7. Całka oznaczona i jej zastosowania

(1)

7. Całka oznaczona i jej zastosowania

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

(2)

1 Motywacja

2 Definicje i podstawowe twierdzenia

3 Wartość średnia

4 Całkowanie numeryczne: kwadratura trapezów

5 Całki niewłaściwe

(3)

Wstęp

Czas przyjrzeć się typowym zastosowaniom całek.

Dotychczas poznane całki nieoznaczone służą głównie do obliczania częściej występujących w problemach praktycznych całek oznaczonych.

(4)

Wstęp

Czas przyjrzeć się typowym zastosowaniom całek. Dotychczas poznane całki nieoznaczone służą głównie do obliczania częściej występujących w problemach praktycznych całek oznaczonych.

(5)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Rozważamy funkcję odwrotną do funkcji popytu na pewne pojedyncze dobro od ceny (czyli funkcję ceny od popytu): P(q).

(6)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Rozważamy funkcję odwrotną do funkcji popytu na pewne pojedyncze dobro od ceny (czyli funkcję ceny od popytu): P(q).

(7)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Załóżmy, że na rynku doskonale konkurencyjnym producenci sprzedają ilość towaru Q^∗ po cenie p^∗.

Z mikroekonomii wiemy, że w wypadku niedoskonałej konkurencji, a szczególnie w wypadku monopolu, ceny mogą być wyższe. Spróbujmy oszacować tzw. nadwyżkę konsumentów, czyli ile zyskują konsumenci z powodu istnienia konkurencji.

(8)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Załóżmy, że na rynku doskonale konkurencyjnym producenci sprzedają ilość towaru Q^∗ po cenie p^∗.

Z mikroekonomii wiemy, że w wypadku niedoskonałej konkurencji, a szczególnie w wypadku monopolu, ceny mogą być wyższe. Spróbujmy oszacować tzw. nadwyżkę konsumentów, czyli ile zyskują konsumenci z powodu istnienia konkurencji.

(9)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Łatwo obliczyć, że w warunkach doskonałej konkurencji, wydatki konsumentów na zaspokojenie całkowitego popytu (i jednocześnie przychody producentów) są równe p^∗· Q^∗ - czyli polu poniższego prostokąta:

(10)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Monopolista, jako jedyny dostawca, może dyktować ceny i nie wypuszczać na rynek kolejnej partii towaru, póki nie sprzeda poprzedniej.

Dlatego wypuszcza na rynek kolejne partie tej samej wielkości δq, (oznaczamy q_k = kδq, q_n= Q^∗), po cenach

p₁ = P(q₁), p₂ = P(q₂), . . ..

(11)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Monopolista, jako jedyny dostawca, może dyktować ceny i nie wypuszczać na rynek kolejnej partii towaru, póki nie sprzeda poprzedniej. Dlatego wypuszcza na rynek kolejne partie tej samej wielkości δq, (oznaczamy qk = kδq, qn= Q^∗), po cenach

p₁ = P(q₁), p₂ = P(q₂), . . ..

(12)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Oczywiście, całkowity przychód monopolisty (i wydatki konsumentów w sytuacji monopolu) będzie równy sumie pól jasnoniebieskich

prostokątów (narysowane są tylko pierwsze dwa, a ostatni z nich powinien spełniać warunek pn= p^∗). Można zapisać ten przychód jako R = p₁δq + p₂δq + . . . p_nδq.

(13)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Zawsze będzie zachodzić R > p^∗Q^∗ (czyli wydatki konsumentów na dane dobro w sytuacji „doskonale dyskryminującego monopolu” będą większe niż w sytuacji doskonałej konkurencji), ale przychód będzie tym większy, im mniejsze δq (czyli im mniejsze partie materiałów będą sprzedawane, a różnice cen pomiędzy kolejnymi partiami będą mniejsze).

(14)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Zatem w skrajnym, idealnym przypadku, możemy się zastanawiać, co się stanie, gdy δq będzie bardzo bliskie 0.

