Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p , to jest w tym punkcie ciągła

Wykład 7 Wykład 8

Zastosowania pochodnych

.

Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p , to jest w tym punkcie ciągła.

Dowód.

0 0

( ) ( )

lim ( ) ( ) lim( ( ) ( )) ( ) lim ( ) 0 '( ) ( ).

x p h h

f p h f p

f x f p f p h f p f p h f p f p f p

h

→ → →

= + + − = + ⋅ + − = + ⋅ =

Dowód został zakończony.

Zanim pokażemy następne przykłady zauważmy, że z definicji pochodnej wynika następująca równość przybliżona ( ) ( )

'( ) f p h f p

f p h

≈ + − dla h≈0. Nie troszcząc się przesadnie o precyzję rozumowania, przepisać ją można w postaci f p h( + )≈ f p( )+ f p h'( ) . Można się spodziewać, że jest to dokładniejsze dla h dostatecznie bliskich 0 niż przybliżenie

( ) ( ),

f p h+ ≈ f p które jest konsekwencją ciągłości funkcji f w punkcie p Tak jest w . rzeczywistości, bowiem błąd przybliżenia f p h( + )≈ f p( )+ f p h'( ) jest mały w porównaniu z h, bo

0 0

( ) ( ( ) '( ) ) ( ) ( )

lim lim '( ) 0.

h h

f p h f p f p h f p h f p

h h f p

→ →

+ − + =  + − − =

  Zauważmy, że

jeszcze zachodzi następujące:

Twierdzenie ( charakteryzujące pochodną jako współczynnik wielomianu stopnia ≤ 1 najlepiej przybliżającego funkcję ).

Załóżmy, że f jest funkcją ciągłą w punkcie p Wtedy równość .

0

( ) ( )

lim 0

h

f p h ah b h

→

+ − + =

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p oraz '( )

a= f p i b= f p( ).

Dowód.

Jeżeli

0

( ) ( )

lim 0,

h

f p h ah b h

→

+ − + = to

0

( )

lim 0,

h

f p h b h a

→

+ − − = więc

0

( )

lim ,

h

f p h b

a ^→ h

= + − zatem

0 0

0 lim lim( ( ) ),

h ah h f p h b

→ →

= = + − czyli

lim( (0 ) ( ).

b h f p h f p

= → + = Z ostatniej równości

wynika, że

0 0

( ) ( ) ( )

lim lim ,

h h

f p h b f p h f p

a ^→ h ^→ h

+ − + −

= = a to oznacza, że funkcja f jest

różniczkowalna w punkcie p i zachodzi równość a= f p'( ), co kończy dowód twierdzenia w jedną stronę. Przed sformułowaniem twierdzenia wykazaliśmy prawdziwość implikacji przeciwnej. Dowód został zakończony.

Z twierdzenia tego wynika, że spośród wszystkich wielomianów stopnia 1≤ zmiennej x najlepiej przybliża funkcję f w otoczeniu punktu p wielomian ( )f p + f p x p'( )( − ). Żadne z twierdzeń do tej pory sformułowanych nie daje jawnego oszacowania błędu przybliżenia, ale pokazaliśmy już jak można dowodzić nierówności, a to stwarza szanse na szacowanie błędu. Pokażemy teraz kilka przykładów.

Przykłady cd.

24. 1 1

50 1 49 49 1 7

2 49 14

= + = + ⋅ = + − przyjęliśmy tu h= 1, f x( )= x, zatem '( ) 1 ,

f x 2

= x p=49. Chociaż 1 nie jest małą liczbą, jednak przybliżenie, które uzyskaliśmy jest dosyć dobre. Rzeczywiście

2 2

1 1 1 1

7 49 2 7 50 .

14 14 14 196

 +  = + ⋅ ⋅ +  = +

   

    Widzimy więc,

że po podniesieniu do kwadratu przybliżonej wartości pierwiastka otrzymaliśmy liczbę nieco tylko większą od 50. Mamy 1

7.07 7 7.08

< +14< oraz (7.07)² =49.9849, co oznacza, że nasze przybliżenie pozwoliło nam znaleźć dwie cyfry po przecinku liczby 50 bez wykonywania trudnych obliczeń! Wartość przybliżona jest w tym przypadku większa niż rzeczywista, bo styczna do wykresu pierwiastka kwadratowego leży nad wykresem.

