7. Całka oznaczona i jej zastosowania
Grzegorz Kosiorowski
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
1 Motywacja
2 Definicje i podstawowe twierdzenia
3 Wartość średnia
4 Całkowanie numeryczne: kwadratura trapezów
5 Całki niewłaściwe
Wstęp
Czas przyjrzeć się typowym zastosowaniom całek.
Dotychczas poznane całki nieoznaczone służą głównie do obliczania częściej występujących w problemach praktycznych całek oznaczonych.
Wstęp
Czas przyjrzeć się typowym zastosowaniom całek. Dotychczas poznane całki nieoznaczone służą głównie do obliczania częściej występujących w problemach praktycznych całek oznaczonych.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Rozważamy funkcję odwrotną do funkcji popytu na pewne pojedyncze dobro od ceny (czyli funkcję ceny od popytu): P(q).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Rozważamy funkcję odwrotną do funkcji popytu na pewne pojedyncze dobro od ceny (czyli funkcję ceny od popytu): P(q).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Załóżmy, że na rynku doskonale konkurencyjnym producenci sprzedają ilość towaru Q∗ po cenie p∗.
Z mikroekonomii wiemy, że w wypadku niedoskonałej konkurencji, a szczególnie w wypadku monopolu, ceny mogą być wyższe. Spróbujmy oszacować tzw. nadwyżkę konsumentów, czyli ile zyskują konsumenci z powodu istnienia konkurencji.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Załóżmy, że na rynku doskonale konkurencyjnym producenci sprzedają ilość towaru Q∗ po cenie p∗.
Z mikroekonomii wiemy, że w wypadku niedoskonałej konkurencji, a szczególnie w wypadku monopolu, ceny mogą być wyższe. Spróbujmy oszacować tzw. nadwyżkę konsumentów, czyli ile zyskują konsumenci z powodu istnienia konkurencji.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Łatwo obliczyć, że w warunkach doskonałej konkurencji, wydatki konsumentów na zaspokojenie całkowitego popytu (i jednocześnie przychody producentów) są równe p∗· Q∗ - czyli polu poniższego prostokąta:
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Monopolista, jako jedyny dostawca, może dyktować ceny i nie wypuszczać na rynek kolejnej partii towaru, póki nie sprzeda poprzedniej.
Dlatego wypuszcza na rynek kolejne partie tej samej wielkości δq, (oznaczamy qk = kδq, qn= Q∗), po cenach
p1 = P(q1), p2 = P(q2), . . ..
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Monopolista, jako jedyny dostawca, może dyktować ceny i nie wypuszczać na rynek kolejnej partii towaru, póki nie sprzeda poprzedniej. Dlatego wypuszcza na rynek kolejne partie tej samej wielkości δq, (oznaczamy qk = kδq, qn= Q∗), po cenach
p1 = P(q1), p2 = P(q2), . . ..
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Oczywiście, całkowity przychód monopolisty (i wydatki konsumentów w sytuacji monopolu) będzie równy sumie pól jasnoniebieskich
prostokątów (narysowane są tylko pierwsze dwa, a ostatni z nich powinien spełniać warunek pn= p∗). Można zapisać ten przychód jako R = p1δq + p2δq + . . . pnδq.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Zawsze będzie zachodzić R > p∗Q∗ (czyli wydatki konsumentów na dane dobro w sytuacji „doskonale dyskryminującego monopolu” będą większe niż w sytuacji doskonałej konkurencji), ale przychód będzie tym większy, im mniejsze δq (czyli im mniejsze partie materiałów będą sprzedawane, a różnice cen pomiędzy kolejnymi partiami będą mniejsze).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Zatem w skrajnym, idealnym przypadku, możemy się zastanawiać, co się stanie, gdy δq będzie bardzo bliskie 0.
Wtedy prostokąty z poprzedniego rysunku staną się „bardzo wąskie”, tak, że wypełnią całe pole pod wykresem funkcji P (a dokładnie, pomiędzy tym wykresem, a osią p = 0 dla 0 ¬ p ¬ p∗.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Zatem w skrajnym, idealnym przypadku, możemy się zastanawiać, co się stanie, gdy δq będzie bardzo bliskie 0. Wtedy prostokąty z
poprzedniego rysunku staną się „bardzo wąskie”, tak, że wypełnią całe pole pod wykresem funkcji P (a dokładnie, pomiędzy tym wykresem, a osią p = 0 dla 0 ¬ p ¬ p∗.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Podsumowując, Jeśli funkcja P jest ciągła, a δq dąży do zera to całkowity przychód monopolisty (i wydatki jego klientów) możemy zinterpretować jako pole pod wykresem funkcji P dla argumentów od 0 do Q∗. Po odjęciu p∗Q∗ (wydatki konsumentów w warunkach doskonałej konkurencji) otrzymamy wspomnianą nadwyżkę konsumentów (jasnoczerwona część wykresu).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Co to ma wspólnego z całkowaniem?
