Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 5.
Dariusz Wrzosek
5 listopad 2018
Podstawy analizy matematycznej, ci ˛ ag dalszy
ró˙zniczka
pochodne wy˙zszych rz ˛edów
podstawowe interpretacje pochodnej w fizyce badanie funkcji
Przypomnienie i terminologia
Pochodna to granica ilorazu ró˙znicowego;
f0(x0) = lim
h→0
f(x0+h) −f(x0)
h = lim
x→x0
f(x) −f(x0) x−x0
Jest to ´zródło okre´slenia ”ró˙zniczka” jako ró˙znica zbiegaj ˛aca do zera.
St ˛ad historyczna nazwa tego działu matematyki —rachunek ró˙zniczkowy.
Obliczanie pochodnych nazywa si ˛e ró˙zniczkowaniem.
Funkcj ˛e, która ma pochodn ˛a nazywa si ˛efunkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a.
Pochodna funkcji w punkcie, f0(x0), okre´sla współczynnik kierunkowy prostej przechodz ˛acej przez punkt(x0,f(x0))nale˙z ˛acy do wykresu funkcji. Taka prosta nazywa si ˛eprost ˛a styczn ˛ado wykresu funkcji i zadana jest wzorem:
y−f(x0) =f0(x0)(x−x0)
Wa˙zne własno´sci pochodnej
Pochodna funkcji w punkcie okre´sla liniow ˛a cz ˛e´s´c przyrostu funkcji w tym punkcie tzn.
Twierdzenie
Je˙zeli funkcja f :D→ ma pochodn ˛a w x0 ∈D, to przyrost tej funkcji mo˙zna przedstawi´c za pomoc ˛a pochodnej tzn.
f(x0+h) −f(x0) =f0(x0)h+r(h,x0), gdzie r(h,x0)jest pewn ˛a funkcj ˛a zwan ˛a reszt ˛a, tak ˛a ˙ze
lim r(h,x0)
=0.
Funkcj ˛e liniow ˛a h→f0(x0)h
nazywa si ˛e cz ˛e´sci ˛a liniow ˛a przyrostu funkcji, co sugeruje, ˙ze reszta przedstawia cz ˛e´s´c nieliniow ˛a przyrostu. Wiemy o niej tyle, ˙ze jest znacz ˛aco mniejsza od cz ˛e´sci liniowej.
Z poprzedniego twierdzenia wynika natychmiast
Twierdzenie
Je´sli funkcja f ma pochodn ˛a w punkcie x0, to f jest ci ˛agła w tym punkcie.
Cho´c trudno to sobie wyobrazi´c, istniej ˛a funkcje ci ˛agłe nie maj ˛ace pochodnej w ˙zadnym punkcie swojej dziedziny. Przykład takiej funkcji podał K. Weierstrass -nie mo˙zna jej zapisa´c wzorem, jest ona granic ˛a ci ˛agu funkcji o coraz bardziej zag ˛eszczaj ˛acych si ˛e z ˛ebach, jak w pile do drewna. Bior ˛ac dowolny fragment wykresu funkcji Weierstrassa
i powi ˛ekszaj ˛ac go dowolnie zawsze zobaczymy niesko ´nczenie wiele z ˛ebów upakowanych jeden przy drugim bez ˙zadnego fragmentu prostoliniowego.
Z poprzedniego twierdzenia wynika natychmiast
Twierdzenie
Je´sli funkcja f ma pochodn ˛a w punkcie x0, to f jest ci ˛agła w tym punkcie.
Cho´c trudno to sobie wyobrazi´c, istniej ˛a funkcje ci ˛agłe nie maj ˛ace pochodnej w ˙zadnym punkcie swojej dziedziny. Przykład takiej funkcji podał K. Weierstrass -nie mo˙zna jej zapisa´c wzorem, jest ona granic ˛a ci ˛agu funkcji o coraz bardziej zag ˛eszczaj ˛acych si ˛e z ˛ebach, jak w pile do drewna. Bior ˛ac dowolny fragment wykresu funkcji Weierstrassa
i powi ˛ekszaj ˛ac go dowolnie zawsze zobaczymy niesko ´nczenie wiele z ˛ebów upakowanych jeden przy drugim bez ˙zadnego fragmentu prostoliniowego.
Z poprzedniego twierdzenia wynika natychmiast
Twierdzenie
Je´sli funkcja f ma pochodn ˛a w punkcie x0, to f jest ci ˛agła w tym punkcie.
