3 77 £2 /2 1 2 2 2 2 2 7 1 77 2 w równaniach różniczkowych drugiego rzędu O pewnym uogólnieniu metody sumacyjnej Hammersteina

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I : PRACE MATEMATYCZNE IX (1965)

Z. Fr y d r y c h (Kraków)

O pewnym uogólnieniu metody sumacyjnej Hammersteina w równaniach różniczkowych drugiego rzędu

Wstęp. Praca obejmuje problematykę, którą Hammerstein w roku 1928 opracował w przypadku dwuwymiarowym, wyrażając przypuszczenie, że wyniki przez niego uzyskane dadzą się rozszerzyć na przypadek trój­

wymiarowy.

Zasadnicze jego wyniki opierają się na oszacowaniach asymptotycz­

nych funkcyj własnych zagadnień brzegowych i ich pochodnych. Osza­

cowania te w przypadku trójwymiarowym zostały uzyskane dopiero w roku 1950 przez Smolickiego ([2 ]) dla funkcyj własnych i ich pochodnych, natomiast oszacowania asymptotyczne wartości własnych w przypadku trójwymiarowym zostały uzyskane w roku 1936 przez Carlemana ([3]).

Stosując te oszacowania, uzyskane na drodze żmudnych badań za pomocą teorii potencjału, z zastosowaniem klasyfikacji powierzchni Lapunowa ([4]) uzyskano w niniejszej pracy rozwiązanie rozważanych zagadnień w przypadku trójwymiarowym.

W przypadku dwuwymiarowym Hammerstein podał następujące

Tw i e r d z e n i e I. Niech D oznacza obszar ograniczony dwuwymiarowy.

Niech K ( x , y, £, tj) oznacza funkcję, która ma następujące trzy własności funkcji Greena:

1 ) dla każdej pary punktów {x, y) i (£ ,77) należących do obszaru D i różnych od siebie funkcja ma postać

K { x , y , £> У) = - 1 lnr + y { x , y; £,

7

gdzie r

2

2) AęK{x, у ; £, ^{7 7}) = 0, gdzie

AsK( x , у ; £, rj) d

2

2

d£2 + dr

/2 1

3 ) funkcja K { x , y ; £ , 77) jest symetryczna.

238 Z. F r y d r y c h

Niech {AJ oraz {щ{х, yj] oznaczają ciągi odpowiednio wartości i funiccyj własnych równania całkowego

u(x, y) = Z f f K ( x , y; i , y)u(£, y)d£dy.

D

Niech d oznacza dostatecznie małą liczbę dodatnią.

Wtedy dła każdego d istnieje łiczba całkowita m(d) niezależna od (x , y ) oraz (£, y) taka, że o ile n jest liczbą naturalną oraz n > m(d), to

K(x, ?/; f > y) — ^<Pi(x, y)<Pi(ź, y)

4

dla wszystkich punktów (x ,y ) oraz (£,y), których wzajemna odległość oraz od­

ległość od brzegu obszaru jest niemniejsza od d.

Z drugiej strony wykazano w pracy [5], że w przypadku prostokąta szereg dwuliniowy funkcji Greena znikającej na brzegu obszaru jest absolutnie rozbieżny w każdym jego punkcie wewnętrznym.

W przypadku zbieżności warunkowej suma szeregu zależy od po­

rządku sumowania i nie wiadomo przy jakim uporządkowaniu szereg V (рп^х' _А у)

г = 1

gdzie пх, п 2, . . . oznacza dowolną permutację ciągu liczb naturalny cli, jest zbieżny do funkcji Greena.

Hammerstein, przez zastosowanie odpowiednich współczynników sumacyjnych w szeregu dwudniowym, uzyskał rozwinięcie absolutnie i jednostajnie zbieżne w pewnym zbiorze do funkcji Greena, więc nieza­

leżne od porządku sumowania. Rezultat ten zawarty jest w następują­

cym twierdzeniu:

T w i e e d z e n i e II. Niech K ( x , y , t j , y ) oznacza funkcję o własnościach podanych w twierdzeniu I o wartościach własnych dodatnich. Niech D x oznacza obszar domknięty zawarty w D. Niech g oznacza liczbę naturalną.

Niech q oznacza liczbę spełniającą nierówność 0 < q < 1, taką, że koło K e o środku w punkcie (i, y) należącym do l ) x i o promieniu gę zawiera, się w D dla każdego (£, y). Niech

0

gdzie J x jest funkcją Bessela rzędu 1, pierwszego rodzaju. Wówczas, ó ile (x — ! ) 2+ (y — y

)2

K{ x , y, *i) = J ? ai

i - = l

y)<Pi(Ź, У)

Ai i

O uogólnieniu metody sumacyjnej Hammersteina 239

przy czym szereg ten jest zbieżny absolutnie i jednostajnie dla wszystkich (x, y) należących do В i- wszystkich (i, y) należących do B x.

W końcu, odnośnie różniczkowania tego rozwinięcia, Hammerstein podał

Twierdzenie III. Jeżeli do poprzednich założeń dodać, że g > 1, to

OO n

d K ( x , y ’, i , i7) V-I g cpi{x, y) d(pi(i,y)

di ~ 2 j ai Xi ’ di

г = 1 oraz

dK( x, y; j , у) y i а 00 У) . n)

dy ai li ’ dy

Szeregi te są absolutnie i jednostajnie zbieżne dla wszystkich (x, y) należących do В i wszystkich (i, y) należących do B x.

