2a. Przeciętna stopa zwrotu

2a. Przeciętna stopa zwrotu

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Matematyka finansowa

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 1 / 13

1 Motywacje i definicja

2 Wyprowadzenie wzoru

Motywacja

Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat.

W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. Jak to jednak zrobić, gdy ta stopa się zmienia? Z pomocą nam przyjdzie tzw. przeciętna procentowa stopa zwrotu.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

Motywacja

Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat.

W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji.

Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. Jak to jednak zrobić, gdy ta stopa się zmienia? Z pomocą nam przyjdzie tzw. przeciętna procentowa stopa zwrotu.

Motywacja

Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat.

W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie.

Jak to jednak zrobić, gdy ta stopa się zmienia? Z pomocą nam przyjdzie tzw. przeciętna procentowa stopa zwrotu.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

Motywacja

Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat.

W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. Jak to jednak zrobić, gdy ta stopa się zmienia?

Z pomocą nam przyjdzie tzw. przeciętna procentowa stopa zwrotu.

Motywacja

Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat.

W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. Jak to jednak zrobić, gdy ta stopa się zmienia? Z pomocą nam przyjdzie tzw. przeciętna procentowa stopa zwrotu.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

Definicja

Przeciętna procentowa stopa zwrotu

Przeciętną (średnią) procentową stopą zwrotu w zadanym okresie (np. roczną) dla danej lokaty w czasie t nazywa się stopę r_prz o zadanym okresie, przy której kapitał początkowy generuje w czasie t z kapitalizacją zgodną odsetki o takiej samej wartości, jakie

wygenerowała dana lokata.

Jak widać z definicji, jeśli chcemy porównać pod względem opłacalności lokatę o zmiennej stopie procentowej z inwestycją o znanej stopie zwrotu, wystarczy dla lokaty obliczyć przeciętną stopę zwrotu o okresie takim, jak stopa zwrotu inwestycji.

Definicja

Przeciętna procentowa stopa zwrotu

Przeciętną (średnią) procentową stopą zwrotu w zadanym okresie (np. roczną) dla danej lokaty w czasie t nazywa się stopę r_prz o zadanym okresie, przy której kapitał początkowy generuje w czasie t z kapitalizacją zgodną odsetki o takiej samej wartości, jakie

wygenerowała dana lokata.

Jak widać z definicji, jeśli chcemy porównać pod względem opłacalności lokatę o zmiennej stopie procentowej z inwestycją o znanej stopie zwrotu, wystarczy dla lokaty obliczyć przeciętną stopę zwrotu o okresie takim, jak stopa zwrotu inwestycji.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 4 / 13

Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna

Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych.

By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć:

K2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132.

Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach:

K₂ = 100(1, 15)² = 132, 25.

Tak więc widać, że wyniki nawet w tak prostej sytuacji nie są sobie równe.

Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna

Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć:

K2 =

100(1, 1)(1, 2) = 132.

Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach:

K₂ = 100(1, 15)² = 132, 25.

Tak więc widać, że wyniki nawet w tak prostej sytuacji nie są sobie równe.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna

Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć:

K2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132.

Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach:

K₂ = 100(1, 15)² = 132, 25.

Tak więc widać, że wyniki nawet w tak prostej sytuacji nie są sobie równe.

Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna

Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć:

K2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132.

Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach:

K₂ =

100(1, 15)² = 132, 25.

Tak więc widać, że wyniki nawet w tak prostej sytuacji nie są sobie równe.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna

Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć:

K2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132.

Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach:

K₂ = 100(1, 15)² = 132, 25.

Tak więc widać, że wyniki nawet w tak prostej sytuacji nie są sobie równe.

Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna

Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć:

K2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132.

Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach:

K₂ = 100(1, 15)² = 132, 25.

