10 11 Σ

10 11 Σ

Nazwisko ⁰

Imię Indeks

ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr

7

2.12.2013

PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW Zadanie

10.

Skonstruować przykład takiego szeregu zbieżnego ^P∞

n=1

a_n o wyrazach dodatnich, że

∞

X

n=1

a_n

!2

= 2 ·

∞

X

n=1

a²_n.

Dla skonstruowanego przykładu wyznaczyć wartości sum szeregów występujących w po- wyższym równaniu i sprawdzić, że jest ono spełnione.

Rozwiązanie:

Spróbujemy znaleźć szereg geometryczny o żądanych własnościach.

W tym celu załóżmy, że an= c · qⁿ⁻¹, pamiętając, aby c > 0 oraz 0 < q < 1. Wówczas

∞

X

n=1

a_n=

∞

X

n=1

c · qⁿ⁻¹= c 1 − q ,

oraz ∞

X

n=1

a²_n=

∞

X

n=1

c²·^q^2n−1= c² 1 − q² ,

co w połączeniu z warunkiem podanym w treści zadania prowadzi do równania c

1 − q

!2

= 2 · c² 1 − q² , czyli

c²

(1 − q)² = 2 · c² 1 − q². Przekształcanie powyższego równania prowadzi kolejno do:

c²

(1 − q)²= 2 · c² (1 − q)(1 + q), 1 + q = 2 · (1 − q) ,

1 + q = 2 − 2q , 3q = 1 , q = 1/3 .

Widzimy więc, że w przypadku szeregu geometrycznego, podany w zadaniu warunek jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz szeregu jest równy 1/3.

Możemy więc przyjąć

a_n= 1 3ⁿ, 1

co prowadzi do

∞

X

n=1

an=

∞

X

n=1

1 3ⁿ=1

2

oraz _∞

X

n=1

a²_n=

∞

X

n=1

1 9ⁿ=1

8.

Wówczas podane w treści zadania równanie przyjmuje postać

1 2

2

= 2 ·1 8, jest więc spełnione – każda z jego stron jest równa 1/4.

Odpowiedź: Przykładem szeregu spełniającego warunki zadania jest szereg

∞

X

n=1

1 3ⁿ.

2

Zadanie

11.

n→∞lim

√ n

n⁴+ n+ n + 1

√n⁴+ n + 1+ n + 2

√n⁴+ n + 2+ n + 3

√n⁴+ n + 3+ ... + 9n

√n⁴+ 9n

!

. Rozwiązanie:

Oznaczmy sumę występującą pod znakiem granicy przez b_n. Zamierzamy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, co wymaga oszacowania b_n od góry i od dołu przez ciągi zbieżne do wspólnej granicy.

Zauważmy, że składniki tej sumy bardzo się różnią – iloraz ostatniego składnika do pierwszego dąży do 9 przy n dążącym do nieskończoności. Należy zatem oczeki- wać, że oszacowanie sumy poprzez wspólne oszacowanie składników (i przemnożenie tego oszacowania przez liczbę składników), będzie prowadzić do oszacowań mających różne granice, co uniemożliwi skorzystanie z twierdzenia o trzech ciągach.

Zauważmy też, że za tak znaczną różnicę wielkości składników odpowiadają liczniki, podczas gdy mianowniki mają zbliżoną wielkość. Liczniki tworzą jednak postęp arytme- tyczny, którego sumę bez problemu możemy obliczyć. W konsekwencji będziemy szaco- wać mianowniki przez wspólną wielkość, nie zmieniając liczników, a następnie dodamy składniki powstałe w wyniku tego oszacowania.

I tak, szacowanie od góry (czyli szacowanie mianowników od dołu) prowadzi do b_n¬ n

√n⁴+ n+ n + 1

√n⁴+ n+ n + 2

√n⁴+ n+ n + 3

√n⁴+ n+ ... + 9n

√n⁴+ n=

=n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + ... + 9n

√n⁴+ n = cn

Z kolei szacowanie od dołu (czyli szacowanie mianowników od góry) prowadzi do b_n­ n

√n⁴+ 9n+ n + 1

√n⁴+ 9n+ n + 2

√n⁴+ 9n+ n + 3

√n⁴+ 9n+ ... + 9n

√n⁴+ 9n=

=n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + ... + 9n

√n⁴+ 9n = an.

Ze wzoru na sumę postępu arytmetycznego otrzymujemy n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + ... + 9n = (8n + 1) ·n + 9n

2 = 5n · (8n + 1) , gdzie 8n+1 jest liczbą wyrazów powyższego postępu.

Wobec tego

c_n=5n · (8n + 1)

√n⁴+ n =5 ·^8 +¹_n^

q1 +_n¹3

→ 40

przy n → ∞ i podobnie

a_n=5n · (8n + 1)

√n⁴+ 9n =5 ·^8 +_n^1

q1 +_n⁹3

→ 40 .

Ponieważ dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą nierówności a_n¬ b_n¬ c_n,

3

a ponadto

n→∞limc_n= 40 oraz

n→∞lim a_n= 40 , na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy

n→∞limb_n= 40 .

Odpowiedź: Wartość granicy podanej w treści zadania jest równa 40.

4