8. Papiery wartościowe: obligacje

8. Papiery wartościowe: obligacje

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Matematyka finansowa

1 Obligacje: wstęp

2 Obligacje zerokuponowe

3 Obligacje kuponowe

4 Konsole

5 Stopa YTM i IRR

Obligacja - definicja

Obligacja jest to papier wartościowy emitowany w serii, w którym emitent (najczęściej państwo, samorząd lokalny, przedsiębiorstwo lub inna instytucja finansowa) stwierdza, że jest dłużnikiem

obligatariusza (posiadacza obligacji) i zobowiązuje się wobec niego do spełnienia określonego świadczenia. Zazwyczaj te świadczenia to:

wykup obligacji po cenie nominalnej po upływie tzw. okresu zapadalności, a czasem także prawo do otrzymywania okresowych płatności odsetek od tej wartości, czyli tzw. kuponów.

W przeciwieństwie do weksli, są to instrumenty długoterminowe, o czasie wykupu od roku do 15 lat.

Obligacje - podstawy

Obligacje są sprzedawane w seriach (w przeciwieństwie do weksli) i reprezentują prawa majątkowe podzielone na określoną liczbę równych jednostek, co oznacza, iż przyznają identyczne uprawnienia wszystkim ich posiadaczom.

W przeciwieństwie do akcji, obligacje nie dają posiadaczowi żadnych uprawnień względem emitenta typu współwłasność, dywidenda czy też uczestnictwo w walnych zgromadzeniach.

Obligacje są bardzo użytecznym narzędziem: emitentowi dają możliwość zaciągnięcia wysokiej pożyczki na długi okres u wielu wierzycieli, a obligatariuszowi — w miarę bezpiecznej i płynnej do zbycia inwestycji.

Obligacje - podstawy

Obligacje są sprzedawane w seriach (w przeciwieństwie do weksli) i reprezentują prawa majątkowe podzielone na określoną liczbę równych jednostek, co oznacza, iż przyznają identyczne uprawnienia wszystkim ich posiadaczom. W przeciwieństwie do akcji, obligacje nie dają posiadaczowi żadnych uprawnień względem emitenta typu współwłasność, dywidenda czy też uczestnictwo w walnych zgromadzeniach.

Obligacje są bardzo użytecznym narzędziem: emitentowi dają możliwość zaciągnięcia wysokiej pożyczki na długi okres u wielu wierzycieli, a obligatariuszowi — w miarę bezpiecznej i płynnej do zbycia inwestycji.

Obligacje - podstawy

Obligacje są sprzedawane w seriach (w przeciwieństwie do weksli) i reprezentują prawa majątkowe podzielone na określoną liczbę równych jednostek, co oznacza, iż przyznają identyczne uprawnienia wszystkim ich posiadaczom. W przeciwieństwie do akcji, obligacje nie dają posiadaczowi żadnych uprawnień względem emitenta typu współwłasność, dywidenda czy też uczestnictwo w walnych zgromadzeniach.

Obligacje są bardzo użytecznym narzędziem: emitentowi dają możliwość zaciągnięcia wysokiej pożyczki na długi okres u wielu wierzycieli, a obligatariuszowi — w miarę bezpiecznej i płynnej do zbycia inwestycji.

Obligacje - ryzyko

To założenie podkreślam przy okazji każdego omawianego rodzaju inwestycji, ale szczególnie ważne jest w przypadku długoterminowych papierów wartościowych.

W poniższych analizach będziemy pomijać możliwość bankructwa emitenta, która jest istotna dla wyceny w długim horyzoncie czasowym, a doprowadziłaby do braku spłat wartości nominalnej i kuponów od pewnego momentu. W

zastosowaniach praktycznych, trzeba uwzględnić prawdopodobieństwo takiego zdarzenia w znany z innych przedmiotów sposób (wartość oczekiwana itp.). Nie jest to jednak element arytmetyki finansowej.