Wtedy prostokąty z poprzedniego rysunku staną się „bardzo wąskie”, tak, że wypełnią całe pole pod wykresem funkcji P (a dokładnie, pomiędzy tym wykresem, a osią p = 0 dla 0 ¬ p ¬ p^∗.

(15)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Zatem w skrajnym, idealnym przypadku, możemy się zastanawiać, co się stanie, gdy δq będzie bardzo bliskie 0. Wtedy prostokąty z

poprzedniego rysunku staną się „bardzo wąskie”, tak, że wypełnią całe pole pod wykresem funkcji P (a dokładnie, pomiędzy tym wykresem, a osią p = 0 dla 0 ¬ p ¬ p^∗.

(16)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Podsumowując, Jeśli funkcja P jest ciągła, a δq dąży do zera to całkowity przychód monopolisty (i wydatki jego klientów) możemy zinterpretować jako pole pod wykresem funkcji P dla argumentów od 0 do Q^∗. Po odjęciu p^∗Q^∗ (wydatki konsumentów w warunkach doskonałej konkurencji) otrzymamy wspomnianą nadwyżkę konsumentów (jasnoczerwona część wykresu).

(17)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Co to ma wspólnego z całkowaniem?

Spójrzmy na sprawę z zupełnie innej perspektywy: rozważmy funkcję przychodu R monopolisty, gdzie R(q) oznacza jego przychód w momencie kiedy zaspokoił już popyt q w opisany wcześniej sposób. Wartości tej funkcji są równe polu pod wykresem funkcji P.

(18)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Co to ma wspólnego z całkowaniem? Spójrzmy na sprawę z zupełnie innej perspektywy: rozważmy funkcję przychodu R monopolisty, gdzie R(q) oznacza jego przychód w momencie kiedy zaspokoił już popyt q w opisany wcześniej sposób.

Wartości tej funkcji są równe polu pod wykresem funkcji P.

(19)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Co to ma wspólnego z całkowaniem? Spójrzmy na sprawę z zupełnie innej perspektywy: rozważmy funkcję przychodu R monopolisty, gdzie R(q) oznacza jego przychód w momencie kiedy zaspokoił już popyt q w opisany wcześniej sposób. Wartości tej funkcji są równe polu pod wykresem funkcji P.

(20)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

W szczególności R(Q^∗) jest całkowitym dochodem monopolisty w naszej sytuacji.

(21)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Zauważmy, że P(q0)δq R(q0+ δq) − R(q0) P(q0+ δq)δq (czyli pole szarego prostokąta, jest mniejsze niż pole pod czerwonym odcinkiem wykresu, a to jest mniejsze niż pole największego

prostokąta na poniższym rysunku). Ta nierówność będzie spełniona dla dowolnego q₀ i dowolnego δq > 0.

(22)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

P(q₀)δq R(q₀+ δq) − R(q₀) P(q₀ + δq)δq.

Możemy podzielić stronami te nierówności przez δq: P(q0) R(q₀+ δq) − R(q₀)

δq  P(q0 + δq). Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach:

δq→0lim P(q₀) lim

δq→0

R(q₀+ δq) − R(q₀)

δq  lim

δq→0P(q₀+ δq).

(23)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Możemy podzielić stronami te nierówności przez δq:

P(q0) R(q₀+ δq) − R(q₀)

δq  P(q0+ δq).

Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach:

δq→0

R(q₀+ δq) − R(q₀)

δq  lim

δq→0P(q₀+ δq).

(24)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

Możemy podzielić stronami te nierówności przez δq:

P(q0) R(q₀+ δq) − R(q₀)

δq  P(q0+ δq).

Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach:

δq→0

R(q₀ + δq) − R(q₀)

δq  lim

δq→0P(q₀+ δq).

(25)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

δq→0

R(q0 + δq) − R(q0)

δq  lim

δq→0P(q₀+ δq).