Spójrzmy na sprawę z zupełnie innej perspektywy: rozważmy funkcję przychodu R monopolisty, gdzie R(q) oznacza jego przychód w momencie kiedy zaspokoił już popyt q w opisany wcześniej sposób. Wartości tej funkcji są równe polu pod wykresem funkcji P.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Co to ma wspólnego z całkowaniem? Spójrzmy na sprawę z zupełnie innej perspektywy: rozważmy funkcję przychodu R monopolisty, gdzie R(q) oznacza jego przychód w momencie kiedy zaspokoił już popyt q w opisany wcześniej sposób.
Wartości tej funkcji są równe polu pod wykresem funkcji P.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Co to ma wspólnego z całkowaniem? Spójrzmy na sprawę z zupełnie innej perspektywy: rozważmy funkcję przychodu R monopolisty, gdzie R(q) oznacza jego przychód w momencie kiedy zaspokoił już popyt q w opisany wcześniej sposób. Wartości tej funkcji są równe polu pod wykresem funkcji P.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
W szczególności R(Q∗) jest całkowitym dochodem monopolisty w naszej sytuacji.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
Zauważmy, że P(q0)δq R(q0+ δq) − R(q0) P(q0+ δq)δq (czyli pole szarego prostokąta, jest mniejsze niż pole pod czerwonym odcinkiem wykresu, a to jest mniejsze niż pole największego
prostokąta na poniższym rysunku). Ta nierówność będzie spełniona dla dowolnego q0 i dowolnego δq > 0.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
P(q0)δq R(q0+ δq) − R(q0) P(q0 + δq)δq.
Możemy podzielić stronami te nierówności przez δq: P(q0) R(q0+ δq) − R(q0)
δq P(q0 + δq). Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach:
δq→0lim P(q0) lim
δq→0
R(q0+ δq) − R(q0)
δq lim
δq→0P(q0+ δq).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
P(q0)δq R(q0+ δq) − R(q0) P(q0 + δq)δq.
Możemy podzielić stronami te nierówności przez δq:
P(q0) R(q0+ δq) − R(q0)
δq P(q0+ δq).
Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach:
δq→0lim P(q0) lim
δq→0
R(q0+ δq) − R(q0)
δq lim
δq→0P(q0+ δq).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
P(q0)δq R(q0+ δq) − R(q0) P(q0 + δq)δq.
Możemy podzielić stronami te nierówności przez δq:
P(q0) R(q0+ δq) − R(q0)
δq P(q0+ δq).
Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach:
δq→0lim P(q0) lim
δq→0
R(q0 + δq) − R(q0)
δq lim
δq→0P(q0+ δq).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
δq→0lim P(q0) lim
δq→0
R(q0 + δq) − R(q0)
δq lim
δq→0P(q0+ δq).
Powyższa nierówność jest równoważna poniższej: P(q0) R0(q0) P(q0).
Zatem:
R0(q0) = P(q0).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
δq→0lim P(q0) lim
δq→0
R(q0 + δq) − R(q0)
δq lim
δq→0P(q0+ δq).
Powyższa nierówność jest równoważna poniższej:
P(q0) R0(q0) P(q0).
Zatem:
R0(q0) = P(q0).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
δq→0lim P(q0) lim
δq→0
R(q0 + δq) − R(q0)
δq lim
δq→0P(q0+ δq).
Powyższa nierówność jest równoważna poniższej:
P(q0) R0(q0) P(q0).
Zatem:
R0(q0) = P(q0).
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
R0(q0) = P(q0).
Stąd widzimy, że R jest funkcją pierwotną do P. Jednocześnie wartości R z definicji uzyskujemy jako pole pod wykresem P (tj. między wykresem, a poziomą osią). Wniosek: obliczanie pola pod wykresem funkcji ma jakiś związek ze znajdowaniem funkcji
pierwotnej, czyli liczeniem całki. Jaki dokładnie, wyjaśnimy za chwilę.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
R0(q0) = P(q0).
Stąd widzimy, że R jest funkcją pierwotną do P.