Obligacje - ryzyko

To założenie podkreślam przy okazji każdego omawianego rodzaju inwestycji, ale szczególnie ważne jest w przypadku długoterminowych papierów wartościowych. W poniższych analizach będziemy pomijać możliwość bankructwa emitenta, która jest istotna dla wyceny w długim horyzoncie czasowym, a doprowadziłaby do braku spłat wartości nominalnej i kuponów od pewnego momentu.

W

zastosowaniach praktycznych, trzeba uwzględnić prawdopodobieństwo takiego zdarzenia w znany z innych przedmiotów sposób (wartość oczekiwana itp.). Nie jest to jednak element arytmetyki finansowej.

Obligacje - ryzyko

To założenie podkreślam przy okazji każdego omawianego rodzaju inwestycji, ale szczególnie ważne jest w przypadku długoterminowych papierów wartościowych. W poniższych analizach będziemy pomijać możliwość bankructwa emitenta, która jest istotna dla wyceny w długim horyzoncie czasowym, a doprowadziłaby do braku spłat wartości nominalnej i kuponów od pewnego momentu. W

zastosowaniach praktycznych, trzeba uwzględnić prawdopodobieństwo takiego zdarzenia w znany z innych przedmiotów sposób (wartość oczekiwana itp.). Nie jest to jednak element arytmetyki finansowej.

Rodzaje obligacji

Z punktu widzenia inwestycji finansowej obligacje można podzielić na trzy typy:

Obligacje zerokuponowe - jedynym zobowiązaniem emitenta jest zapłata wartości nominalnej w terminie zapadalności. Nie są wypłacane kupony.

Obligacje kuponowe - poza jednorazowym wykupem obligacji, emitent zobowiązuje się w regularnych odstępach czasu

wypłacać odsetki, czyli kupony. Ostatni kupon jest wypłacany w momencie zapadalności.

Obligacje wieczyste, czyli konsole - dają uprawnienie do renty wieczystej w postaci kuponów, ale nigdy nie są wykupywane przez emitenta, więc nie mają wartości nominalnej.

Rodzaje obligacji

Z punktu widzenia inwestycji finansowej obligacje można podzielić na trzy typy:

Obligacje zerokuponowe - jedynym zobowiązaniem emitenta jest zapłata wartości nominalnej w terminie zapadalności. Nie są wypłacane kupony.

Obligacje kuponowe - poza jednorazowym wykupem obligacji, emitent zobowiązuje się w regularnych odstępach czasu

wypłacać odsetki, czyli kupony. Ostatni kupon jest wypłacany w momencie zapadalności.

Obligacje wieczyste, czyli konsole - dają uprawnienie do renty wieczystej w postaci kuponów, ale nigdy nie są wykupywane przez emitenta, więc nie mają wartości nominalnej.

Rodzaje obligacji

Z punktu widzenia inwestycji finansowej obligacje można podzielić na trzy typy:

Obligacje zerokuponowe - jedynym zobowiązaniem emitenta jest zapłata wartości nominalnej w terminie zapadalności. Nie są wypłacane kupony.

Obligacje kuponowe - poza jednorazowym wykupem obligacji, emitent zobowiązuje się w regularnych odstępach czasu

wypłacać odsetki, czyli kupony. Ostatni kupon jest wypłacany w momencie zapadalności.

Obligacje wieczyste, czyli konsole - dają uprawnienie do renty wieczystej w postaci kuponów, ale nigdy nie są wykupywane przez emitenta, więc nie mają wartości nominalnej.

Rodzaje obligacji

Z punktu widzenia inwestycji finansowej obligacje można podzielić na trzy typy:

Obligacje zerokuponowe - jedynym zobowiązaniem emitenta jest zapłata wartości nominalnej w terminie zapadalności. Nie są wypłacane kupony.

Obligacje kuponowe - poza jednorazowym wykupem obligacji, emitent zobowiązuje się w regularnych odstępach czasu

wypłacać odsetki, czyli kupony. Ostatni kupon jest wypłacany w momencie zapadalności.