Powyższa nierówność jest równoważna poniższej: P(q₀) R⁰(q₀) P(q₀).

Zatem:

R⁰(q₀) = P(q₀).

(26)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

δq→0

R(q0 + δq) − R(q0)

δq  lim

δq→0P(q₀+ δq).

Powyższa nierówność jest równoważna poniższej:

P(q₀) R⁰(q₀) P(q₀).

Zatem:

R⁰(q₀) = P(q₀).

(27)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

δq→0

R(q0 + δq) − R(q0)

δq  lim

δq→0P(q₀+ δq).

Powyższa nierówność jest równoważna poniższej:

P(q₀) R⁰(q₀) P(q₀).

Zatem:

R⁰(q₀) = P(q₀).

(28)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

R⁰(q₀) = P(q₀).

Stąd widzimy, że R jest funkcją pierwotną do P. Jednocześnie wartości R z definicji uzyskujemy jako pole pod wykresem P (tj. między wykresem, a poziomą osią). Wniosek: obliczanie pola pod wykresem funkcji ma jakiś związek ze znajdowaniem funkcji

pierwotnej, czyli liczeniem całki. Jaki dokładnie, wyjaśnimy za chwilę.

(29)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

R⁰(q₀) = P(q₀).

Stąd widzimy, że R jest funkcją pierwotną do P.

Jednocześnie wartości R z definicji uzyskujemy jako pole pod wykresem P (tj. między wykresem, a poziomą osią). Wniosek: obliczanie pola pod wykresem funkcji ma jakiś związek ze znajdowaniem funkcji

(30)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

R⁰(q₀) = P(q₀).

Stąd widzimy, że R jest funkcją pierwotną do P. Jednocześnie wartości R z definicji uzyskujemy jako pole pod wykresem P (tj.

między wykresem, a poziomą osią).

Wniosek: obliczanie pola pod wykresem funkcji ma jakiś związek ze znajdowaniem funkcji

(31)

Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów

R⁰(q₀) = P(q₀).

Stąd widzimy, że R jest funkcją pierwotną do P. Jednocześnie wartości R z definicji uzyskujemy jako pole pod wykresem P (tj.

między wykresem, a poziomą osią). Wniosek: obliczanie pola pod wykresem funkcji ma jakiś związek ze znajdowaniem funkcji

(32)

Podział przedziału

Niech będzie dany przedział [a, b], a, b ∈ R, a < b.

Podział przedziału

Ciąg skończony P_n= (x₀, x₁, . . . , x_n) nazywamy n-tym podziałem przedziału jeżeli punkty tego ciągu dzielą ten przedział na n części tj.

a = x₀ < x₁ < . . . < x_n= b.

Na rysunku czwarty podział przedziału (a, b), czyli jego podział na 4 podprzedziały (nie muszą być równe).

(33)

Podział przedziału

Niech będzie dany przedział [a, b], a, b ∈ R, a < b.

Podział przedziału

Ciąg skończony P_n= (x₀, x₁, . . . , x_n) nazywamy n-tym podziałem przedziału jeżeli punkty tego ciągu dzielą ten przedział na n części tj.

a = x₀ < x₁ < . . . < x_n= b.

Na rysunku czwarty podział przedziału (a, b), czyli jego podział na 4 podprzedziały (nie muszą być równe).

(34)

Średnica podziału

Liczbę ∆_n = maxi ∈{1,...n}∆x_i równą długości najdłuższego z odcinków ∆x_i = |x_i − x_{i −1}| nazywamy średnicą podziału P.

Widać, że średnicą tego podziału będzie |x₂− x₁|.

(35)

Średnica podziału

Liczbę ∆_n = maxi ∈{1,...n}∆x_i równą długości najdłuższego z odcinków ∆x_i = |x_i − x_{i −1}| nazywamy średnicą podziału P.

Widać, że średnicą tego podziału będzie |x₂− x₁|.