25. 50² =(49 1)+ ² ≈49²+ ⋅2 49 1 2499.⋅ = Tym razem f x( )=x², zatem '( ) 2 ,f x = x 49p= i h=1. W rzeczywistości 50² =2500, więc tym razem błąd, który popełniamy stosując wzór przybliżony zamiast dokładnego jest równy 1, więc jest ponad 100 razy większy niż w poprzednim przykładzie.

26. e⁵⁰ =e^{49 1+} ≈e⁴⁹+e⁴⁹⋅ = ⋅1 2 e⁴⁹. W tym przykładzie ( )f x =e^x = f x'( ), p=49 i h=1.

Zatem błąd, który popełniamy w tym przypadku jest równy

50 2 49 ( 2) 49 0.7 49,

e − ⋅e = − ⋅e e > ⋅e jest więc ogromny i to nie tylko w porównaniu z h= ale 1, wręcz porównywalny z wartością funkcji. Liczba e⁵⁰ jest równa w przybliżeniu

5.184705528587101e+021, e⁴⁹ ≈ 1.907346572495110e+021, zaś

50 2 49

e − ⋅e ≈ 1.370012383596881e+021 - to rezultaty uzyskane za pomocą odpowiedniego programu komputerowego ( MATLAB 6.5 ). Widzimy więc, że w tym przypadku przybliżanie za pomocą wzoru (f p h+ )≈ f p( )+ f p h'( ) nie ma sensu. W przypadku funkcji

x2 dawało przybliżenie gorsze niż w przypadku pierwiastka kwadratowego. Można dosyć prosto wyjaśnić co jest tego przyczyną. Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej ( które poznamy w naszych dalszych rozważaniach ) wynika, że dla każdego h≠0 istnieje co najmniej jedna liczba θ_h∈(0,1), taka, że (f p h+ −) f p( )= f p'( + ⋅ ⋅ zatem θ_h h h) ,

( ) ( ( ) '( ) ) ( '( _h ) '( )) .

f p h+ − f p + f p h⋅ = f p+ ⋅ −θ h f p h O liczbie θ_h nic więcej nie wiemy ponad to, że znajduje się w przedziale (0,1), oznacza to, że liczba p+ ⋅ leży między p i θ_h h

.

p h+ W przypadku funkcji x i przedziału (49,50) pochodna zmienia się nieznacznie:

maleje od wartości 1

14 do wartości 1

2 50. W przypadku funkcji x² rośnie od wartości 2 49 98⋅ = przyjmowanej w punkcie 49 do wartości 2 50 100⋅ = przyjmowanej w punkcie 50, w tym przypadku zmiana wartości pochodnej jest istotnie większa. W przypadku funkcji ex pochodna zmienia się od wartości e⁴⁹ do wartości e⁵⁰ , tj. o wielkość ogromną

49 49

(e−1)e >1.7e . Można się więc było spodziewać, że w tym przypadku wzór

( ) ( ) '( )

f p h+ ≈ f p + f p h będzie bardzo niedokładny.

27. Przy różnych okazjach na lekcjach fizyki w szkołach wykorzystana jest równość przybliżona sinx x≈ np. w optyce przy wyprowadzaniu równania soczewki lub zwierciadła, , przy wyprowadzaniu wzoru na okres wahań wahadła matematycznego .Jest to zastosowanie omawianej przez nas równości (f p h+ )≈ f p( )+ f p h'( ) w przypadku funkcji ( ) sin ,f x = x

0

p= i h x= . W tym przypadku (0) sin 0 0f = = i '(0) cos 0 1f = = i wobec tego ( ) '( ) .

f p + f p h x=

Następne twierdzenie było używane przez Pierre’a Fermata (1601-1665) w odniesieniu do wielomianów jeszcze przed wprowadzeniem przez Newtona i Leibniza rachunku różniczkowego i całkowego. Fermat zajmował się między innymi znajdowaniem wartości najmniejszych i największych wielomianów na przedziałach domkniętych. Doprowadziło go to w gruncie rzeczy do pojęcia pochodnej, choć nie stworzył on teorii. Tym nie mniej odkrył twierdzenie, którego wagę trudno przecenić, choć zarówno twierdzenie jak i jego dowód są proste.

