• Nie Znaleziono Wyników

Zestaw zadań 5 1. Udowodnić, że w pierścieniu ideałów głównych A ideał q jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy jest potęgą ideału pierwszego. 2. Udowodnić, że w pierścieniu A = k[x, y], gdzie k jest pewnym ciałem, ideał q =⟨x, y

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "Zestaw zadań 5 1. Udowodnić, że w pierścieniu ideałów głównych A ideał q jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy jest potęgą ideału pierwszego. 2. Udowodnić, że w pierścieniu A = k[x, y], gdzie k jest pewnym ciałem, ideał q =⟨x, y"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

Zestaw zadań 5

1. Udowodnić, że w pierścieniu ideałów głównych A ideał q jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy jest potęgą ideału pierwszego.

2. Udowodnić, że w pierścieniu A = k[x, y], gdzie k jest pewnym ciałem, ideał q = ⟨x, y2⟩ jest prymarny, ale nie jest potęgą ideału pierwszego.

3. Udowodnić, że jeśli A jest dowolnym pierścieniem, zaś p▹ A jest ideałem pierwszym, to rad(pm) = p, dla dowolnego wykładnika m∈ N.

4. Udowodnić, że jeśli A jest dowolnym pierścieniem, zaś q▹ A jest ideałem prymarnym, to rad(q) jest ideałem pierwszym.

5. Niech A będzie pierścieniem noetherowskim, niech q1, ..., qmbędą ideałami p-prymarnymi.

Udowodnić, że wówczas ideał q1· ... · qm= q1∩ ... ∩ qmjest również p-prymarny.

6. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech m▹ k[x1, ..., xn]. Udowodnić, że wówczas m jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy m = ⟨x1− a1, ..., xn− an⟩ dla pewnych a1, ..., an∈ k.

7. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech a▹ k[x1, ..., xn]. Udowodnić, że wówczas a jest ideałem radykalnym wtedy i tylko wtedy, gdy a = I(V ) dla pewnego zbioru algebraicznego V ⊂ kn.

Zadania 1, 2 i 3 należy rozwiązać na zajęcia 6 kwietnia.

1

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 41.71 KB )

Powiązane dokumenty

(4) Udowodnić, że (a) jeżeli σ jest cyklem o długości k, to r(σ

Zestaw zadań 4: Grupy permutacji.. (14) Wyznaczyć

(3) Udowodnić, że ideał M 6= R w pierścieniu przemiennym z jedynką R jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego r ∈ R \ M istnieje x ∈ R takie, że 1 − rx ∈ M

Wskazać ideał maksymalny M pierścienia 2Z taki, że 2Z/M nie

Pokazać, że funkcjonał liniowy ϕ na przestrzeni unormowanej jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądro ker ϕ = {x : ϕ(x

Pokazać, że wtedy całą przestrzeń można zapisać w postaci sumy mnogościowej dwu rozłącznych, gęstych i wypukłych

Wykaż, że liczba √n a jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita

Udowodnić, że średnia arytmetyczna tych liczb jest równa n+1 r

Udowodnić, że AB ⊥ P Q

Udowodnić, że istnieje taki gracz A, który każdego innego gracza B pokonał bezpośrednio lub pośrednio, to znaczy gracz A wygrał z B lub gracz A pokonał pewnego zawodnika C,

Udowodnić, że jeśli n jest liczbą naturalną dodatnią, to n |Pn−1 j=1 j3 wtedy i tylko wtedy, gdy n 6≡ 2 (mod 4)

(Fakt ten nosi nazwę Twierdzenia

Udowodnić, że jeśli n jest liczbą naturalną dodatnią, to n |Pn−1 j=1 j3 wtedy i tylko wtedy, gdy n 6≡ 2 (mod 4)

(Fakt ten nosi nazwę Twierdzenia

Udowodnić: Fakt Relacja przystawania modulo m jest relacj¸a równoważności, która jest kongruencj¸a w pierścieniu liczb całkowitych (Z

Fakt Relacja przystawania modulo m jest relacj¸ a równoważności, która jest kongruencj¸ a w pierścieniu liczb całkowitych (Z, +, ·), tzn., że kongruencje wzgl¸ edem tego