1 1 Y Y Y Y

Podstawowe wiadomości o funkcjach.

W całości materiału będą obowiązywać następujące oznaczenia .

R - zbiór liczb rzeczywistych Z - zbiór liczb całkowitych N - zbiór liczb naturalnych.

Niech X i Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

Definicja odwzorowania.

Odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y ( funkcja odwzorowująca zbiór X w zbiór Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi

x

zbioru X dokładnie jednego elementy y zbioru Y .

Y X

f :  , ^{x y f(x)}, ^xX , ^yY .

x

- argument funkcji , ^{X Df} - dziedzina funkcji ^{f :X Y} , ^{y f(x)} - wartość funkcji ^f dla argumentu

x

.

Zbiór ^PDf ^Y elementów ^yY przyporządkowanych w odwzorowaniu ^f elementom xX nazywamy przeciwdziedziną (zbiorem wartości) tego odwzorowania.

Tzn. PD_f 



yY :istnieje xX takie,że y  f(x)



Zbiór ^W  ^X^Y określony w następujący sposób W 



(x,y):xX,y f(x)



nazywamy wykresem funkcji ^{f :X Y}.

Odwzorowanie podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych R tzn. gdy X  i R Y  R nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej lub krótko funkcją.

Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej.

Wyk

ład będzie poświecony

funkcją rzeczywistym zmiennej rzeczywistej czyli funkcją.

Niech ^{f :X Y} , X  i R Y  będzie funkcją.R

Funkcję ^f nazywamy różnowartościową na zbiorze A jeżeli dla każdego X x₁,x₂A i x1 x2 mamy f⁽x1⁾ f⁽x2⁾, tzn. dla każdego ^x1,^x2^A(x1 x2 f⁽x1⁾ f⁽x2⁾).

Geometrycznie oznacza to, że dowolna prosta równoległa do osi OX przecina wykres funkcji w co najwyżej jednym punkcie.

Funkcję ^f nazywamy ograniczoną na zbiorze A jeżeli zbiór wartości tej funkcji X dla argumentów z zbioru A jest ograniczony, tzn. istnieją takie liczby ^m,MR , że dla każdego xA mamy ^{m f(x)M} .

Funkcja ^f na zbiorze A jest:X

1 rosnąca  dla każdego 0 x1^,x2A^,(x1x2 f⁽x1⁾ f⁽x2⁾⁾

2 malejąca  dla każdego 0 x1^,x2A^,(x1 x2  f⁽x1⁾ f⁽x2⁾⁾

30 niemalejąca  dla każdego x1^,x2A^,(x1x2  f⁽x1⁾ f⁽x2⁾⁾

4 nierosnąca  dla każdego 0 x1^,x2A^,(x1 x2 f⁽x1⁾ f⁽x2⁾⁾

Funkcja mająca jedną z powyższych czterech własności nazywamy funkcją monotoniczną na zbiorze A X. W szczególności funkcje rosnące i malejące nazywamy ściśle

monotonicznymi na zbiorze A . Funkcje ściśle monotoniczne są różnowartościowe na zbiorze A .

Funkcja ^f na zbiorze A jest:X

1 parzystą  dla każdego 0 ^{xA,(xA i f(x) f(x))}

2 nieparzystą  dla każdego 0 ^{xA,(xA i f(x)f(x))}

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY . Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Funkcja ^f na zbiorze X jest okresowa jeżeli istnieje liczba t  0, że dla każdego ))

( ) ( ) (

(

, x t X i x t X i f x t f x t f x X

x         .

Funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów jeżeli ma co najmniej jeden. Jeżeli

0

t jest okresem to t jest również okresem. Najmniejszy dodatni okres jest okresem podstawowym i oznaczamy przez ^tp.

Przykłady funkcji i ich własności.

a). ^{xy f(x) x}

  : 00,)



D x R x

X _f ponieważ pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb dodatnich i zera. Wartość pierwiastka jest też liczbą dodatnią a dla zera jest zerem i zawsze znajdzie się liczba ^{x0,)} taka, że dla dowolnego ^{y0,)} będzie

x

y co oznacza, że ^{PDf 0,)} a więc ^{f :0,)0,)}. Jest to funkcja również różnowartościowa i rosnąca w całej dziedzinie. Jest funkcją różnowartościową i

„na” zbiór ^0,) co zapisujemy ^{f :0,)11 0,)}. Funkcja ta z oczywistych powodów nie jest funkcją parzystą i nie jest funkcją nieparzystą oraz nie posiada okresu.

b). ^{x y f(x)cos(x)cosx} Uwaga.