Tak więc widać, że wyniki nawet w tak prostej sytuacji nie są sobie równe.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

Przeciętna i całkowita stopa zwrotu

Przeciętna i całkowita stopa zwrotu

Jeśli całkowita stopa zwrotu z danej inwestycji trwającej N okresów kapitalizacji wyniosła R (okres tej stopy=N OK), to przeciętna stopa zwrotu z tej inwestycji przypadająca na jeden okres kapitalizacji (OK ) wynosi:

rprz = √^N

1 + R − 1.

Oczywiście OS_rprz = _N¹OS_R = OK .

Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład

Przykład

W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przeciętna stopa zwrotu w tym okresie?

Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = ^3000−1000₁₀₀₀ = 2.

Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r_prz = ¹⁰√

3 − 1 = 11, 61%, a kwartalna r_prz = √⁴⁰

3 − 1 = 2, 78%.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład

Przykład

W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przeciętna stopa zwrotu w tym okresie?

Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R =

3000−1000 1000 = 2.

Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r_prz = ¹⁰√

3 − 1 = 11, 61%, a kwartalna r_prz = √⁴⁰

3 − 1 = 2, 78%.

Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład

Przykład

W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przeciętna stopa zwrotu w tym okresie?

Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = ^3000−1000₁₀₀₀ = 2.

Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r_prz =

10√

3 − 1 = 11, 61%, a kwartalna r_prz = √⁴⁰

3 − 1 = 2, 78%.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład

Przykład

W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przeciętna stopa zwrotu w tym okresie?

Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = ^3000−1000₁₀₀₀ = 2.

Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r_prz = ¹⁰√

3 − 1 = 11, 61%, a kwartalna r_prz =

√40

3 − 1 = 2, 78%.

Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład

Przykład

W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przeciętna stopa zwrotu w tym okresie?

Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = ^3000−1000₁₀₀₀ = 2.

Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r_prz = ¹⁰√

3 − 1 = 11, 61%, a kwartalna r_prz = √⁴⁰

3 − 1 = 2, 78%.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

Wstęp do głównego wzoru

Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu.

Na tej lokacie najpierw stopa r₁ obowiązywała przez n₁ okresów bazowych, stopa r₂ obowiązywała przez n₂ okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r_p obowiązywała przez n_p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu. Lokata trwała przez N = Σ^p_{i =1}n_i okresów bazowych i miała całkowitą stopę zwrotu R (OS_R = N okresów bazowych). Wtedy:

1 + R = (1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ²· . . . · (1 + r_p)^np.

Stąd i z poprzedniego wzoru wynika główny wzór tego podrozdziału:

Wstęp do głównego wzoru

Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. Na tej lokacie najpierw stopa r₁ obowiązywała przez n₁ okresów bazowych, stopa r₂ obowiązywała przez n₂ okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r_p obowiązywała przez n_p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu.

Lokata trwała przez N = Σ^p_{i =1}n_i okresów bazowych i miała całkowitą stopę zwrotu R (OS_R = N okresów bazowych). Wtedy:

1 + R = (1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ²· . . . · (1 + r_p)^np.

Stąd i z poprzedniego wzoru wynika główny wzór tego podrozdziału:

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

Wstęp do głównego wzoru

Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. Na tej lokacie najpierw stopa r₁ obowiązywała przez n₁ okresów bazowych, stopa r₂ obowiązywała przez n₂ okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r_p obowiązywała przez n_p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu. Lokata trwała przez N = Σ^p_{i =1}n_i okresów bazowych i miała całkowitą stopę zwrotu R (OS_R = N okresów bazowych). Wtedy:

1 + R = (1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ²· . . . · (1 + r_p)^np.

Stąd i z poprzedniego wzoru wynika główny wzór tego podrozdziału:

Wstęp do głównego wzoru

Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. Na tej lokacie najpierw stopa r₁ obowiązywała przez n₁ okresów bazowych, stopa r₂ obowiązywała przez n₂ okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r_p obowiązywała przez n_p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu. Lokata trwała przez N = Σ^p_{i =1}n_i okresów bazowych i miała całkowitą stopę zwrotu R (OS_R = N okresów bazowych). Wtedy:

1 + R = (1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ²· . . . · (1 + r_p)^np.