Obligacje wieczyste, czyli konsole - dają uprawnienie do renty wieczystej w postaci kuponów, ale nigdy nie są wykupywane przez emitenta, więc nie mają wartości nominalnej.

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa

We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

W_nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗.

N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalności obligacji.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Te oznaczenia są wystarczające do wyceny obligacji zerokuponowych.

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa

We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

W_nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗.

N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalności obligacji.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Te oznaczenia są wystarczające do wyceny obligacji zerokuponowych.

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa

We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

W_nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗.

N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalności obligacji.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Te oznaczenia są wystarczające do wyceny obligacji zerokuponowych.

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa

We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

W_nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗.

N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalności obligacji.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Te oznaczenia są wystarczające do wyceny obligacji zerokuponowych.

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa

We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

W_nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗.

N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalności obligacji.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Te oznaczenia są wystarczające do wyceny obligacji zerokuponowych.

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa

We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

W_nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗.

N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalności obligacji.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Te oznaczenia są wystarczające do wyceny obligacji zerokuponowych.

Obligacja zerokuponowa - wycena

Inwestycja w obligację zerokuponową jest bardzo prostą inwestycją finansową.

Składa się z jednego nakładu P w chwili 0 i jednego przychodu W_nom w chwili N. Zatem z definicji IRR:

−P + W_nom(1 + r^∗)^−N = 0.

Wycena obligacji zerokuponowych

P = W_nom(1 + r^∗)^−N.

Uwaga - formalnie N w tym wzorze nie musi być liczbą całkowitą.

Obligacja zerokuponowa - wycena

Inwestycja w obligację zerokuponową jest bardzo prostą inwestycją finansową. Składa się z jednego nakładu P w chwili 0 i jednego przychodu W_nom w chwili N.

Zatem z definicji IRR:

−P + W_nom(1 + r^∗)^−N = 0.

Wycena obligacji zerokuponowych

P = W_nom(1 + r^∗)^−N.

Uwaga - formalnie N w tym wzorze nie musi być liczbą całkowitą.

Obligacja zerokuponowa - wycena

Inwestycja w obligację zerokuponową jest bardzo prostą inwestycją finansową. Składa się z jednego nakładu P w chwili 0 i jednego przychodu W_nom w chwili N. Zatem z definicji IRR:

−P + W_nom(1 + r^∗)^−N = 0.

Wycena obligacji zerokuponowych

P = W_nom(1 + r^∗)^−N.

Uwaga - formalnie N w tym wzorze nie musi być liczbą całkowitą.

Obligacja zerokuponowa - wycena

Inwestycja w obligację zerokuponową jest bardzo prostą inwestycją finansową. Składa się z jednego nakładu P w chwili 0 i jednego przychodu W_nom w chwili N. Zatem z definicji IRR:

−P + W_nom(1 + r^∗)^−N = 0.

Wycena obligacji zerokuponowych

P = W_nom(1 + r^∗)^−N.

Uwaga - formalnie N w tym wzorze nie musi być liczbą całkowitą.

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa

W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje:

OP - okres płatności kuponów. Stopę r^∗ zawsze trzeba zmodyfikować tak, by OP = OK^∗

r - tzw. nominalna stopa oprocentowania kuponów. Okres tej stopy to zawsze rok, a jej okres kapitalizacji OK = OP. m - liczba kuponów wypłacanych w ciągu roku.

W_k - wartość nominalna pojedynczego kuponu - może być podana zamiast stopy r .

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa

W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje:

OP - okres płatności kuponów. Stopę r^∗ zawsze trzeba zmodyfikować tak, by OP = OK^∗

r - tzw. nominalna stopa oprocentowania kuponów. Okres tej stopy to zawsze rok, a jej okres kapitalizacji OK = OP. m - liczba kuponów wypłacanych w ciągu roku.

W_k - wartość nominalna pojedynczego kuponu - może być podana zamiast stopy r .