(36)

Normalny ciąg podziałów

Ciąg podziałów (P_n)_n∈N odcinka [a, b] nazywamy normalnym, jeśli lim_n→∞∆_n = 0.

Idea tej definicji jest następująca: normalny ciąg podziałów zmniejsza długość wszystkich podprzedziałów, a nie tylko niektórych. Zawsze można go skonstruować w ten sposób, że n + 1-wszy podział jest identyczny z n-tym z jednym wyjątkiem: najdłuższy podprzedział n-tego podziału jest podzielony na dwie równe części.

(37)

Normalny ciąg podziałów

Idea tej definicji jest następująca: normalny ciąg podziałów zmniejsza długość wszystkich podprzedziałów, a nie tylko niektórych.

Zawsze można go skonstruować w ten sposób, że n + 1-wszy podział jest identyczny z n-tym z jednym wyjątkiem: najdłuższy podprzedział n-tego podziału jest podzielony na dwie równe części.

(38)

Normalny ciąg podziałów

Idea tej definicji jest następująca: normalny ciąg podziałów zmniejsza długość wszystkich podprzedziałów, a nie tylko niektórych. Zawsze można go skonstruować w ten sposób, że n + 1-wszy podział jest identyczny z n-tym z jednym wyjątkiem: najdłuższy podprzedział n-tego podziału jest podzielony na dwie równe części.

(39)

Całka oznaczona - definicja

Całka oznaczona (w sensie Riemanna)

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b] o ograniczonym zbiorze wartości. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów (P_n)_n∈N przedziału [a, b], niezależnie od wyboru punktów

wewnętrznych x_i^∗ ∈ [x_{i −1}, x_i] w każdym podprzedziale każdego podziału, granica lim

n→∞

Pn

i =1f (x_i^∗)∆x_i istnieje i jest równa S to S nazywamy całką oznaczoną (w sensie Riemanna) z funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy symbolem^R_a^bf (x )dx .

Nie będziemy omawiać w ramach tego kursu innych definicji niż definicja Riemanna, więc na dalszych slajdach będę pisać po prostu: całka oznaczona.

(40)

Całka oznaczona - definicja

Całka oznaczona (w sensie Riemanna)

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b] o ograniczonym zbiorze wartości. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów (P_n)_n∈N przedziału [a, b], niezależnie od wyboru punktów

wewnętrznych x_i^∗ ∈ [x_{i −1}, x_i] w każdym podprzedziale każdego podziału, granica lim

n→∞

Pn

i =1f (x_i^∗)∆x_i istnieje i jest równa S to S nazywamy całką oznaczoną (w sensie Riemanna) z funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy symbolem^R_a^bf (x )dx .

Nie będziemy omawiać w ramach tego kursu innych definicji niż definicja Riemanna, więc na dalszych slajdach będę pisać po prostu:

całka oznaczona.

(41)

Całka oznaczona - intuicja

Powyższy rysunek (z Wikipedii) objaśnia ideę całki oznaczonej.

Dla konkretnego podziału obliczamy sumę pól prostokątów z rysunku (przy czym pola niebieskich prostokątów liczymy ze znakiem +, a żółtych - ze znakiem −). Pola te powstają jako wynik mnożenia długości podprzedziałów danego podziału i wartości funkcji

podcałkowej w jednym z punktów tego przedziału. Oczywiście, dla konkretnego podziału wybór punktów w każdym podprzedziale ma znaczenie...

(42)

Całka oznaczona - intuicja

Powyższy rysunek (z Wikipedii) objaśnia ideę całki oznaczonej. Dla konkretnego podziału obliczamy sumę pól prostokątów z rysunku (przy czym pola niebieskich prostokątów liczymy ze znakiem +, a żółtych - ze znakiem −).