Jeżeli po nazwie funkcji nie ma nawiasu to element występujący po nazwie traktujemy jako argument tej funkcji. Powyższe dwa zapisy funkcji są prawidłowe. Jeżeli mamy wątpliwości do jakiego miejsca wyrażenie jest argumentem funkcji należy użyć nawiasów.

R D

X  _f  ponieważ wartość cosinusa można określić dla każdej liczby rzeczywistej.

Wartość cosinusa jak wynika z definicji jest z przedziału

  1 , 1 

i może przyjąć każdą wartość z tego przedziału to

PD

_f

  1 , 1 ` 

.

Cosinus nie jest funkcją różnowartościową na zbiorze ^{Df R} ponieważ np. dla , 3

3 ²

1



 _



 x

x mamy x1  x2 i

2 ) 1 cos(

)

cos(x₁  x₂  .

Natomiast jest funkcją różnowartościową na zbiorze

A  0 ,  

. Cosinus jest funkcją ograniczoną na zbiorze ^Df ^R ; ^{m1 , M 1}.

Cosinus jest funkcją parzystą na zbiorze ^{Df R} ponieważ dla każdego ))

cos(

) cos(

(

, x R i x x

R

x     . Stąd wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi OY .

Cosinus posiada okresy postaci t2k kZ a więc ^{cos(x2k)cos(x) kZ} Są to wszystkie okresy a stąd okresem podstawowym będzie okres ^{tp 2} .

Cosinus jest funkcją malejącą na zbiorze

A  0 ,  

i rosnącą na zbiorze

A   2 ,  

Te same własności występują w przedziałach przesuwając przedział A o wartość Z

k k 

2  .

Znając wszystkie wartości cosinusa w przedziale

 0 , 2  

uzyskamy wszystkie wartości cosinusa dla pozostałych argumentów wykorzystując własność ^{cos(x2k)cos(x) kZ} .

Funkcje trygonometryczne sin , cos , ctg są funkcjami okresowymi o okresach Z

k k

t2   natomiast funkcja y=tg(x) ma okresy t k kZ Tworzenie nowych funkcji.

Każdą funkcję ^{f :X Y} , X  i R Y  możemy rozpatrywać jako funkcjęR

R X

f :  lub funkcję ^{f :AR} , A . X

Również jeżeli ^{f :X R} i ^{g:X R} to możemy określić ich sumę , iloczyn , iloraz, mnożenie przez stałą itd…. Odpowiednio

) ( ) ( ) )(

(f g x  f x g x ; ^{(fg)(x) f(x)g(x)} ; ⁽_g^{f )(x)} _g^f₍⁽_x^x₎^{) dla g(x)0} R

a x af x

af)( ) ( ) 

( dla ^xX .

Innym istotnym sposobem tworzenia funkcji jest złożenie funkcji /superpozycja/.

Złożenie funkcji

Niech ^{f :X Z} i ^{g:U Y} będą funkcjami takimi, że ^{Z U}.

Funkcję ^{h:X Y} określoną wzorem ^{h(x) g(f(x)) dla xX} nazywamy złożeniem funkcji ^f i g . Funkcję ^f nazywamy funkcją wewnętrzną , funkcję g nazywamy funkcją zewnętrzną złożenia. Inny sposób zapisu złożenia

X x dla x

f g x f

g )( )^df ( ( )) 

(  .

Przykład

Jeżeli ^y^g(x)^{4 x} , ^{y f(x)x21} to ^{f :R1,) g:0,)0,)}. Wtedy ^{1,)0,)} i (g f)(x) g(f(x))g(x² 1)⁴ x² 1 dla xR . Funkcja odwrotna.