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa

W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje:

OP - okres płatności kuponów. Stopę r^∗ zawsze trzeba zmodyfikować tak, by OP = OK^∗

r - tzw. nominalna stopa oprocentowania kuponów. Okres tej stopy to zawsze rok, a jej okres kapitalizacji OK = OP.

m - liczba kuponów wypłacanych w ciągu roku.

W_k - wartość nominalna pojedynczego kuponu - może być podana zamiast stopy r .

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa

W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje:

OP - okres płatności kuponów. Stopę r^∗ zawsze trzeba zmodyfikować tak, by OP = OK^∗

r - tzw. nominalna stopa oprocentowania kuponów. Okres tej stopy to zawsze rok, a jej okres kapitalizacji OK = OP.

m - liczba kuponów wypłacanych w ciągu roku.

W_k - wartość nominalna pojedynczego kuponu - może być podana zamiast stopy r .

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa

W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje:

OP - okres płatności kuponów. Stopę r^∗ zawsze trzeba zmodyfikować tak, by OP = OK^∗

r - tzw. nominalna stopa oprocentowania kuponów. Okres tej stopy to zawsze rok, a jej okres kapitalizacji OK = OP.

m - liczba kuponów wypłacanych w ciągu roku.

W_k - wartość nominalna pojedynczego kuponu - może być podana zamiast stopy r .

Analiza kuponów

Stopa oprocentowania kuponów nie przekłada się bezpośrednio na stopę zwrotu z obligacji. Mówi tylko, jakie odsetki od pożyczki (którą jest zakup obligacji) emitent musi zapłacić w regularnych odstępach czasowych.

Związek pomiędzy wartością kuponu a wartością nominalną obligacji dany jest wzorem:

Wartość nominalna pojedynczego kuponu

W_k = W_nom r m.

Analiza kuponów

Stopa oprocentowania kuponów nie przekłada się bezpośrednio na stopę zwrotu z obligacji. Mówi tylko, jakie odsetki od pożyczki (którą jest zakup obligacji) emitent musi zapłacić w regularnych odstępach czasowych. Związek pomiędzy wartością kuponu a wartością

nominalną obligacji dany jest wzorem:

Wartość nominalna pojedynczego kuponu

W_k = W_nom r m.

Analiza obligacji kuponowej

Załóżmy, że chcemy wycenić wartość aktualną obligacji kuponowej na moment rozpoczęcia jednego z okresów płatności kuponów.

Jako, że założyliśmy, że OP = OK^∗ = 1 (to ostatnie możemy założyć,

ustalając domyślną jednostkę czasu), N jest nie tylko liczbą okresów kapitalizacji do zapadalności obligacji, ale też liczbą wypłacanych kuponów.

W tej sytuacji, wartość aktualna obligacji jest sumą wartości aktualnej renty z dołu o stałej wysokości (raty są kuponami) oraz zaktualizowanej wartości nominalnej:

P =

N

X

i =1

W_k(1 + r^∗)⁻ⁱ + W_nom(1 + r^∗)^−N

Analiza obligacji kuponowej

Załóżmy, że chcemy wycenić wartość aktualną obligacji kuponowej na moment rozpoczęcia jednego z okresów płatności kuponów. Jako, że założyliśmy, że OP = OK^∗ = 1 (to ostatnie możemy założyć,

ustalając domyślną jednostkę czasu), N jest nie tylko liczbą okresów kapitalizacji do zapadalności obligacji, ale też liczbą wypłacanych kuponów.

W tej sytuacji, wartość aktualna obligacji jest sumą wartości aktualnej renty z dołu o stałej wysokości (raty są kuponami) oraz zaktualizowanej wartości nominalnej:

P =

N

X

i =1

W_k(1 + r^∗)⁻ⁱ + W_nom(1 + r^∗)^−N

Analiza obligacji kuponowej

Załóżmy, że chcemy wycenić wartość aktualną obligacji kuponowej na moment rozpoczęcia jednego z okresów płatności kuponów. Jako, że założyliśmy, że OP = OK^∗ = 1 (to ostatnie możemy założyć,

ustalając domyślną jednostkę czasu), N jest nie tylko liczbą okresów kapitalizacji do zapadalności obligacji, ale też liczbą wypłacanych kuponów.

