• Nie Znaleziono Wyników

Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 5.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 5."

Copied!
35
0
0

Pełen tekst

(1)

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 5.

Dariusz Wrzosek

5 listopad 2018

(2)

Podstawy analizy matematycznej, ci ˛ ag dalszy

ró˙zniczka

pochodne wy˙zszych rz ˛edów

podstawowe interpretacje pochodnej w fizyce badanie funkcji

(3)

Przypomnienie i terminologia

Pochodna to granica ilorazu ró˙znicowego;

f0(x0) = lim

h→0

f(x0+h) −f(x0)

h = lim

x→x0

f(x) −f(x0) xx0

Jest to ´zródło okre´slenia ”ró˙zniczka” jako ró˙znica zbiegaj ˛aca do zera.

St ˛ad historyczna nazwa tego działu matematyki —rachunek ró˙zniczkowy.

Obliczanie pochodnych nazywa si ˛e ró˙zniczkowaniem.

Funkcj ˛e, która ma pochodn ˛a nazywa si ˛efunkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a.

Pochodna funkcji w punkcie, f0(x0), okre´sla współczynnik kierunkowy prostej przechodz ˛acej przez punkt(x0,f(x0))nale˙z ˛acy do wykresu funkcji. Taka prosta nazywa si ˛eprost ˛a styczn ˛ado wykresu funkcji i zadana jest wzorem:

yf(x0) =f0(x0)(xx0)

(4)

Wa˙zne własno´sci pochodnej

Pochodna funkcji w punkcie okre´sla liniow ˛a cz ˛e´s´c przyrostu funkcji w tym punkcie tzn.

Twierdzenie

Je˙zeli funkcja f :D→ ’ma pochodn ˛a w x0 D, to przyrost tej funkcji mo˙zna przedstawi´c za pomoc ˛a pochodnej tzn.

f(x0+h) −f(x0) =f0(x0)h+r(h,x0), gdzie r(h,x0)jest pewn ˛a funkcj ˛a zwan ˛a reszt ˛a, tak ˛a ˙ze

lim r(h,x0)

=0.

(5)

Funkcj ˛e liniow ˛a hf0(x0)h

nazywa si ˛e cz ˛e´sci ˛a liniow ˛a przyrostu funkcji, co sugeruje, ˙ze reszta przedstawia cz ˛e´s´c nieliniow ˛a przyrostu. Wiemy o niej tyle, ˙ze jest znacz ˛aco mniejsza od cz ˛e´sci liniowej.

(6)

Z poprzedniego twierdzenia wynika natychmiast

Twierdzenie

Je´sli funkcja f ma pochodn ˛a w punkcie x0, to f jest ci ˛agła w tym punkcie.

Cho´c trudno to sobie wyobrazi´c, istniej ˛a funkcje ci ˛agłe nie maj ˛ace pochodnej w ˙zadnym punkcie swojej dziedziny. Przykład takiej funkcji podał K. Weierstrass -nie mo˙zna jej zapisa´c wzorem, jest ona granic ˛a ci ˛agu funkcji o coraz bardziej zag ˛eszczaj ˛acych si ˛e z ˛ebach, jak w pile do drewna. Bior ˛ac dowolny fragment wykresu funkcji Weierstrassa

i powi ˛ekszaj ˛ac go dowolnie zawsze zobaczymy niesko ´nczenie wiele z ˛ebów upakowanych jeden przy drugim bez ˙zadnego fragmentu prostoliniowego.

(7)

Z poprzedniego twierdzenia wynika natychmiast

Twierdzenie

Je´sli funkcja f ma pochodn ˛a w punkcie x0, to f jest ci ˛agła w tym punkcie.

Cho´c trudno to sobie wyobrazi´c, istniej ˛a funkcje ci ˛agłe nie maj ˛ace pochodnej w ˙zadnym punkcie swojej dziedziny. Przykład takiej funkcji podał K. Weierstrass -nie mo˙zna jej zapisa´c wzorem, jest ona granic ˛a ci ˛agu funkcji o coraz bardziej zag ˛eszczaj ˛acych si ˛e z ˛ebach, jak w pile do drewna. Bior ˛ac dowolny fragment wykresu funkcji Weierstrassa

i powi ˛ekszaj ˛ac go dowolnie zawsze zobaczymy niesko ´nczenie wiele z ˛ebów upakowanych jeden przy drugim bez ˙zadnego fragmentu prostoliniowego.

