LISTA 2: GRUPY
(1) Zbada´ c, czy (A
i, +) jest grup¸ a, je˙zeli:
(a) A
1= N, (b) A
2= Q, (c) A
3= R \ Q, (d) A
4= R,
(e) A
5= {0, 1, 2, 3, 4}, (f) A
6= {0}.
(2) Zbada´ c, czy (A
i, ·) jest grup¸ a, je˙zeli:
(a) A
1= R, (b) A
2= R
+, (c) A
3= R \ {0}, (d) A
4= {1}, (e) A
5= {1, −1},
(f) A
6= {−1, 0, 1}, (g) A
7= Z.
(3) Niech dany b¸edzie zbi´ or dwuelementowy G = {a, b}. W zbiorze G definiujemy dzia lanie ∗ w nast¸epuj¸ acy spos´ ob:
a ∗ a = b ∗ b = a, a ∗ b = b ∗ a = b.
Wykaza´ c, ˙ze (G, ∗) jest grup¸ a przemienn¸ a.
(4) W zbiorze Z okre´slamy dzia lanie ∗ w nast¸epuj¸acy spos´ob:
a ∗ b = a + b + 2.
Czy zbi´ or Z tworzy grup¸e wraz z dzia laniem ∗?
(5) W zbiorze R
+okre´slamy dzia lanie ◦ za pomoc¸ a regu ly a ◦ b =
ab
a+b
. Sprawdzi´ c, czy para (R
+, ◦) tworzy grup¸e.
(6) W zbiorze R okre´slono dzia lanie ⊕ wzorem a ⊕ b = a + b + ab.
Czy para (R, ⊕) stanowi grup¸e?
(7) Czy para (G, ◦) z zadania 8, lista zada´ n 1 tworzy grup¸e?
1
2 LISTA 2: GRUPY