Podstawy Automatyki
Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID
dr inż. Jakub Możaryn
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2015
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Jakość układu regulacji
Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane są dodatkowe wymagania związane z zachowaniem się układu w stanach przejściowych (dynamicznych) i w stanach ustalonych, określane ogólnie jako wymagania dotyczące jakości układu regulacji.
Wymagania odnoszące się do przebiegu procesów przejściowych w ukła- dach regulacji określane są za pomocą szeregu wskaźników, nazywanych ogólnie kryteriami (wskaźnikami) jakości dynamicznej układu regulacji.
Wymagania dotyczące stanów ustalonych formułuje się przez określenie tzw. dokładności statycznej układu regulacji – dopuszczalnych wartości odchyłek regulacji w stanach ustalonych.
Jakość układu regulacji
Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji.
e(t) = ez(t) + ew(t), (1) gdzie
ez(t) - odchyłka wywołana zakłóceniem,
ew(t) - odchyłka wywołana wymuszeniem. (zmianą wartości zadanej)
e(t) = ym(t) − w (t), (2)
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Regulatory
Jakość układu regulacji
Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwa składniki odchyłki regulacji.
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odchyłka zakłóceniowa
Odchyłki statyczne spowodowane zakłóceniem
Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia Gz(s) = ∆ym(s)
z(s) =ez(s)
z(s) = ±Gz(s)Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s) (3) ez(s) = ∆ym(s) = ±Gz(s)Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (4) Odchyłka statyczna względem zakłócenia:
ezst.= lim
t→∞ez(t) = lim
s→0s · ez(s) (5)
ezst.= lim
s→0s · ±Gz(s)Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (6)
Odchyłka nadążania
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odchyłka nadążania
Odchyłka nadążania
Odchyłki statyczne spowodowane zmianą wartości zadanej
Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej Gew(s) = ew(s)
∆w (s) = −1
1 + Gob(s)Gr(s) (7) ew(s) = −1
1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (8) Odchyłka statyczna względem wartości zadanej
ewst.= lim
t→∞ew(t) = lim
s→0s · ew(s) (9)
ewst.= lim
s→0s · −1
1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (10)
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odchyłki - przykład
Wyznaczyć odchyłki statyczne w układzie regulacji pokazanym na rysunku, wywołane zakłóceniem z(t) = 2 oraz zmianą wartości zadanej ∆w (t) = 5, w przypadku zastosowania:
regulatora P regulatora PD regulatora PI
Odchyłki - przykład
Transmitancja
Gob(s) = kob
(Ts + 1)4 (11)
Regulator P
Gr(s) = kp (12)
Regulator PD
Gr(s) = kp(1 + Tds) (13) Regulator PI
Gr(s) = kp
1 + Tds + 1 Tis
(14) Zakłócenie
z(t) = 2 → z(s) = 2
s (15)
Zmiana wartości zadanej
∆w (t) = 5 → ∆w (s) =5
s (16)
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odchyłki - Przykład
Odchyłki zakłóceniowe:
ezst.= lim
t→∞ez(t) = lim
s→0s Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (17) Regulator P
ezst.P = lims→0s Gob(s) 1 + Gob(s)Gr(s)
2 s =
lims→0
kob
(Ts + 1)4· 2 1 + kob
(Ts + 1)4kp
= lims→0
kob· 2 (Ts + 1)4+ kob· kp
(18)
Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora P ezst.P = kob· 2
1 + kobkp
(19)
Odchyłki - Przykład
Odchyłki zakłóceniowe:
ezst.= lim
t→∞ez(t) = lim
s→0s Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (20) Regulator PD
ezst.PD = lims→0
kob
(Ts + 1)4· 2 1 + kob
(Ts + 1)4kp(1 + Tds)
=
= lims→0
kob· 2
(Ts + 1)4+ kob· kp(1 + Tds)
(21)
Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PD ezst.PD= kob· 2
1 + kobkp
(22)
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odchyłki - Przykład
Odchyłki zakłóceniowe:
ezst.= lim
t→∞ez(t) = lim
s→0s Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (23) Regulator PI
ezst.PI = lims→0
kob (Ts + 1)4· 2 1 + kob
(Ts + 1)4kp(1 + 1 Tis)
=
= lims→0 kob· 2
(Ts + 1)4+ kob· kp(1 + 1 Tis)
= 0
(24)
Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PI
ezst.PI = 0 (25)
Odchyłki - Przykład
Podsumowanie
Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora P ezst.P = kob· 2
1 + kobkp
(26)
Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PD ezst.PD= kob· 2
1 + kobkp
(27)
Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PI
ezst.PI = 0 (28)
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odchyłki - Przykład
Odchyłki wymuszeniowe:
ewst.= lim
t→∞ez(t) = lim
s→0s −1
1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (29) Regulator P
ewst.P = lim
s→0s −1
1 + Gob(s)kp 5 s = lim
s→0
−5 1 + kob
(Ts + 1)4kp
= −5
1 + kobkp (30)
Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora P ewst.P = −5
1 + kobkp
(31)
Odchyłki - Przykład
Odchyłki wymuszeniowe:
ewst.= lim
t→∞ez(t) = lim
s→0s −1
1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (32) Regulator PD
ewst.PD = lims→0s −1
1 + Gob(s)kp(1 + Tds) 5 s
= lims→0 −5
1 + kob
(Ts + 1)4kp(1 + Tds)
= −5
1 + kobkp
(33)
Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PD ewst.PD = −5
1 + kobkp
(34)
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odchyłki - Przykład
Odchyłki wymuszeniowe:
ewst.= lim
t→∞ez(t) = lim
s→0s −1
1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (35) Regulator PI
ewst.PI = lims→0s −1 1 + Gob(s)kp
1 + 1
Tis
5 s
= lims→0 −5
1 + kob (Ts + 1)4kp
1 + 1
Tis
= 0
(36)
Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PI
ewst.PI = 0 (37)
Odchyłki - Przykład
Podsumowanie
Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora P ewst.P = −5
1 + kobkp (38)
Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PD ewst.PD = −5
1 + kobkp
(39)
Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PI
ewst.PI = 0 (40)
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odchyłki - Przykład
Wnioski:
W układzie z obiektem statycznym i regulatorem o algorytmie P lub PD występują niezerowe odchyłki statyczne zarówno zakłóceniowe jak i nadążania proporcjonalne odpowiednio do wartości zakłócenia lub zmiany wartości zadanej.
Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego regulatora P lub PD zmniejsza wartość odchyłek statycznych. Zmniejszenie odchyłki statycznej przez zwiększenie wzmocnienia jest zwykle ograniczone ze względu na warunki stabilności układu. (Układ z regulatorem PD osiąga granicę stabilności przy większym
wzmocnieniu regulatora niż w przypadku układu z regulatorem P.) Akcja całkująca występująca w regulatorze zapewnia zerowe odchyłki statyczne przy stałych wartościach zakłócenia lub stałych zmianach wartości zadanej
Jakość dynamiczna
W praktyce wykorzystuje się różne wskaźniki jakości dynamicznej:
wskaźniki dotyczące parametrów odpowiedzi skokowych (wskaźniki przebiegu przejściowego),
wskaźniki dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji - zapasy modułu i fazy,
całkowe wskaźniki jakości.
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Wskaźniki przebiegu przejściowego
Do oceny przebiegów przebiegów przejściowych wykorzystywane są wskaźniki:
statyczna odchyłka zakłóceniowa: ezst.
statyczna odchyłka nadążania: ewst.
maksymalna odchyłka dynamiczna: em- maksymalna wartość odchyłki regulacji po wprowadzeniu zakłócenia skokowego lub skokowej zmiany wartości zadanej.
czas regulacji: tr - czas od chwili wprowadzenia skokowego zakłócenia lub wymuszenia do chwili, od której odchyłka regulacji nie wykracza poza przedział wartości ±∆e .
przeregulowanie: κ = e2
e1· 100% - wyrażony w procentach stosunek amplitudy drugiego odchylenia e2od wartości ustalonej do amplitudy pierwszego odchylenia e1.
Odpowiedzi oscylacyjne na zakłócenie skokowe
Rysunek :Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odpowiedzi aperiodyczne na zakłócenie skokowe
Rysunek :Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną
Odpowiedzi oscylacyjne na wymuszenie skokowe
Rysunek :Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartości zadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Odpowiedzi aperiodyczne na wymuszenie skokowe
Rysunek :Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartości zadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną
Dobór regulatorów
Podstawową przesłanką przy wyborze rodzaju regulatora są właściwości dynamiczne obiektu regulacji.
Rysunek :Układ regulacji
Podstawowe formy opisu właściwości obiektów regulacji Gob(s) = ∆ym(s)
∆u(s) = kob
Tzs + 1e−T0s, Gob(s) = ∆ym(s)
∆u(s) = 1 Tzse−T0s
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Dobór regulatorów
dla T0 Tz
< 0, 1 ÷ 0, 2 → regulatory dwu- lub trój-stawne
dla 0, 1 ¬ T0
Tz
< 0, 7 ÷ 1 ÷ 0, 2 → regulatory o działaniu ciągłym
dla T0 Tz
> 1 → regulatory o działaniu impulsowym (generujące impulsowe sygnały wyjściowe)
W przypadku obiektów przemysłowych najczęściej spotykane wartości sto- sunku T0
Tz
mieszczą się w przedziale 0, 2 ÷ 0, 7. Dlatego w przemysłowych układach regulacji najbardziej rozpowszechnione są regulatory o działaniu ciągłym, realizujące typowe algorytmy regulacji P, PI, PD i PID.
Dobór regulatorów
Analiza współpracy regulatora z obiektem prowadzi do następujących wniosków odnośnie wyboru algorytmu regulatora:
Regulator o algorytmie PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy zakłóceniach o niskich częstotliwościach. Akcja całkująca jest niezbędna dla uzyskania odchyłek statycznych równych zero.