Najpierw poznamy definicję lokalnego ekstremum.

Definicja lokalnego ekstremum

Mówimy, że funkcja f określona na zbiorze zawierającym przedział I o środku w punkcie p ma w tym punkcie lokalne maksimum wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przedział J⊂I o środku w punkcie p , taki, że jeśli x∈ J to ( ), f x ≤ f p( ). Jeśli nierówność jest ostra dla

,

x≠ p to mówimy, że lokalne maksimum jest właściwe. Analogicznie określamy lokalne minimum oraz lokalne minimum właściwe. Jeśli funkcja ma w punkcie p lokalne minimum, lub lokalne maksimum, to mówimy, że ma lokalne ekstremum.

Twierdzenie o zerowaniu się pochodnej w punktach lokalnego ekstremum (Fermat) Jeżeli funkcja f jest funkcją różniczkowalną w punkcie p i przyjmuje w punkcie p wartość najmniejszą lub największą, to f p'( ) 0.= Podkreślić wypada, że zakładamy tu, że p jest środkiem pewnego przedziału otwartego zawartego w dziedzinie funkcji.

Dowód

Załóżmy, że funkcja f ma w punkcie p wartość największą. Znaczy to, że dla każdego punktu x z dziedziny funkcji f zachodzi nierówność ( )f x ≤ f p( ), zatem dla h>0 mamy

( ) ( )

f p h f p 0, h

+ − ≤ wobec tego

0

( ) ( )

'( ) lim 0.

h

f p h f p

f p ^{→ +} h

= + − ≤ Mamy też

0

( ) ( )

'( ) lim 0

h

f p h f p

f p ^{→ −} h

= + − ≥ dla h<0. Obie te nierówności mogą zachodzić jednocześnie jedynie w przypadku '( ) 0.f p = Jeśli f przyjmuje w punkcie p wartość najmniejszą, to funkcja przeciwna f− przyjmuje w tym punkcie wartość największą, więc

0 (= −f) '( )p = −f p'( ). Dowód został zakończony.

Uwaga o wartościach funkcji w pobliżu punktu, w którym pochodna jest dodatnia

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p oraz '( ) 0,f p > to istnieje liczba δ > 0, taka, że jeśli 0< < to (h δ, f p h− <) f p( )< f p h( + ), tzn. dostatecznie blisko punktu p na lewo od niego wartości funkcji są mniejsze niż wartość w punkcie ,p zaś na prawo od tego punktu, w jego pobliżu wartości funkcji są większe niż w punkcie .p

Dowód

Iloraz różnicowy f p h( ) f p( ) h

+ − jest dodatni dla dostatecznie małych ,h bowiem ma dodatnią granicę przy h→ zatem licznik i mianownik tego ułamka mają taki sam znak. 0, Dowód został zakończony.

Przypomnijmy teraz znane ze szkoły średniej:

Twierdzenie o monotoniczności funkcji różniczkowalnych

Załóżmy, że funkcja f jest ciągła w każdym punkcie przedziału P i że jest różniczkowalna we wszystkich jego punktach wewnętrznych. Przy tych założeniach funkcja f jest:

- niemalejąca ( tzn. x y< ⇒ f x( )≤ f y( )) wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna 'f jest nieujemna,

- nierosnąca ( tzn. x y< ⇒ f x( )≥ f y( ) ) wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna 'f jest niedodatnia.

Dowód.

Jeśli funkcja f jest niemalejąca, to iloraz różnicowy f x h( ) f x( ) h

+ − jest nieujemny, bo licznik i mianownik ułamka mają taki sam znak. Granica funkcji nieujemnej, jeśli istnieje jest także nieujemna. Z tego wynika, że pochodna we wszystkich tych punktach przedziału P w , których istnieje, jest nieujemna. Załóżmy teraz, że pochodna w punktach wewnętrznych

przedziału P jest nieujemna. Załóżmy, że ,x y∈ P i x y< Z twierdzenia o wartości średniej, . (które poznamy na następnym wykładzie ) zastosowanego do przedziału [ , ]x y wynika, że

( ) ( )

'( ) 0 f y f x

y x f z

− = ≥

− dla pewnego punktu z∈( , ).x y Ponieważ mianownik ułamka ( ) ( )

f y f x y x

−

− jest dodatni, a sam ułamek nieujemny, więc licznik tego ułamka, czyli różnica ( ) ( ),

f y − f x też jest nieujemny, zatem ( )f y ≥ f x( ), co dowodzi tego, że funkcja f jest niemalejąca. Drugi przypadek sprowadzamy jak zwykle do pierwszego zastępując funkcję f funkcją przeciwną − Dowód został zakończony f.