Niech ^{f :X Y} będzie funkcją różnowartościową i „na” zbiór Y tzn. ^{PDf Y} co zapisujemy ^{f:X11 Y}. Funkcję ^{f1:Y X} taką, że dla każdego ^{xX i yY} (

y x f x y

f^1( )  ( ) ) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji ^f . Podstawowe własności funkcji odwrotnej: ^{10 (f 1)1  f}

X x dla id x x f

f ^ ( ( ))  _X 

2^{0 1} 3⁰ f(f ^1(y)) yid_Y dla yY 4 Wykresy funkcji 0 ^f i ^{f 1} są symetryczne do siebie względem prostej x .y Funkcja ^f1 jest funkcją odwrotną funkcji ^f  spełnione powyższe własności 2 i ⁰ 3⁰ .

Przykład

) 3

(x x f

y  ^{f:R11 R}. Wtedy y f^1(x)³ x jest funkcją odwrotną funkcji ^f . Spełniony jest warunek dla ^{xR i yR} (^{3 y xx3 y}) ponieważ

x x x

f

f^1( ( ))^{3 3}  i _f(f^1_(y))(³ _y)³ _(y³¹₎³ _{ y} spełnione są własności 2 i ⁰ 3⁰. Inne własności funkcji wynikających z definicji.

a). Suma dwóch funkcji malejących (rosnących) na zbiorze A jest funkcją malejącą (rosnącą) na zbiorze A.

b). Iloczyn funkcji malejącej (rosnącej) na zbiorze A przez liczbę dodatnią jest funkcją malejącej (rosnącej) na zbiorze A .

c). Iloczyn funkcji malejącej (rosnącej) na zbiorze A przez liczbę ujemną jest funkcją rosnącą ( malejącą) na zbiorze A .

d). Funkcja ściśle monotoniczna na zbiorze A jest funkcją różnowartościową na ziorze A . Funkcje elementarne to są funkcje które dają się przedstawić za pomocą wzorów. Wzory otrzymujemy stosując np. powyższe sposoby tworzenia /działań arytmetycznych, złożenia/

funkcji za pomocą tzw. funkcji podstawowych elementarnych o których powiliśmy wszystko wiedzieć. Dlatego należy zapoznać się z tymi funkcjami.

Funkcje cyklometryczne Funkcja arcsin

^ysinx gdzie

     2 , 1 2

x 1

y   1 , 1 

    

^

  1 , 1  2

, 1 2 : 1

sin  

¹¹













  

2 , 1 2 1 1

, 1 : arcsin

sin

¹ jest funkcją odwrotną funkcji sin którą definiuje

się : dla każdego

        2 , 1 2 1

, 1 ,

1 y

x

( ^{yarcsinxsiny x} ).

Funkcja

arccos

y cos x gdzie

x  0 ,  

y   1 , 1 

cos :  0 ,    

^11

  1 , 1 











 arccos : 1 , 1 0 , 

cos

¹ jest funkcją odwrotną funkcji cos którą definiuje się : dla każdego

x   1 , 1  , y  0 ,  

( ^{yarccosxcosyx} ).

Funkcja ^arctg

^ytgx gdzie ⁾ 2 ,1 2 (1 



x ^{yR tg  )11 R} 2

,1 2 ( 1

:  

2 ) ,1 2 ( 1

1 :    

 arctg R

tg jest funkcją odwrotną funkcji tg którą definiuje się : dla

każdego ⁾

2 ,1 2 ( 1 ,

   

R y

x ( ^{yarctgxtgy x} ).

Funkcja ^arcctg

^yctgx gdzie ^{x(0 ,) yR ctg:(0 ,)11 R}

) , 0 (

1 :  

 arcctg R

ctg jest funkcją odwrotną funkcji ctg którą definiuje się : dla każdego ^{xR , y(0,)} ( ^{yarcctgxctgy x} ).

Inne funkcje podstawowe elementarne Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Jest to funkcja postaci

1 0 )

(   

 f x a a a

y ^x xR , y(0 ,) R ^{f:R11 (0 ,)} Dla a 1 funkcja ta jest funkcją stałą przyjmującą zawsze wartość 1.