Jednocześnie wartości R z definicji uzyskujemy jako pole pod wykresem P (tj. między wykresem, a poziomą osią). Wniosek: obliczanie pola pod wykresem funkcji ma jakiś związek ze znajdowaniem funkcji
pierwotnej, czyli liczeniem całki. Jaki dokładnie, wyjaśnimy za chwilę.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
R0(q0) = P(q0).
Stąd widzimy, że R jest funkcją pierwotną do P. Jednocześnie wartości R z definicji uzyskujemy jako pole pod wykresem P (tj.
między wykresem, a poziomą osią).
Wniosek: obliczanie pola pod wykresem funkcji ma jakiś związek ze znajdowaniem funkcji
pierwotnej, czyli liczeniem całki. Jaki dokładnie, wyjaśnimy za chwilę.
Zastosowanie - całkowity popyt i nadwyżka konsumentów
R0(q0) = P(q0).
Stąd widzimy, że R jest funkcją pierwotną do P. Jednocześnie wartości R z definicji uzyskujemy jako pole pod wykresem P (tj.
między wykresem, a poziomą osią). Wniosek: obliczanie pola pod wykresem funkcji ma jakiś związek ze znajdowaniem funkcji
pierwotnej, czyli liczeniem całki. Jaki dokładnie, wyjaśnimy za chwilę.
Podział przedziału
Niech będzie dany przedział [a, b], a, b ∈ R, a < b.
Podział przedziału
Ciąg skończony Pn= (x0, x1, . . . , xn) nazywamy n-tym podziałem przedziału jeżeli punkty tego ciągu dzielą ten przedział na n części tj.
a = x0 < x1 < . . . < xn= b.
Na rysunku czwarty podział przedziału (a, b), czyli jego podział na 4 podprzedziały (nie muszą być równe).
Podział przedziału
Niech będzie dany przedział [a, b], a, b ∈ R, a < b.
Podział przedziału
Ciąg skończony Pn= (x0, x1, . . . , xn) nazywamy n-tym podziałem przedziału jeżeli punkty tego ciągu dzielą ten przedział na n części tj.
a = x0 < x1 < . . . < xn= b.
Na rysunku czwarty podział przedziału (a, b), czyli jego podział na 4 podprzedziały (nie muszą być równe).
Średnica podziału
Średnica podziału
Liczbę ∆n = maxi ∈{1,...n}∆xi równą długości najdłuższego z odcinków ∆xi = |xi − xi −1| nazywamy średnicą podziału P.
Widać, że średnicą tego podziału będzie |x2− x1|.
Średnica podziału
Średnica podziału
Liczbę ∆n = maxi ∈{1,...n}∆xi równą długości najdłuższego z odcinków ∆xi = |xi − xi −1| nazywamy średnicą podziału P.
Widać, że średnicą tego podziału będzie |x2− x1|.
Normalny ciąg podziałów
Normalny ciąg podziałów
Ciąg podziałów (Pn)n∈N odcinka [a, b] nazywamy normalnym, jeśli limn→∞∆n = 0.
Idea tej definicji jest następująca: normalny ciąg podziałów zmniejsza długość wszystkich podprzedziałów, a nie tylko niektórych. Zawsze można go skonstruować w ten sposób, że n + 1-wszy podział jest identyczny z n-tym z jednym wyjątkiem: najdłuższy podprzedział n-tego podziału jest podzielony na dwie równe części.
Normalny ciąg podziałów
Normalny ciąg podziałów
Ciąg podziałów (Pn)n∈N odcinka [a, b] nazywamy normalnym, jeśli limn→∞∆n = 0.
Idea tej definicji jest następująca: normalny ciąg podziałów zmniejsza długość wszystkich podprzedziałów, a nie tylko niektórych.
Zawsze można go skonstruować w ten sposób, że n + 1-wszy podział jest identyczny z n-tym z jednym wyjątkiem: najdłuższy podprzedział n-tego podziału jest podzielony na dwie równe części.
Normalny ciąg podziałów
Normalny ciąg podziałów
Ciąg podziałów (Pn)n∈N odcinka [a, b] nazywamy normalnym, jeśli limn→∞∆n = 0.
Idea tej definicji jest następująca: normalny ciąg podziałów zmniejsza długość wszystkich podprzedziałów, a nie tylko niektórych. Zawsze można go skonstruować w ten sposób, że n + 1-wszy podział jest identyczny z n-tym z jednym wyjątkiem: najdłuższy podprzedział n-tego podziału jest podzielony na dwie równe części.
