)/-*4) * EIJ= EA?D n ∈ N

ALGEBRA 1B, Lista 2

Niech n ∈ N

i G b¦dzie grup¡.

1. Niech Z

:= {a ∈ Z

| a jest wzgl¦dnie pierwsza z n}. Udowodni¢, »e:

(a) Mno»enie modulo n jest ª¡czne na Z

.

(b) Mno»enie modulo n jest dziaªaniem na Z

i (Z

, ·

) jest grup¡.

2. Napisa¢ tabelk¦ D

.

3. Napisa¢ tabelk¦ grupy izometrii prostok¡ta nie b¦d¡cego kwadratem.

4. Dla k¡ta α i dowolnej symetrii osiowej S udowodni¢, »e O

◦ S = S ◦ O

.

5. Dla k, l ∈ Z i g ∈ G udowodni¢, »e (g

)

= g

oraz g

= g

g

. 6. Niech (A, +) b¦dzie grup¡ przemienn¡ i m ∈ Z. Udowodni¢, »e funkcja

f : A → A, f (a) := ma

jest homomorzmem.

7. Znale¹¢ izomorzm pomi¦dzy D

i S

. 8. Znale¹¢ monomorzm (R, +) → GL

(R) . 9. Znale¹¢ monomorzm Z

→ D

.

10. Niech G b¦dzie grup¡ z zadania 3. Udowodni¢, »e G nie jest izomor-

czna z Z

.

11. Znale¹¢ monomorzm (C \ {0}, ·) → GL

(R) . 12. Udowodni¢, »e S

∼ = SO(2) .

13. Udowodni¢, »e zªo»enie homomorzmów jest homomorzmem i »e funkcja odwrotna do izomorzmu jest izomorzmem.

14. Udowodni¢, »e je±li f : G → H jest homomorzmem i g ∈ G, to dla ka»dego m ∈ Z mamy f(g

) = f (g)

.

15. Niech X b¦dzie zbiorem równolicznym z Y . Znale¹¢ izomorzm pomi¦dzy S

i S

.

1