Dla a0 a1 funkcja ta posiada funkcję odwrotną która jest funkcją logarytmiczną.

log )

1(x x a x

f

y ^  _a  ^y  dla ^{yR , x(0 ,)}. ^{log:(0 ,)11 R} Reguły potęgowania i logarytmowania ^{a 0 i a1}:

xy y x o (a ) a

1 2^o a^xa^y a^{xy o x} _x a a1

3 ^  _y ^{x y}

o x a

a

a  

4 k

x

k x

o a a 5

0 ) (

6^o a^xb^x  ab ^x b  ; ^{x,y R kN} dla potęgowania.

y x

xy _{a a}

a

o log log log

1   ^{x y} a ^x

y a

o log log

2  a _y^x a ^x a ^y

o log log log

3  

1 i 0 log

log log

4  b  b

a x x

b b a

o ; x^,y^R ^{(0 ,)} dla logarytmowania.

R x x a^x

a

o log  

1 2^o a^logax  x x0 jako złożenie funkcji z funkcją odwrotną

Wykresy tych funkcji są następujące:

Dla ^{a 1} np. ^{a 2}. Dla innych analogiczne.

Dla 0 a1 np. ^a0,5. Dla innych analogiczne.

Funkcja wielomianowa Jest funkcją postaci

0 ,

,....

, ....

)

(   ₁ ¹  ₁  _{1 1}  

w_n x a_nxⁿ a_n x^n ax a_o a_n a_n a a_o R a_n

y ;

n

_stopień

wielomianu. Dziedziną funkcji wielomianowej jest R .

a). W przypadku ^n2 wykresem funkcji jest tzw. parabola zwrócona do góry dla a2 ⁰ i zwrócona do dołu dla a2 ^0.

b). W przypadku ^n1 wykresem funkcji jest linia prosta tzw. funkcja liniowa . a1 jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej i a1 tg⁽kąt nachylenia tej prostej do osi OX ).

c). W przypadku n0 wykresem funkcji jest prosta y a0równoległa do osi OX. Jest funkcją stałą.

Twierdzenie. Każdą funkcję wielomianową(wielomian) można przedstawić w postaci

r lj

j j l

l k

r k

k n

n x a x x x x x x x px q x p x q x p x q

w

y ( ) (  ₁)¹(  ₂) ²...(  ) ( ²  ₁  ₁)¹( ²  ₂  ₂)²...( ²   ) gdzie anR ,x₁,x₂,.,,xr pierwiastki rzeczywiste wielomianu ^ki ^{N i}1...^r

j i q

p R q

p_i, _i , _i² 4 _i 0 1... . Funkcja wymierna

Jest funkcją w postaci ilorazu dwóch funkcji wielomianowych. ( ) ) ) (

( g x

x x w

f y

m

 n

 gdzie

) (x

w_n , ^gm(x) są wielomianami.

Dziedziną funkcji wymiernej jest R oprócz miejsc zerowych wielomianu ^gm(x). W szczególnych przypadkach miejsca zerowe mogą należeć do dziedziny.

Funkcja część całkowita

Jest to funkcja postaci ^yE(x)największa liczba całkowita mniejsza lub równa

x

_.

Z R

E:  . Wykresem tej funkcji są tzw. schody w górę o kroku 1.

Ciągi liczbowe

Definicja. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję ze zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych tzn. ^{f :NR}. Wartość funkcji ^f dla argumentu ^nN oznaczać będziemy przez ^an tzn. ^{an  f(n)}. Ciągi oznaczać będziemy przez  an ^_n1 lub krótko

 

a_n lub a1^,a2^,a3^,.... Przykład

  

a_n  1,3,5,7,...



lub ^an 1^{n2 n}^N

Ciąg jest rosnącym (malejącym) jeżeli dla każdego nN a_n a_n1(a_n  a_n1⁾. Definicje granicy ciągów.

a). Ciąg

 

a_n jest zbieżny do granicy właściwej ^gR co zapisujemy a_n g

n 



lim wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego  ^0 istnieje ^noN, że dla każdego ^nN jeżeli ^nno to ^{an  g }. Lub krótko

g a_n

n 



lim ^{( )}

0

















_{ n}



_Nn



_N ^{n no an g}

o

Tłumacząc intuicyjnie można powiedzieć, że wraz z wzrostem indeksu ^nN wyrazy ciągu

an są coraz bliżej liczby g.