Całka oznaczona - definicja
Całka oznaczona (w sensie Riemanna)
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b] o ograniczonym zbiorze wartości. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów (Pn)n∈N przedziału [a, b], niezależnie od wyboru punktów
wewnętrznych xi∗ ∈ [xi −1, xi] w każdym podprzedziale każdego podziału, granica lim
n→∞
Pn
i =1f (xi∗)∆xi istnieje i jest równa S to S nazywamy całką oznaczoną (w sensie Riemanna) z funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy symbolemRabf (x )dx .
Nie będziemy omawiać w ramach tego kursu innych definicji niż definicja Riemanna, więc na dalszych slajdach będę pisać po prostu: całka oznaczona.
Całka oznaczona - definicja
Całka oznaczona (w sensie Riemanna)
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b] o ograniczonym zbiorze wartości. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów (Pn)n∈N przedziału [a, b], niezależnie od wyboru punktów
wewnętrznych xi∗ ∈ [xi −1, xi] w każdym podprzedziale każdego podziału, granica lim
n→∞
Pn
i =1f (xi∗)∆xi istnieje i jest równa S to S nazywamy całką oznaczoną (w sensie Riemanna) z funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy symbolemRabf (x )dx .
Nie będziemy omawiać w ramach tego kursu innych definicji niż definicja Riemanna, więc na dalszych slajdach będę pisać po prostu:
całka oznaczona.
Całka oznaczona - intuicja
Powyższy rysunek (z Wikipedii) objaśnia ideę całki oznaczonej.
Dla konkretnego podziału obliczamy sumę pól prostokątów z rysunku (przy czym pola niebieskich prostokątów liczymy ze znakiem +, a żółtych - ze znakiem −). Pola te powstają jako wynik mnożenia długości podprzedziałów danego podziału i wartości funkcji
podcałkowej w jednym z punktów tego przedziału. Oczywiście, dla konkretnego podziału wybór punktów w każdym podprzedziale ma znaczenie...
Całka oznaczona - intuicja
Powyższy rysunek (z Wikipedii) objaśnia ideę całki oznaczonej. Dla konkretnego podziału obliczamy sumę pól prostokątów z rysunku (przy czym pola niebieskich prostokątów liczymy ze znakiem +, a żółtych - ze znakiem −).
Pola te powstają jako wynik mnożenia długości podprzedziałów danego podziału i wartości funkcji
podcałkowej w jednym z punktów tego przedziału. Oczywiście, dla konkretnego podziału wybór punktów w każdym podprzedziale ma znaczenie...
Całka oznaczona - intuicja
Powyższy rysunek (z Wikipedii) objaśnia ideę całki oznaczonej. Dla konkretnego podziału obliczamy sumę pól prostokątów z rysunku (przy czym pola niebieskich prostokątów liczymy ze znakiem +, a żółtych - ze znakiem −). Pola te powstają jako wynik mnożenia długości podprzedziałów danego podziału i wartości funkcji podcałkowej w jednym z punktów tego przedziału.
Oczywiście, dla konkretnego podziału wybór punktów w każdym podprzedziale ma znaczenie...
Całka oznaczona - intuicja
Powyższy rysunek (z Wikipedii) objaśnia ideę całki oznaczonej. Dla konkretnego podziału obliczamy sumę pól prostokątów z rysunku (przy czym pola niebieskich prostokątów liczymy ze znakiem +, a żółtych - ze znakiem −). Pola te powstają jako wynik mnożenia długości podprzedziałów danego podziału i wartości funkcji
podcałkowej w jednym z punktów tego przedziału. Oczywiście, dla konkretnego podziału wybór punktów w każdym podprzedziale ma znaczenie...
Całka oznaczona - intuicja
...ale jeśli będziemy rozważać podział przedziału na coraz mniejsze podprzedziały, to często (np. dla wszystkich funkcji ciągłych) wybór konkretnych punktów nie ma znaczenia. Jak widać na rysunku (również z Wikipedii) - w miarę wzrostu liczby podprzedziałów suma pól prostokątów jest coraz bliższa polu pod wykresem funkcji.
Całka oznaczona Riemanna - uwagi
Wadą definicji Riemanna jest to, że dla wielu funkcji potrzebnych zwłaszcza w fizyce, całka Riemanna nie jest dobrze zdefiniowana oraz ma pewne teoretycznie niewygodne własności (np. paskudne zachowania przy przechodzeniu do granicy). Na szczęście dla wszystkich funkcji ciągłych (i wielu innych) nie jest to
problemem. W zasadzie w zagadnieniach ekonomicznych (czyli nas interesujących) całka Riemanna jest zawsze wystarczająca. Wady te w różnym stopniu usuwają inne, bardziej
skomplikowane, definicje całki (np. Lebesgue’a), ale nie będziemy o nich mówić. W przypadku, gdy funkcję da się scałkować według dwu definicji, całka liczona według obydwu będzie taka sama.
