• Nie Znaleziono Wyników

Pochodna funkcji w punkcie

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pochodna funkcji w punkcie"

Copied!
40
0
0

Pełen tekst

(1)

Pochodna funkcji w punkcie

(2)

Na prezentacji omówione zostaną przykłady obliczania pochodnej danej funkcji w punkcie.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 2 / 14

(3)

Wprowadzenie

Intuicyjne rozumienie jest proste - pochodna funkcji opisuje tempo zmiany danej (nachylenie) funkcji. W przypadku funkcji liniowych to nachylenie jest stałe, natomiast inne funkcje mają różne nachylenie/tempo zmiany w zależności od argumentu.

Przykładowo funkcja f (x ) = x

2

rośnie szybko, gdy x = 2, rośnie wolno, gdy x =

12

, jest stała, gdy x = 0, maleje wolno, gdy x = −

12

i maleje szybko, gdy x = −2.

W związku z powyższym funkcja f (x ) = x

2

, będzie miała inną wartość

pochodnej dla każdej z tych wartości.

(4)

Wprowadzenie

Intuicyjne rozumienie jest proste - pochodna funkcji opisuje tempo zmiany danej (nachylenie) funkcji. W przypadku funkcji liniowych to nachylenie jest stałe, natomiast inne funkcje mają różne nachylenie/tempo zmiany w zależności od argumentu.

Przykładowo funkcja f (x ) = x

2

rośnie szybko, gdy x = 2, rośnie wolno, gdy x =

12

, jest stała, gdy x = 0, maleje wolno, gdy x = −

12

i maleje szybko, gdy x = −2.

W związku z powyższym funkcja f (x ) = x

2

, będzie miała inną wartość pochodnej dla każdej z tych wartości.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 3 / 14

(5)

Wprowadzenie

Intuicyjne rozumienie jest proste - pochodna funkcji opisuje tempo zmiany danej (nachylenie) funkcji. W przypadku funkcji liniowych to nachylenie jest stałe, natomiast inne funkcje mają różne nachylenie/tempo zmiany w zależności od argumentu.

Przykładowo funkcja f (x ) = x

2

rośnie szybko, gdy x = 2, rośnie wolno, gdy x =

12

, jest stała, gdy x = 0, maleje wolno, gdy x = −

12

i maleje szybko, gdy x = −2.

W związku z powyższym funkcja f (x ) = x

2

, będzie miała inną wartość

pochodnej dla każdej z tych wartości.

(6)

Definicja

Pochodną funkcji f (x ) dla x = x

0

zapisujemy f

0

(x

0

) i definiujemy następująco:

f

0

(x

0

) = lim

∆x →0

∆y

∆x = lim

∆x →0

f (x

0

+ ∆x ) − f (x

0

)

∆x

Tutaj uwaga: by pochodna w danym punkcie istniała, to powyższa granica musi istnieć, a więc musimy mieć:

∆x →0

lim

+

f (x

0

+ ∆x ) − f (x

0

)

∆x = lim

∆x →0

f (x

0

+ ∆x ) − f (x

0

)

∆x Uwaga - dodaliśmy oznaczenie f

0

(x

0

). Powtórzmy - oznacza ono nachylenie (pochodną) funkcji f dla x = x

0

.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 4 / 14

(7)

Definicja

Pochodną funkcji f (x ) dla x = x

0

zapisujemy f

0

(x

0

) i definiujemy następująco:

f

0

(x

0

) = lim

∆x →0

∆y

∆x = lim

∆x →0

f (x

0

+ ∆x ) − f (x

0

)

∆x

Tutaj uwaga: by pochodna w danym punkcie istniała, to powyższa granica musi istnieć, a więc musimy mieć:

∆x →0

lim

+

f (x

0

+ ∆x ) − f (x

0

)

∆x = lim

∆x →0

f (x

0

+ ∆x ) − f (x

0

)

∆x

Uwaga - dodaliśmy oznaczenie f

0

(x

0

). Powtórzmy - oznacza ono

nachylenie (pochodną) funkcji f dla x = x

0

.