§ I . Zanim podamy podobne twierdzenia w przypadku trójwymiaro­

wym udowodnimy kilka lematów.

Lemat I. Jeżeli

H(Q,r) = H { i ,

71

4tu \ r q + 2qs 2q

0,

gdy r < e , gdy r > Q,

0.

gdzie q jest ustaloną liczbą dodatnią (parametrem)., r2 = (u— i )

2

2

+ (w—i ) 2, to

l dH(p, r) H( r , r ) — H(p, p) = 0 oraz I---—

\ dr Dowód uzyskujemy przez sprawdzenie.

Lemat II. Jeżeli H ( g , r ) oznacza tę samą funkcję co w lemacie I, to gdy r < q,

AuH (q, r) = I 4/3tu£)3 ’

l 0, gdy r > g .

D o w ó d . Jeżeli r > q, wówczas Н( д , г ) = 0, więc АиН ( д , г ) = 0, jeżeli zaś r < g, wówczas

А„Щ е , г) = =

1 / d2r2 d2r2 d2r2\ 1

8

3

2

2

21 87

2 4 0 Z. F r y d r y c h

L e m a t III. Jeżeli К г oznacza kulę o środku (£,?), O i o 'promieniu g, wówczas

J = j j j H 2dudvdw = Cg, к л

gdzie C jest stałą liczbą.

D o w ó d . Wprowadzając w całce J współrzędne sferyczne otrzymu­

jemy

2n тс в

J — lim --- f da> f sinddd f I— -1_ —_____ гглг _ e->o 16tt2 J V J J \ r + 2 e» 2g )

= lim

£->0

^•6 4^6

Q|»2 ^*3 4g2 g3

3 r Q

3r4

~2g* dr — Cg, czego należało dowieść.

L e m a t I Y . Jeżeli Лщ-\- / 1 * 9 4 = 0 , gdzie щ jest klasy C2, A * > 0 oraz (1)

3 _ 3 _

a, = — cos ( o i'Xi) H---- - jtf sin (o o % - " '/ fi-

wówczas dla każdej kuli K R o środku w punkcie (i, r], £) i o promieniu В (2)

oraz (3)

Я

F(KR)

<Pi(l, 4, C)at = <Pi(u> « , w)dudvdw.

Kr

D o w ó d wzoru (2). Wyznaczymy najpierw rozwiązania równania (4) A<p(x, y, z) + kcp{x, y, z) = 0, A > 0 ,

zależne tylko od r. ISTa szukaną funkcję cp(r) otrzymujemy równanie (5) <p"{r)-\----9o'{r) + hp{r) = 0 ,

r

które przez transformację funkcji niewiadomej i zmiennej niezależnej postaci <p(r) = ip(rVk )(r Va przechodzi w równanie

ip” (r\fI) + Ay>{r\/I) = 0,

którego rozwiązaniami liniowo niezależnymi są funkcje yxirVA) = sinrl/J, ip2(rVA) = cosrVA, a więc funkcje

<Pi (r) = sin r/ я rVA

(p2(r) = cosr/A rVA

O uogólnieniu metody sumacyjnej Hammersteina 241

są rozwiązaniami liniowo niezależnymi równania (5), przy czym <pi(r) jest rozwiązaniem regularnym, a ę>2(r) ma osobliwość dla r — 0.

Stosując wzór Greena do rozwiązania u(P) równania (4) klasy C2 w knli K R oraz do funkcji v(P) = cp^r) przy orientacji normalnej do wnętrza kuli otrzymujemy

(6) ^{J J j} (uAv — vAu)dV =

*\Kr)

' dv du\

u --- v ——\da.

, dn dn j

Ponieważ Au — —Au, Av — —Av, przeto lewa strona wzoru (6) równa się zero. Przekształcimy prawą stronę wzoru (6) uwzględniając, że

dv dv

— = — -— . Otrzymujemy wzór

dn dr

(7)

F{Kr)

Vdu 1 dn J^{do =}

/ / [ ■

F{Kr)

VAqo&rVa siilRVa \ sinRVA d ^

rVa r*Va I rVa dnJ a ^0.

Stosując wzór (6) do rozwiązania u(P) równania (4) klasy C% w K R oraz do funkcji v(P) = 9o2(r), uwzględniając osobliwość w środku kuli, otrzymu­

jemy po jej wyłączeniu za pomocą kuli K e o środku w punkcie ( f , rj, C) i o promieniu e < R

fff

- -

//[*(

f(k r) •Va ■Va

dul

rVI dnJ ^da

ЩКв)

Я

Vasin г Va cos г Va\ cosr/A

и — •V^a ■V^a

dul

rVa dn]da.

Otóż całka potrójna po lewej stronie ostatniej równości równa jest zero, więc gdy s -> 0 w granicy otrzymujemy zero. Występująca po prawej stronie całka powierzchniowa po F { K B) przyjmuje wartość

(8) VA sin .R l7 A

rV^a

cosEl^A \ cos-R^A dul R*VI I rVa dnJ a

Prace Matematyczne IX. 2 16

242 Z. F r y d r y c h

Stosując do całki powierzchniowej po F ( K e), występującej po prawej stro­

nie, twierdzenie o wartości średniej, otrzymujemy

(9) - / / [ “ (

F ( K e) L '

Vx&m.rVA cosrkA\ costVa du

rV a Ya

rVA &n.\da

cose^A du(P*)

— 4 7 т : е а д ( Р * ) 8 т е / у 1 + ^ TrC0S_e ^ u(P*)-\-4-rce

V^a V^a

gdzie P *eP ( K £).