Wniosek

Funkcja ciągła w przedziale P , różniczkowalna we wszystkich jego punktach wewnętrznych jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy '( ) 0f x = dla każdego punktu wewnętrznego przedziału

P . Dowód

Funkcja stała jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca, zatem jej pochodna jest jednocześnie nieujemna i niedodatnia, czyli zerowa. Jeśli natomiast pochodna jest zerowa, czyli jednocześnie nieujemna i niedodatnia, to funkcja jest zarówno niemalejąca jak i nierosnąca czyli stała. Dowód został zakończony.

Twierdzenie o ścisłej monotoniczności funkcji różniczkowalnych

Zakładamy jak poprzednio, że funkcja f jest ciągła w każdym punkcie przedziału P oraz że jest różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym przedziału P . Przy tych założeniach funkcja f jest:

- ściśle rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest nieujemna oraz między każdymi dwoma punktami przedziału P znajduje się punkt, w którym pochodna 'f jest dodatnia, - ściśle malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest niedodatnia oraz między każdymi dwoma punktami przedziału P znajduje się punkt, w którym pochodna jest ujemna.

Dowód

Załóżmy, że funkcja f jest ściśle rosnąca. Jest więc również niemalejąca, więc na podstawie poprzedniego twierdzenia jej pochodna jest nieujemna. Jeśli ,x y∈P,x y< , to w pewnym punkcie wewnętrznym z przedziału [ , ]x y zachodzi nierówność '( ) 0,f z > bowiem gdyby pochodna równa była 0 w każdym punkcie wewnętrznym przedziału [ , ],x y to funkcja byłaby stała na tym przedziale, więc nie była by ściśle rosnąca. Zajmiemy się dowodem implikacji przeciwnej. Zakładamy teraz, że f jest funkcja ciągłą, której pochodna jest nieujemna. Z poprzedniego twierdzenia wnioskujemy, że f jest funkcją niemalejącą. Jeśli nie jest ona ściśle rosnąca, to istnieją punkty ,x y∈ P takie, że x y, < i ( )f x = f y( ). Jeśli

,

x z< < to ( )y f x ≤ f z( )≤ f y( )= f x( ), co oznacza, że ( )f x = f z( ), a to z kolei oznacza, że f jest funkcją stałą na przedziale [ , ],x y a z tego wynika, że '( ) 0f z = dla każdego punktu

[ , ],

z∈ x y wbrew założeniu. Druga część twierdzenia może być uzyskana z pierwszej przez rozważenie funkcji − zamiast funkcji .f f Dowód został zakończony.

Na zakończenie tego wykładu poznamy twierdzenie pochodzące od matematyka francuskiego Michelle Rolle’a (1652-1719)

Twierdzenie Rolle’a

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [ , ]a b i ma pochodną we wszystkich jego punktach wewnętrznych oraz ( )f a = f b( ), to istnieje punkt c∈( , ),a b taki, że '( ) 0.f c = Dowód

Załóżmy, że ( )f a = f b( ) nie jest największą wartością funkcji .f Niech c będzie punktem, w którym funkcja f przyjmuje wartość największą spośród przyjmowanych na tym przedziale. Oczywiście a c b< < . Wobec tego f jest różniczkowalna w punkcie c i na mocy twierdzenia Fermata zachodzi równość '( ) 0.f c = Jeśli funkcja f nie przyjmuje wewnątrz przedziału [ , ]a b wartości większych niż ( )f a = f b( ), to przyjmuje mniejsze i możemy zamiast niej rozważyć funkcję przeciwną − albo funkcja f jest stała na przedziale [ , ].f, a b W tym drugim przypadku c może być dowolnym punktem przedziału otwartego ( , ).a b Dowód został zakończony.