(8)

Definicja

Pochodną funkcji f (x ) dla x = x

0

zapisujemy f

0

(x

0

) i definiujemy następująco:

f

0

(x

0

) = lim

∆x →0

∆y

∆x = lim

∆x →0

f (x

0

+ ∆x ) − f (x

0

)

∆x

Tutaj uwaga: by pochodna w danym punkcie istniała, to powyższa granica musi istnieć, a więc musimy mieć:

∆x →0

lim

+

f (x

0

+ ∆x ) − f (x

0

)

∆x = lim

∆x →0

f (x

0

+ ∆x ) − f (x

0

)

∆x Uwaga - dodaliśmy oznaczenie f

0

(x

0

). Powtórzmy - oznacza ono nachylenie (pochodną) funkcji f dla x = x

0

.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 4 / 14

(9)

Przykład 1

Zacznijmy od prostego przykładu f (x ) = 2x + 3. Będziemy chcieli obliczyć wartość pochodnej w punkcie x

0

= 3.

Czyli f

0

(3).

Mamy do czynienia z funkcją liniową, więc pochodna powinna wyjść 2 w każdym punkcie, bo tempo zmiany tej funkcji jest stałe. Przekonajmy się, że tak rzeczywiście jest: (spróbujcie najpierw samodzielnie)

f

0

(3) = lim

∆x →0

f (3 + ∆x ) − f (3)

∆x =

= lim

∆x →0

2(3 + ∆x ) + 3 − (2 · 3 + 3)

∆x =

= lim

∆x →0

2∆x

∆x = 2

(10)

Przykład 1

Zacznijmy od prostego przykładu f (x ) = 2x + 3. Będziemy chcieli obliczyć wartość pochodnej w punkcie x

0

= 3. Czyli f

0

(3).

Mamy do czynienia z funkcją liniową, więc pochodna powinna wyjść 2 w każdym punkcie, bo tempo zmiany tej funkcji jest stałe. Przekonajmy się, że tak rzeczywiście jest: (spróbujcie najpierw samodzielnie)

f

0

(3) = lim

∆x →0

f (3 + ∆x ) − f (3)

∆x =

= lim

∆x →0

2(3 + ∆x ) + 3 − (2 · 3 + 3)

∆x =

= lim

∆x →0

2∆x

∆x = 2

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 5 / 14

(11)

Przykład 1

Zacznijmy od prostego przykładu f (x ) = 2x + 3. Będziemy chcieli obliczyć wartość pochodnej w punkcie x

0

= 3. Czyli f

0

(3).

Mamy do czynienia z funkcją liniową, więc pochodna powinna wyjść 2 w każdym punkcie, bo tempo zmiany tej funkcji jest stałe. Przekonajmy się, że tak rzeczywiście jest:

(spróbujcie najpierw samodzielnie) f

0

(3) = lim

∆x →0

f (3 + ∆x ) − f (3)

∆x =

= lim

∆x →0

2(3 + ∆x ) + 3 − (2 · 3 + 3)

∆x =

= lim

∆x →0

2∆x

∆x = 2

(12)

Przykład 1

Zacznijmy od prostego przykładu f (x ) = 2x + 3. Będziemy chcieli obliczyć wartość pochodnej w punkcie x

0

= 3. Czyli f

0

(3).

Mamy do czynienia z funkcją liniową, więc pochodna powinna wyjść 2 w każdym punkcie, bo tempo zmiany tej funkcji jest stałe. Przekonajmy się, że tak rzeczywiście jest: (spróbujcie najpierw samodzielnie)

f

0

(3) = lim

∆x →0

f (3 + ∆x ) − f (3)

∆x =

= lim

∆x →0

2(3 + ∆x ) + 3 − (2 · 3 + 3)

∆x =

= lim

∆x →0

2∆x

∆x = 2

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 5 / 14

(13)

Przykład 1

Zacznijmy od prostego przykładu f (x ) = 2x + 3. Będziemy chcieli obliczyć wartość pochodnej w punkcie x

0

= 3. Czyli f

0

(3).

Mamy do czynienia z funkcją liniową, więc pochodna powinna wyjść 2 w każdym punkcie, bo tempo zmiany tej funkcji jest stałe. Przekonajmy się, że tak rzeczywiście jest: (spróbujcie najpierw samodzielnie)

f

0

(3) = lim

∆x →0

f (3 + ∆x ) − f (3)

∆x =

= lim

∆x →0

2(3 + ∆x ) + 3 − (2 · 3 + 3)

∆x =

= lim

∆x →0

2∆x

∆x = 2

(14)

Przykład 2

Obliczmy pochodną f (x ) =

2x + 1 dla x = 1

(Spróbuj najpierw samodzielnie)

f

0

(1) = lim

h→0

f (1 + h) − f (1)

h =

= lim

h→0

p

2(1 + h) + 1 −

2 · 1 + 1

h =

= lim

h→0

3 + 2h − 3

h =

= lim

h→0

3 + 2h − 3 h(

3 + h + 3) =

= lim

h→0

2 (

3 + h +

3) = 1

3 =

3 3

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 6 / 14

(15)