Przy e-> 0 całka po powierzchni F ( K e) zmierza do

dn

(1 0) 4lZU{Z, Г), C)

VI

Uwzględniając wzory (8), (9), (10) otrzymujemy

( U )

Я

. . . . И Ш + n n t )—

F(Kjt) L ' RVA

Mnożąc stronami wzór (7) przez

r Va cosE^A dając stronami, otrzymujemy wzór

bV^a

dn J

, a (11) przez

Va

sinEl/A

В VI ^{i do-}

(12⁾ u { i , rj, £)EsinE|/A V^a

47Г J'J' u{P)da.

F(Kr)

Całkując obustronnie równość (12) względem E w granicach od 0 do q, a następnie przyjmując u — щ, A = A^, otrzymujemy wzór na średnią wartość w postaci

-7IQCШ <Pi{r, s, t)drdsdt = е д (£ > rj, f).

Kr

Lemat Y. Niech В oznacza obszar trójwymiarowy ograniczony. Niech K { x , у , z- i , у , Z) oznacza funkcję Oreena dla obszaru В z biegunem w punk­

cie (Z, rj, Z), to jest funkcję postaci K { x , y, z ; I, rj, C) 1

4nr ~Ь у(Я' ) У} &) £) y > C) i r2 = ( x ~ Z)2+(y~ y)2-f {z—Z)2.

Funkcja K ( x , у , z-, Z, у , Z), przy dowolnym (Z, rj, Z) należącym do В , jest funkcją harmoniczną w В punktu (x, y, z) ((х, у , z) Ф (Z, rj, Z)), biregularną

O uogólnieniu metody sumacyjnej Hammer steina 243

w jego domknięciu, znikającą na F{ D) oraz symetryczną. Między funkcjami K( x, y, z, u, v, w) oraz He( g, r) zachodzi związek

(12a) —- —

Г Г Г

у i % i £ i Vi C) ? v }£» У ? з), gdzie K e jest kulą o środku w punkcie (£, rj, £) o promieniu g, (х, у , z) Ф Ф ( f > Vi C).

D o w ó d . Eozróżnimy dwa przypadki: 1° punkt (x, y, z) nie należy do kuli K Q, 2° punkt (x , y, z) należy do kuli K B. W przypadku 1° He (£, rj, £;

x , y , z ) = 0, а K ( x , у , z-, u, v , w) dla punktów ( u , v , w) należących do kuli jest harmoniczna i wobec tego, stosując twierdzenie o wartości średniej, otrzymujemy

3

47Г£3J j J K ( x , у , z-, u, v, w)dudvdw = & { x , y , z; £, rj, £)

więc wzór (12a) jest w tym przypadku słuszny. W przypadku 2° stosujemy do pary funkcyj K ( x , у , z; u, v, w) i Нв(£, rj, £; u, v, w) wzór pod­

stawowy, wyłączając z kuli K e dwie kule i K 2 o środkach w punktach (x, y, z) oraz (£, rj, £) i o promieniu В zawarte wraz z brzegami w K Q i rozłączne. Otrzymujemy następującą równość

n - ( K1+K 2)

[ K( x, y, 0; u , v, w)AuHe(£, rj, £; u , v, w) —

— Нв(£, у, £; w, 'У, у, 0; w, v, w)]dudvdw =

=

J J* J

—Нв(£, у, £; и, v, w) АиК { х , y , z ; u , v , w)]dudvdw =

== — { J / Ь L( x , y , z щкл L

; u , v , w ) ^ dli' He(£,rj, , 4 < u n 7

£: u , v , w) --- da -f- dn J

+

j

F ( K[) L

u, v, w) dHQ He{£, 7], £ dn

d K l

; u, v, w) --- ido-f dn J

+ J J \ K { x , y , Z ‘,

f(K2) L

u , v, w) dHQ He{£, y, £ f f i l l

; u , v , w ) —— der} = dn J j

= — (^o + ^ 1 + ^ 2)?

gdzie I 0, 1г, 12 oznaczają odpowiednie całki po prawej stronie ostatniego wzoru, przy czym normalna jest skierowana do wnętrza obszaru całko-

244 Z. F r y d r y c h

wania. Całka i 0 znika, gdyż na mocy lematu I He oraz pochodna normalna funkcji H g znikają wzdłuż F ( K e).

^ f f

1 , dH0

+ y(x, y, z; u, v, w ) - ~ - dn

dy 4 nr

у, C; u, v, w) --- 1_

4тиг2 dn da =

1 CC dHQ Г C dHQ

=

Д

+ j j SA(,4,C-,u,v,w)da- f f n ^ d o -

n*i) 1 ЙЯ-

= 47Г.В21---•--- 47Г.В dn + 47T-R2

ЩК x) +

\>--- 1dHQ\

dn fu1,V1,w1eF(K

(—i — Я в) -4тс2г2( # е— )

\ 4тГ-В2 Ju%,V2sw2eF(K^ \ dn Juz,',»зД'¥1)

Przy В -> 0, l x -> Нв(£, rj, £; x, у , z). Analogicznie dochodzimy do relacji I 2 - + —K ( x , y , z; ę, rj , ę) , gdy R - + 0 .