(8)

Z poprzedniego twierdzenia wynika natychmiast

Twierdzenie

Je´sli funkcja f ma pochodn ˛a w punkcie x0, to f jest ci ˛agła w tym punkcie.

Cho´c trudno to sobie wyobrazi´c, istniej ˛a funkcje ci ˛agłe nie maj ˛ace pochodnej w ˙zadnym punkcie swojej dziedziny. Przykład takiej funkcji podał K. Weierstrass -nie mo˙zna jej zapisa´c wzorem, jest ona granic ˛a ci ˛agu funkcji o coraz bardziej zag ˛eszczaj ˛acych si ˛e z ˛ebach, jak w pile do drewna. Bior ˛ac dowolny fragment wykresu funkcji Weierstrassa

i powi ˛ekszaj ˛ac go dowolnie zawsze zobaczymy niesko ´nczenie wiele z ˛ebów upakowanych jeden przy drugim bez ˙zadnego fragmentu prostoliniowego.

(9)

Pochodne wy˙zszych rz ˛edów

Pochodn ˛a funkcji pochodnej nazywamy drug ˛a pochodn ˛a i.t.d i oznaczamy f00(x)lub ddx2f (x)2 , natomiast n pochodn ˛a funkcji oznaczamy f(n)(x)

ewentualnie dndxf (x)n .

W fizyce druga pochodna ma podstawowe znaczenie, gdy˙z druga pochodna funkcji okre´slaj ˛acej poło˙zenie poruszaj ˛acego si ˛e ciała, to jego przyspieszenie, czyli szybko´s´c zmian pr ˛edko´sci jako funkcji czasu.

(10)

Pochodne wy˙zszych rz ˛edów

Pochodn ˛a funkcji pochodnej nazywamy drug ˛a pochodn ˛a i.t.d i oznaczamy f00(x)lub ddx2f (x)2 , natomiast n pochodn ˛a funkcji oznaczamy f(n)(x)

ewentualnie dndxf (x)n .

W fizyce druga pochodna ma podstawowe znaczenie, gdy˙z druga pochodna funkcji okre´slaj ˛acej poło˙zenie poruszaj ˛acego si ˛e ciała, to jego przyspieszenie, czyli szybko´s´c zmian pr ˛edko´sci jako funkcji czasu.

(11)

Pochodne wy˙zszych rz ˛edów

Pochodn ˛a funkcji pochodnej nazywamy drug ˛a pochodn ˛a i.t.d i oznaczamy f00(x)lub ddx2f (x)2 , natomiast n pochodn ˛a funkcji oznaczamy f(n)(x)

ewentualnie dndxf (x)n .

W fizyce druga pochodna ma podstawowe znaczenie, gdy˙z druga pochodna funkcji okre´slaj ˛acej poło˙zenie poruszaj ˛acego si ˛e ciała, to jego przyspieszenie, czyli szybko´s´c zmian pr ˛edko´sci jako funkcji czasu.

(12)

jednostki fizyczne

Pr ˛edko ´s ´c wyra˙za si ˛e w jednostkach [długo´s´c/czas],ms, gdy˙z pr ˛edko´s´c to granica ilorazu przyrostu współrz ˛ednej mierzonego w metrach i przyrostu czasu mierzonego w sekundach.

Jednostk ˛a przyspieszenia, czyli pochodnej pr ˛edko´sci, jesthm

s2

i, skoro przyspieszenie to granica ilorazu przyrostu pr ˛edko´sci mierzonego w metrach na sekund ˛e i przyrostu czasu mierzonego w sekundach.

(13)

Opis ruchu: poło˙zenie, pr ˛edko´s´c, przyspieszenie

Rozwa˙zymy prosty przykład wykorzystuj ˛acy poj ˛ecia znane z fizyki.