Interpretacja fizyczna tego twierdzenia może być np. taka: po prostoliniowej drodze porusza się pojazd, który rozpoczyna i kończy przemieszczanie się w tym samym punkcie

( ( )f a = f b( )), ponieważ kończymy podróż w punkcie startu, więc w którymś punkcie musieliśmy zawrócić. W momencie zmiany kierunku jazdy nasza prędkość była równa 0.

Na wykresie funkcji punkty, o których jest mowa dowodzie twierdzenia Rolle’a to te w otoczeniu, których wykres wygląda tak, jak wykres funkcji − w otoczeniu x² 0.

Niech f x( ) sin .= ³x Wtedy f x'( ) 3sin= ²xcos ,x zatem '(0) 0,f = chociaż w punkcie 0 funkcja f nie ma lokalnego maksimum ani lokalnego minimum. W każdym przedziale postaci ( , ),δ δ gdzie 0 ,

2 δ π

< < funkcja jest ściśle rosnąca. Ma ona lokalne ekstrema, ale w innych punktach, np. w punktach

2

− i .π 2

π ( Zachęcam studentów do wykonania fragmentu wykresu tej funkcji ).

Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej

Jeżeli funkcja f jest ciągła w każdym punkcie przedziału domkniętego [ , ]a b i ma pochodną we wszystkich punktach przedziału otwartego ( , ),a b to istnieje punkt c∈[ , ],a b taki, że

( ) ( ( ) '( ) f b f a .

f c b a

= −

− Dowód.

Niech ( ) ( )

( ) ( ) f b f a ( )

g x f x x a

b a

= − − −

− - od funkcji f odejmujemy funkcję ( ) ( )

( ), f b f a

b a x a

− −

− więc liniową, której przyrost na przedziale [ , ]a b jest równy ( ) ( ),

f b − f a czyli jest równy przyrostowi funkcji f na tym przedziale. Mamy więc ( ) ( ) ( ).

g a = f a =g b Poza tym z definicji funkcji g wynika, że jest to funkcja ciągła, jako różnica funkcji ciągłych. Taki sam argument przekonuje nas o istnieniu pochodnej 'g we wszystkich punktach przedziału otwartego ( , ).a b Wobec tego dla funkcji g spełnione są założenia twierdzenia Rolle’a. Istnieje wobec tego taki punkt c∈( , ),a b że

( ) ( ) 0 '( ) '( ) f b f a ,

g c f c

b a

= = − −

− a to właśnie mieliśmy wykazać. Dowód został zakończony.

Każdy czytelnik z pewnością zauważył, że twierdzenie Rolle’a jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej. Można też zinterpretować fizycznie twierdzenie Lagrange’a. Jeśli f x oznacza położenie w chwili ( ) x obiektu poruszającego się po prostej, to '( )f c oznacza prędkość w chwili ,c natomiast f b( ) f a( )

b a

−

− to prędkość średnia w okresie od a do b. Według tej interpretacji twierdzenie o wartości średniej ,, mówi”, że prędkość chwilowa w pewnej chwili c równa jest prędkości średniej, co wygląda na stwierdzenie zupełnie oczywiste. Geometrycznie twierdzenie to oznacza, że jeśli przeprowadzimy prostą przez dwa punkty leżące na wykresie funkcji f , to styczna do wykresu funkcji w pewnym punkcie leżącym między wybranymi punktami jest równoległa do wybranej prostej.

Widzimy więc, że twierdzenie Lagrange’a można prosto zinterpretować na różne sposoby.

Pokazaliśmy już i jeszcze pokażemy, że ma ono liczne i ważne konsekwencje.

Symbole nieoznaczone, reguła de l’Hospitala

Często zachodzi potrzeba obliczenia granicy ilorazu dwu funkcji, gdy granica każdej z nich jest 0 lub ∞. Zdarza się, że trzeba obliczyć granicę iloczynu dwu funkcji, z których jedna ma granicę 0 lub ∞.

Ten drugi przypadek można sprowadzić do pierwszego: . 1/ 1/

f g

f g⋅ = g = f Bywa, że interesuje nas granica wyrażenia f przy czym granicą f jest 1, granicą g jest ^g ∞. Wzór

ln

g g f

f =e ^⋅ pozwala problem zredukować do obliczania granicy iloczynu, więc w dalszym ciągu do obliczania granicy ilorazu.