W ten sposób lemat Y został udowodniony.

Lemat YI. Jeżeli К (x, y, z; i , y, £) oznacza funkcję Greena określoną w lemacie Y, to równanie całkowe

(13) u{x, y , z ) = X j j j K ( x , y, z ; y, £)«(£, y, £)d£dyd£

D

jest równoważne zagadnieniu DiricMeta dla równania (4) w obszarze I) z warunkiem u ( x , y , z) = 0 na D{F).

D o w ó d . Lemat Y I jest szczególnym przypadkiem twierdzenia ([6], str. 401):

Jeżeli funkcje c( X) i f ( X ) są klasy C1 w obszarze T> i ciągłe w jego domknięciu, to równanie całkowe

и (X) = - i - f j j с(£, у , C)K(x, y , z ; £ , y , C)u(£, у, £)didyd£ — 1

4:71J " J ^ Ж ( х , у , Zj i

,

,

(£,

,

A u + c { x , y, z)u = f { x , у , z).

O uogólnieniu metody sumacyjnej Hammersteina 245

Udowodnimy teraz

Tw i e r d z e n i e 1. Niech В oznacza obszar trójwymiarowy ograniczony,

D 1 podobszar zawarty wraz z brzegiem w I). Niech g oznacza liczbę naturalną,

q liczbę dodatnią taką, że kula *KQ, o promieniu gg i o środku w punkcie (£, у, C) należącym do D x, zawiera się w В dla każdego (£, y, £). Niech {AJ oznacza ciąg wartości własnych równania (13) а {<р{ ( х , у , s)} ciąg ortonormalny funkcyj własnych równania (13), oznaczają liczby określone wzorem (1).

Niech (x — !) 2 + (2/ —??)2+ (2— £)2 ^ (9^q)*i gdzie (х, у , z) należy do В , zaś (i, у, C) do B x. Wtedy

(14) " \

K- { x, y, Z', £ , y , £ ) = / i=l

<Pi(x, У, z)<Pi(i, у , C) h

D o w ó d . Dowód przeprowadzimy indukcyjnie; dla g = 1, na pod­

stawie lematu Y, mamy

K { x , y, z; £ , y , £ ) = JJJ K ( x , y, z; u, v, w)AuHe{£, y, £; u, v, w)dV.

D

Stosując do funkcji

F ( x , y, z; i , у, C) = / / / N( x , y, z ; u, v, w)AuHe(£, y, £; u, v, w)dV D

twierdzenie Hilberta-Schmidta ([7]), otrzymujemy

(15) F( x , y, z; i , у, C)

1

h H S_D (fi А<фН ed V ,

przy czym szereg po prawej stronie wzoru (15) jest jednostajnie i absolut­

nie zbieżny w B. Jeżeli ( x ~ |)2+ ( y — y)2-\~{z — C)2 > Q2, wówczas

00

F{ x , у , z; £, у , f) = K ( x , у , z; |, y, £) = J j J ^ 7^

i= 1 1 к п з7Г£

dV.

Uwzględniając wzór (3), otrzymujemy

OO

K { x , y , z ; I, у, С) = ^ Щ i = 1

<Pi{x, y , у , C) A<

a więc dla g — 1 twierdzenie jest słuszne.

Załóżmy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe dla g — 1, to znaczy, że dla punktów spełniających nierówność ( x ~ £)2+ ( y— ??)2 + (2— t )2 ^

> [(flf—l ) e ? » mamy

00

K{ x, у , z; ę , y , £ ) = 2 j ai --- T~--- ’

246 Z. F r y d r y c h

przy czym szereg po prawej stronie jest jednostajnie i absolutnie zbieżny dla (х, у , z) eJ> i (£, t], £)eDx. Przy tych założeniach twierdzimy, że dla punktów spełniających nierówność {x — £)2 + (y — r])2-{-(z — £)2 > (gg)2, mamy

oc

i У •> £

'Цч

г=1

g i У

&)(pi(t; )

przy czym zbieżność jest absolutna i jednostajna.

Dla dowodu zataczamy dookoła punktu (£, y, £) jako środka kulę K Q o promieniu q. Punkty (u, v, w) kuli K e są odległe od punktu (x, y, z) o nie mniej niż (д — 1)д. Na mocy założenia

K { x , у , 0; u, v, w) = ^

i = l

al ■ 1 cpj{x, у , z)cpj{u, V, w) h.

Ale

więc

K ( x , y, z; i , rj, C) =

f f f

sTzqZJ JJ

3 * K Q i = l 1

OO

V <гА*1А^Ун_( ! h f ar'dudvdu'

(szereg pod całką w ostatnim wzorze jest jednostajnie i absolutnie zbieżny).

Zmieniając całkowanie z sumowaniem mamy

i = l

O O

- E

g-1

<Pi(я, У,

b e - A

4 „зJ*|*J*cpi(uj v, w)dudvdw =

<r_i ?<(«?» У, *)

У, С)

- 2

у, V} 0

>

со było do okazania.