W tej sytuacji, wartość aktualna obligacji jest sumą wartości aktualnej renty z dołu o stałej wysokości (raty są kuponami) oraz zaktualizowanej wartości nominalnej:

P =

N

X

i =1

W_k(1 + r^∗)⁻ⁱ + W_nom(1 + r^∗)^−N

Analiza obligacji kuponowej

P =^PN_{i =1}Wk(1 + r^∗)⁻ⁱ + Wnom(1 + r^∗)^−N.

Jeśli oznaczymy q^∗ = (1 + r^∗), to zgodnie ze wzorem na wartość aktualną renty z dołu:

P = W_k(q^∗)^N − 1

q − 1 + W_nom

!

(q^∗)^−N = W_k1 − (q^∗)^−N

q − 1 +W_nom(q^∗)^−N

Analiza obligacji kuponowej

P =^PN_{i =1}Wk(1 + r^∗)⁻ⁱ + Wnom(1 + r^∗)^−N. Jeśli oznaczymy q^∗ = (1 + r^∗), to zgodnie ze wzorem na wartość aktualną renty z dołu:

P = W_k(q^∗)^N − 1

q − 1 + W_nom

!

(q^∗)^−N = W_k1 − (q^∗)^−N

q − 1 +W_nom(q^∗)^−N

Wycena obligacji kuponowej

Wycena obligacji kuponowej

P = W_k1 − (q^∗)^−N

q^∗ − 1 + W_nom(q^∗)^−N.

Oczywiście, wzór ten obowiązuje przy wycenie na początek okresu płatności.

Jeśli chcemy wyznaczyć cenę obligacji kuponowej np. na moment, gdy 1/4 okresu płatności kuponów upłynęła, wystarczy wynik z powyższego wzoru przesunąć w czasie tj. pomnożyć go przez (q^∗)¹⁴ (jak zobaczymy w przykładzie).

Wycena obligacji kuponowej

Wycena obligacji kuponowej

P = W_k1 − (q^∗)^−N

q^∗ − 1 + W_nom(q^∗)^−N.

Oczywiście, wzór ten obowiązuje przy wycenie na początek okresu płatności. Jeśli chcemy wyznaczyć cenę obligacji kuponowej np. na moment, gdy 1/4 okresu płatności kuponów upłynęła, wystarczy wynik z powyższego wzoru przesunąć w czasie tj. pomnożyć go przez (q^∗)¹⁴ (jak zobaczymy w przykładzie).

Konsole - wstęp

Konsole, czyli obligacje wieczyste, opierają się na nabyciu prawa do wypłaty kuponów przez czas nieograniczony - nie posiadają wartości nominalnej ani terminu zapadalności.

Do ich wyceny wystarczy:

W_k - wartość pojedynczego kuponu, wypłacanego co OP. r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗ = OP.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Konsole - wstęp

Konsole, czyli obligacje wieczyste, opierają się na nabyciu prawa do wypłaty kuponów przez czas nieograniczony - nie posiadają wartości nominalnej ani terminu zapadalności. Do ich wyceny wystarczy:

W_k - wartość pojedynczego kuponu, wypłacanego co OP.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗ = OP.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Konsole - wstęp

Konsole, czyli obligacje wieczyste, opierają się na nabyciu prawa do wypłaty kuponów przez czas nieograniczony - nie posiadają wartości nominalnej ani terminu zapadalności. Do ich wyceny wystarczy:

W_k - wartość pojedynczego kuponu, wypłacanego co OP.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗ = OP.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Konsole - wstęp

Konsole, czyli obligacje wieczyste, opierają się na nabyciu prawa do wypłaty kuponów przez czas nieograniczony - nie posiadają wartości nominalnej ani terminu zapadalności. Do ich wyceny wystarczy:

W_k - wartość pojedynczego kuponu, wypłacanego co OP.

r^∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK^∗ = OP.