Przykład 2

Obliczmy pochodną f (x ) =

2x + 1 dla x = 1 (Spróbuj najpierw samodzielnie)

f

0

(1) = lim

h→0

f (1 + h) − f (1)

h =

= lim

h→0

p

2(1 + h) + 1 −

2 · 1 + 1

h =

= lim

h→0

3 + 2h − 3

h =

= lim

h→0

3 + 2h − 3 h(

3 + h + 3) =

= lim

h→0

2 (

3 + h +

3) = 1

3 =

3

3

(16)

Przykład 2

Obliczmy pochodną f (x ) =

2x + 1 dla x = 1 (Spróbuj najpierw samodzielnie)

f

0

(1) = lim

h→0

f (1 + h) − f (1)

h =

= lim

h→0

p

2(1 + h) + 1 −

2 · 1 + 1

h =

= lim

h→0

3 + 2h − 3

h =

= lim

h→0

3 + 2h − 3 h(

3 + h + 3) =

= lim

h→0

2 (

3 + h +

3) = 1

3 =

3 3

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 6 / 14

(17)

Przykład 3

Obliczmy pochodną f (x ) = x + 1

x − 1 dla x = 2

(spróbujcie najpierw samodzielnie)

f

0

(2) = lim

∆x →0

f (2 + ∆x ) − f (2)

∆x =

= lim

∆x →0 3+∆x 1+∆x

31

∆x =

= lim

∆x →0 3+∆x

1+∆x

3+3∆x1+∆x

∆x =

= lim

∆x →0

−2∆x 1+∆x

∆x =

= lim

∆x →0

−2

1 + ∆x = −2

(18)

Przykład 3

Obliczmy pochodną f (x ) = x + 1

x − 1 dla x = 2 (spróbujcie najpierw samodzielnie)

f

0

(2) = lim

∆x →0

f (2 + ∆x ) − f (2)

∆x =

= lim

∆x →0 3+∆x 1+∆x

31

∆x =

= lim

∆x →0 3+∆x

1+∆x

3+3∆x1+∆x

∆x =

= lim

∆x →0

−2∆x 1+∆x

∆x =

= lim

∆x →0

−2

1 + ∆x = −2

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 7 / 14

(19)

Przykład 3

Obliczmy pochodną f (x ) = x + 1

x − 1 dla x = 2 (spróbujcie najpierw samodzielnie)

f

0

(2) = lim

∆x →0

f (2 + ∆x ) − f (2)

∆x =

= lim

∆x →0 3+∆x 1+∆x

31

∆x =

= lim

∆x →0 3+∆x

1+∆x

3+3∆x1+∆x

∆x =

= lim

∆x →0

−2∆x 1+∆x

∆x =

= lim

∆x →0

−2

1 + ∆x = −2

(20)

We wszystkich powyższych przykładach obliczaliśmy pochodną licząc granicę, gdy ∆x → 0. Nie przejmowaliśmy się, czy ∆x → 0

+

, czy

∆x → 0

, gdyż znak ∆x nie miał żadnego wpływu na otrzymywany wynik.

Przeanalizujemy teraz kilka przykładów, gdy musimy sprawdzić lewostronną i prawostronną granicę.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 8 / 14

(21)

We wszystkich powyższych przykładach obliczaliśmy pochodną licząc granicę, gdy ∆x → 0. Nie przejmowaliśmy się, czy ∆x → 0

+

, czy

∆x → 0

, gdyż znak ∆x nie miał żadnego wpływu na otrzymywany wynik.

Przeanalizujemy teraz kilka przykładów, gdy musimy sprawdzić

lewostronną i prawostronną granicę.

(22)

Przykład 4

Obliczmy pochodną f (x ) = |x | dla x = 0

Robiliśmy to już na zajęciach, tutaj powtórzenie

∆x →0

lim

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0

|∆x| − 0

∆x = lim

∆x →0

−∆x

∆x = −1 Natomiast:

lim

∆x →0+

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0+

|∆x| − |0|

∆x = lim

∆x →0+

∆x

∆x = 1 Czyli

h→0

lim

f (0 + h) − f (0)

h 6= lim

h→0+

f (0 + h) − f (0) h W związku z tym lim

∆x →0f (0+∆x )−f (0)

∆x

nie istnieje (gdyż granice lewo- i prawostronne są różne), a więc f (x ) = |x | nie ma pochodnej dla x = 0.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 9 / 14