Podamy teraz określenia klasy funkcyj oraz klasy powierzchni, z których korzystają w swoich pracach Giunter ([4]) i Smolicki ([2]).

Mówimy, że funkcja/(ж , у , z) określona w D należy do Masy H(l , А , Л) w D, jeżeli: 1° jest ograniczona w D, 2° ma ograniczone i ciągłe pochodne aż do rzędu l w D (l > 0), czyli

3 7

dxPxdyV2dzv* ^{< A} (Pi + p 2 + p 3 = p , p = 0 , 1 , . . . , 7)

O uogólnieniu metody sumaeyjnej Hammersteina 247

3° pochodne rzędu l są regularnie ciągłe, to znaczy dla dowolnej pary punktów M u Ш2 obszaru B, których odległość r12 jest mniejsza od pewnej liczby r0 < 1 zachodzi nierówność

gdzie liczby A oraz X nie zależą od wyboru punktów M 11 M 2.

Podobnie określamy klasę H ( l , A , X ) funkcyj dwu zmiennych.

Zamknięta powierzchnia 8 jest powierzchnią Lapunowa, jeżeli czyni zadość trzem warunkom Lapunowa: 1° w każdym punkcie powierzchni istnieje określona płaszczyzna styczna, a zatem i określona prosta normalna;

2 ° jeżeli & jest kątem między normalnymi w punktach М г i M 2, a r jest odległością między tymi punktami, to istnieją takie liczby E > 0 i 0 <

< X < 1, że $ < Erx; 3° istnieje liczba d > 0 ta sama dla wszystkich punktów powierzchni o następującej własności: równoległe do normalnej w punkcie M 0 powierzchni S przecinają co najwyżej w jednym punkcie część powierzchni znajdującą się wewnątrz sfery Lapunowa, sfery o pro­

mieniu d i o środku w punkcie M Q.

Jeżeli na danej powierzchni Lapunowa 8 wybierzemy dowolny punkt M 0 i przyjmiemy go jako początek lokalnego układu współrzędnych kartezjańskich skierowując oś £ wzdłuż normalnej N 0 w punkcie M 0 i ustalając jakkolwiek osie £ i rj w płaszczyźnie stycznej do $ w punkcie M 0, wówczas część Z powierzchni 8 leżąca wewnątrz sfery Lapunowa o środku w punkcie M 0 rzutuje się na płaszczyznę £, rj w obszar zawierający koło A 0 0 środku w punkcie M 0 i o promieniu d0 = \d. Przez Z0 oznaczamy tę część Z, której rzutem jest Л0. №ech na powierzchni 8 będzie określona funkcja ju. Jeżeli |, rj, £ są współrzędnymi punktu M leżącego na Л0, to przyjmując rj) = p{ M) określamy w A 0 funkcję ju jako funkcję £, rj.

Mówimy, że funkcja p określona na 8 należy do Masy H(l, A , X) na 8, jeżeli p( i , rj ) należy do H(l, A , X) w Л0 i jeżeli A i X nie zależą od wyboru punktu M o.

O k r e ś l e n i e p o w i e r z c h n i Łk. Eównanie powierzchni Z0 w lo­

kalnym układzie współrzędnych ma postać £ = Ф(£, rj). Mówimy, że po­

wierzchnia 8 należy do Masy Ek(B, X), jeżeli Ф(£, rj) należy do H( k, В, X) 1 liczby В i Я nie zależą od wyboru punktu M 0.

Odnośnie różniczkowania rozwinięć funkcji Greena w szereg dwu- liniowy (14) podamy

Tw i e r d z e n i e 2 . Jeżeli brzeg obszaru ograniczonego trójwymiarowego В jest klasy BU(B, Я), wówezas dla punktów (x, y, z) należących do D i {£,rj, £)

należących do B x, spełniających nierówność

(x-

(y-rj)*+ (z

(gQ)*

248 Z . F r y d r y c h

zachodzą równości

&K{ x, у, z ; £ , y , £) = РП®» 2/’ *0 . dfyi(£> V, С)

г^{= 1}

(16) a i?' ^{С -- ---}

я.

д£1 J

л 7 . . . . , , &К &К

Analogiczne rozwinięcia są słuszne ala ^ przy j = 1, 2.

K ( x , у , z; £, у , £) można również różniczkować względem x, y, z, a mianowicie

дК( х, у , z; £, у, C)

dx

-X

d<Pi(x,y,z) <pi(£,y,£)

dx h.

D o w ó d . Na podstawie wyników Smolickiego ([2]), jeżeli brzeg ob­

szaru D należy do Ł X1, mamy

I<Pi(x, y , z )| < AX\, dJ<Pi{x, у , z)

dxj j = 1 , 2 .

Korzystając z tych oszacowań, zbadamy zbieżność szeregu z prawej strony wzoru (16)

co 00 n 3

ag <РЛ®,У, g) . d<Pi(£,y, O | < у C . 1д3

г=1 Zj Я? я»

г = 1 1 1

Яг

Na podstawie wzoru asymptotycznego Carlemana ([3])

= v ^ i 1.