P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić).

Konsole - wycena

Wycena konsoli na początek dowolnego okresu płatności jest równoważna obliczeniu wartości aktualnej renty wieczystej z dołu o ratach W_k i stopie zwrotu r^∗.

Wycena konsoli

P = W_k r^∗ .

Oczywiście, tak jak przy obligacji kuponowej, jeśli wyceniamy konsolę na inny moment niż początek okresu płatności, wystarczy tę wycenę przesunąć w czasie.

Konsole - wycena

Wycena konsoli na początek dowolnego okresu płatności jest równoważna obliczeniu wartości aktualnej renty wieczystej z dołu o ratach W_k i stopie zwrotu r^∗.

Wycena konsoli

P = W_k r^∗ .

Oczywiście, tak jak przy obligacji kuponowej, jeśli wyceniamy konsolę na inny moment niż początek okresu płatności, wystarczy tę wycenę przesunąć w czasie.

Obligacje - przykład

Przykład

Inwestor poszukuje zysku w wysokości 15% rocznie. Zaproponowano mu 3 obligacje. Obligacja A jest zerokuponowa o zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartości nominalnej 8000 jp. Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje?

Zaczniemy od wyceny obligacji A.

Dla niej r^∗ = 0, 15, OK =rok, więc N = ¹³₄.

PA = Wnom(1 + r^∗)^−N = 8000(1, 15)⁻¹³⁴ = 5079, 5122.

Obligacje - przykład

Przykład

Inwestor poszukuje zysku w wysokości 15% rocznie. Zaproponowano mu 3 obligacje. Obligacja A jest zerokuponowa o zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartości nominalnej 8000 jp. Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje?

Zaczniemy od wyceny obligacji A. Dla niej r^∗ = 0, 15, OK =rok, więc N = ¹³₄.

PA = Wnom(1 + r^∗)^−N = 8000(1, 15)⁻¹³⁴ = 5079, 5122.

Obligacje - przykład

Przykład

Inwestor poszukuje zysku w wysokości 15% rocznie. Zaproponowano mu 3 obligacje. Obligacja A jest zerokuponowa o zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartości nominalnej 8000 jp. Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje?

Zaczniemy od wyceny obligacji A. Dla niej r^∗ = 0, 15, OK =rok, więc N = ¹³₄.

8000(1, 15)⁻¹³⁴ = 5079, 5122.

Obligacje - przykład

Przykład

Inwestor poszukuje zysku w wysokości 15% rocznie. Zaproponowano mu 3 obligacje. Obligacja A jest zerokuponowa o zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartości nominalnej 8000 jp. Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje?

Zaczniemy od wyceny obligacji A. Dla niej r^∗ = 0, 15, OK =rok, więc N = ¹³₄.

PA = Wnom(1 + r^∗)^−N = 8000(1, 15)⁻¹³⁴ = 5079, 5122.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów. Musimy przeliczyć stopę zwrotu z rocznej na półroczną, więc r_ef^∗ = 1, 15¹² − 1 = 0, 0724, stąd q^∗ = 1, 0724.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu.

Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów. Musimy przeliczyć stopę zwrotu z rocznej na półroczną, więc r_ef^∗ = 1, 15¹² − 1 = 0, 0724, stąd q^∗ = 1, 0724.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów.

Musimy przeliczyć stopę zwrotu z rocznej na półroczną, więc r_ef^∗ = 1, 15¹² − 1 = 0, 0724, stąd q^∗ = 1, 0724.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów. Musimy przeliczyć stopę zwrotu z rocznej na półroczną, więc r_ef^∗ =

1, 15¹² − 1 = 0, 0724, stąd q^∗ = 1, 0724.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów. Musimy przeliczyć stopę zwrotu z rocznej na półroczną, więc r_ef^∗ = 1, 15¹² − 1 = 0, 0724,

stąd q^∗ = 1, 0724.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów. Musimy przeliczyć stopę zwrotu z rocznej na półroczną, więc r_ef^∗ = 1, 15¹² − 1 = 0, 0724, stąd q^∗ = 1, 0724.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

N = 7, q^∗ = 1, 0724.