Przyjmijmy, ˙ze poci ˛ag poruszaj ˛acy si ˛e po prostym torze ze stał ˛a pr ˛edko´sci ˛a v=100kmh mija punkt kontrolny w chwili t =0 i porusza si ˛e dalej z t ˛a sam ˛a pr ˛edko´sci ˛a przez godzin ˛e.

W ci ˛agu nast ˛epnej godziny poci ˛ag zwalnia ze stałym opó´znieniem (ujemnym przyspieszeniem) równym a = −100km

h2, a˙z do zatrzymania w odległo´sci 150km od punktu kontrolnego.

Po godzinnym postoju rusza z powrotem przyspieszaj ˛ac przez godzin ˛e z tym samym co do modułu przyspieszeniem, co przy hamowaniu, by osi ˛agn ˛a´c stał ˛a pr ˛edko´s´c v.

Przedstawimy wykresy poło˙zenia, pr ˛edko´sci i przyspieszenia poci ˛agu jako funkcje czasu. Przyjmijmy, ˙ze x(t)oznacza poło˙zenie poci ˛agu na osi, tak

˙ze punkt 0 odpowiada punktowi kontrolnemu, a jednostk ˛a czasu jest godzina[h].

(14)

Opisany kurs poci ˛agu mo˙zna podzieli´c na pi ˛e´c etapów:

1 ruch jednostajny prostoliniowy z pr ˛edko´sci ˛a v=100kmh

2 ruch jednostajnie przyspieszony z przy´spieszeniem a = −100km

h2

3 postój

4 ruch jednostajnie przyspieszony z przy´spieszeniem a = −100km

h2

5 ruch jednostajny prostoliniowy z pr ˛edko´sci ˛a v= −100kmh Dane odpowiadaj ˛a nast ˛epuj ˛acej funkcji poło˙zenia x : [0,5] → ’+od czasu

x(t) =







100 t gdy t ∈ [0,1] ,

50(t 2)2+150 gdy t ∈ [1,2] , 150 gdy t ∈ [2,3] ,

(15)

W drugim etapie podró˙zy mamy

˙

x(t) = −100(t2) = −100t+200

km h

 ,

¨

x(t) =a= −100

km h2



dla t ∈ [1,2] .

Poło˙zenie poci ˛agu jest ró˙zniczkowaln ˛a funkcj ˛a czasu, pr ˛edko´s´c jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a kawałkami ró˙zniczkowaln ˛a, a przyspieszenie jest funkcj ˛a nieci ˛agł ˛a (kawałkami ci ˛agł ˛a).

(16)

Twierdzenie Rolla

Twierdzenie (Rolla)

Je˙zeli f jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na odcinku[a,b]i ma pochodn ˛a w(a,b)oraz f(a) =f(b), to istnieje punkt c∈ (a,b), taki ˙ze f0(c) =0.

f(a) =f(b)

f0(c) =0

(17)

* Dowód twierdzenia Rolla (dla zainteresowanych)

Je˙zeli f jest funkcj ˛a stał ˛a, to oczywi´scie f0(c) = 0 dla dowolnego c ∈ [a, b].

Przypu´s´cmy teraz, ˙ze f nie jest funkcj ˛a stał ˛a. Skoro f jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a okre´slon ˛a na odcinku domkni ˛etym, na mocy twierdzenia Weierstarssa, przyjmuje ona w jakim´s punkcie swojej dziedziny warto´s´c najmniejsz ˛a i najwi ˛eksz ˛a. Zatem przynajmniej jedna z dwóch poni˙zszych nierówno´sci jest prawdziwa.

min

x∈[a,b]

f (x) < f (a) albo max

x∈[a,b]

f (x) > f (a).

Przypu´s´cmy, ˙ze druga z nich jest spełniona, czyli istnieje taki punkt c, ˙ze f (c) = maxx∈[a,b]f (x).

Poniewa˙z f (a) = f (b), wi ˛ec c , a i c , b, czyli c ∈ (a, b) oraz f (c + h) − f (c)

h ­ 0, je´sli h < 0 , f (c + h) − f (c)

h ¬ 0, je´sli h > 0 .