A ^{д г}5 ' г=1

(16a) lim

W —> ^OO

n const,

otrzymujemy

C, 1 0 2

i wobec tego

Я2/ < Я2/3

n=l2

tynk® ч Уj &) dtyn(£ j У j 0

я„,

Ct~5(?A2 nt(£T— 5> '

Jeżeli więc § ( #— 5 ) > 1 , czyli </> 6, wówczas szereg

I

П « 9=ч(®» У, «) d<pi(£j у , t) Я,

jest absolutnie i jednostajnie zbieżny dla (х, у, 2) należących do D i (£, у, £) należących do D j.

O uogólnieniu metody sumacyjnej Hammersteina 249

§ 2. Odnośnie rozwijania funkcyj nieciągłych w szereg podamy Tw ierdzenie 3. Zakładamy, że D jest obszarem trójwymiarowym ograniczonym, 8 jego brzegiem, Mórego sMadowe są rozłączne i każda jest Masy L X1, -^1 » -^2? • • • 5 -D n+i są obszarami częściowymi obszaru D ograni­

czonymi powierzchniami zamkniętymi 8 , 8 x, . . . , 8 n klasy C1. Niech F ( x , y , z ) będzie funkcją nieciągłą tylko wzdłuż powierzchni 8 X, S2, . Sn przy czym granice funkcji oraz jej pochodnych normalnych w obszarach D x, ..., Dn+1 na powierzchniach 8 X, S2, ..., 8n są funkcjami ciągłymi na każdej ze stron tych powierzchni. Zakładamy, że F( x , у , z) = 0 na brzegu

D i że istnieją całki

[ AF( x, y, z)]2dxdydz (i = 1 , ..., w-f 1).

Niech {Xi} oraz {9 będą wartościami i funkcjami własnymi zagadnienia AuĄ-Xu = 0, z warunkiem u ( x , y , z ) = 0 na 8. Niech g oznacza liczbę naturalną większą od 6, a q liczbę dodatnią taką, że gg < odległość

П

{8, £ Si). Niech Ś = 1

(17)

■ * ///* <

u, v, w)ępi{u, v, w)dudvdwĄ-

+ J j j AF( u, v, w)y>i(u, v, w)dudvdw.

J D

Wówczas dla wszystkich punktów obszaru D, których odległość od po wierzchni 8 X, S2, . . . , 8n jest nie mniejsza od gg

OO

(18) F ( x , y , z ) = £ c i(Pi { x , y , z ) ,

i = l

przy czym szereg występujący po prawej stronie równości (18) jest zbieżny jednostajnie i absolutnie.

D o w ó d . M ech K ( x , у , z\ u, v, w) będzie funkcją Greena dla obszaru D i równania Laplace’a z warunkiem brzegowym jednorodnym, z bie­

gunem w punkcie (x, y, z), którego odległość od Sx, S2, ..., Sn jest większa lub równa gg. Niech oznacza osłonę powierzchni Si o promieniu e, K B niech oznacza kulę o środku w punkcie (x, y, z) i o promieniu e. e jest ta­

ką Uczbą, że F ( K e) i F { Q f ) leżą wewnątrz D i są rozłączne. F s ( Q i ) , F w ( Q i )

oznaczają odpowiednio brzeg zewnętrzny i brzeg wewnętrzny osłony Qi. Stosując do funkcji F ( x , y , z ) oraz do funkcji K ( x , у , z; u, v , w)

П

i do obszaru O = D — (JjQi~{-Ks) wzór Greena, otrzymujemy

г=>1

250 Z. F r y d r y c h

(19)

f jJ

dK dF\

F —--- К --- \da-\- dn f dn

F ---КdK

dn dn I

dF \\da

Л С С l dK dF\ Л r r l dK dF\

+ S f f ( F ~ ^ - K M r + S И Ы - к ^ ) а°-

i — 1 F z { Q j ) i — 1 Fw( Qą)

Przy s -> 0 ze wzoru (19) otrzymujemy

(20) ! J (F(u, v , w) AUK (x , у , z; u , v, w) —AF ■ K)dudvdw =

F ( x , y , z ) + ^ j j b

i = l S ;

* dK dF

w dn dn da,

gdzie F{ x , у , z) dF

dn oznacza różnicę między granicami funkcji F lub dFjdn dla zewnętrza i wnętrza S,L. Ponieważ AUK — 0, więc (21) JJJ (F A UK —AF • K)dudvdw = — J j J K A F ( u , v, w)dudvdw.

Dla punktów (x, у , z), których odległość od punktów (u, v, w) należących do Si jest nie mniejsza od gg, na podstawie twierdzeń 1 i 2, mamy

00

v . v V a У, г ) п( и, v, w) K ( x , y , z - , i i , v , w ) = ^ a l( ---—--- ,

i = 1 dK

dn 1

i=l

i 0 <Pi(x,y,z) d<pi{u, v, w)

OiĄ h. dn

Korzystając z tych rozwinięć, otrzymujemy

m

F( u, v, w) Z dK dF

w dn dn da

j=1 i — 1 Sf *-

w) z a?j(pj(x, у , z) d(pj(u,v,w)

h dn

<*°<Plix,y,z) . dF M --- --- <p (u v W) \ Ula =

h dn f i

O uogólnieniu metody sumacyjnej Hammersteina 251

oo n

i=i 1 D L i=i & '

—K( u , V, w, r, s, t) Na podstawie wzorów (20) i (21) otrzymujemy wzór (22)

П 2 dK(r, s , #; u, v , w)

i* dK

\w dn dF

dn

H

i = 1 S,

S J j \F (U^V’ W^ dn

—K( r , s, tj u , v, w) ---dF

dn da =

= - ^ ( ^ , i ) - Ш K( r , s, w, v, w)AF( u, v, w)dudvdw.