Przykładem funkcji, dla której nie istnieje całka oznaczona w sensie Riemanna jest znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta (np. na przedziale [0, 1]).
Całka oznaczona Riemanna - uwagi
Wadą definicji Riemanna jest to, że dla wielu funkcji potrzebnych zwłaszcza w fizyce, całka Riemanna nie jest dobrze zdefiniowana oraz ma pewne teoretycznie niewygodne własności (np. paskudne zachowania przy przechodzeniu do granicy). Na szczęście dla wszystkich funkcji ciągłych (i wielu innych) nie jest to
problemem. W zasadzie w zagadnieniach ekonomicznych (czyli nas interesujących) całka Riemanna jest zawsze wystarczająca.
Wady te w różnym stopniu usuwają inne, bardziej skomplikowane, definicje całki (np. Lebesgue’a), ale nie będziemy o nich mówić. W przypadku, gdy funkcję da się scałkować według dwu definicji, całka liczona według obydwu będzie taka sama.
Przykładem funkcji, dla której nie istnieje całka oznaczona w sensie Riemanna jest znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta (np. na przedziale [0, 1]).
Całka oznaczona Riemanna - uwagi
Wadą definicji Riemanna jest to, że dla wielu funkcji potrzebnych zwłaszcza w fizyce, całka Riemanna nie jest dobrze zdefiniowana oraz ma pewne teoretycznie niewygodne własności (np. paskudne zachowania przy przechodzeniu do granicy). Na szczęście dla wszystkich funkcji ciągłych (i wielu innych) nie jest to
problemem. W zasadzie w zagadnieniach ekonomicznych (czyli nas interesujących) całka Riemanna jest zawsze wystarczająca.
Wady te w różnym stopniu usuwają inne, bardziej skomplikowane, definicje całki (np. Lebesgue’a), ale nie będziemy o nich mówić. W przypadku, gdy funkcję da się scałkować według dwu definicji, całka liczona według obydwu będzie taka sama.
Przykładem funkcji, dla której nie istnieje całka oznaczona w sensie Riemanna jest znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta (np. na przedziale [0, 1]).
Całka oznaczona Riemanna - uwagi
Wadą definicji Riemanna jest to, że dla wielu funkcji potrzebnych zwłaszcza w fizyce, całka Riemanna nie jest dobrze zdefiniowana oraz ma pewne teoretycznie niewygodne własności (np. paskudne zachowania przy przechodzeniu do granicy). Na szczęście dla wszystkich funkcji ciągłych (i wielu innych) nie jest to
problemem. W zasadzie w zagadnieniach ekonomicznych (czyli nas interesujących) całka Riemanna jest zawsze wystarczająca.
Wady te w różnym stopniu usuwają inne, bardziej skomplikowane, definicje całki (np. Lebesgue’a), ale nie będziemy o nich mówić. W przypadku, gdy funkcję da się scałkować według dwu definicji, całka liczona według obydwu będzie taka sama.
Przykładem funkcji, dla której nie istnieje całka oznaczona w sensie Riemanna jest znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta (np. na przedziale [0, 1]).
Całka oznaczona Riemanna - istnienie
O istnieniu całki oznaczonej
Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą w przedziale [a, b]. Wtedy
Rb
a f (x )dx istnieje.
Całka oznaczona i pole pod wykresem
Całka oznaczona i pole pod wykresem
Pole pomiędzy wykresem funkcji f (x ) a osią OX i prostymi x = a i x = b, z zachowaniem znaków (tj. część pola poniżej osi liczy się ze znakiem minus) jest równeRabf (x )dx .
W tym przypadku (rysunek z Wikipedii)Rabf (x )dx = pole niebieskiego obszaru − pole żółtego obszaru.
Całka oznaczona i pole pod wykresem
Całka oznaczona i pole pod wykresem
Pole pomiędzy wykresem funkcji f (x ) a osią OX i prostymi x = a i x = b, z zachowaniem znaków (tj. część pola poniżej osi liczy się ze znakiem minus) jest równeRabf (x )dx .