Pola te powstają jako wynik mnożenia długości podprzedziałów danego podziału i wartości funkcji

(43)

Całka oznaczona - intuicja

Powyższy rysunek (z Wikipedii) objaśnia ideę całki oznaczonej. Dla konkretnego podziału obliczamy sumę pól prostokątów z rysunku (przy czym pola niebieskich prostokątów liczymy ze znakiem +, a żółtych - ze znakiem −). Pola te powstają jako wynik mnożenia długości podprzedziałów danego podziału i wartości funkcji podcałkowej w jednym z punktów tego przedziału.

Oczywiście, dla konkretnego podziału wybór punktów w każdym podprzedziale ma znaczenie...

(44)

Całka oznaczona - intuicja

Powyższy rysunek (z Wikipedii) objaśnia ideę całki oznaczonej. Dla konkretnego podziału obliczamy sumę pól prostokątów z rysunku (przy czym pola niebieskich prostokątów liczymy ze znakiem +, a żółtych - ze znakiem −). Pola te powstają jako wynik mnożenia długości podprzedziałów danego podziału i wartości funkcji

(45)

Całka oznaczona - intuicja

...ale jeśli będziemy rozważać podział przedziału na coraz mniejsze podprzedziały, to często (np. dla wszystkich funkcji ciągłych) wybór konkretnych punktów nie ma znaczenia. Jak widać na rysunku (również z Wikipedii) - w miarę wzrostu liczby podprzedziałów suma pól prostokątów jest coraz bliższa polu pod wykresem funkcji.

(46)

Całka oznaczona Riemanna - uwagi

Wadą definicji Riemanna jest to, że dla wielu funkcji potrzebnych zwłaszcza w fizyce, całka Riemanna nie jest dobrze zdefiniowana oraz ma pewne teoretycznie niewygodne własności (np. paskudne zachowania przy przechodzeniu do granicy). Na szczęście dla wszystkich funkcji ciągłych (i wielu innych) nie jest to

problemem. W zasadzie w zagadnieniach ekonomicznych (czyli nas interesujących) całka Riemanna jest zawsze wystarczająca. Wady te w różnym stopniu usuwają inne, bardziej

skomplikowane, definicje całki (np. Lebesgue’a), ale nie będziemy o nich mówić. W przypadku, gdy funkcję da się scałkować według dwu definicji, całka liczona według obydwu będzie taka sama.

Przykładem funkcji, dla której nie istnieje całka oznaczona w sensie Riemanna jest znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta (np. na przedziale [0, 1]).

(47)

Całka oznaczona Riemanna - uwagi

problemem. W zasadzie w zagadnieniach ekonomicznych (czyli nas interesujących) całka Riemanna jest zawsze wystarczająca.

Wady te w różnym stopniu usuwają inne, bardziej skomplikowane, definicje całki (np. Lebesgue’a), ale nie będziemy o nich mówić. W przypadku, gdy funkcję da się scałkować według dwu definicji, całka liczona według obydwu będzie taka sama.

(48)

Całka oznaczona Riemanna - uwagi

(49)

Całka oznaczona Riemanna - uwagi

(50)

Całka oznaczona Riemanna - istnienie

O istnieniu całki oznaczonej

Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale [a, b]. Wtedy

R_b

a f (x )dx istnieje.

(51)

Całka oznaczona i pole pod wykresem

Pole pomiędzy wykresem funkcji f (x ) a osią OX i prostymi x = a i x = b, z zachowaniem znaków (tj. część pola poniżej osi liczy się ze znakiem minus) jest równe^R_a^bf (x )dx .

W tym przypadku (rysunek z Wikipedii)^R_a^bf (x )dx = pole niebieskiego obszaru − pole żółtego obszaru.

(52)

Całka oznaczona i pole pod wykresem

Pole pomiędzy wykresem funkcji f (x ) a osią OX i prostymi x = a i x = b, z zachowaniem znaków (tj. część pola poniżej osi liczy się ze znakiem minus) jest równe^R_a^bf (x )dx .

W tym przypadku (rysunek z Wikipedii)^R_a^bf (x )dx = pole niebieskiego obszaru − pole żółtego obszaru.