D Wobec tego

n n

2i=l Ą '

Я

\J -*Э1)4х =1/»>

x

X JF(r, s, <)— j* J 'j'К (r, s, t; u, v, w) AF( u, v, w)dudvdw^drdsdt.

J D

Na podstawie wzoru Hilberta-Schmidta funkcja źródłowo przedstawialna f

J J j’ K ( x , y, z) u, v, w) AF( u, v, w)dudvdw — n

O O * )

= ^ — J j J<Pj(u, v, w) A F ( u , v , w)dudvdw.

j = l D

Stąd i z wzoru (22), otrzymujemy v~l <Pi{% j у > 2) Г Г Г

F( x , у , z) — — ---J J J г?, w)dudvdw — г=1

OO w

^<^ц( х, у, г) j j j <pi ( r , s, t)[—F(r, s, 2)]drdsd£ + ^ а\щ{х, у, z ) x

г = 1 -D г=1

x f f f ^i(r ? J*J* K(r,s,t-,ti,v,w) AFdudvdw^drdsdt —

J D ' J D J

O O

= ^ < * ч ( ® , * , « ) Я / (pi(r, s, t)F{r, s, t)drdsdt-\-

262 Z. F r y d r y c h

00

AF( u, v, w)dudvdw —

OO

J J f v 1 v, w)dudvdw =

г=1 " b D

OO

(pi{r, s, t)F(r, s, t)drdsdt-{-

i = l D

+ ai—1

U f f f v’ v, w)dudvdw^q>i(x1 y, z).

J D

U w aga 1. Suma powyższego szeregu jest funkcją ciągłą także dla punktów (х, у , z) należących do $, przy czym suma jego jest równa zero, a więc równa wartości funkcji na $.

U w aga 2. Jeżeli F jest ciągła w domknięciu D oraz jest klasy (72 w _D, wówczas współczynniki redukują się do współczynników Fouriera.

D o w ó d . Mech K ( x , у , s; £, tj, £) będzie funkcją Greena. Wówczas

(Pi(x, y, z) = li J J J K ( u , v , w; r, s, t)(pi(r, s, t)drdsdt,

D

oraz

(23) JJJ AF( u, v, wjcpiiu, v, w)dudvdw =

D

= JJJ AF( u, v, w) JA i J J J K ( u , v, w, r, s, t)(pi(r, s, t)drdsdĄ dudvdw —

D D

= A*/ / / [ / / / v, w)K(u, v, w, r, s, t)dudvdw \ <Pi{r, s, t)drdsdt.

D 1 D

Z drugiej strony, stosując wzór podstawowy do funkcji F i K ( u , v , w ; r, s, t) dla obszaru G = D —K Q, gdzie K Q jest kulą o środku w punkcie ( r , s , t ) i o promieniu q, otrzymujemy

/ / / [ A F ( u , v, w)K(u, v, w , r , s , t ) — D-Kq

—F{ u , v, w)AuK( u , v, w ; r, s, t)]dudvdw =

da —

dF n ---- da-

dn f f F{u, v, w)

*WQ)

1 4 nr2

dy

dn da =

O uogólnieniu metody sumacyjnej Hammersteina 253

Aizg2 AtZQ2

dF

dn

+

dF(u, v, w) dn ^v=vw=w 4rr^2

47r@2F( u, v, w)-\- 47r^2dy(u, v, w) dn

] и=щ

w=w%J gdzie punkty (% , % ) oraz {u2, v 2, w 2) leżą na F ( K e). Przy q -> 0 otrzymujemy wzór

, w)K(u, v , w ; r , s , t)dudvdw = —F( r, s, t ) .

D

Uwzględniając ostatni wzór w (23) otrzymujemy

III

f

D D ‘

i wobec tego

oo

F( x, у, z) = E < ( ( { F ( u , v, w)epi(u, w)dudvdw-\-

г = 1 D

А,- A;

{ Я Л

oo

- Ш Г / F( u, v, w)epi(u, v, epi(x,y, z),

г = 1 -D

co było do udowodnienia.

U w aga 3. Jeżeli F( x , у , z) jest funkcją harmoniczną w każdym z pod- obszarów D 11 B 2, . .. , Dn+u a jest nieciągła wzdłuż powierzchni $ 15 S2, ...

. . . ^ „ i spełnia warunki twierdzenia 3, wówczas jej rozwinięcie

OO

F ( x , у , z) = uf [ / / / F{ u , ^ w)<Pi{u, v, w)dudvdvĄ<pi(x, у , z)

i = l D

nie pokrywa się z rozwinięciem Fouriera.

Przy założeniu wyższej regularności F ( x , y , z ) można uzyskać rozwinięcie szybciej zbieżne. Udowodnimy

Tw i e r d z e n i e 4 . Założenia o obszarze I) i jego brzegu 8 i o obszarach częściowych B X, B 2, . .. , B n+1 pozostają te same. Zakładamy, że F jest klasy C2m+1 w każdym z podobszarów D ;. Ponadto zakładamy, że A° F, AXF , ...

