Zadania powtórzeniowe do pierwszego kolokwium z podstaw logiki
Zadanie 1. Sprawdzi´c, czy poni·zsze zdanie jest prawem rachunku zda´n a) ( p^ q) ) (p ^ q)
b) (p _ (q ^ r)) , ((p _ q) ^ r)
Zadanie 2. Wiadomo, ·ze zdanie (p ^ q) =) (r _ s) jest fa÷szywe. Znale´z´c warto´s´c logiczn ¾a zdania (p _ q _ r) ^ s.
Zadanie 3. Znale´z´c zbiór A (B \ C) oraz (A [ B) 4 C je´sli a) A = f1; 3; 5g, B = f4; 5; 6g oraz C = f2; 4; 6; 8g
b) A = h1; 3i, B = (2; 5) oraz C = (3; 1)
Zadanie 4. Wyznaczy´c zbiór A je´sli prawdziwa jest równo´s´c:
a) fa; b; cg A = fc; dg b) (1; 5) A = (3; 6)
Zadanie 5. a) Poda´c przyk÷ad niepustych zbiorów A; B; C dla których zachodzi równo´s´c A \ (B [ C) = (A \ B) [ C.
b) Poda´c przyk÷ad niepustych zbiorów A; B; C dla których nie zachodzi równo´s´c A \ (B [ C) = (A \ B) [ C.
c) Jakie musz ¾a by´c zawierania mi ¾edzy zbiorami A; B i C aby równo´s´c A \ (B [ C) = (A \ B) [ C zachodzi÷a?
Zadanie 6. Rozwa·zmy zbiory A [ B, B [ A, A n B, A B oraz A n (A \ B).
a) Które z rozwa·zanych zbiorów s ¾a równe (zawsze, niezale·znie od postaci zbiorów A i B? Wypisa´c wszystkie pary
b) Mi ¾edzy którymi parami zbiorów zachodzi inkluzja, ale niekoniecznie równo´s´c?
Wypisa´c wszystkie pary.
Zadanie 7. Rozstrzygn ¾a´c, czy poni·zsze równo´sci s ¾a prawami rachunku zbiorów:
a) (A n B) n B = A n B b) (A n B) [ C = A n (B [ C)
Zadanie 8. Rozwa·zmy funkcj ¾e zdaniow ¾a ' o zakresie R okre´slon ¾a wzorem x2 9 < 0.
a) Wyznaczy´c warto´s´c logiczn ¾a zdania '(5).
b) Wyznaczy´c warto´s´c logiczn ¾a zdania 9x
2R'(x). Uzasadni´c odpowied´z.
c) Wyznaczy´c wykres funkcji ' (x).
Zadanie 9. Rozwa·zmy funkcj ¾e zdaniow ¾a dwóch zmiennych ' o zakresie R Rokre´slon ¾a wzorem x + y > 2.
a) Wyznaczy´c warto´s´c logiczn ¾a zdania '(5; 1).
b) Wyznaczy´c wykres funkcji ' (x; y).
c) Wyznaczy´c warto´s´c logiczn ¾a zdania 9
x2R 8
y2R'(x; y). Uzasadni´c odpowied´z.
Zadanie 10. Rozwa·zmy funkcj ¾e zdaniow ¾a dwóch zmiennych ' (o zakresie X Y ). Wstawi´c znaki (), =), (= tak, aby otrzyma´c zdania prawdziwe zawsze (niezale·znie od postaci funkcji zdaniowej '). Symboli =), (= u·zy´c w przypadku, kiedy równowa·zno´s´c nie musi zachodzi´c.
a) 9x
2X y9
2Y'(x; y) x9
2X y8
2Y'(x; y) b) 9x2X 8
y2Y'(x; y) 8
x2X 8
y2Y'(x; y) c) 9x2X 9
y2Y'(x; y) 9
y2X 9
x2Y'(x; y)
1
Odpowiedzi
Zad 1)Nale·zy wype÷ni´c tabelk¾e i poda´c odpowied´z a) jest prawem, b) nie jest prawem.
Zad 2) Z za÷o·zenia wynika, ·ze w(p) = w(q) = 1 oraz w(r) = w(s) = 0, wi ¾ec w((p _ q _ r) ^ s) = 0.
Zad 3)a) A (B \ C) = f(1; 4) ; (1; 6) ; (3; 4) ; (3; 6) ; (5; 4) ; (5; 6)g, (A [ B)4 C = f1; 2; 3; 5; 8g.
b) (nale·zy narysowa´c w uk÷adzie wspó÷rz ¾ednych lub zapisa´c formalnie jako zbiór odpowiednich par) h1; 3i (3; 5), (A [ B) 4 C = h1; 3i [ h5; 1).
Zad 4)a) fa; b; dg, b) (1; 3i [ h5; 6).
Zad 5)Przyk÷adowe odpowiedzi: a) A = f1; 2; 3g, B = f2; 3g, C = f3g b) A = f1; 2; 3g, B = f2; 3g, C = f7g c) B [ C A.
Zad 6) a) A [ B = B [ A, A n B = A n (A \ B), b) A n B A [ B, A n B B [ A, A B A n B itd.
Zad 7) a) jest prawem (nale·zy udowodni´c, korzystaj ¾ac ze znanych praw lub przy pomocy tabelki,
b) nie jest prawem, nale·zy podac kontrprzyk÷ad (np. A = B = f1g, C = f2g).
Zad 8) a) 25 9 < 0 fa÷sz, b) 1, np.dla x = 1, c) ( 3; 3).
Zad 9) a) 5 + 1 > 2 prawda, c) 0 - dla dowolnego x istnieje y = 1 x takie ze x + y = 1 < 2.·
Zad 10) a) (=, b) (=, c) ().
2