Stąd i z poprzedniego wzoru wynika główny wzór tego podrozdziału:

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

Przeciętna stopa zwrotu - główny wzór

Przeciętna stopa zwrotu

Niech n₁, n₂, . . . , n_p - będą liczbą okresów bazowych w których obowiązywały efektywne stopy zgodne z tymi okresami r1, r2, . . . , rp. Niech N = Σ^p_{i =1}n_i. Wtedy:

r_prz = ^qN(1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ²· . . . · (1 + r_p)^np − 1 i okres stopy przeciętnej jest równy okresom stóp r1, r2, . . . , rp.

Zauważmy, że ten wzór możemy zastosować tylko gdy okresy kapitalizacji i okresy stóp dla wszystkich stóp we wzorze są równe. Jeśli okresy te nie są równe - trzeba odpowiadające im stopy przeliczyć wzorami na stopy względne i efektywne.

Przeciętna stopa zwrotu - główny wzór

Przeciętna stopa zwrotu

Niech n₁, n₂, . . . , n_p - będą liczbą okresów bazowych w których obowiązywały efektywne stopy zgodne z tymi okresami r1, r2, . . . , rp. Niech N = Σ^p_{i =1}n_i. Wtedy:

r_prz = ^qN(1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ²· . . . · (1 + r_p)^np − 1 i okres stopy przeciętnej jest równy okresom stóp r1, r2, . . . , rp. Zauważmy, że ten wzór możemy zastosować tylko gdy okresy kapitalizacji i okresy stóp dla wszystkich stóp we wzorze są równe.

Jeśli okresy te nie są równe - trzeba odpowiadające im stopy przeliczyć wzorami na stopy względne i efektywne.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 9 / 13

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty.

Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n₁ = 2, n₂ = 6, n₃ = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r₁ = e^0,22 − 1 = 0, 1052;

r₂ = (1 +^0,12₁₂ )⁶− 1 = 0, 0615; r₃ = (1 + 0, 1)¹² − 1 = 0, 0488.

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty.

Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze.

Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n₁ = 2, n₂ = 6, n₃ = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r₁ = e^0,22 − 1 = 0, 1052;

r₂ = (1 +^0,12₁₂ )⁶− 1 = 0, 0615; r₃ = (1 + 0, 1)¹² − 1 = 0, 0488.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty.

Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n1 =

2, n₂ = 6, n₃ = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r₁ = e^0,22 − 1 = 0, 1052;

r₂ = (1 +^0,12₁₂ )⁶− 1 = 0, 0615; r₃ = (1 + 0, 1)¹² − 1 = 0, 0488.

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty.

Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n1 = 2, n2 =

6, n₃ = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r₁ = e^0,22 − 1 = 0, 1052;

r₂ = (1 +^0,12₁₂ )⁶− 1 = 0, 0615; r₃ = (1 + 0, 1)¹² − 1 = 0, 0488.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty.

Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n1 = 2, n2 = 6, n3 =

4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r₁ = e^0,22 − 1 = 0, 1052;

r₂ = (1 +^0,12₁₂ )⁶− 1 = 0, 0615; r₃ = (1 + 0, 1)¹² − 1 = 0, 0488.

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty.

Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n1 = 2, n2 = 6, n3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r₁ =

e^0,22 − 1 = 0, 1052;

r₂ = (1 +^0,12₁₂ )⁶− 1 = 0, 0615; r₃ = (1 + 0, 1)¹² − 1 = 0, 0488.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty.

Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n1 = 2, n2 = 6, n3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na

0,2

(1 + ^0,12₁₂ )⁶− 1 = 0, 0615; r₃ = (1 + 0, 1)¹² − 1 = 0, 0488.