Cho´c trudno to sobie wyobrazi´c, istniej ˛a funkcje ci ˛agłe nie maj ˛ace pochodnej w ˙zadnym punkcie swojej dziedziny. Przykład takiej funkcji podał K. Weierstrass -nie mo˙zna jej zapisa´c wzorem, jest ona granic ˛a ci ˛agu funkcji o coraz bardziej zag ˛eszczaj ˛acych si ˛e z ˛ebach, jak w pile do drewna. Bior ˛ac dowolny fragment wykresu funkcji Weierstrassa
i powi ˛ekszaj ˛ac go dowolnie zawsze zobaczymy niesko ´nczenie wiele z ˛ebów upakowanych jeden przy drugim bez ˙zadnego fragmentu prostoliniowego.
Pochodne wy˙zszych rz ˛edów
Pochodn ˛a funkcji pochodnej nazywamy drug ˛a pochodn ˛a i.t.d i oznaczamy f00(x)lub ddx2f (x)2 , natomiast n pochodn ˛a funkcji oznaczamy f(n)(x)
ewentualnie dndxf (x)n .
W fizyce druga pochodna ma podstawowe znaczenie, gdy˙z druga pochodna funkcji okre´slaj ˛acej poło˙zenie poruszaj ˛acego si ˛e ciała, to jego przyspieszenie, czyli szybko´s´c zmian pr ˛edko´sci jako funkcji czasu.
Pochodne wy˙zszych rz ˛edów
Pochodn ˛a funkcji pochodnej nazywamy drug ˛a pochodn ˛a i.t.d i oznaczamy f00(x)lub ddx2f (x)2 , natomiast n pochodn ˛a funkcji oznaczamy f(n)(x)
ewentualnie dndxf (x)n .
W fizyce druga pochodna ma podstawowe znaczenie, gdy˙z druga pochodna funkcji okre´slaj ˛acej poło˙zenie poruszaj ˛acego si ˛e ciała, to jego przyspieszenie, czyli szybko´s´c zmian pr ˛edko´sci jako funkcji czasu.
Pochodne wy˙zszych rz ˛edów
Pochodn ˛a funkcji pochodnej nazywamy drug ˛a pochodn ˛a i.t.d i oznaczamy f00(x)lub ddx2f (x)2 , natomiast n pochodn ˛a funkcji oznaczamy f(n)(x)
ewentualnie dndxf (x)n .
W fizyce druga pochodna ma podstawowe znaczenie, gdy˙z druga pochodna funkcji okre´slaj ˛acej poło˙zenie poruszaj ˛acego si ˛e ciała, to jego przyspieszenie, czyli szybko´s´c zmian pr ˛edko´sci jako funkcji czasu.
jednostki fizyczne
Pr ˛edko ´s ´c wyra˙za si ˛e w jednostkach [długo´s´c/czas],ms, gdy˙z pr ˛edko´s´c to granica ilorazu przyrostu współrz ˛ednej mierzonego w metrach i przyrostu czasu mierzonego w sekundach.
Jednostk ˛a przyspieszenia, czyli pochodnej pr ˛edko´sci, jesthm
s2
i, skoro przyspieszenie to granica ilorazu przyrostu pr ˛edko´sci mierzonego w metrach na sekund ˛e i przyrostu czasu mierzonego w sekundach.
Opis ruchu: poło˙zenie, pr ˛edko´s´c, przyspieszenie
Rozwa˙zymy prosty przykład wykorzystuj ˛acy poj ˛ecia znane z fizyki.
Przyjmijmy, ˙ze poci ˛ag poruszaj ˛acy si ˛e po prostym torze ze stał ˛a pr ˛edko´sci ˛a v=100kmh mija punkt kontrolny w chwili t =0 i porusza si ˛e dalej z t ˛a sam ˛a pr ˛edko´sci ˛a przez godzin ˛e.
W ci ˛agu nast ˛epnej godziny poci ˛ag zwalnia ze stałym opó´znieniem (ujemnym przyspieszeniem) równym a = −100km
h2, a˙z do zatrzymania w odległo´sci 150km od punktu kontrolnego.
Po godzinnym postoju rusza z powrotem przyspieszaj ˛ac przez godzin ˛e z tym samym co do modułu przyspieszeniem, co przy hamowaniu, by osi ˛agn ˛a´c stał ˛a pr ˛edko´s´c v.