Pochodna f istnieje w ka˙zdym punkcie odcinka (a, b), zatem ilorazy ró˙znicowe po lewej stronie maj ˛a granic ˛e i jest ona równa pochodnej f0(c).

(18)

Ko ´ncówka dowodu twierdzenia Rolla

Z jednej strony

lim

h→0h<0

f(c+h) −f(c)

h =f0(c) ­0, a z drugiej

lim

h→0h>0

f(c+h) −f(c)

h =f0(c) ¬0.

Obie nierówno´sci mog ˛a by´c spełnione jednocze´snie tylko wtedy gdy f0(c) =0.

(19)

Twierdzenie Lagrange’a

Z twierdzenia Rolla wynika nast ˛epuj ˛ace twierdzenie Lagrange’a (Joseph Lagrange (1736-1813)), które ma wa˙zne konsekwencje.

Twierdzenie (Lagrange’a o warto´sci ´sredniej)

Je˙zeli f jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na odcinku[a,b]i ma pochodn ˛a w(a,b), to istnieje punkt c ∈ (a,b), taki ˙ze

f(b) −f(a)

ba =f0(c).

f(a) f(b)

f0(c) = f(b) −f(a) ba

a c b

(20)

Dowód twierdzenia Lagrange’a

Dowód:

Wystarczy zastosowa´c twierdzenie Rolla do funkcji

g(x) =f(x) −



f(a) +f(b) −f(a)

ba (xa)

 .

Oczywi´scie g(a) =g(b) =0 i spełnione s ˛a wszystkie pozostałe zało˙zenia twierdzenia Rolla.

Istnieje zatem punkt c ∈ (a,b), taki ˙ze g0(c) =0. Ale f(b) −f(a)

(21)

Wniosek

Funkcja ró˙zniczkowalna f : (a,b) → ’jest stała w.t.w. gdy f0(x) =0 dla wszystkich x ∈ (a,b)

Wniosek

Niech funkcja f : (a,b) → ’ma pochodn ˛a w ka˙zdym punkcie(a,b). Wtedy je´sli dla wszystkich x ∈ (a,b):

1 f0(x) >0, to f jest (´sci´sle) rosn ˛aca

2 f0(x) ­0, to f jest niemalej ˛aca

3 f0(x) <0, to f jest (´sci´sle) malej ˛aca

4 f0(x) ¬0, to f jest nierosn ˛aca

Wystarczy zauwa˙zy´c na podstawie twierdzenia Lagrange’a, ˙ze dla dowolnych punktów x1,x2, takich ˙ze a <x1 <x2<b istnieje xc: x1 <xc <x2oraz

f(x2) −f(x1) =f0(xc)(x2x1) . Zatem o znaku lewej strony decyduje znak f0(xc).

(22)

Uwaga

Funkcja mo˙ze przyjmowa´c wzgl ˛edniemałewarto´sci, a jej pochodna wzgl ˛edniebardzo du˙ze. Rozpatrzmy funkcj ˛e:

f(x) =0,5·sin(100x) dla x ∈ ’.

Wtedy f0(x) =50 cos(100x).

Najwi ˛eksza warto´s´c, któr ˛a mo˙ze przyj ˛a´c|f(x)|wynosi 0,5.

Najwi ˛eksza warto´s´c, któr ˛a mo˙ze przyj ˛a´c|f0(x)|wynosi 50.

Zakres zmienno´sci warto´sci funkcji jest w granicach od0,5 do 0,5 a zakres zmienno´sci jej pochodnej jest stukrotnie wi ˛ekszy.

(23)

Zadanie

Samochód przemieszcza si ˛e ruchem prostoliniowym zwalniaj ˛ac

i przyspieszaj ˛ac, bez zatrzymywania. Załó˙zmy, ˙ze znamy zapis pr ˛edko´sci w ka˙zdej chwili jazdy samochodu i chcemy oszacowa´c jak daleko

samochód mógł si ˛e przemie´sci´c w czasie T .