Regulator o algorytmie PD zapewnia szersze pasmo regulacji niż regulator o algorytmie PI, ale z gorszą jakością regulacji przy niskich częstotliwościach zakłóceń lub wymuszeń. Akcja różniczkująca jest zalecana w przypadku obiektów inercyjnych wyższych rzędów (np.
takich jak procesy cieplne), gdyż pozwala na wytworzenie silnego oddziaływania sterującego już przy małych odchyłkach regulacji.
Regulator PD nie zapewnia osiągania w stanach ustalonych zerowej odchyłki regulacji.
Regulator o algorytmie PID łączy do pewnego stopnia zalety regulatorów PI i PD.
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Dobór regulatorów
Stosowane w praktyce, przemysłowe regulatory o działaniu ciągłym są urzą- dzeniami uniwersalnymi. Ich parametry (nastawy) można zmieniać (nasta- wiać) w szerokich granicach, dzięki czemu mogą one współpracować po- prawnie z obiektami o zróżnicowanej dynamice. Zależnie od stawianych wymagań dotyczących stabilności i jakości regulacji, należy wprowadzić odpowiednie nastawy regulatora dobierane wg procedur nazywanych doborem nastaw. Nastawy, są to następujące wielkości:
wzmocnienie proporcjonalne kp= 0, 1 ÷ 100 czas zdwojenia Ti = 0, 1 ÷ 3600s
czas wyprzedzenia Td= 0 ÷ 3600s
Dobór regulatorów
Metody doboru nastaw regulatorów PID o działaniu ciągłym
metody doświadczalne, nie zapewniające uzyskania określonych parametrów jakościowych układom regulacji, np. Zieglera – Nicholsa, Pessena, Hassena i Offereissena, Cohena-Coona, ¨Astr¨oma –
Hagglunda
tabelaryczne metody określania nastaw regulatorów na podstawie parametrów matematycznego modelu obiektu regulacji i
wymaganego kryterium jakości układu regulacji samostrojenie np. metoda przekaźnikowa
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Dobór regulatorów
Metoda Zieglera-Nicholsa Wariant 1:
nastawy regulatora dobierane są na podstawie parametrów zamkniętego układu regulacji, doprowadzonego do granicy stabilności (metoda wzbudzenia układu),
Może być stosowana do doboru nastaw regulatorów w układach regulacji obiektów zarówno statycznych jak i astatycznych z inercją wyższego rzędu .
Wariant 2:
tylko dla układów ze statycznymi obiektami regulacji, nastawy regulatora dobierane są na podstawie parametrów charakterystyki skokowej obiektu regulacji.
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1
Rysunek :Schemat funkcjonalny rzeczywistego układu regulacji
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1 - krok 1-3 / 6
Krok 1: W trybie sterowania ręcznego (tryb M), zmieniając sygnał sterujący u (CV), doprowadzić wielkość regulowaną ym (PV) do stanu, w którym zrówna się ona z wymaganą wartością zadaną.
Krok 2: Ustawić regulator zainstalowany na obiekcie na działanie proporcjonalne (wyłączyć akcję całkującą i różniczkującą), ustawić punkt pracy regulatora równy nastawionej w ramach Kroku 1 wartości u oraz nastawić początkową wartość wzmocnienia regulatora kp> 0.
Krok 3: Przełączyć układ na sterowanie automatyczne (tryb A) i jeżeli układ zachowuje stan równowagi, zadajnikiem SP wytworzyć impulsową zmianę wartości zadanej o amplitudzie i czasie trwania impulsu zależnym od spodziewanej dynamiki procesu; obserwować lub rejestrować zmiany wielkości regulowanej. Praktycy zalecają amplitudę impulsu o wartości 10% zakresu zmian sygnału ym (PV) i czas trwania impulsu równy około 10% szacowanej wartości
zastępczej stałej czasowej obiektu.
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1 - krok 4-6 / 6
Krok 4:Jeżeli zmiany są gasnące, ustawiać coraz to większe wartości aż do wystąpienia w układzie stałych niegasnących oscylacji.
Krok 5: Z zarejestrowanego przebiegu o niegasnącej amplitudzie, odczytać kpkryt.okres oscylacji Tosc.
Krok 6: Wprowadzić nastawy zgodnie z tablicą nastaw w.
Zieglera-Nicholsa.
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1
Rysunek :Przebiegi zmian wielkości regulowanej PV uzyskiwane w trakcie eksperymentu Zieglera – Nicholsa (wariant 1)
Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1
Tabela nastaw regulatora PID wg. Zieglera-Nicholsa
Rodzaj regulatora kp Ti Td
P 0, 50kpkryt. - -
PI 0, 45kpkryt. 0, 8Tosc • PID 0, 60kpkryt. 0, 5Tosc 0, 12Tosc
dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID
dr inż. Jakub Możaryn
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2015