Jest siedem symboli nieoznaczonych :∞

∞, 0

0, ∞ ⋅0, ∞ − ∞ , ∞ , 1^{0 ∞}, 0 . ⁰

Zdarzają się też inne sytuacje, w których nie są spełnione założenia dotychczas sformułowanych twierdzeń o granicach. Podobnie jak w przypadku ciągów istnieje twierdzenie, które w wielu sytuacjach ułatwia znalezienie granicy. Jest to tzw. reguła de’Hospitala, francuskiego markiza Francoise de l’Hospitala (1661-1704), który po wysłuchaniu wykładów Jana Bernoulliego wydał drukiem notatki z nich pod tytułem ,,Analyse des infiniment potites ” (Analiza nieskończenie małych), co spowodowało protesty rzeczywistego autora tekstu, ale wtedy nie istniało jeszcze pojęcie praw autorskich.

Twierdzenie które znajduje się niżej pochodzi z tej właśnie książki ( i - według historyków matematyki – powinno mieć inną nazwę).

Reguła de l’Hospitala

Załóżmy, że funkcje , : ( , )f g a b → R są różniczkowalne w każdym punkcie przedziału ( , ),a b że ( ) 0g x ≠ ≠g x'( ) dla każdego ( , ),x∈ a b że istnieje granica

lim '( ) { , }

'( )

x a

f x G

g x

→ = ∈ = ∪ −∞ +∞R R oraz że spełniony jest jeden z warunków:

1 lim ( ) 0 lim ( ),

x a f x x ag x

→ = = →

D 2 lim ( )

x a g x

→ = +∞

D

Wtedy iloraz ( ) ( ) f x

g x ma granicę przy x→a i zachodzi równość ( )

lim .

( )

x a

G f x

g x

= →

Dowód w najprostszym przypadku.

Udowodnimy teraz twierdzenie przy bardzo mocnych założeniach. Chodzi nam o to by wyjaśnić jego sens.

Załóżmy, że ,a> −∞ że zachodzi warunek 1^D oraz że istnieją skończone granice lim '( )

x a f x

→

ilim '( ),

x ag x

→ przy czym ta druga jest różna od 0. W tej sytuacji można dookreślić funkcje ,f g w punkcie a przyjmując ( ) 0f a = =g a( ). Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej zastosowanego do funkcji f rozpatrywanej w przedziale [ , ]a x wynika, że

( ) ( )

'( )_x f x f a

x a f c

− =

− dla pewnego punktu c_x∈( , ).a x Stąd wynika, że ( ) ( )

lim lim '( ).

x a x a

f x f a x a f x

→ →

− =

− Wykazaliśmy więc, że w tym przypadku funkcję f można potraktować jako określoną w punkcie a i to w taki sposób, że '( ) lim '( ).

f a x a f x

= → To samo dotyczy funkcji g (rozumowanie analogiczne). Oczywiście w obu przypadkach mamy na myśli różniczkowalność prawostronną. Niech ( ) ( ) '( )

h

f a h f a f a h

r h

+ − −

= dla h≠0 oraz

(0) 0.

r = Jest oczywiste, że

lim ( ) 0.0

h r h

→ = Analogicznie niech ( ) ( ) '( ) ( ) g a h g a g a h.

h h

ρ = ^{+ − −}

Wtedy

lim ( ) 0.0

h ρ h

→ = Stąd możemy wywnioskować, że

( ) ( ) 0 ( ) ( ) '( )( ) ( )( ) '( ) ( ) '( )

( ) ( ) 0 ( ) ( ) '( )( ) ( )( ) '( ) ( ) ^{x a} '( ).

f x f x f x f a f x x a r x a x a f a r x a f a

g x g x g x g a g x x a ρ x a x a g x ρ x a ^→ g a

− − − + − − + −

= = = = →

− − − + − − + −

Ostatnie przejście graniczne jest wykonalne, bo założyliśmy, że '( ) 0.g a ≠

W dowodzie reguły de l’Hospitala poniżej - od tego założenia i innych zbędnych założeń uwolnimy się.

Przejdziemy teraz do sformułowania jednego z najważniejszych wzorów analizy matematycznej, tzw. wzoru Taylora – matematyka angielskiego Brooka Taylora (1685-1731).