Aby znale´z´c to oszacowanie trzeba wymno˙zy´c T przez najwi ˛eksz ˛a warto´s´c pr ˛edko´sci, któr ˛a osi ˛agn ˛ał samochód w tym czasie. To post ˛epowanie uzasadnia nast ˛epuj ˛acy

Wniosek (z Twierdzenia Lagrange’a)

Niech f : [a,b] 7→ ’b ˛edzie funkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a na(a,b)i ci ˛agł ˛a na [a,b]. Załó˙zmy, ˙ze dla wszystkich x ∈ [a,b],|f0(x)|nie przekracza pewnej liczby M. Wtedy

|f(b) −f(a)| ¬M|ab|.

(24)

Zasada optimum w naukach przyrodniczych i społecznych.

Wiele zagadnie ´n fizyki, biologii i ekonomii sprowadza si ˛e do poszukiwania optimum, które jest realizowane przez minimum lub maksimum pewnej funkcji- słu˙zy do tego wła´snie pochodna.

Fizyka- promie ´n ´swiatła przechodz ˛ac przez ró˙zne o´srodki od jednego punktu do drugiego wybiera tak ˛a trajektori ˛e, aby zminimalizowa´c czas przej´scia mi ˛edzy nimi.

Ekonomia- maksymalizuje si ˛e zysk jako funkcj ˛e ró˙znych inwestycji oraz (z drugiej strony) minimalizuje si ˛e strat ˛e.

(25)

Ekstrema lokalne

Minimum i maksimum funkcji okre´sla si ˛e mianemekstremumfunkcji.

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)

Załó˙zmy, ˙ze f : (a,b) → ’jest funkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a. Je´sli f ma

minimum lokalnew punkcie x0 ∈ (a,b), czyli istnieje odcinek (x−1,x1) ⊂ (a,b), taki ˙ze f(x) ­f(x0), dla wszystkich x∈ (x−1,x1) lub

maksimum lokalnew punkcie x0 ∈ (a,b), czyli istnieje odcinek (x−1,x1) ⊂ (a,b), taki ˙ze f(x) ¬f(x0), dla wszystkich x∈ (x−1,x1), tof0(x0) =0.

Jest to warunekkoniecznyistnienia ekstremum lokalnego.

(26)

Twierdzenie (warunek wystarczaj ˛ acy na istn. minimum b ˛ ad´z maksimum funkcji

Je´sli f : (a,b) → ’jest funkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a i dla pewnego x0∈ (a,b) zachodzif0(x0) =0oraz istnieje przedział(x−1,x1) ⊂ (a,b), taki ˙ze

1 f0(x) <0 dla x∈ (x−1,x0)oraz f0(x) >0 dla x∈ (x0,x1), to funkcja f maminimumlokalne w x0.

2 f0(x) >0 dla x∈ (x−1,x0)oraz f0(x) <0 dla x∈ (x0,x1), to funkcja f mamaksimumlokalne w x0.

funkcja

funkcja

(27)

Przykład sytuacji gdy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji ró˙zniczkowalnej (czyli zerowanie si ˛e pochodnej) i nie jest spełniony warunek wystarczaj ˛ acy.

Rozpatrzmy funkcj ˛ef(x) =x3 dla x∈ ’. Pochodnaf0(x) =3x2zeruje si ˛e jedynie w punkcie x =0. W tym punkcie spełniony jest zatem warunek konieczny istnienia ekstremum. Jednakf0(x) >0dla wszystkich x ,0, a wi ˛ec nie jest spełniony warunek wystarczaj ˛acy istnienia ekstremum.

x f0(x) f(x)

Pochodne funkcjif(x) =x3 ig(x) =x2

w punkcie x =0 zeruj ˛a si ˛e i dlatego ich wykresy

„wypłaszczaj ˛a si ˛e” w otoczeniu punktu 0 (prosta styczna do wykresu w tym punkcie jest pozioma).

Pochodnaf0(x) =3x2jest dodatnia dla x ,0 a pochodnag0(x) =2x jest dodatnia dla x >0 i ujemna dla x<0. Dlatego funkcjagma minimum w punkcie 0 a funkcjaf nie ma minimum.

(28)

Wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji (podsumowanie).