W tym przypadku (rysunek z Wikipedii)Rabf (x )dx = pole niebieskiego obszaru − pole żółtego obszaru.
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć R0πcos xdx
Jak widać (i jak wiemy dzięki wzorom redukcyjnym) pole „niebieskie” i pole „żółte” są dokładnie równe, zatem po dodaniu tych pól z odwrotnymi znakami otrzymujemy natychmiastR0πcos xdx = 0
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć R0πcos xdx
Jak widać (i jak wiemy dzięki wzorom redukcyjnym) pole „niebieskie” i pole „żółte” są dokładnie równe, zatem po dodaniu tych pól z odwrotnymi znakami otrzymujemy natychmiastR0πcos xdx = 0
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć R0πcos xdx
Jak widać (i jak wiemy dzięki wzorom redukcyjnym) pole „niebieskie”
i pole „żółte” są dokładnie równe, zatem po dodaniu tych pól z odwrotnymi znakami otrzymujemy natychmiastR0πcos xdx = 0
Całka oznaczona i pole
Ostatnie twierdzenie najczęściej stosuje się w rozwiniętej wersji:
Wniosek
Pole pomiędzy wykresem funkcji f (x ) a wykresem funkcji g (x ) i prostymi x = a i x = b, z zachowaniem znaków (tj. część pola
poniżej wykresu g (x ), a powyżej f (x ) liczy się ze znakiem minus) jest równeRabf (x ) − g (x )dx .
Całka oznaczona i pole
Ostatnie twierdzenie najczęściej stosuje się w rozwiniętej wersji:
Wniosek
Pole pomiędzy wykresem funkcji f (x ) a wykresem funkcji g (x ) i prostymi x = a i x = b, z zachowaniem znaków (tj. część pola
poniżej wykresu g (x ), a powyżej f (x ) liczy się ze znakiem minus) jest równeRabf (x ) − g (x )dx .
Całka oznaczona i pole - powrót do zastosowań
Jak widać, na przykładzie z początku tego wykładu, można obliczyć R(Q∗) (czyli pole pod wykresem P na lewo od Q∗ i na prawo od 0) jakoR0Q∗P(q)dq, a nadwyżkę konsumenta (pole jasnoczerwone) jako:
Z Q∗ 0
P(q) − p∗dq.
Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego
Obliczanie całki poprzez obliczanie pola jest zupełnie bez sensu (bo zazwyczaj właśnie pola danej figury potrzebujemy). Jednak da się (zazwyczaj) całki oznaczone obliczyć prościej, za pomocą tzw.
zasadniczego twierdzenia rachunku całkowego, wyznaczając najpierw całkę nieoznaczoną funkcji podcałkowej, a następnie podstawiając tzw. granice całkowania do wyniku.
Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego
Jeżeli f jest ciągła w przedziale [a, b] i F jest jej funkcją pierwotną to
Rb
a f (x )dx = F (b) − F (a).
Co prawda f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych (postaci F + C , C ∈ R), ale jakąkolwiek wybierzemy, przy odejmowaniu F (b) − F (a) stała C się zredukuje, więc wybór funkcji pierwotnej nie ma znaczenia.
Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego
Obliczanie całki poprzez obliczanie pola jest zupełnie bez sensu (bo zazwyczaj właśnie pola danej figury potrzebujemy). Jednak da się (zazwyczaj) całki oznaczone obliczyć prościej, za pomocą tzw.
zasadniczego twierdzenia rachunku całkowego, wyznaczając najpierw całkę nieoznaczoną funkcji podcałkowej, a następnie podstawiając tzw. granice całkowania do wyniku.
Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego
Jeżeli f jest ciągła w przedziale [a, b] i F jest jej funkcją pierwotną to
Rb
a f (x )dx = F (b) − F (a).
Co prawda f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych (postaci F + C , C ∈ R), ale jakąkolwiek wybierzemy, przy odejmowaniu F (b) − F (a) stała C się zredukuje, więc wybór funkcji pierwotnej nie ma znaczenia.
Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego
Obliczanie całki poprzez obliczanie pola jest zupełnie bez sensu (bo zazwyczaj właśnie pola danej figury potrzebujemy). Jednak da się (zazwyczaj) całki oznaczone obliczyć prościej, za pomocą tzw.
zasadniczego twierdzenia rachunku całkowego, wyznaczając najpierw całkę nieoznaczoną funkcji podcałkowej, a następnie podstawiając tzw. granice całkowania do wyniku.
Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego
Jeżeli f jest ciągła w przedziale [a, b] i F jest jej funkcją pierwotną to
Rb
a f (x )dx = F (b) − F (a).
Co prawda f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych (postaci F + C , C ∈ R), ale jakąkolwiek wybierzemy, przy odejmowaniu F (b) − F (a) stała C się zredukuje, więc wybór funkcji pierwotnej nie ma znaczenia.
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2.
W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔ x2− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący.
Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔ x2− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔
x2− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔ x2− x = 0 ⇔
x (x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔ x2− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania.
Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”?
Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2
lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12)
- zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2.
Teraz możemy wykonać rysunek...
...i obliczyć pole:
P =
Z 1 0
x − x2dx .
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Teraz możemy wykonać rysunek...
...i obliczyć pole:
P =
Z 1 0
x − x2dx .
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Teraz możemy wykonać rysunek...
...i obliczyć pole:
P =
Z 1 0
x − x2dx .
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2.
Jako, że
Z
x − x2dx = x2 2 − x3
3 + C , to
P =
Z 1 0
x − x2dx =hx2 2 −x3
3
ix =1 x =0 = 1
2 − 1 3− (0
2− 0 3) = 1
6, gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Jako, że
Z
x − x2dx = x2 2 − x3
3 + C ,
to
P =
Z 1 0
x − x2dx =hx2 2 −x3
3
ix =1 x =0 = 1
2 − 1 3− (0
2− 0 3) = 1
6, gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Jako, że
Z
x − x2dx = x2 2 − x3
3 + C , to
P =
Z 1 0
x − x2dx =hx2 2 −x3
3
ix =1 x =0
= 1 2 − 1
3− (0 2− 0
3) = 1 6, gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Jako, że
Z
x − x2dx = x2 2 − x3
3 + C , to
P =
Z 1 0
x − x2dx =hx2 2 −x3
3
ix =1 x =0 = 1
2 −1 3 − (0
2− 0 3) =
1 6, gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Jako, że
Z
x − x2dx = x2 2 − x3
3 + C , to
P =
Z 1 0
x − x2dx =hx2 2 −x3
3
ix =1 x =0 = 1
2 −1 3 − (0
2− 0 3) = 1
6, gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.
Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych
Drobne twierdzenia o całkach oznaczonych
Jeśli f jest funkcją nieparzystą, to R−aa f (x )dx = 0 dla dowolnego a > 0.
Jeśli f jest funkcją parzystą, to R−aa f (x )dx = 2R0af (x )dx dla dowolnego a > 0.
Jeśli f (x ) 0 w przedziale [a, b] toRabf (x )dx 0.
Przykłady:
Z 5
−5x3 dx =
Z 2
−2sin x dx = 0,
Z 3
−3
cos x dx = 2
Z 3 0
cos x dx .
Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych
Drobne twierdzenia o całkach oznaczonych
Jeśli f jest funkcją nieparzystą, to R−aa f (x )dx = 0 dla dowolnego a > 0.
Jeśli f jest funkcją parzystą, to R−aa f (x )dx = 2R0af (x )dx dla dowolnego a > 0.
Jeśli f (x ) 0 w przedziale [a, b] toRabf (x )dx 0.
Przykłady:
Z 5
−5x3 dx =
Z 2
−2sin x dx = 0,
Z 3
−3
cos x dx = 2
Z 3 0
cos x dx .
Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych
Drobne twierdzenia o całkach oznaczonych
Jeśli f jest funkcją nieparzystą, to R−aa f (x )dx = 0 dla dowolnego a > 0.
Jeśli f jest funkcją parzystą, to R−aa f (x )dx = 2R0af (x )dx dla dowolnego a > 0.
Jeśli f (x ) 0 w przedziale [a, b] toRabf (x )dx 0.
Przykłady:
Z 5
−5x3 dx =
Z 2
−2sin x dx = 0,
Z 3
−3
cos x dx = 2
Z 3 0
cos x dx .
Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych
Twierdzenie o podziale przedziału
Jeśli f jest ciągła w (a, b) i a < c < b to
Rb
a f (x )dx =Racf (x )dx +Rcbf (x )dx .
Twierdzenie to jest bardzo użyteczne, gdy potrzebujemy obliczyć pole figury ograniczonej wykresami więcej niż dwu funkcji. Wtedy, po prostu dzielimy to pole tak, by na każda jego część była ograniczona przez dwie funkcje, a następnie obliczamy pola znaną metodą i sumujemy wyniki.
