Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
Kolokwium nr 4: czwartek 21.03.2019, godz. 12:15–13:00 (sala HS), materiał zad. 1–132.
Całka oznaczona.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 19.03.2019 (9:15-12:00).
Grupa 1 ma zajęcia w sali HS, grupa 2 ma zajęcia w sali EM, grupa 3 ma zajęcia w sali A.
Udowodnić następujące nierówności:
99. 1 5<
2
Z
1
1
x2+ 1dx <1
2 100. 1
11<
10
Z
9
dx
x + sinx<1
8 101.
2
Z
−1
|x|
1 + x2 dx <3 2
102.
1
Z
0
x ·1 − x99+xdx <1
2 103. 5 <
3
Z
1
xxdx < 31 104.
2
Z
1
dx x <3
4
105. Niech C(a,b) =
b
Z
a
logx2 dx
, gdzie [y] oznacza część całkowitą liczby y. Podać wartości wyrażeń: a) C(80,122) b) C(200,240) c) C(400,440) d) C(800,880) 106. Dla podanej liczby a podać taką liczbę rzeczywistą dodatnią b, aby zachodziła
równość
Zb
a
x dx
x2+ 1=ln5
2 . a) a = 0 b) a = 1 c) a = 2 d) a = 3
Obliczyć całki oznaczone:
107.
−1
Z
−2
1
(11 + 5x)3 dx 108.
2
Z
−13
1
q5
(3 − x)4
dx 109.
1
Z
0
x
(x2+ 1)2 dx 110.
e−1
Z
0
ln(x + 1) dx
111.
π
Z
0
x3· sinx dx 112.
9
Z
4
√x
√x − 1dx 113.
e3
Z
1
dx x ·√
1 + lnx 114.
2
Z
1
dx x + x3
115.
3
Z
0
sgn(x3− x) dx 116.
1
Z
0
x · e−xdx 117.
π/2
Z
0
x · cosx dx 118.
1
Z
0
ex ex+ e−x dx
119.
π
Z
−π
sinx2017dx 120.
Z2
0
arctg[x] dx 121.
Z2
0
[cosx2] dx 122.
Z1
0
√1 + x dx
123.
2
Z
0
√ dx
x + 1 +q(x + 1)3
124.
5
Z
0
x2− 5x + 6dx 125.
2
Z
−2
√
x4− 2x2+ 1 dx
126.
2
Z
1
x · log2x dx 127.
√ 7
Z
0
x3
√3
1 + x2dx 128.
6π
Z
0
|sinx| dx 129.
π/2
Z
0
cosx · sin11x dx
130.
ln5
Z
0
ex·√ ex− 1
ex+ 3 dx 131.
Z25
1
√ dx x +√
x + 24 132.
Zπ
−π
x2017· cosx dx
Lista 4 - 6 - Strony 6-7
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 19.03.2019 (8:15-9:00 sala HS).
Udowodnić następujące nierówności:
810.
π/2
Z
0
sinx
x dx < 2 811. 2√
2 <
Z4
2
x1/xdx 812.
1/2
Z
1/4
x2xdx <1 8
813. 19 3 <
3
Z
2
xxdx <65
4 . Wsk. Oszacować xx przez xa.
814. Przedstawić na rysunku następujące wzory zachodzące dla funkcji ciągłej f na przedziale [a,b]:
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
inf
x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]
f (x) (A)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
sup
x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]
f (x) (B)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n−1
X
k=0
f a + kb − a n
!
(C)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
f a + kb − a n
!
(D)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
n−1
X
k=1
f a +
k −1 2
b − a n
!
(E)
Zb
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
f (a) + f (b)
2 +
n−1
X
k=1
f a + kb − a n
!!
(F ) W miarę możliwości zrobić taki rysunek, aby było widać, czy wyrazy ciągu sum Rie- manna są większe/mniejsze od całki w przypadku ogólnym lub w przypadku funkcji rosnącej/malejącej, wypukłej/wklęsłej.
815. Rozstrzygnąć, czy wartość całki oznaczonej
3
Z
1
log2(5x+ 3) dx jest mniejsza czy większa od 10.
816. Obliczyć wartość całki oznaczonej
1
Z
0
dx
q3√
x + 1 −q3√ x − 1
.
Lista 4 - 7 - Strony 6-7