(53)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Obliczyć ^R₀^πcos xdx

Jak widać (i jak wiemy dzięki wzorom redukcyjnym) pole „niebieskie” i pole „żółte” są dokładnie równe, zatem po dodaniu tych pól z odwrotnymi znakami otrzymujemy natychmiast^R₀^πcos xdx = 0

(54)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Jak widać (i jak wiemy dzięki wzorom redukcyjnym) pole „niebieskie” i pole „żółte” są dokładnie równe, zatem po dodaniu tych pól z odwrotnymi znakami otrzymujemy natychmiast^R₀^πcos xdx = 0

(55)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Jak widać (i jak wiemy dzięki wzorom redukcyjnym) pole „niebieskie”

i pole „żółte” są dokładnie równe, zatem po dodaniu tych pól z odwrotnymi znakami otrzymujemy natychmiast^R₀^πcos xdx = 0

(56)

Całka oznaczona i pole

Ostatnie twierdzenie najczęściej stosuje się w rozwiniętej wersji:

Wniosek

Pole pomiędzy wykresem funkcji f (x ) a wykresem funkcji g (x ) i prostymi x = a i x = b, z zachowaniem znaków (tj. część pola

poniżej wykresu g (x ), a powyżej f (x ) liczy się ze znakiem minus) jest równe^R_a^bf (x ) − g (x )dx .

(57)

Całka oznaczona i pole

Ostatnie twierdzenie najczęściej stosuje się w rozwiniętej wersji:

Wniosek

Pole pomiędzy wykresem funkcji f (x ) a wykresem funkcji g (x ) i prostymi x = a i x = b, z zachowaniem znaków (tj. część pola

poniżej wykresu g (x ), a powyżej f (x ) liczy się ze znakiem minus) jest równe^R_a^bf (x ) − g (x )dx .

(58)

Całka oznaczona i pole - powrót do zastosowań

Jak widać, na przykładzie z początku tego wykładu, można obliczyć R(Q^∗) (czyli pole pod wykresem P na lewo od Q^∗ i na prawo od 0) jako^R₀^Q^∗P(q)dq, a nadwyżkę konsumenta (pole jasnoczerwone) jako:

Z Q^∗ 0

P(q) − p^∗dq.

(59)

Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego

Obliczanie całki poprzez obliczanie pola jest zupełnie bez sensu (bo zazwyczaj właśnie pola danej figury potrzebujemy). Jednak da się (zazwyczaj) całki oznaczone obliczyć prościej, za pomocą tzw.

zasadniczego twierdzenia rachunku całkowego, wyznaczając najpierw całkę nieoznaczoną funkcji podcałkowej, a następnie podstawiając tzw. granice całkowania do wyniku.

Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego

Jeżeli f jest ciągła w przedziale [a, b] i F jest jej funkcją pierwotną to

Rb

a f (x )dx = F (b) − F (a).

Co prawda f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych (postaci F + C , C ∈ R), ale jakąkolwiek wybierzemy, przy odejmowaniu F (b) − F (a) stała C się zredukuje, więc wybór funkcji pierwotnej nie ma znaczenia.

(60)

Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego

Rb

a f (x )dx = F (b) − F (a).

(61)

Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego

Rb

a f (x )dx = F (b) − F (a).

(62)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x².

W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:

x = x² ⇔ x²− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.

Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.

(63)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x². W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący.

Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:

x = x² ⇔ x²− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.

(64)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x². W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:

x = x² ⇔

x²− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.

(65)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

x = x² ⇔ x²− x = 0 ⇔

x (x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.

(66)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

x = x² ⇔ x²− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.

(67)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest

„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x² lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (¹₂) = ¹₂ > ¹₄ = g (¹₂) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.

Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).

(68)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x². Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie

przedziałem całkowania.

Która z krzywych w tym przedziale jest

(69)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest

„wyżej”?

Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x² lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (¹₂) = ¹₂ > ¹₄ = g (¹₂) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.

