Całka oznaczona (c.d.)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17

Kolokwium nr 4: wtorek 28.03.2017, godz. 12:15-13:00, materiał zad. 1–200.

Kolokwium nr 5: wtorek 4.04.2017, godz. 12:15-13:00, materiał zad. 1–227.

Całka oznaczona (c.d.)

Zadania do omówienia na ćwiczeniach w środy 22,29.03.2017 (grupy 2–4).

Nie wszystkie zadania będą szczegółowo rozwiązane.

Należy umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej problemów.

Obliczyć całki oznaczone:

168.

e³

Z

1

dx x ·√

1 + lnx 169.

Z2

1

dx

x + x³ 170.

Z2

0

√ dx

x + 1 +^q(x + 1)³ 171.

3

Z

0

sgn(x³− x) dx 172.

1

Z

0

x · e^−xdx 173.

π/2

Z

0

x · cosx dx

174.

π

Z

−π

sinx²⁰¹⁷dx 175.

2

Z

0

arctg[x] dx 176.

2

Z

0

[cosx²] dx 177.

1

Z

0

√1 + x dx

178.

5

Z

0

x²− 5x + 6dx 179.

1

Z

0

e^x

e^x+ e^−x dx 180.

2

Z

1

x · log₂x dx

181.

√

Z7

0

x³

√3

1 + x² dx 182.

Z6π

0

|sinx| dx 183.

π/2

Z

0

cosx · sin¹¹x dx

184.

ln5

Z

0

e^x·√ e^x− 1

e^x+ 3 dx 185.

Zπ

−π

x²⁰¹⁷· cosx dx 186.

Z2π

0

(x − π)²⁰¹⁷· cosx dx Obliczyć granice

187. lim

n→∞

1

2n+ 1

2n + 1+ 1

2n + 2+ 1

2n + 3+ ... + 1 3n 188. lim

n→∞

1²⁰+ 2²⁰+ 3²⁰+ ... + n²⁰ n²¹

189. lim

n→∞

1

n²+ 1

(n + 1)²+ 1

(n + 2)²+ 1

(n + 3)²+ ... + 1 (2n)²

!

· n 190. lim

n→∞

√ 1 n√

2n+ 1

√n√

2n + 1+ 1

√n√

2n + 2+ 1

√n√

2n + 3+ ... + 1

√n√ 3n 191. lim

n→∞

√

4n +√

4n + 1 +√

4n + 2 + ... +√

5n^· 1 n√

n 192. lim

n→∞

1

√3

n+ 1

√3

n + 1+ 1

√3

n + 2+ ... + 1

√3

8n

!

· 1

√3

n² 193. lim

n→∞

n

n²+ n

n²+ 1+ n

n²+ 4+ n

n²+ 9+ n

n²+ 16+ ... + n n²+ n² 194. lim

n→∞

1

7n²+ 1

7n²+ 1+ 1

7n²+ 2+ 1

7n²+ 3+ ... + 1 8n² 195. lim

n→∞

√1

n+ 1

√n + 3+ 1

√n + 6+ 1

√n + 9+ ... + 1

√7n

! 1

√n

Lista 5 - 7 - Strony 7-8

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17

196. lim

n→∞

n²+ 0

(3n)³ + n²+ 1

(3n + 1)³+ n²+ 2

(3n + 2)³+ n²+ 3

(3n + 3)³+ ... +n²+ n (4n)³ Wskazówka: Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

197. lim

n→∞

4

5n+ 4

5n + 3+ 4

5n + 6+ 4

5n + 9+ ... + 4 26n 198. lim

n→∞

1

7n+ 1

7n + 2+ 1

7n + 4+ 1

7n + 6+ ... + 1 9n 199. lim

n→∞

n

2n²+ n

2(n + 1)²+ n

2(n + 2)²+ n

2(n + 3)²+ ... + n 50n² 200. lim

n→∞

n

2n²+ n

n²+ (n + 1)²+ n

n²+ (n + 2)²+ n

n²+ (n + 3)²+ ... + n 50n²

Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi (określonymi opisem lub rów- naniem):

201. y = x² i y = 2x + 5

202. y = e^x i prostą przechodzącą przez punkty (0,1) i (1,e) 203. y = sinx i y =2x

π 204. y = x⁴ i y = x³

205. y = 1

x i y =5

2− x 206. y = 1

x² , y = 1

x³ i x = 2 Dla danych f (x), a i b obliczyć długość łuku krzywej o równaniu y = f (x), a ¬ x ¬ b

207. x , 1 , 2 208. 2x − 3 , −7 , 12

209. x² , 0 , 1 Wskazówka: Skorzystać z tablic całek.

210. e^x , 1 , 2 211. √

x³ , 6 , 10 212. e^x+ e^−x

2 , 0 , 1 Dla danych f (x), a i b obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej o rów- naniu y = f (x) , a ¬ x ¬ b wokół osi OX

213. x³ , 0 , 5 214. e^−x , 0 , 10

215. √

x , 0 , 4 216. sinx , 0 , π 217. cos7x , 0 , 2π Dla danych f (x), a i b obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX obszaru zdefiniowanego nierównościami 0 ¬ y ¬ f (x) , a ¬ x ¬ b

218. √

x , 0 , 1 219. x , 1 , 5 220. x⁷ , 0 , 10

221. e^x , −3 , 0 222. sinx , 0 , 3π

2 Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OY obszaru ograniczonego krzywymi o podanych równaniach:

223. y = e^x , y = 0, x = 0 i x = 5 224. y = sinx i y = −sinx , 0 ¬ x ¬ π 225. y = 1

x , y = 0 , x = 1 i x = 2 226. y = lnx , y = 0 , x = 1 i x = e 227. y²= 1 − (x − 2)²

Lista 5 - 8 - Strony 7-8