Co mają wspólnego powyższe przykłady?

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie

prawdopodobieństwa

Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych.

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

Przestrzeń probabilistyczna

Definicja

Przestrzeń probabilistycznato trójka (Ω, F , P), gdzie:

Ω jest dowolnym zbiorem

(przestrzeń zdarzeń elementarnych),

F jest σ–ciałem podzbiorów zbioru Ω

(rodzina zdarzeń losowych),

P : F → [0, 1] jest funkcją prawdopodobieństwa (miarą probabilistyczną)

(prawdopodobieństwo)

Przykład 1

Rzucamy dwiema monetami. Podaj przykład zgodnej z rzeczywistością przestrzeni probabilistycznej, która odpowiada temu eksperymentowi, jeśli:

1 Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)} to zbiór par uporządkowanych;

2 Ω = {0, 1, 2} to zbiór możliwych liczb wyrzuconych orłów;

Przykład 2

Grzesiu wybiera w sposób losowy liczbę ze zbioru liczb naturalnych N = {1, 2, 3, 4, . . .} w ten sposób, że liczba n wybrana jest z prawdopodobieństwem 1/2ⁿ (np. rzuca uczciwą monetą, aż uzyska orła, a wylosowana liczba to liczba rzutów – ale o tym później).

Podaj przykład zgodnej z rzeczywistością przestrzeni probabilistycznej, która odpowiada temu eksperymentowi.

Co mają wspólnego powyższe przykłady?

Dyskretna przestrzeń probabilistyczna

Ω = {ω₁, ω₂, . . . } jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym F = 2^Ω to zbiór wszystkich podzbiorów Ω

P ({ωi}) = p_i, gdzie

p1, p2, . . . to ciąg liczb nieujemnych, taki że p1+ p2+ . . . = 1 a prawdopodobieństwo zadajemy wzorem

(patrz A3 definicji prawdopodobieństwa i własność prawdopodobieństwa W2)

P({ωk1, ω_k2, . . . }) := p_k1+ p_k2+ · · · ;

Dyskretna przestrzeń probabilistyczna

Przykład 3

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:

Ω = {ω₁, . . . , ω_n} jest zbiorem skończonym;

F = 2^Ω to zbiór wszystkich podzbiorów Ω;

prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych p₁= · · · = p_n= ¹_n są równe

Dla A = {ω_i1, ω_i2, . . . , ω_ik} (tzn. |A| = k)

P(A) = pi1+ pi2+ . . . + pik = 1 n +1

n + . . . + 1 n

| {z }

k

= k n = |A|

|Ω|

Dyskretna przestrzeń probabilistyczna

Przykład 1bis

Rzucamy 100 razy jedną monetą. Podaj przykład zgodnej z rzeczywistością przestrzeni probabilistycznej, która odpowiada temu eksperymentowi, jeśli

1 Ω – zbiór ciągów długości 100 o wyrazach ze zbioru {O, R};

2 Ω = {0, 1, . . . , 100} - to zbiór możliwych liczb wyrzuconych orłów.

Intuicja

Przykład 4

Tola przychodzi na przystanek rano w dowolnym momencie między 7.00 a 8.00 (każdy moment równo prawdopodobny).

Pasują jej dwa autobusy: 74 i 91. Oba jeżdżą punktualnie według rozkładu:

74: 7.00, 7.15, 7.30, 7.45, 8.00, ... ; 91: 7.05, 7.20, 7.35, 7.50, 8.05, ... ; Tola wsiada do pierwszego z nich, który przyjedzie. Jaka jest szansa, że Tola pojedzie autobusem 74?

Rozwiązanie intuicyjne:...

Jaką przestrzeń probabilistyczną wykorzystaliśmy?

Prawdopodobieństwo geometryczne

Przestrzeń probabilistyczna z prawdopodobieństwem geometrycznym

Definiujemy przestrzeń probabilistyczną (Ω, F , P), gdzie:

Ω jest pewnym podzbiorem Rⁿ o dodatniej skończonej mierze (zwykle w naszych przykładach n = 1, 2, 3)

F jest rodziną zbiorów borelowskich w Ω

P : F → [0, 1] jest funkcją prawdopodobieństwa określoną wzorem

P (A) := λ(A) λ(Ω), gdzie λ(·) jest miarą Lebesgue’a zbioru w Rⁿ. W rozważanych przykładach:

n = 1: długość, n = 2: pole, n = 3: objętość.

Porównanie

Definicja klasyczna Ω–niepusty zbiór skończony;

F = 2^Ω – wszystkie podzbiory Ω;

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest równe

P(A) =

|A|

|Ω|

| · | jest miarą zbioru, tzn. liczbą elementów.

.

Prawdopodobieństwo geometryczne Ω– podzbiór Rⁿ

o dodatniej skończonej mierze.

F jest rodziną borelowskich podzbiorów Ω;

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest równe

P (A) := λ(A) λ(Ω), gdzieλ(·) jest miarą zbioru w Rⁿ. n = 1: długość,

n = 2: pole, n = 3: objętość.

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzenie dyskretne Prawdopodobieństwo geometryczne

Przykład 5

Wybrano losowo dwie liczby (a, b): a z przedziału [0, 1/2] i b z przedziału [0, 1]. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwsza z liczb jest mniejsza?

Asia i Basia umówiły się w restauracji między 18:00 a 19:00. Asia przychodzi w losowym momencie między 18:00 a 18:30 a Basia między 18:00 a 19:00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Asia przyjdzie pierwsza ?

Przykład 5

Wybrano losowo dwie liczby (a, b): a z przedziału [0, 1/2] i b z przedziału [0, 1]. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwsza z liczb jest mniejsza?

Przykład 5 bis

Asia i Basia umówiły się w restauracji między 18:00 a 19:00. Asia przychodzi w losowym momencie między 18:00 a 18:30 a Basia między 18:00 a 19:00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Asia przyjdzie pierwsza ?

Przykład 6

Asia i Basia umówiły się w restauracji między 18:00 a 19:00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będą na siebie czekać dłużej niż kwadrans ? Zakładamy, że każda z nich przychodzi w losowym momencie z podanego przedziału.

Przykład 7

Z przedziału [0; 1] wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:

1 wylosowana liczba jest równa 1/2.

2 wylosowana liczba jest postaci 1/n dla pewnego n ∈ N.

Przykład 8

Rzucamy nieskończoną liczbę razy monetą. Podaj sensowną przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu eksperymentowi, w której każdy możliwy wynik jest „równo prawdopodobny”.

Po co nam zbiory Borelowskie?

Szczypta teorii miary itp.

Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo punkt zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym. Wtedy

prawdopodobieństwo trafienia punktu z odcinka [a, b] (jego miara) jest równa długości odcinka i P (A + t) = P (A) (o ile A ⊆ [0, 1] i t + A ⊆ [0, 1]). Można pokazać, że dla tak zdefiniowanego prawdopodobieństwa (miary) jeśli założylibyśmy, że F = 2^[0,1], to znalazłby się zbiór w F dla którego nie można znaleźć

prawdopodobieństwa (zbiór niemierzalny).

Zainteresowanych konstrukcją odsyłamy do zadań dla chętnych.