Pierwszą pochodną funkcji wprowadziliśmy po to, by móc przybliżyć funkcję w pobliżu interesującego nas punktu wielomianem stopnia pierwszego. Okazuje się, że definicję pochodnej, związaną z przybliżaniem funkcji wielomianem stopnia pierwszego lub zerowego, można uogólnić. Tym zajmiemy się teraz. Efektem będzie zapowiadany wzór Taylora.

Poprzednio błąd przybliżenia miał być mały w porównaniu z pierwszą potęgą zmiany argumentu. Teraz żądamy, by był mały w porównaniu z wyższymi potęgami h. Niestety nie będzie to możliwe przy użyciu wielomianów stopnia nie przekraczającego 1 – będziemy zmuszeni do użycia wielomianów stopnia wyższego.

Załóżmy, że 0< h <1. Wobec tego h >h² > h³ >h⁴ >.... Jasne jest też, że jeśli h jest bardzo bliskie 0, to h jest znacznie bliżej zera niż ,² h h znacznie bliżej niż ³ h itd. Jest tak, ²

bo ²

lim0 0

h

h h

→ = i ogólnie, jeśli m n> to ,

lim0 ^m_n 0.

h

h h

→ = Można myśleć o tym tak: jeżeli h jest bardzo małe i m n> to liczba , h stanowi znikomą część liczby ^m h , obie są wtedy bardzo ⁿ małe, ale jedna jest istotnie mniejsza niż druga.

Wobec tego, z naszego punktu widzenia, różnica między dwiema funkcjami f i g będzie mała, jeśli będzie dążyć do zera po podzieleniu przez ,h gdzie ⁿ n oznacza liczbę naturalną.

Następujący lemat podaje warunek konieczny i dostateczny na to, by dwie funkcje były w tym sensie jedna mniejsza od drugiej.

Lemat o funkcjach ściśle przylegających

Jeśli funkcje f i g są n–krotnie różniczkowalne w punkcie 0, to

0

( ) ( )

lim _n 0

x

f x g x x

→

− = wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne funkcji f i g w punkcie 0 są równe do n-tego rządu włącznie:

( )^j (0) ( )^j (0)

f =g dla j∈{0,1, 2,..., }.n

Dowód.

Załóżmy, że

0

( ) ( )

lim _n 0.

x

f x g x x

→

− = Niech ( )r x = f x( )−g x( ). Trzeba udowodnić, że

' ( )

(0) (0) ''(0) ... ⁿ (0) 0.

r =r =r = =r = Niech 0≤ ≤ Mamyj n.

0 0 0

( ) ( )

lim _j lim _n lim ^{n j} 0,

x x x

r x r x

x x x

−

→ = → ⋅ → =

bo pierwsza granica jest równa 0, a druga 0 lub 1 w zależności od tego czy j n< czy też .

j n= Mamy

lim ( ) 0.0

x r x

→ = Stąd i z tego, że funkcja r jest w punkcie 0, jako różniczkowalna, wynika, że (0) 0.r = Mamy

0 0

( ) ( ) (0)

0 lim lim '(0).

x x

r x r x r

x x r

→ →

= = − = Wobec tego '(0) 0.r =

Teraz wykażemy, że r''(0) 0= (zakładamy oczywiście, że n≥2). Stosujemy regułę de l’Hospitala : ₂

0 0 0

( ) '( ) 1 '( ) '(0) 1

0 lim lim lim ''(0).

2 2 2

x x x

r x r x r x r

x x x r

→ → →

= = = − = Wykażemy teraz w taki

sam sposób, że również trzecia pochodna równa jest 0:

_{3 2} ⁽³⁾

0 0 0 0

( ) '( ) ''( ) 1 ''( ) ''(0) 1

0 lim lim lim lim (0).

3 6 6 6

x x x x

r x r x r x r x r

x x x x r

→ → → →

= = = = − =

Jasne jest, że tę procedurę można kontynuować.

Wykażemy teraz, że jeśli (0)r =r'(0)=r''(0) ....= =rⁿ(0) 0,= to

0

lim ( )_n 0.

x

r x x

→ = Stosujemy regułę de l’Hospitala:

( 1)

1 2

0 0 0 0

( ) '( ) ''( ) ( )

lim lim lim ... lim .