Przedstawimy wykresy poło˙zenia, pr ˛edko´sci i przyspieszenia poci ˛agu jako funkcje czasu. Przyjmijmy, ˙ze x(t)oznacza poło˙zenie poci ˛agu na osi, tak
˙ze punkt 0 odpowiada punktowi kontrolnemu, a jednostk ˛a czasu jest godzina[h].
Opisany kurs poci ˛agu mo˙zna podzieli´c na pi ˛e´c etapów:
1 ruch jednostajny prostoliniowy z pr ˛edko´sci ˛a v=100kmh
2 ruch jednostajnie przyspieszony z przy´spieszeniem a = −100km
h2
3 postój
4 ruch jednostajnie przyspieszony z przy´spieszeniem a = −100km
h2
5 ruch jednostajny prostoliniowy z pr ˛edko´sci ˛a v= −100kmh Dane odpowiadaj ˛a nast ˛epuj ˛acej funkcji poło˙zenia x : [0,5] → +od czasu
x(t) =
100 t gdy t ∈ [0,1] ,
−50(t −2)2+150 gdy t ∈ [1,2] , 150 gdy t ∈ [2,3] ,
W drugim etapie podró˙zy mamy
˙
x(t) = −100(t−2) = −100t+200
km h
,
¨
x(t) =a= −100
km h2
dla t ∈ [1,2] .
Poło˙zenie poci ˛agu jest ró˙zniczkowaln ˛a funkcj ˛a czasu, pr ˛edko´s´c jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a kawałkami ró˙zniczkowaln ˛a, a przyspieszenie jest funkcj ˛a nieci ˛agł ˛a (kawałkami ci ˛agł ˛a).
Twierdzenie Rolla
Twierdzenie (Rolla)
Je˙zeli f jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na odcinku[a,b]i ma pochodn ˛a w(a,b)oraz f(a) =f(b), to istnieje punkt c∈ (a,b), taki ˙ze f0(c) =0.
f(a) =f(b)
f0(c) =0
* Dowód twierdzenia Rolla (dla zainteresowanych)
Je˙zeli f jest funkcj ˛a stał ˛a, to oczywi´scie f0(c) = 0 dla dowolnego c ∈ [a, b].
Przypu´s´cmy teraz, ˙ze f nie jest funkcj ˛a stał ˛a. Skoro f jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a okre´slon ˛a na odcinku domkni ˛etym, na mocy twierdzenia Weierstarssa, przyjmuje ona w jakim´s punkcie swojej dziedziny warto´s´c najmniejsz ˛a i najwi ˛eksz ˛a. Zatem przynajmniej jedna z dwóch poni˙zszych nierówno´sci jest prawdziwa.
min
x∈[a,b]
f (x) < f (a) albo max
x∈[a,b]
f (x) > f (a).
Przypu´s´cmy, ˙ze druga z nich jest spełniona, czyli istnieje taki punkt c, ˙ze f (c) = maxx∈[a,b]f (x).
Poniewa˙z f (a) = f (b), wi ˛ec c , a i c , b, czyli c ∈ (a, b) oraz f (c + h) − f (c)
h 0, je´sli h < 0 , f (c + h) − f (c)
h ¬ 0, je´sli h > 0 .
Pochodna f istnieje w ka˙zdym punkcie odcinka (a, b), zatem ilorazy ró˙znicowe po lewej stronie maj ˛a granic ˛e i jest ona równa pochodnej f0(c).
Ko ´ncówka dowodu twierdzenia Rolla
Z jednej strony
lim
h→0h<0
f(c+h) −f(c)
h =f0(c) 0, a z drugiej
lim
h→0h>0
f(c+h) −f(c)
h =f0(c) ¬0.
Obie nierówno´sci mog ˛a by´c spełnione jednocze´snie tylko wtedy gdy f0(c) =0.
Twierdzenie Lagrange’a
Z twierdzenia Rolla wynika nast ˛epuj ˛ace twierdzenie Lagrange’a (Joseph Lagrange (1736-1813)), które ma wa˙zne konsekwencje.
Twierdzenie (Lagrange’a o warto´sci ´sredniej)
Je˙zeli f jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na odcinku[a,b]i ma pochodn ˛a w(a,b), to istnieje punkt c ∈ (a,b), taki ˙ze
f(b) −f(a)
b−a =f0(c).
f(a) f(b)
f0(c) = f(b) −f(a) b−a
a c b
Dowód twierdzenia Lagrange’a
Dowód:
Wystarczy zastosowa´c twierdzenie Rolla do funkcji
g(x) =f(x) −
f(a) +f(b) −f(a)
b−a (x−a)
.