(23)

Przykład 4

Obliczmy pochodną f (x ) = |x | dla x = 0 Robiliśmy to już na zajęciach, tutaj powtórzenie

∆x →0

lim

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0

|∆x| − 0

∆x = lim

∆x →0

−∆x

∆x = −1 Natomiast:

lim

∆x →0+

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0+

|∆x| − |0|

∆x = lim

∆x →0+

∆x

∆x = 1 Czyli

h→0

lim

f (0 + h) − f (0)

h 6= lim

h→0+

f (0 + h) − f (0) h W związku z tym lim

∆x →0f (0+∆x )−f (0)

∆x

nie istnieje (gdyż granice lewo- i

prawostronne są różne), a więc f (x ) = |x | nie ma pochodnej dla x = 0.

(24)

Przykład 4

Obliczmy pochodną f (x ) = |x | dla x = 0 Robiliśmy to już na zajęciach, tutaj powtórzenie

∆x →0

lim

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0

|∆x| − 0

∆x = lim

∆x →0

−∆x

∆x = −1

Natomiast: lim

∆x →0+

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0+

|∆x| − |0|

∆x = lim

∆x →0+

∆x

∆x = 1 Czyli

h→0

lim

f (0 + h) − f (0)

h 6= lim

h→0+

f (0 + h) − f (0) h W związku z tym lim

∆x →0f (0+∆x )−f (0)

∆x

nie istnieje (gdyż granice lewo- i prawostronne są różne), a więc f (x ) = |x | nie ma pochodnej dla x = 0.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 9 / 14

(25)

Przykład 4

Obliczmy pochodną f (x ) = |x | dla x = 0 Robiliśmy to już na zajęciach, tutaj powtórzenie

∆x →0

lim

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0

|∆x| − 0

∆x = lim

∆x →0

−∆x

∆x = −1 Natomiast:

lim

∆x →0+

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0+

|∆x| − |0|

∆x = lim

∆x →0+

∆x

∆x = 1

Czyli

h→0

lim

f (0 + h) − f (0)

h 6= lim

h→0+

f (0 + h) − f (0) h W związku z tym lim

∆x →0f (0+∆x )−f (0)

∆x

nie istnieje (gdyż granice lewo- i

prawostronne są różne), a więc f (x ) = |x | nie ma pochodnej dla x = 0.

(26)

Przykład 4

Obliczmy pochodną f (x ) = |x | dla x = 0 Robiliśmy to już na zajęciach, tutaj powtórzenie

∆x →0

lim

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0

|∆x| − 0

∆x = lim

∆x →0

−∆x

∆x = −1 Natomiast:

lim

∆x →0+

f (0 + ∆x ) − f (0)

∆x = lim

∆x →0+

|∆x| − |0|

∆x = lim

∆x →0+

∆x

∆x = 1 Czyli

h→0

lim

f (0 + h) − f (0)

h 6= lim

h→0+

f (0 + h) − f (0) h W związku z tym lim

∆x →0f (0+∆x )−f (0)

∆x

nie istnieje (gdyż granice lewo- i prawostronne są różne), a więc f (x ) = |x | nie ma pochodnej dla x = 0.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 9 / 14

(27)

Przykład 5

Sprawdzimy, czy istnieje pochodna funkcji f (x ) = |x + 1|

x

2

+ 1 , gdy x = −1.

Najpierw obliczymy granicę, gdy ∆x → 0

∆x →0

lim

f (−1 + ∆x ) − f (−1)

∆x =

= lim

∆x →0

|∆x|

(−1+∆x )2+1

(−1)−1+12+1

∆x =

= lim

∆x →0

−∆x (∆x )2−2∆x+2

∆x = lim

∆x →0

−1

(∆x )

2

− 2∆x + 2 = − 1

2

(28)

Przykład 5

Sprawdzimy, czy istnieje pochodna funkcji f (x ) = |x + 1|

x

2

+ 1 , gdy x = −1.