Pozostaje jeszcze poznać wartość nominalną kuponów, wypłacanych w liczbie m = 2 na rok. Wynosi ona:

W_k = W_nom r

m = 80000, 05

2 = 200.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

N = 7, q^∗ = 1, 0724. Pozostaje jeszcze poznać wartość nominalną kuponów, wypłacanych w liczbie m = 2 na rok.

Wynosi ona: W_k = W_nom r

m = 80000, 05

2 = 200.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

N = 7, q^∗ = 1, 0724. Pozostaje jeszcze poznać wartość nominalną kuponów, wypłacanych w liczbie m = 2 na rok. Wynosi ona:

W_k = W_nom r m =

80000, 05

2 = 200.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

N = 7, q^∗ = 1, 0724. Pozostaje jeszcze poznać wartość nominalną kuponów, wypłacanych w liczbie m = 2 na rok. Wynosi ona:

W_k = W_nom r

m = 80000, 05

2 = 200.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

N = 7, q^∗ = 1, 0724, Wk = 200.

Możemy już wstawić do wzoru: P = W_k1 − (q^∗)^−N

q^∗− 1 + W_nom(q^∗)^−N =

= 1068, 6822 + 4904, 4730 = 5973, 1552.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

N = 7, q^∗ = 1, 0724, Wk = 200. Możemy już wstawić do wzoru:

P = W_k1 − (q^∗)^−N

q^∗− 1 + W_nom(q^∗)^−N =

= 1068, 6822 + 4904, 4730 = 5973, 1552.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3

miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...)

Cena z poprzedniego slajdu była właściwa 3 miesiące temu, więc teraz musimy ją przesunąć o 3 miesiące, czyli ¹₂ okresu kapitalizacji do przodu:

PB = P(q^∗)¹² = 6185, 6053.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych raz rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje?

Gdyby najbliższy kupon był wypłacany za 12 miesięcy, wartość konsoli wynosiłaby po prostu:

P = Wk

r^∗ =

600

0, 15 = 4000.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych raz rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje?

Gdyby najbliższy kupon był wypłacany za 12 miesięcy, wartość konsoli wynosiłaby po prostu:

P = Wk

r^∗ = 600

0, 15 = 4000.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych raz rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje?

Jednakże, wyceniamy obligacje w momencie, gdy 4 miesiące, czyli ¹₃ okresu płatności kuponów, już upłynęły, więc:

P_C =

P(1 + r^∗)¹³ = 4190, 7582.

Odp: Inwestor będzie skłonny zapłacić 5079,5122 jp za obligację A, 6185,6053 jp za obligację B oraz 4190,7582 jp za obligację C.

Obligacje - przykład

Przykład

(...) Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych raz rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje?

Jednakże, wyceniamy obligacje w momencie, gdy 4 miesiące, czyli ¹₃ okresu płatności kuponów, już upłynęły, więc:

P_C = P(1 + r^∗)¹³ = 4190, 7582.

Odp: Inwestor będzie skłonny zapłacić 5079,5122 jp za obligację A,

Stopa YTM

W opisie obligacji w literaturze fachowej i użytku potocznym pojawia się jeszcze jedna stopa procentowa: stopa rentowności do

zapadalności (yield to maturity), różna od stopy oprocentowania kuponów, jak i od wewnętrznej stopy zwrotu z obligacji.

Jest to stopa nominalna roczna, która po uzgodnieniu z okresem kapitalizacji równym okresowi płatności kuponów jest równa wewnętrznej stopie zwrotu o tym okresie. Formalnie, gdy IRR jest roczną stopą zwrotu, to:

Zależność IRR i YTM dla obligacji

1 + YTM m

!m

− 1 = IRR.