Oczywi´scie g(a) =g(b) =0 i spełnione s ˛a wszystkie pozostałe zało˙zenia twierdzenia Rolla.
Istnieje zatem punkt c ∈ (a,b), taki ˙ze g0(c) =0. Ale f(b) −f(a)
Wniosek
Funkcja ró˙zniczkowalna f : (a,b) → jest stała w.t.w. gdy f0(x) =0 dla wszystkich x ∈ (a,b)
Wniosek
Niech funkcja f : (a,b) → ma pochodn ˛a w ka˙zdym punkcie(a,b). Wtedy je´sli dla wszystkich x ∈ (a,b):
1 f0(x) >0, to f jest (´sci´sle) rosn ˛aca
2 f0(x) 0, to f jest niemalej ˛aca
3 f0(x) <0, to f jest (´sci´sle) malej ˛aca
4 f0(x) ¬0, to f jest nierosn ˛aca
Wystarczy zauwa˙zy´c na podstawie twierdzenia Lagrange’a, ˙ze dla dowolnych punktów x1,x2, takich ˙ze a <x1 <x2<b istnieje xc: x1 <xc <x2oraz
f(x2) −f(x1) =f0(xc)(x2−x1) . Zatem o znaku lewej strony decyduje znak f0(xc).
Uwaga
Funkcja mo˙ze przyjmowa´c wzgl ˛edniemałewarto´sci, a jej pochodna wzgl ˛edniebardzo du˙ze. Rozpatrzmy funkcj ˛e:
f(x) =0,5·sin(100x) dla x ∈ .
Wtedy f0(x) =50 cos(100x).
Najwi ˛eksza warto´s´c, któr ˛a mo˙ze przyj ˛a´c|f(x)|wynosi 0,5.
Najwi ˛eksza warto´s´c, któr ˛a mo˙ze przyj ˛a´c|f0(x)|wynosi 50.
Zakres zmienno´sci warto´sci funkcji jest w granicach od−0,5 do 0,5 a zakres zmienno´sci jej pochodnej jest stukrotnie wi ˛ekszy.
Zadanie
Samochód przemieszcza si ˛e ruchem prostoliniowym zwalniaj ˛ac
i przyspieszaj ˛ac, bez zatrzymywania. Załó˙zmy, ˙ze znamy zapis pr ˛edko´sci w ka˙zdej chwili jazdy samochodu i chcemy oszacowa´c jak daleko
samochód mógł si ˛e przemie´sci´c w czasie T .
Aby znale´z´c to oszacowanie trzeba wymno˙zy´c T przez najwi ˛eksz ˛a warto´s´c pr ˛edko´sci, któr ˛a osi ˛agn ˛ał samochód w tym czasie. To post ˛epowanie uzasadnia nast ˛epuj ˛acy
Wniosek (z Twierdzenia Lagrange’a)
Niech f : [a,b] 7→ b ˛edzie funkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a na(a,b)i ci ˛agł ˛a na [a,b]. Załó˙zmy, ˙ze dla wszystkich x ∈ [a,b],|f0(x)|nie przekracza pewnej liczby M. Wtedy
|f(b) −f(a)| ¬M|a−b|.
Zasada optimum w naukach przyrodniczych i społecznych.
Wiele zagadnie ´n fizyki, biologii i ekonomii sprowadza si ˛e do poszukiwania optimum, które jest realizowane przez minimum lub maksimum pewnej funkcji- słu˙zy do tego wła´snie pochodna.
Fizyka- promie ´n ´swiatła przechodz ˛ac przez ró˙zne o´srodki od jednego punktu do drugiego wybiera tak ˛a trajektori ˛e, aby zminimalizowa´c czas przej´scia mi ˛edzy nimi.
Ekonomia- maksymalizuje si ˛e zysk jako funkcj ˛e ró˙znych inwestycji oraz (z drugiej strony) minimalizuje si ˛e strat ˛e.