( 1) ( 1)...2

n

n n n

x x x x

r x r x r x r z

x nx n n x n n x

−

− −

→ = → = → = = →

− −

Mamy dalej

( 1) ( 1) ( 1)

( )

0 0

( ) ( ) (0)

lim lim (0) 0.

n n n

n

x x

r x r x r

x x r

− − −

→ →

= − = = Dowód lematu został

zakończony.

Wniosek z dowodu.

Jeśli funkcja r jest n-krotnie różniczkowalna w punkcie 0 i

( 1)

(0) '(0) ''(0) ... ⁿ (0) 0,

r =r =r = =r ⁻ = to ^{( )}

0

( ) (0)

lim .

!

n

x n

r x r

x n

→ =

Z lematu o funkcjach ściśle przylegających wynika, że jeżeli chcemy przybliżyć funkcję w otoczeniu punktu p wielomianem w tak, by błąd przybliżenia był mały w porównaniu z ,h ⁿ to pochodne do n-tego rzędu włącznie, tego wielomianu w punkcie 0 muszą być równe odpowiednim pochodnym funkcji f w punkcie p : f^{( )j} ( )p =w^{( )j} (0). Jeżeli

2

0 1 2

( ) ... _n ⁿ

w h =a +a h a h+ + +a h dla każdego ,h∈ R to w^{( )j} (0)= j a! _j dla j=0,1, 2,..., .n Stąd wynika, że powinno być

( )( )

! .

j j

f p

a = j To motywuje wprowadzenie następującego określenia.

Definicja wielomianu Taylora i reszty

Załóżmy, że funkcja f ma w punkcie p pochodną n-tego rzędu, n-tym wielomianem Taylora funkcji f w punkcie p nazywamy wielomian

(3) ( )

2 3

''( ) ( ) ( )

( ) '( ) ...

2! 3! !

n n

f p f p f p

f p f p h h h h

+ + + + + n zmiennej h, n-tą resztą nazywamy

różnicę

(3) ( )

2 3

''( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) '( ) ... .

2! 3! !

n n

n

f p f p f p

r h f p h f p f p h h h h

n

 

= + − + + + + + 

 

Oczywiście wielomian Taylora określony jest dla wszystkich liczb ,h natomiast reszta tylko dla takich h, dla których punkt p h+ znajduje się w dziedzinie funkcji .f Jasne jest też, że po to, by mówić o pochodnej f^{( )n} ( )p trzeba założyć istnienie pochodnej f⁽ⁿ⁻¹⁾ oraz istnienie wszystkich pochodnych niższego rzędu w pewnym otoczeniu punktu .p Zachodzi następujące:

Twierdzenie G. Peano

( Giuseppe Peano (1858-1932) – matematyk włoski )

Jeśli f jest funkcją n-krotnie różniczkowalną w punkcie ,p to

0

lim ⁿ( )_n 0.

h

r h h

→ =

Dowód

Wynika z lematu o funkcjach ściśle przylegających.

Równość

(3) ( )

2 3

''( ) ( ) ( )

( ) ( ) '( ) ... ( )

2! 3! !

n n

n

f p f p f p

f p h f p f p h h h h r h

+ = + + + + + n +

nazywana bywa wzorem Taylora z resztą Peano, jeśli dodamy informację zawartą w twierdzeniu Peano.

Również z tego lematu wynika, że innego wyboru nie ma, jeśli chcemy mieć tak dokładne przybliżenie i nie chcemy zwiększać stopnia wielomianu ponad niezbędne minimum.

Twierdzenie o jednoznaczności wielomianu Taylora

Jeśli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w punkcie p i w jest wielomianem stopnia nie większego niż n, tzn. istnieją liczby a a a₀, , ,..., ,_{1 2} a takie że dla każdej liczby _n rzeczywistej x zachodzi równość w x( )=a₀+a x a x₁ + ₂ ²+ +... a x_n ⁿ oraz

0

( ) ( )

lim _n 0,

h

f p h w p h

→

+ − = to dla każdego {0,1, 2,..., }j∈ n zachodzi wzór f^{( )j} ( )p = j a! ,_j a więc w jest wielomianem Taylora funkcji f w punkcie .p