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty.

Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n1 = 2, n2 = 6, n3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r₁ = e^0,22 − 1 = 0, 1052;

r2 = (1 +^0,12₁₂ )⁶ − 1 = 0, 0615; r3 =

(1 + 0, 1)¹² − 1 = 0, 0488.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty.

Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n1 = 2, n2 = 6, n3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na

0,2

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty?

n₁ = 2, n₂ = 6, n₃ = 4, N = 2 + 6 + 4 = 12. r₁ = 0, 1052;

r₂ = 0, 0615; r₃ = 0, 0488.

Teraz wystarczy podstawić do wzoru: r_prz = ^q121, 1052²· 1, 0615⁶· 1, 0488⁴− 1 = 6, 44%.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 11 / 13

Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2

Przykład

Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej.

Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty?

n₁ = 2, n₂ = 6, n₃ = 4, N = 2 + 6 + 4 = 12. r₁ = 0, 1052;

r₂ = 0, 0615; r₃ = 0, 0488. Teraz wystarczy podstawić do wzoru:

r = ^q121, 1052²· 1, 0615⁶· 1, 0488⁴− 1 = 6, 44%.

Przeciętna stopa zwrotu - uwaga

Warto raz jeszcze podkreślić, że przeciętne procentowe stopy zwrotu są stopami z założoną kapitalizacją zgodną.

Dlatego przeliczając przecietną stopę zwrotu na inny okres czasu używamy wzorów na stopę efektywną, a nie względną. Na przykład, gdybyśmy w

poprzednim zadaniu potrzebowali również przeciętnej rocznej stopy zwrotu możnaby przeliczyć wynik ze stopy półrocznej na roczną używając stopy efektywnej:

rprz,rocz = 1, 0644²− 1 = 13, 29%.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 12 / 13

Przeciętna stopa zwrotu - uwaga

Warto raz jeszcze podkreślić, że przeciętne procentowe stopy zwrotu są stopami z założoną kapitalizacją zgodną. Dlatego przeliczając przecietną stopę zwrotu na inny okres czasu używamy wzorów na stopę efektywną, a nie względną.

Na przykład, gdybyśmy w

poprzednim zadaniu potrzebowali również przeciętnej rocznej stopy zwrotu możnaby przeliczyć wynik ze stopy półrocznej na roczną używając stopy efektywnej:

rprz,rocz = 1, 0644²− 1 = 13, 29%.

Przeciętna stopa zwrotu - uwaga

Warto raz jeszcze podkreślić, że przeciętne procentowe stopy zwrotu są stopami z założoną kapitalizacją zgodną. Dlatego przeliczając przecietną stopę zwrotu na inny okres czasu używamy wzorów na stopę efektywną, a nie względną. Na przykład, gdybyśmy w

poprzednim zadaniu potrzebowali również przeciętnej rocznej stopy zwrotu możnaby przeliczyć wynik ze stopy półrocznej na roczną używając stopy efektywnej:

rprz,rocz = 1, 0644²− 1 = 13, 29%.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 12 / 13

Kapitalizacja prosta lub ciągła

Na koniec uwaga - ciekawostka - nie wymagająca uczenia się na ćwiczenia/egzamin, ale jakby się przydało... Jeśli wiemy, że

kapitalizacja jest prosta, to przeciętna stopa procentowa na lokacie faktycznie będzie średnią arytmetyczną ważoną (okresami

obowiązywania) stóp obowiązujących w trakcie lokaty. Taka sama sytuacja zajdzie dla kapitalizacji ciągłej tj. jeśli zakładamy, że kapitalizacja była cały czas ciągła i chcemy obliczyć nie przeciętną stopę zwrotu, lecz jaką stopą trzeba zastąpić te wszystkie stopy obowiązujące w trakcie lokaty, by przy założeniu, że utrzymujemy kapitalizację ciągłą, otrzymać taki sam efekt.