Ekstrema lokalne
Minimum i maksimum funkcji okre´sla si ˛e mianemekstremumfunkcji.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Załó˙zmy, ˙ze f : (a,b) → jest funkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a. Je´sli f maminimum lokalnew punkcie x0 ∈ (a,b), czyli istnieje odcinek (x−1,x1) ⊂ (a,b), taki ˙ze f(x) f(x0), dla wszystkich x∈ (x−1,x1) lub
maksimum lokalnew punkcie x0 ∈ (a,b), czyli istnieje odcinek (x−1,x1) ⊂ (a,b), taki ˙ze f(x) ¬f(x0), dla wszystkich x∈ (x−1,x1), tof0(x0) =0.
Jest to warunekkoniecznyistnienia ekstremum lokalnego.
Twierdzenie (warunek wystarczaj ˛ acy na istn. minimum b ˛ ad´z maksimum funkcji
Je´sli f : (a,b) → jest funkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a i dla pewnego x0∈ (a,b) zachodzif0(x0) =0oraz istnieje przedział(x−1,x1) ⊂ (a,b), taki ˙ze
1 f0(x) <0 dla x∈ (x−1,x0)oraz f0(x) >0 dla x∈ (x0,x1), to funkcja f maminimumlokalne w x0.
2 f0(x) >0 dla x∈ (x−1,x0)oraz f0(x) <0 dla x∈ (x0,x1), to funkcja f mamaksimumlokalne w x0.
funkcja
funkcja
Przykład sytuacji gdy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji ró˙zniczkowalnej (czyli zerowanie si ˛e pochodnej) i nie jest spełniony warunek wystarczaj ˛ acy.
Rozpatrzmy funkcj ˛ef(x) =x3 dla x∈ . Pochodnaf0(x) =3x2zeruje si ˛e jedynie w punkcie x =0. W tym punkcie spełniony jest zatem warunek konieczny istnienia ekstremum. Jednakf0(x) >0dla wszystkich x ,0, a wi ˛ec nie jest spełniony warunek wystarczaj ˛acy istnienia ekstremum.
x f0(x) f(x)
Pochodne funkcjif(x) =x3 ig(x) =x2
w punkcie x =0 zeruj ˛a si ˛e i dlatego ich wykresy
„wypłaszczaj ˛a si ˛e” w otoczeniu punktu 0 (prosta styczna do wykresu w tym punkcie jest pozioma).
Pochodnaf0(x) =3x2jest dodatnia dla x ,0 a pochodnag0(x) =2x jest dodatnia dla x >0 i ujemna dla x<0. Dlatego funkcjagma minimum w punkcie 0 a funkcjaf nie ma minimum.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji (podsumowanie).
Minimum lub maksimum funkcji f w x0 =⇒f0(x0) =0.
x0 pochodna
funkcja
−
+
minimum lokalne
x0
pochodna funkcja
− +
maksimum lokalne
Badanie funkcji :
znajdujemy warto´sci funkcji lub jej granice na kra ´ncach dziedziny, sprawdzamy czy s ˛a punkty, w których funkcja si ˛e zeruje,
znajdujemy pochodn ˛a funkcji,
znajdujemy punkty, w których pochodna zeruje si ˛e (w nich mog ˛a by´c ekstrema lokalne),
znajdujemy przedziały na których pochodna jest dodatnia (funkcja ro´snie) lub ujemna (funkcja maleje),
znajdujemy minima lub maksima lokalne funkcji,
okre´slamy warto´s´c najmniejsz ˛a i najwi ˛eksz ˛a funkcji (o ile istniej ˛a) poprzez porównanie warto´sci w ekstremach lokalnych i na ko ´ncach dziedziny funkcji.
Zadanie
Dla jakiej liczby dodatniej x funkcja f(x) =x+1x osi ˛aga warto´s´c najmniejsz ˛a ?
Rozwi ˛azanie
Zbadamy przebieg funkcji f :D → , gdzie D = {x:x ∈ ,x>0}. Obliczymy najpierw granice funkcji.
lim
x→0+
x+1
x
= +∞, lim
x→+∞
x+1
x
= +∞.
Poniewa˙z funkcja jest ci ˛agła, z powy˙zszego wynika, ˙ze posiada minimum.
Obliczamy pochodn ˛a funkcji, aby znale´z´c przedziały, na których funkcja
Mamy
f0(x) =1− 1
x2, x ∈D = {x:x ∈ ,x >0} Zatem
f0(x) =0 ⇔ 1= 1
x2 ⇔ x=1 lub x= −1. Skoro x ∈D, to pozostaje tylko punkt x =1. Zauwa˙zmy, ˙ze
x∈ (0,1) →f0(x) <0, x∈ (1, +∞) →f0(x) >0.
