całego okresu nauki w liceum musi być wyższa u Bolka? Czy odpowiedź się zmieni, jeśli wiemy, że obaj byli w klasie o tym samym profilu?
(c) Czy jest możliwe, aby w wyniku przeprowadzenia się części mieszkańców miasta A do miasta B średni iloraz inteligencji w obu miastach wzrósł?
Zadanie 13. Rozważmy 10 urn (jednakowych z zewnątrz). W jednej z nich jest 5 białych i jedna czarna kula. W dziewięciu pozostałych są po dwie czarne i dwie białe kule. Losujemy urnę, a następnie kulę z wylosowanej urny. Okazało się, że wylosowaliśmy kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że była to kula z urny z pięcioma białymi kulami?
Zadanie 14. W pewnej fabryce telewizorów każdy z aparatów może być wadliwy z prawdopodobieństwem p.
W fabryce są trzy stanowiska kontroli i wyprodukowany telewizor trafia na każde ze stanowisk z jedna- kowym prawdopodobieństwem; i-te stanowisko wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobieństwem pi
(i = 1, 2, 3). Telewizory nie odrzucone w fabryce trafiają do hurtowni i tam poddawane są dodatkowej kontroli, która wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobieństwem p0.
(a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dany nowo wyprodukowany telewizor znajdzie się w sprzedaży (tzn. przejdzie przez obie kontrole).
(b) Przypuśćmy, że telewizor jest już w sklepie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest wadliwy?
Zadanie 15. Wiadomo, że P(A) = 25, P(B|A) = 14, P(C|A ∩ B) = 12, P(A ∪ B) = 35, P(C|B) = 13. Oblicz P(A|B ∩ C).
Zadanie 16. Zdarzenia A1, A2są niezależne, a ponadto A1∩ A2∩ C = ∅ oraz
P(C|A1) = 1
3, P(C|A2) =1
2, P(A1) = P(A2) =1 2. Oblicz P(C|A1∪ A2).
Zadanie 17. Podaj przykład zdarzeń A, B, C, dla których P(A|B) < P(A|B0) i jednocześnie P(A|B ∩ C) P(A|B0∩ C), P(A|B ∩ C0) P(A|B0∩ C0)
Zadanie 18. Lekarze używają dwóch wskaźników jakości testu. Czułość (sensitivity) testu to odsetek chorych, u których test daje wynik dodatni. Swoistość (specificity) testu to odsetek zdrowych, u których test daje wynik ujemny.
Próba wysiłkowa, której czułość wynosi 65%, a swoistość 85% jest powszechnie używana w celu wykrycia choroby wieńcowej. Załóżmy, że 10% populacji jest chorych na chorobę wieńcową.
(a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że próba wysiłkowa prowadzi do prawidłowej diagnozy.
(b) U danej osoby próba wysiłkowa dała wynik dodatni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta osoba jest faktycznie chora?
Zadanie 19. Losujemy kartę z talii 52 kart. Czy następująca para jest parą zdarzeń niezależnych: A = { wylosowano kartę mniejszą od 10 }, B = { wylosowano pika} są niezależne?
Zadanie 20. Niech n ∈ N. Wybieramy jedną rodzinę spośród wszystkich rodzin mających n dzieci. Czy zda- rzenia A {w rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka}, B = {w rodzinie jest co najmniej jedna dziewczynka i co najmniej jeden chłopiec} są niezależne?
2
Zadanie 21. Rzucamy dwa razy kostką. Rozważmy zdarzania: A — w pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek, B — w drugim rzucie wypadła parzysta liczba oczek, C — w sumie w obu rzutach wypadła parzysta liczba oczek. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne?
Zadanie 22. Czy jeśli A, B, C są parami niezależne, to niezależne są (a) A0 i B0, (b) A ∩ B i C, (c) A ∪ B i C?
Zadanie 23. Rzucamy trzy razy monetą. Rozważmy zdarzania: A — w pierwszym i drugim rzucie wypadło to samo, B — wypadła co najmniej jedna reszka, C — w rzutach drugim i trzecim wypadło to samo. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne?
Zadanie 24. Na początku w urnie jest 7 kul białych i 13 czarnych. Losujemy kolejno kule z urny. Za każdym razem, gdy wylosujemy kulę, zwracamy ją i dokładamy jeszcze dwie kule tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dziesiąta wylosowana kula jest czarna?
Zadanie 25. Na kartonikach zapisano n różnych liczb rzeczywistych. Kartoniki włożono do pudełka, starannie wymieszano, a następnie losowano kolejno bez zwracania. Niech Ak oznacza zdarzenie, że k-ta wylosowana liczba jest większa od poprzednich.
(a) Udowodnić, że P(Ak) = 1/k, k = 1, . . . , n.
(b) Udowodnić, że zdarzenia A1, . . . , Ak są niezależne.
Zadanie 26. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem (a) 3 partie z 4, czy 5 partii z 8,
(b) co najmniej 3 partie z 4, czy co najmniej 5 partii z 8?
Zadanie 27. Dane są liczby całkowite dodatnie m, n oraz liczby p, q ∈ (0, 1) spełniające p + q = 1. Dowieść, że (1 − pn)m+ (1 − qm)n 1.
Zadanie 28. Wyznaczyć najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów w schemacie n prób Bernouliego z praw- dopodobieństwem sukcesu p.
Zadanie 29. Rzucamy kostką aż do momentu uzyskania piątki lub trzech szóstek (niekoniecznie pod rząd).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy dokładnie n razy.
Zadanie 30. Adam i Bolek grają w ping-ponga kończą seta grą na ”przewagę” przy stanie 20 : 20. Wiadomo, że Adam wygrywa 2 piłki na 3. Jaką ma szansę wygranej?
Zadanie 31. Rzucono 10 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze w pierwszym rzucie otrzymano szóst- kę, jeśli wiadomo, że
(a) otrzymano dokładnie trzy szóstki?
(b) w następnych rzutach otrzymano same szóstki?
Zadanie 32. Prawdopodobieństwo tego, że w urnie znajduje się k kostek wynosi 2k!ke−2, k = 0, 1, 2, . . .. Losu- jemy kolejno bez zwracania wszystkie kostki z urny i wykonujemy rzuty każdą z nich. Jakie jest prawdo- podobieństwo, że uzyskamy l szóstek?
Zadanie 33. Niech (Ω, F , P) będzie przestrzenią probabilistyczną dla schematu n prób Bernoulliego z praw- dopodobieństwem sukcesu p. Dla dowolnego 0 ¬ k ¬ n, niech Ak oznacza zdarzenie, iż jest dokładnie k sukcesów. Wykazać, że dla dowolnego B ∈ F prawdopodobieństwo P(B|Ak) nie zależy od p.
Zadanie 34. Mamy w urnie b kul białych i c czarnych. Po wyciągnięciu kuli z urny wrzucamy ją z powrotem i dokładamy jeszcze d kul tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo pk,n wyciągnięcia k kul czarnych w n losowaniach?
3