..., AmF zmierzają do zera, gdy punkt (х, у , z) zmierza do S oraz, że istnieją całki

[AmF( r, s, t ) f drdsdt, fc = l , . . . , w + l .

D k

254 Z. F r y d r y c h

Niech dalej

(24) A k = a°kJ T-i laak — 1

s, t)(pk{r, s, t)drdsdt-\-

D

+ Яг

Я/

J D J

Przy tych założeniach dla punktów (x , y , z ), Ictórych odległość od S1}

$ 2, . . . , 8 n jest większa łub równa mgg zachodzi równość (25) F { x , y , z ) = £ A k<pk( x , y , z ) ,

k—1

przy czym szereg po prawej stronie wzoru (25) jest zbieżny absolutnie i jedno­

stajnie, a dla g > m — \ szereg

(26) J ] ( X ^ A hf < o o .

fc= 1

D o w ó d . Wykażemy najpierw zbieżność szeregu (26). Otóż na pod stawie nierówności Schwarza oraz wzoru (16a)

m—1

ЯГ 2 Al < ЯГ 2'm ^ k'ftr [ / / / ^^{r, s> t)<PkdrdsdtJ +

+

j=o ( a l - l ) 2m

Akm

D

U H AmF( r, s, t)pk(r, s, £)drdsdż|

D

< Б(&(4/3)(т-1-й,)+ к~4/3) , gdzie В jest liczbą stałą.

Dla g > m —£ szereg o wyrazie ogólnym ck = Jc№(™~ i-e)+ k -w jest zbieżny, zatem szereg (26) jest zbieżny.

Dowód rozwinięcia funkcji F na szereg (25) przeprowadzimy za po­

mocą indukcji. Dla m = 1

Ak = o>k J J J F<pkdrd8dt+

Я Я

D D

i wobec tego

F(oo, у , z) = ^ A k(pk(x, y, z),

k= 1

co jest słuszne na podstawie twierdzenia 3.

O uogólnieniu metody sumacyjnej Hammersteina 255

Przypuśćmy teraz, że twierdzenie jest słuszne dla m — 1 ^ 1. W y­

każemy, że twierdzenie jest słuszne dla m. Mech F ( x , y , z ) należy do klasy C2m+1, wobec tego A F ( x , y , z ) należy do klasy (72m_1, a więc dla punktów (x, y, z), których odległość od S jest nie mniejsza od (m— l)gg,

00

AF( x, у , z) — £ Bi(pi( x , у , z) , г=1

gdzie

m— 1

Bi = u? JT1 j J J J +

fc=0 ' i J D J

’ i T1 / f f fD

AmF(pidudvdw.

Dla punktów (x , y , z), których odległość od S i jest nie mniejsza od g g

0Q

F( x , y , z ) = q > i ( x , y , z)a?i Ш F( u, v , w ) c p i ( u, -y, w)dudvdwJr

■i=1 -D

-| £ п ( я , У , * ) а‘ х f f f AF(u, v, w ) ( p i ( u , v, w)dudvdw.

г = 1 ^

Oznaczmy dla skrócenia drugą sumę po prawej stronie ostatniego wyra­

żenia przez U. Otóż

OO gf

u = i У i ^0 ^л

Я /

i = l 1 J D J

2

<Pi(x, У, S)

D

idudvdw.

Na podstawie twierdzenia Hilberta-Schmidta

00 ч

~U <pi(x, у, ^{z ) Ш} AF( u, v, w)<pi(u, v , w)dudvdw-

i —1

Ш K ( x , у, z-, u, v, w) A F { u , у, w)dudvdw.

J v

256 Z. F r y d r y c h

№ech K gg oznacza kulę o promieniu ^ i o środku w punkcie (x, y, z).

Punkty (u, v, w) z zewnętrza tej kuli są odległe od co najmniej o (m — l)gg. Wobec tego dla punktów (u, v , w) oraz AF( u, v, w), na pod­

stawie założenia indukcyjnego, mamy

J 'J 'J K (x, у , z; u, v, w) AF( u, v, w)dudvdw = в

J J j

J' J' J

B - K „ Oq

CO

d~K0q i = 1

(pi(x, У, z ) < P i { u , V , w)

h. A F ( u , v, w)dudvdw-\-

CO

, z; u, v, w) ^ Bitpilu, v, w)dudvdwi

K g Q i = l

Zatem

U = 2 1 Ш AF(u, v, w)cpi{u, v, w)dudvdwJr

i = l 1 B - K g Q

00 g

+ Щ > У ? z) cj-

Ш

00

f f f X 1 > a i--- --- AF(u, v, w)dudvdw —g <Pi(x , y , z ) < P i ( u , v , w )

™

,

B — K g Q i — 1 к

LaJ

- f f f K ( x , у , z; u, v, w) ^ Б ^ ( и , v, w)dudvdw.

K g g i = i

Suma pierwszego i trzeciego składnika po prawej stronie ostatniej równości jest równa zero. W obec tego

OO g

U = ^ у , f f J AF(u, v, w)(pi(u, v, w)dudvdw —

г=1 ^ Oo

00

- / / / K ( x , y, z; u , v, w) ^ В ^ ( и , v, w)dudvdw-\-

D i — l

00

+ J j" | К ^ Birpidudvdw.

D - K g Q i = l