Minimum lub maksimum funkcji f w x0 =⇒f0(x0) =0.

x0 pochodna

funkcja

+

minimum lokalne

x0

pochodna funkcja

+

maksimum lokalne

(29)

Badanie funkcji :

znajdujemy warto´sci funkcji lub jej granice na kra ´ncach dziedziny, sprawdzamy czy s ˛a punkty, w których funkcja si ˛e zeruje,

znajdujemy pochodn ˛a funkcji,

znajdujemy punkty, w których pochodna zeruje si ˛e (w nich mog ˛a by´c ekstrema lokalne),

znajdujemy przedziały na których pochodna jest dodatnia (funkcja ro´snie) lub ujemna (funkcja maleje),

znajdujemy minima lub maksima lokalne funkcji,

okre´slamy warto´s´c najmniejsz ˛a i najwi ˛eksz ˛a funkcji (o ile istniej ˛a) poprzez porównanie warto´sci w ekstremach lokalnych i na ko ´ncach dziedziny funkcji.

(30)

Zadanie

Dla jakiej liczby dodatniej x funkcja f(x) =x+1x osi ˛aga warto´s´c najmniejsz ˛a ?

Rozwi ˛azanie

Zbadamy przebieg funkcji f :D → ’, gdzie D = {x:x ∈ ’ ,x>0}. Obliczymy najpierw granice funkcji.

lim

x→0+

 x+1

x



= +∞, lim

x→+∞

 x+1

x



= +∞.

Poniewa˙z funkcja jest ci ˛agła, z powy˙zszego wynika, ˙ze posiada minimum.

Obliczamy pochodn ˛a funkcji, aby znale´z´c przedziały, na których funkcja

(31)

Mamy

f0(x) =1 1

x2, x D = {x:x ∈ ’,x >0} Zatem

f0(x) =0 1= 1

x2 x=1 lub x= −1. Skoro x D, to pozostaje tylko punkt x =1. Zauwa˙zmy, ˙ze

x∈ (0,1) →f0(x) <0, x∈ (1, +∞) →f0(x) >0.

Zatem funkcja f osi ˛aga minimaln ˛a warto´s´c w punkcie x =1 i f(1) =2.

x y=f(x)

2

1

f(x) =x +

1 x

(32)

Zasada optimum w biologii

Zasada optimumw biologii zwi ˛azana jest z teori ˛a ewolucji i koncepcj ˛a maksymalizacjidostosowania(ang. fitness), która jest jednym z głównych poj ˛e´c stosowanych do wyja´sniania strategii ˙zyciowych ro´slin i zwierz ˛at.

Poni˙zszy przykład jest znacznym uproszczeniem z punktu widzenia fizjologii i ekologii, jego zalet ˛a natomiast jest prostota.

Zadanie

Ryba płynie pod pr ˛ad rzeki na tarło ze stał ˛a pr ˛edko´sci ˛a v wzgl ˛edem wody.

Pr ˛edko´s´c wody wzgl ˛edem brzegu rzeki wynosi v1. Znale´z´c optymaln ˛a pr ˛edko´s´c vopt, przy której ryba wydatkuje na ruch minimaln ˛a energi ˛e (czyli wykonuje minimaln ˛a prac ˛e).

(33)

Ryba wykonuje w jednostce czasu prac ˛e zwi ˛azan ˛a przede wszystkim z pokonaniem oporu wody — tym wi ˛eksz ˛a, im wi ˛eksza jest pr ˛edko´s´c wzgl ˛edem rzeki v. Zgodne z prawami fizyki, siły oporu działaj ˛ace na ciało poruszaj ˛ace si ˛e w wodzie rosn ˛a wraz ze wzrostem pr ˛edko´sci tego ciała.

Mo˙zemy dla uproszczenia przyj ˛a´c, ˙ze funkcja w(v)okre´slaj ˛aca prac ˛e wykonan ˛a w jednostce czasu w zale˙zno´sci od pr ˛edko´sci jest funkcj ˛a pot ˛egow ˛a, w(v) =bvk, gdzie b >0 oraz k ­2 s ˛a pewnymi stałymi wyznaczanymi eksperymentalnie.