Zatem funkcja f osi ˛aga minimaln ˛a warto´s´c w punkcie x =1 i f(1) =2.
x y=f(x)
2
1
f(x) =x +
1 x
Zasada optimum w biologii
Zasada optimumw biologii zwi ˛azana jest z teori ˛a ewolucji i koncepcj ˛a maksymalizacjidostosowania(ang. fitness), która jest jednym z głównych poj ˛e´c stosowanych do wyja´sniania strategii ˙zyciowych ro´slin i zwierz ˛at.
Poni˙zszy przykład jest znacznym uproszczeniem z punktu widzenia fizjologii i ekologii, jego zalet ˛a natomiast jest prostota.
Zadanie
Ryba płynie pod pr ˛ad rzeki na tarło ze stał ˛a pr ˛edko´sci ˛a v wzgl ˛edem wody.
Pr ˛edko´s´c wody wzgl ˛edem brzegu rzeki wynosi v1. Znale´z´c optymaln ˛a pr ˛edko´s´c vopt, przy której ryba wydatkuje na ruch minimaln ˛a energi ˛e (czyli wykonuje minimaln ˛a prac ˛e).
Ryba wykonuje w jednostce czasu prac ˛e zwi ˛azan ˛a przede wszystkim z pokonaniem oporu wody — tym wi ˛eksz ˛a, im wi ˛eksza jest pr ˛edko´s´c wzgl ˛edem rzeki v. Zgodne z prawami fizyki, siły oporu działaj ˛ace na ciało poruszaj ˛ace si ˛e w wodzie rosn ˛a wraz ze wzrostem pr ˛edko´sci tego ciała.
Mo˙zemy dla uproszczenia przyj ˛a´c, ˙ze funkcja w(v)okre´slaj ˛aca prac ˛e wykonan ˛a w jednostce czasu w zale˙zno´sci od pr ˛edko´sci jest funkcj ˛a pot ˛egow ˛a, w(v) =bvk, gdzie b >0 oraz k 2 s ˛a pewnymi stałymi wyznaczanymi eksperymentalnie.
Przyjmuj ˛ac, ˙ze ryba pokonuje drog ˛e s w czasie t, całkowita praca wykonana w czasie t wynosi
W =w(v)t.
Ryba pokonuje drog ˛e s wzgl ˛edem brzegu rzeki w czasie t. St ˛ad s = (v−v1)t, a zatem całkowit ˛a prac ˛e mo˙zna wyrazi´c jako
W(v) =w(v) s
v−v1 = sbv
k
v−v1. Funkcja W okre´slona jest na zbiorze D = {v ∈ :v >v1}.
Szukamy zatem takiej pr ˛edko´sci v, dla której funkcja W :D → osi ˛aga warto´s´c najmniejsz ˛a.
Obliczamy pochodn ˛a stosuj ˛ac wzór na pochodn ˛a ilorazu
W0(v) =sb vk0(v−v1) −vk(v−v1)0 (v−v1)2 =
=sbkvk −1(v−v1) −vk
(v−v1)2 =sbvk −1(k(v−v1) −v) (v−v1)2 . Mamy
W0(v) =0 ⇐⇒ v= k
k −1v1 =vk oraz W0(v) >0 dla v>v i W0(v) <0 dla v <v <v .
vk =vopt= k k−1v1. Pr ˛edko´s´c optymalna vk nie zale˙zy od drogi s.
Praca W(v)wydatkowana na pokonanie drogi d ˛a˙zy do+∞, zarówno gdy v d ˛a˙zy do v1 jak i gdy v → +∞:
lim
v→v1+
bvk
v−v1 = +∞ , lim
v→+∞
bvk
v−v1 = +∞ . Je´sli chcemy dobra´c pr ˛edko´s´c ruchu tak, aby pokona ´n pewn ˛a drog ˛e wydatkuj ˛ac jak najmniej energii to poruszaj ˛ac sie zbyt wolno wydłu˙za si ˛e czas podró˙zy. Z drugiej strony zbyt szybka podró˙z oznacza wieki wydatek energetyczny zwi ˛azany z pokonaniem oporu ruchu. Pomi ˛edzy tymi skrajno´sciami znajdujemy pr ˛edko´s´c optymaln ˛a, przy której wydatek energetyczny (koszt) jest najmniejszy .