Oczywiście, roczne stopy IRR i YTM są równe, gdy kupony są wypłacane raz w roku.

Stopa YTM

W opisie obligacji w literaturze fachowej i użytku potocznym pojawia się jeszcze jedna stopa procentowa: stopa rentowności do

zapadalności (yield to maturity), różna od stopy oprocentowania kuponów, jak i od wewnętrznej stopy zwrotu z obligacji. Jest to stopa nominalna roczna, która po uzgodnieniu z okresem kapitalizacji równym okresowi płatności kuponów jest równa wewnętrznej stopie zwrotu o tym okresie. Formalnie, gdy IRR jest roczną stopą zwrotu, to:

Zależność IRR i YTM dla obligacji

1 + YTM m

!m

− 1 = IRR.

Oczywiście, roczne stopy IRR i YTM są równe, gdy kupony są wypłacane raz w roku.

Stopa YTM

W opisie obligacji w literaturze fachowej i użytku potocznym pojawia się jeszcze jedna stopa procentowa: stopa rentowności do

zapadalności (yield to maturity), różna od stopy oprocentowania kuponów, jak i od wewnętrznej stopy zwrotu z obligacji. Jest to stopa nominalna roczna, która po uzgodnieniu z okresem kapitalizacji równym okresowi płatności kuponów jest równa wewnętrznej stopie zwrotu o tym okresie. Formalnie, gdy IRR jest roczną stopą zwrotu, to:

Zależność IRR i YTM dla obligacji

1 + YTM m

!m

− 1 = IRR.

Oczywiście, roczne stopy IRR i YTM są równe, gdy kupony są wypłacane raz w roku.

Stopa YTM

W opisie obligacji w literaturze fachowej i użytku potocznym pojawia się jeszcze jedna stopa procentowa: stopa rentowności do

zapadalności (yield to maturity), różna od stopy oprocentowania kuponów, jak i od wewnętrznej stopy zwrotu z obligacji. Jest to stopa nominalna roczna, która po uzgodnieniu z okresem kapitalizacji równym okresowi płatności kuponów jest równa wewnętrznej stopie zwrotu o tym okresie. Formalnie, gdy IRR jest roczną stopą zwrotu, to:

Zależność IRR i YTM dla obligacji

1 + YTM m

!m

− 1 = IRR.

YTM - przykład

Przykład

Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności?

Wewnętrzną roczną stopę zwrotu obliczamy natychmiast z równania: 980 = 30(1 + r^∗)⁻¹² + 1030(1 + r^∗)⁻¹ ⇒ r^∗ = 0, 0831.

YTM - przykład

Przykład

Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności?

Wewnętrzną roczną stopę zwrotu obliczamy natychmiast z równania:

980 = 30(1 + r^∗)⁻¹² + 1030(1 + r^∗)⁻¹ ⇒ r^∗ = 0, 0831.

YTM - przykład

Przykład

Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności?

Wewnętrzną roczną stopę zwrotu obliczamy natychmiast z równania:

980 = 30(1 + r^∗)⁻¹² + 1030(1 + r^∗)⁻¹ ⇒ r^∗ = 0, 0831.

YTM - przykład

Przykład

Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności?

Wystarczy teraz przeliczyć:

1 + YTM 2

!2

− 1 = r^∗ = 0, 0831 ⇒ YTM = 0, 0815. Odp: Stopa rentowności do zapadalności wynosi 8, 15%.

YTM - przykład

Przykład

Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności?

Wystarczy teraz przeliczyć:

1 + YTM 2

!2

− 1 = r^∗ = 0, 0831 ⇒ YTM = 0, 0815. Odp: Stopa rentowności do zapadalności wynosi 8, 15%.

YTM - przykład

Przykład

Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności?

Wystarczy teraz przeliczyć:

1 + YTM 2

!2

− 1 = r^∗ = 0, 0831 ⇒ YTM = 0, 0815.

Odp: Stopa rentowności do zapadalności wynosi 8, 15%.