Przyjmuj ˛ac, ˙ze ryba pokonuje drog ˛e s w czasie t, całkowita praca wykonana w czasie t wynosi

W =w(v)t.

Ryba pokonuje drog ˛e s wzgl ˛edem brzegu rzeki w czasie t. St ˛ad s = (vv1)t, a zatem całkowit ˛a prac ˛e mo˙zna wyrazi´c jako

W(v) =w(v) s

vv1 = sbv

k

vv1. Funkcja W okre´slona jest na zbiorze D = {v ∈ ’ :v >v1}.

(34)

Szukamy zatem takiej pr ˛edko´sci v, dla której funkcja W :D → ’osi ˛aga warto´s´c najmniejsz ˛a.

Obliczamy pochodn ˛a stosuj ˛ac wzór na pochodn ˛a ilorazu

W0(v) =sb vk0(vv1) −vk(vv1)0 (vv1)2 =

=sbkvk −1(vv1) −vk

(vv1)2 =sbvk −1(k(vv1) −v) (vv1)2 . Mamy

W0(v) =0 ⇐⇒ v= k

k 1v1 =vk oraz W0(v) >0 dla v>v i W0(v) <0 dla v <v <v .

(35)

vk =vopt= k k1v1. Pr ˛edko´s´c optymalna vk nie zale˙zy od drogi s.

Praca W(v)wydatkowana na pokonanie drogi d ˛a˙zy do+∞, zarówno gdy v d ˛a˙zy do v1 jak i gdy v → +∞:

lim

v→v1+

bvk

vv1 = +∞ , lim

v→+∞

bvk

vv1 = +∞ . Je´sli chcemy dobra´c pr ˛edko´s´c ruchu tak, aby pokona ´n pewn ˛a drog ˛e wydatkuj ˛ac jak najmniej energii to poruszaj ˛ac sie zbyt wolno wydłu˙za si ˛e czas podró˙zy. Z drugiej strony zbyt szybka podró˙z oznacza wieki wydatek energetyczny zwi ˛azany z pokonaniem oporu ruchu. Pomi ˛edzy tymi skrajno´sciami znajdujemy pr ˛edko´s´c optymaln ˛a, przy której wydatek energetyczny (koszt) jest najmniejszy .

Cytaty

Powiązane dokumenty

(i) Poszczeg´ olne zadania nale˙zy oddawa´ c na osobnych kartkach podpisanych imieniem i nazwiskiem. (ii) Ka˙zde zadanie warte jest 5 punkt´ ow, niezale˙znie od stopnia

Poniewa˙z x n−1 ma niesko´nczenie wiele R-nast˛epników, wi˛ec co najmniej jeden z jego bez- po´srednich R-nast˛epników tak˙ze ma niesko´nczenie wiele R-nast˛epników... Nie

Pokazać, że podciąg wyrazów parzystych jest monotoniczny (rosnący czy malejący? – odpowiedź zależy od a) i podciąg wyrazów nieparzystych jest też monotoniczny (jaki

( ? ) jest podstawowym liniowym równaniem ró˙zniczkowym opisuj ˛ acym zmiany zag ˛eszcze ´n populacji w czasie ci ˛ agłym. Równanie to zwane jest równaniem Malthusa (Thomas

Je´sli zbiór zdarze ´n elementarnych jest zbiorem sko ´nczonym to zdarzeniem mo˙ze by´c dowolny podzbiór zbioru zdarze ´n elementarnych, a w przypadku gdy zbiór zdarze

1 Jakie jest prawdopodobie ´ nstwo zdarzenia, ˙ze w losowo wybranej rodzinie dwudzietnej jest dwóch chłopców pod warunkiem, ˙ze w tej rodzinie jest przynajmniej jeden

Trzeba podkre´sli´c, ˙ze sam rozkład prawdopodobie ´nstwa nie niesie pełnej informacji o zmiennej losowej jako o funkcji, okre´sla jedynie z jakimi prawdopodobie ´nstwami dana

Ta ostatnia własno´s´c powoduje, ˙ze najcz ˛e´sciej zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym bywa interpretowana jako czas oczekiwania na jakie´s zdarzenie je´sli mo˙zna przyj