b). Ciąg

 

a_n jest zbieżny do granicy niewłaściwej

 

co zapisujemy



 

 n

nlim a ^{( )}

0















_



_



_ ^{o n}

N n N n

a n n

o

c). Ciąg

 

^a_n jest zbieżny do granicy niewłaściwej

 

co zapisujemy



 

 n

nlim a ^{( )}

0















_



_



_ ^{o n}

N n N n

a n n

o

Twierdzenie

Jeżeli ciągi

 

an i

 

bn są zbieżne do granic właściwych to:

n n n n

n

n an b a b











 (  ) lim  lim

lim 1⁰

n n n n

n

n an b a b











 (  ) lim  lim

lim 2⁰

) lim )(

lim ( ) ( lim

3⁰ _n

n n n n

n anb a b











 

R c a c

ca _n

n n

n  







 ( ) lim lim

4⁰

0 lim

ile o lim

lim lim

5⁰  















 n n

n n n n

n n

n b

b a b

a

  ⁰

\ ) lim ( ) ( lim

6 ⁰ a a _n ^k k Z

n k

n n  







 ^{( ) lim \}   ¹

lim

7

⁰

a

^k

a

_n

k N

n k n

n

 









0 )

( lim

8⁰  ^lim 



 a^an a^{n an} a

n

Twierdzenie o trzech ciągach

Jeżeli ciągi

 

a_n

 

b_n

 

cn spełniają własności

n n

n b c

a  

1⁰ dla każdego nno

b c a_n  _n 







 n

n

0 lim lim 2

to b_n b





nlim .

Twierdzenie o dwóch ciągach

Jeżeli ciągi

 

a_n

 

b_n spełniają własności

n

n b

a 

1⁰ dla każdego ^nno



 

 an n 0 lim 2

to 



 bn

nlim .

Twierdzenie o dwóch ciągach

Jeżeli ciągi

 

a_n

 

b_n spełniają własności

n

n b

a 

1⁰ dla każdego ^nno



 

 bn n 0 lim 2

to 



 an

nlim .

Ważniejsze granice

1 lim

1 n

0 





n n ^{b R}

n

b   



 0 0 lim

2 n

0 _ 

 









 



 0 0 1

1 lim

3 n

0

a a ⁿ a

 









 





 0 1

1 lim 0

3 n

0

a

a ⁿ a

^{40 nlimn a 1 dlaa0}

Definicja liczby e .

Twierdzenie

Jeżeli ciąg liczbowy o wyrazach an nN jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry (^an ^a dla każdego nN dla pewnego

a

) to ma granicę właściwą.

Ciąg liczbowy o wyrazach an n1)ⁿ 1 ( 

 nN spełnia założenia powyższego twierdzenia a więc istnieje granica właściwa _n ⁿ

n) 1 1 ( lim 



 którą oznacza się symbolem

e

. A więc 323

... 878 7182818285 ,

2 1) 1 (

lim   

 

n

n n

e .

Uwaga

Dla liczby

e

wprowadza się oddzielny symbol logarytmu o podstawie

e

tzw. logarytm naturalny.

x x^dflog_e ln 

Przykład. Wyznaczyć granice ciągów

a). ^































 



 



 











 



 





























 



 



 





 



 









 



 





















 



 





3 3 3

1 3

1

3 2 1 3 lim

3 2 1 lim

3 2 1 3

3 2 1 3 lim

: ) 2 3 (

3 : ) 1 3 2 lim ( 2

3 1 3

lim 2 _n

n

n

n n

n

n n n

n n

n n n n

27 8 0 2 3

0 2

3 lim 1 2 3 lim

3 lim 1 2

lim 3

3

 



 









 























 



 



 



 



















n n

n

n n

n .

b). limⁿ 2ⁿ 7ⁿ 3ⁿ

n  





n n n

n n n n

n 7n 2 7 3 3 7 7 3

7      

7 7

nlim 



 lim7 3 lim7lim 3 7 1 7

n

n    













n n n

Z twierdzenia o trzech ciągach mamy limⁿ 2ⁿ 7ⁿ 3ⁿ

n  



 =7.