(70)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x²

lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (¹₂) = ¹₂ > ¹₄ = g (¹₂) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.

(71)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x² lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (¹₂) = ¹₂ > ¹₄ = g (¹₂)

- zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.

(72)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

(73)

Obliczanie pola - przykład

Przykład

(74)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Teraz możemy wykonać rysunek...

...i obliczyć pole:

P =

Z 1 0

x − x²dx .

(75)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x². Teraz możemy wykonać rysunek...

P =

Z 1 0

x − x²dx .

(76)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x². Teraz możemy wykonać rysunek...

P =

Z 1 0

x − x²dx .

(77)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Jako, że

Z

x − x²dx = x² 2 − x³

3 + C , to

P =

Z 1 0

x − x²dx =^hx² 2 −x³

3

ix =1 x =0 = 1

2 − 1 3− (0

2− 0 3) = 1

6, gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.

(78)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x². Jako, że

Z

x − x²dx = x² 2 − x³

3 + C ,

to

P =

Z 1 0

x − x²dx =^hx² 2 −x³

3

ix =1 x =0 = 1

2 − 1 3− (0

2− 0 3) = 1

(79)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Z

x − x²dx = x² 2 − x³

3 + C , to

P =

Z 1 0

x − x²dx =^hx² 2 −x³

3

ix =1 x =0

= 1 2 − 1

3− (0 2− 0

3) = 1 6, gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.

(80)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Z

x − x²dx = x² 2 − x³

3 + C , to

P =

Z 1 0

x − x²dx =^hx² 2 −x³

3

ix =1 x =0 = 1

2 −1 3 − (0

2− 0 3) =

1 6, gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.

(81)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład

Przykład

Z

x − x²dx = x² 2 − x³

3 + C , to

P =

Z 1 0

x − x²dx =^hx² 2 −x³

3

ix =1 x =0 = 1

2 −1 3 − (0

2− 0 3) = 1

(82)

Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych

Drobne twierdzenia o całkach oznaczonych

Jeśli f jest funkcją nieparzystą, to ^R_−a^a f (x )dx = 0 dla dowolnego a > 0.

Jeśli f jest funkcją parzystą, to ^R_−a^a f (x )dx = 2^R₀^af (x )dx dla dowolnego a > 0.

Jeśli f (x ) 0 w przedziale [a, b] to^R_a^bf (x )dx 0.

Przykłady:

Z 5

−5x³ dx =

Z 2

−2sin x dx = 0,

Z 3

−3

cos x dx = 2

Z 3 0

cos x dx .

(83)

Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych

Drobne twierdzenia o całkach oznaczonych

Przykłady:

Z 5

−5x³ dx =

Z 2

−2sin x dx = 0,

Z 3

−3

cos x dx = 2

Z 3 0

cos x dx .

(84)

Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych

Drobne twierdzenia o całkach oznaczonych

Przykłady:

Z 5

−5x³ dx =

Z 2

−2sin x dx = 0,

Z 3

−3

cos x dx = 2

Z 3 0

cos x dx .

(85)

Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych

Twierdzenie o podziale przedziału

Jeśli f jest ciągła w (a, b) i a < c < b to

Rb

a f (x )dx =^R_a^cf (x )dx +^R_c^bf (x )dx .

Twierdzenie to jest bardzo użyteczne, gdy potrzebujemy obliczyć pole figury ograniczonej wykresami więcej niż dwu funkcji. Wtedy, po prostu dzielimy to pole tak, by na każda jego część była ograniczona przez dwie funkcje, a następnie obliczamy pola znaną metodą i sumujemy wyniki.

(86)

Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych

Twierdzenie o podziale przedziału

Jeśli f jest ciągła w (a, b) i a < c < b to

Rb

a f (x )dx =^R_a^cf (x )dx +^R_c^bf (x )dx .