Kilka twierdzeń o całkach oznaczonych
Twierdzenie o podziale przedziału
Jeśli f jest ciągła w (a, b) i a < c < b to
Rb
a f (x )dx =Racf (x )dx +Rcbf (x )dx .
Twierdzenie to jest bardzo użyteczne, gdy potrzebujemy obliczyć pole figury ograniczonej wykresami więcej niż dwu funkcji. Wtedy, po prostu dzielimy to pole tak, by na każda jego część była ograniczona przez dwie funkcje, a następnie obliczamy pola znaną metodą i sumujemy wyniki.
Obliczanie pola - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x.
Jak zwykle, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
√x = 3
4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1
x ⇔ x = 1,3
4x − 1 = 1
x ⇔ x = 2. Zatem [1, 2] i [2, 4] będą przedziałami całkowania.
Obliczanie pola - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Jak zwykle, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają.
W tym wypadku:
√x = 3
4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1
x ⇔ x = 1,3
4x − 1 = 1
x ⇔ x = 2. Zatem [1, 2] i [2, 4] będą przedziałami całkowania.
Obliczanie pola - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Jak zwykle, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
√x = 3
4x − 1 ⇔ x = 4,
√x = 1
x ⇔ x = 1,3
4x − 1 = 1
x ⇔ x = 2. Zatem [1, 2] i [2, 4] będą przedziałami całkowania.
Obliczanie pola - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Jak zwykle, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
√x = 3
4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1
x ⇔
x = 1,3
4x − 1 = 1
x ⇔ x = 2. Zatem [1, 2] i [2, 4] będą przedziałami całkowania.
Obliczanie pola - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Jak zwykle, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
√x = 3
4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1
x ⇔ x = 1,
3
4x − 1 = 1
x ⇔ x = 2. Zatem [1, 2] i [2, 4] będą przedziałami całkowania.
Obliczanie pola - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Jak zwykle, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
√x = 3
4x − 1 ⇔ x = 4,√ x = 1
x ⇔ x = 1,3
4x − 1 = 1
x ⇔ x = 2.
Zatem [1, 2] i [2, 4] będą przedziałami całkowania.
Obliczanie pola - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x.
Łatwo sprawdzić, że w przedziale (1, 2) zachodzi √
x > 1x > 34x − 1, zaś w przedziale (2, 4) mamy √
x > 34x − 1 > 1x. Możemy teraz sporządzić rysunek:
Obliczanie pola - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Łatwo sprawdzić, że w przedziale (1, 2) zachodzi √
x > 1x > 34x − 1, zaś w przedziale (2, 4) mamy √
x > 34x − 1 > 1x.
Możemy teraz sporządzić rysunek:
Obliczanie pola - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Łatwo sprawdzić, że w przedziale (1, 2) zachodzi √
x > 1x > 34x − 1, zaś w przedziale (2, 4) mamy √
x > 34x − 1 > 1x. Możemy teraz sporządzić rysunek:
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x.
Pole na poprzednim rysunku było ograniczone więcej niż dwiema funkcjami, ale możemy podzielić je na dwie części i spokojnie obliczyć pole każdej z osobna.
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Pole na poprzednim rysunku było ograniczone więcej niż dwiema funkcjami, ale możemy podzielić je na dwie części i spokojnie obliczyć pole każdej z osobna.
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Pole na poprzednim rysunku było ograniczone więcej niż dwiema funkcjami, ale możemy podzielić je na dwie części i spokojnie obliczyć pole każdej z osobna.
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x.
Figury zielona i niebieska są ograniczone dwiema funkcjami, więc, jak poprzednio, możemy liczyć
P =
Z 2 1
√x − 1 xdx +
Z 4 2
√x − (3
4x − 1)dx .
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Jako, że
Z √
x dx = 2
3x32 + C ,
Z 3
4x − 1dx = 3
8x2− x + C ,
Z 1
xdx = ln x + C
to
P =
Z 2 1
√x − 1 xdx +
Z 4 2
√x − (3
4x − 1)dx =
=h2
3x32 − ln xix =2
x =1+h2
3x32 −3
8x2+ xix =4
x =2,
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład 2
Przykład
Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y =√
x , y = 34x − 1 oraz y = 1x. Jako, że
Z √
x dx = 2
3x32 + C ,
Z 3
4x − 1dx = 3
8x2− x + C ,
Z 1
xdx = ln x + C to
P =
Z 2 1
√x − 1 xdx +
Z 4 2
√x − (3
4x − 1)dx =
=h2
3x32 − ln xix =2
x =1+h2
3x32 −3
8x2+ xix =4
x =2,