Najpierw obliczymy granicę, gdy ∆x → 0

∆x →0

lim

f (−1 + ∆x ) − f (−1)

∆x =

= lim

∆x →0

|∆x|

(−1+∆x )2+1

(−1)−1+12+1

∆x =

= lim

∆x →0

−∆x (∆x )2−2∆x+2

∆x = lim

∆x →0

−1

(∆x )

2

− 2∆x + 2 = − 1 2

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 10 / 14

(29)

Przykład 5

Podobnie obliczamy granicę, gdy ∆x → 0

+

∆x →0

lim

+

f (−1 + ∆x ) − f (−1)

∆x =

= lim

∆x →0+

|∆x|

(−1+∆x )2+1

(−1)−1+12+1

∆x =

= lim

∆x →0+

−∆x

∆x2−2∆x+2

∆x = lim

∆x →0+

1

∆x

2

− 2∆x + 2 = 1 2 Granice są różne:

lim

∆x →0

f (−1 + h) − f (−1)

h 6= lim

∆x →0+

f (−1 + h) − f (−1) h

a więc pochodna funkcji f (x ) = |x + 1|

x

2

+ 1 , gdy x = −1, nie istnieje.

(30)

Przykład 5

Podobnie obliczamy granicę, gdy ∆x → 0

+

∆x →0

lim

+

f (−1 + ∆x ) − f (−1)

∆x =

= lim

∆x →0+

|∆x|

(−1+∆x )2+1

(−1)−1+12+1

∆x =

= lim

∆x →0+

−∆x

∆x2−2∆x+2

∆x = lim

∆x →0+

1

∆x

2

− 2∆x + 2 = 1 2

Granice są różne: lim

∆x →0

f (−1 + h) − f (−1)

h 6= lim

∆x →0+

f (−1 + h) − f (−1) h

a więc pochodna funkcji f (x ) = |x + 1|

x

2

+ 1 , gdy x = −1, nie istnieje.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 11 / 14

(31)

Przykład 5

Podobnie obliczamy granicę, gdy ∆x → 0

+

∆x →0

lim

+

f (−1 + ∆x ) − f (−1)

∆x =

= lim

∆x →0+

|∆x|

(−1+∆x )2+1

(−1)−1+12+1

∆x =

= lim

∆x →0+

−∆x

∆x2−2∆x+2

∆x = lim

∆x →0+

1

∆x

2

− 2∆x + 2 = 1 2 Granice są różne:

lim

∆x →0

f (−1 + h) − f (−1)

h 6= lim

∆x →0+

f (−1 + h) − f (−1) h

|x + 1|

(32)

Przykład 6

Sprawdzimy, czy istnieje pochodna funkcji f (x ) =

(

x

3

x ¬ 1

3x − 2 x > 1 , gdy x = 1.

Tutaj mamy funkcję zdefiniowaną różnymi wzorami, więc sprawdźmy najpierw, czy ta funkcja w ogóle jest ciągła w x = 1. Mamy:

f (1) = 1

3

= 1 lim

x →1

f (x ) = lim

x →1

x

3

= 1 lim

x →1+

f (x ) = lim

x →1+

(3x − 2) = 1

Wszystkie wartości są sobie równe, czyli funkcja jest ciągła w x = 1.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 12 / 14

(33)

Przykład 6

Sprawdzimy, czy istnieje pochodna funkcji f (x ) =

(

x

3

x ¬ 1

3x − 2 x > 1 , gdy x = 1. Tutaj mamy funkcję zdefiniowaną różnymi wzorami, więc sprawdźmy najpierw, czy ta funkcja w ogóle jest ciągła w x = 1.

Mamy: f (1) = 1

3

= 1

lim

x →1

f (x ) = lim

x →1

x

3

= 1 lim

x →1+

f (x ) = lim

x →1+

(3x − 2) = 1

Wszystkie wartości są sobie równe, czyli funkcja jest ciągła w x = 1.

(34)

Przykład 6

Sprawdzimy, czy istnieje pochodna funkcji f (x ) =

(

x

3

x ¬ 1

3x − 2 x > 1 , gdy x = 1. Tutaj mamy funkcję zdefiniowaną różnymi wzorami, więc sprawdźmy najpierw, czy ta funkcja w ogóle jest ciągła w x = 1. Mamy:

f (1) = 1

3

= 1 lim

x →1

f (x ) = lim

x →1

x

3

= 1 lim

x →1+

f (x ) = lim

x →1+

(3x − 2) = 1

Wszystkie wartości są sobie równe, czyli funkcja jest ciągła w x = 1.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 12 / 14

(35)

Przykład 6

Sprawdzimy, czy istnieje pochodna funkcji f (x ) =

(

x

3

x ¬ 1

3x − 2 x > 1 , gdy x = 1. Tutaj mamy funkcję zdefiniowaną różnymi wzorami, więc sprawdźmy najpierw, czy ta funkcja w ogóle jest ciągła w x = 1. Mamy:

f (1) = 1

3

= 1 lim

x →1

f (x ) = lim

x →1

x

3

= 1 lim

x →1+

f (x ) = lim

x →1+

(3x − 2) = 1

Wszystkie wartości są sobie równe, czyli funkcja jest ciągła w x = 1.