Twierdzenie to jest bardzo użyteczne, gdy potrzebujemy obliczyć pole figury ograniczonej wykresami więcej niż dwu funkcji. Wtedy, po prostu dzielimy to pole tak, by na każda jego część była ograniczona przez dwie funkcje, a następnie obliczamy pola znaną metodą i sumujemy wyniki.

(87)

Obliczanie pola - przykład 2

Przykład

Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x.

Jak zwykle, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:

√x = 3

4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1

x ⇔ x = 1,3

4x − 1 = 1

x ⇔ x = 2. Zatem [1, 2] i [2, 4] będą przedziałami całkowania.

(88)

Obliczanie pola - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x. Jak zwykle, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają.

W tym wypadku:

√x = 3

4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1

x ⇔ x = 1,3

4x − 1 = 1

(89)

Obliczanie pola - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x. Jak zwykle, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:

√x = 3

4x − 1 ⇔ x = 4,

√x = 1

x ⇔ x = 1,3

4x − 1 = 1

(90)

Obliczanie pola - przykład 2

Przykład

√x = 3

4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1

x ⇔

x = 1,3

4x − 1 = 1

(91)

Obliczanie pola - przykład 2

Przykład

√x = 3

4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1

x ⇔ x = 1,

3

4x − 1 = 1

(92)

Obliczanie pola - przykład 2

Przykład

√x = 3

4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1

x ⇔ x = 1,3

4x − 1 = 1

x ⇔ x = 2.

Zatem [1, 2] i [2, 4] będą przedziałami całkowania.

(93)

Obliczanie pola - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x.

Łatwo sprawdzić, że w przedziale (1, 2) zachodzi √

x > ¹_x > ³₄x − 1, zaś w przedziale (2, 4) mamy √

x > ³₄x − 1 > ¹_x. Możemy teraz sporządzić rysunek:

(94)

Obliczanie pola - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x. Łatwo sprawdzić, że w przedziale (1, 2) zachodzi √

x > ³₄x − 1 > ¹_x.

Możemy teraz sporządzić rysunek:

(95)

Obliczanie pola - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x. Łatwo sprawdzić, że w przedziale (1, 2) zachodzi √

x > ³₄x − 1 > ¹_x. Możemy teraz sporządzić rysunek:

(96)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x.

Pole na poprzednim rysunku było ograniczone więcej niż dwiema funkcjami, ale możemy podzielić je na dwie części i spokojnie obliczyć pole każdej z osobna.

(97)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x. Pole na poprzednim rysunku było ograniczone więcej niż dwiema funkcjami, ale możemy podzielić je na dwie części i spokojnie obliczyć pole każdej z osobna.

(98)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x. Pole na poprzednim rysunku było ograniczone więcej niż dwiema funkcjami, ale możemy podzielić je na dwie części i spokojnie obliczyć pole każdej z osobna.

(99)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x.

Figury zielona i niebieska są ograniczone dwiema funkcjami, więc, jak poprzednio, możemy liczyć

P =

Z 2 1

√x − 1 xdx +

Z 4 2

√x − (3

4x − 1)dx .

(100)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x. Jako, że

Z √

x dx = 2

3x³² + C ,

Z 3

4x − 1dx = 3

8x²− x + C ,

Z 1

xdx = ln x + C

to

P =

Z 2 1

√x − 1 xdx +

Z 4 2

√x − (3

4x − 1)dx =

=^h2

3x³² − ln xⁱ^{x =2}

x =1+^h2

3x³² −3

8x²+ xⁱ^{x =4}

x =2,

(101)

Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2

Przykład

x , y = ³₄x − 1 oraz y = ¹_x. Jako, że

Z √

x dx = 2

3x³² + C ,

Z 3

4x − 1dx = 3

8x²− x + C ,

Z 1

xdx = ln x + C to

P =

Z 2 1

√x − 1 xdx +

Z 4 2

√x − (3

4x − 1)dx =

=^h2

3x³² − ln xⁱ^{x =2}

x =1+^h2

3x³² −3

8x²+ xⁱ^{x =4}

x =2,