• Nie Znaleziono Wyników

Całka oznaczona.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Całka oznaczona."

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Kolokwium nr 4: czwartek 21.03.2019, godz. 12:15–13:00 (sala HS), materiał zad. 1–132.

Całka oznaczona.

Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 19.03.2019 (9:15-12:00).

Grupa 1 ma zajęcia w sali HS, grupa 2 ma zajęcia w sali EM, grupa 3 ma zajęcia w sali A.

Udowodnić następujące nierówności:

99. 1 5<

2

Z

1

1

x2+ 1dx <1

2 100. 1

11<

10

Z

9

dx

x + sinx<1

8 101.

2

Z

−1

|x|

1 + x2 dx <3 2

102.

1

Z

0

x ·1 − x99+xdx <1

2 103. 5 <

3

Z

1

xxdx < 31 104.

2

Z

1

dx x <3

4

105. Niech C(a,b) =

b

Z

a

logx2 dx

, gdzie [y] oznacza część całkowitą liczby y. Podać wartości wyrażeń: a) C(80,122) b) C(200,240) c) C(400,440) d) C(800,880) 106. Dla podanej liczby a podać taką liczbę rzeczywistą dodatnią b, aby zachodziła

równość

Zb

a

x dx

x2+ 1=ln5

2 . a) a = 0 b) a = 1 c) a = 2 d) a = 3

Obliczyć całki oznaczone:

107.

−1

Z

−2

1

(11 + 5x)3 dx 108.

2

Z

−13

1

q5

(3 − x)4

dx 109.

1

Z

0

x

(x2+ 1)2 dx 110.

e−1

Z

0

ln(x + 1) dx

111.

π

Z

0

x3· sinx dx 112.

9

Z

4

√x

√x − 1dx 113.

e3

Z

1

dx x ·√

1 + lnx 114.

2

Z

1

dx x + x3

115.

3

Z

0

sgn(x3− x) dx 116.

1

Z

0

x · e−xdx 117.

π/2

Z

0

x · cosx dx 118.

1

Z

0

ex ex+ e−x dx

119.

π

Z

−π

sinx2017dx 120.

Z2

0

arctg[x] dx 121.

Z2

0

[cosx2] dx 122.

Z1

0

√1 + x dx

123.

2

Z

0

dx

x + 1 +q(x + 1)3

124.

5

Z

0

x2− 5x + 6 dx 125.

2

Z

−2

x4− 2x2+ 1 dx

126.

2

Z

1

x · log2x dx 127.

7

Z

0

x3

3

1 + x2dx 128.

Z

0

|sinx| dx 129.

π/2

Z

0

cosx · sin11x dx

130.

ln5

Z

0

ex·√ ex− 1

ex+ 3 dx 131.

Z25

1

dx x +√

x + 24 132.

Zπ

−π

x2017· cosx dx

Lista 4 - 6 - Strony 6-7

(2)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 19.03.2019 (8:15-9:00 sala HS).

Udowodnić następujące nierówności:

810.

π/2

Z

0

sinx

x dx < 2 811. 2

2 <

Z4

2

x1/xdx 812.

1/2

Z

1/4

x2xdx <1 8

813. 19 3 <

3

Z

2

xxdx <65

4 . Wsk. Oszacować xx przez xa.

814. Przedstawić na rysunku następujące wzory zachodzące dla funkcji ciągłej f na przedziale [a,b]:

b

Z

a

f (x)dx = lim

n→∞

b − a n

n

X

k=1

inf

x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]

f (x) (A)

b

Z

a

f (x)dx = lim

n→∞

b − a n

n

X

k=1

sup

x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]

f (x) (B)

b

Z

a

f (x)dx = lim

n→∞

b − a n

n−1

X

k=0

f a + kb − a n

!

(C)

b

Z

a

f (x)dx = lim

n→∞

b − a n

n

X

k=1

f a + kb − a n

!

(D)

b

Z

a

f (x)dx = lim

n→∞

n−1

X

k=1

f a +



k −1 2

b − a n

!

(E)

Zb

a

f (x)dx = lim

n→∞

b − a n

f (a) + f (b)

2 +

n−1

X

k=1

f a + kb − a n

!!

(F ) W miarę możliwości zrobić taki rysunek, aby było widać, czy wyrazy ciągu sum Rie- manna są większe/mniejsze od całki w przypadku ogólnym lub w przypadku funkcji rosnącej/malejącej, wypukłej/wklęsłej.

815. Rozstrzygnąć, czy wartość całki oznaczonej

3

Z

1

log2(5x+ 3) dx jest mniejsza czy większa od 10.

816. Obliczyć wartość całki oznaczonej

1

Z

0

dx

q3

x + 1 −q3 x − 1

.

Lista 4 - 7 - Strony 6-7

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wartość całki oznaczonej nie zaleŜy od wyboru funkcji pierwotnej... Mówimy teŜ, Ŝe całka niewłaściwa

Załózmy, ˙ze funkcja f jest ci ˛ agła na przedziale [a, b].. dla funkcji przedziałami ci

W statystyce przydają się bardzo całki oznaczone, których granice całkowania wypadają w końcach przedziałów określoności funkcji podcałkowej.. Jak wkrótce

Pasem przestrzennym o szerokości d nazywamy obszar przestrzeni zawarty po- między dwiema płaszczyznami równoległymi odległymi o d, wraz z tymi płaszczyznami.. Czy sferę można

Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi (określonymi opisem lub rów-

Należy umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej problemów.. Udowodnić

[r]

Z figury, którą chcemy zmierzyć (w sensie Eudoksosa), wyjmujemy jej część, której miarę znamy (najczęściej wielokąt, wielościan), przy czym musi być ona większa od