(36)

Przykład 6

Teraz sprawdzamy pochodną. Sprawdźmy najpierw dla ∆x → 0

:

∆x →0

lim

f (1 + ∆x ) − f (1)

∆x =

= lim

∆x →0

(1 + ∆x )

3

− 1

3

∆x =

= lim

∆x →0

1 + 3∆x + 3(∆x )

2

+ (∆x )

3

− 1

∆x =

= lim

∆x →0

3∆x + 3(∆x )

2

+ (∆x )

3

∆x = lim

∆x →0

(3 + 3∆x + (∆x )

2

) = 3

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 13 / 14

(37)

Przykład 6

Teraz sprawdzamy pochodną. Sprawdźmy najpierw dla ∆x → 0

: lim

∆x →0

f (1 + ∆x ) − f (1)

∆x =

= lim

∆x →0

(1 + ∆x )

3

− 1

3

∆x =

= lim

∆x →0

1 + 3∆x + 3(∆x )

2

+ (∆x )

3

− 1

∆x =

= lim

∆x →0

3∆x + 3(∆x )

2

+ (∆x )

3

∆x = lim

∆x →0

(3 + 3∆x + (∆x )

2

) = 3

(38)

Przykład 6

Sprawdzamy dla ∆x → 0

+

:

lim

∆x →0+

f (1 + ∆x ) − f (1)

∆x =

= lim

∆x →0+

3(1 + ∆x ) − 2 − 1

3

∆x =

= lim

∆x →0+

3 + 3∆x − 2 − 1

∆x =

= lim

∆x →0+

3∆x

∆x = lim

∆x →0+

3 = 3

Funkcja jest ciągła, granice się zgadzają, a więc pochodna dla x = 1 istnieje i ma wartość 3, czyli f

0

(1) = 3.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 14 / 14

(39)

Przykład 6

Sprawdzamy dla ∆x → 0

+

: lim

∆x →0+

f (1 + ∆x ) − f (1)

∆x =

= lim

∆x →0+

3(1 + ∆x ) − 2 − 1

3

∆x =

= lim

∆x →0+

3 + 3∆x − 2 − 1

∆x =

= lim

∆x →0+

3∆x

∆x = lim

∆x →0+

3 = 3

Funkcja jest ciągła, granice się zgadzają, a więc pochodna dla x = 1

istnieje i ma wartość 3, czyli f

0

(1) = 3.

(40)

Przykład 6

Sprawdzamy dla ∆x → 0

+

: lim

∆x →0+

f (1 + ∆x ) − f (1)

∆x =

= lim

∆x →0+

3(1 + ∆x ) − 2 − 1

3

∆x =

= lim

∆x →0+

3 + 3∆x − 2 − 1

∆x =

= lim

∆x →0+

3∆x

∆x = lim

∆x →0+

3 = 3

Funkcja jest ciągła, granice się zgadzają, a więc pochodna dla x = 1 istnieje i ma wartość 3, czyli f

0

(1) = 3.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 23 października 2019 14 / 14

Cytaty

Powiązane dokumenty

Intuicyjne rozumienie jest proste - pochodna funkcji opisuje tempo zmiany danej

Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w przedziale otwartym, jeśli posiada po- chodną skończoną w każdym punkcie tego przedziału.. Funkcja jest różniczkowalna w prze-

Jeżeli funkcja określona na przedziale 1 jest ciągła i ściśle monotoniczna, to posiada funkcję odwrotną, która też jest ciągła.. Sama zaś wartość pochodnej w tym punkcie 6

Otóż prosta styczna do danej krzywej w danym punkcie tej krzywej to prosta, która przechodzi przez ten punkt, a ponadto ma kierunek zgodny z kierunkiem tej krzywej w tym punkcie,

Korzystając ze wzorów na pochodną iloczynu i złożenia funkcji oraz ze znajo- mości pochodnych funkcji potęgowych wyprowadzić wzór na pochodną ilorazu.. Obliczyć pochodną

Naszkicować wykres funkcji f n oraz wykres jej po-

2) zbadaj podstawowe wªasno±ci funkcji tj. parzysto±¢, nieparzysto±¢, okresowo±¢, punkty prze- ci¦cia wykresu funkcji z osiami wspóªrz¦dnych,. 3) wyznacz asymptoty

[r]