Rozkład dwumianowy (inaczej Bernoulliego) z parametrami n ∈ N, 0 < p < 1; w skrócie B(n, p)

(1)

Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Matematyka Stosowana

Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska

Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

Wykład 6a:

Podstawowe dyskretne i ciągłe rozkłady probabilistyczne.

(2)

Rozkład dwumianowy (inaczej Bernoulliego) z parametrami n ∈ N, 0 < p < 1; w skrócie B(n, p)

xk = k, pk =n k

p^k(1 − p)^n−k dla k = 0, 1, . . . , n

I Jest to rozkład ilości sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p.

I B(1, p) nazywamy rozkładem zerojedynkowym z parametrem p.

(3)

Rozkład dwumianowy (inaczej Bernoulliego) z parametrami n ∈ N, 0 < p < 1; w skrócie B(n, p)

xk = k, pk =n k

p^k(1 − p)^n−k dla k = 0, 1, . . . , n

(4)

Rozkład dwumianowy (inaczej Bernoulliego) z parametrami n ∈ N, 0 < p < 1; w skrócie B(n, p)

xk = k, pk =n k

p^k(1 − p)^n−k dla k = 0, 1, . . . , n

(5)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

Jeżeli X ma rozkład B(n, p), to EX = np oraz D²X = np(1 − p).

Dowód: EX =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=1

k n(n − 1)!

k(k − 1)!(n − 1 − (k − 1))!p^k(1 − p)^n−k =

= np

n

X

k=1

n − 1 k − 1

p^k−1(1 − p)^{n−1−(k−1)} =

= np

n−1

X

l =0

n − 1 l

p^l(1 − p)^n−1−l = np(p + 1 − p)ⁿ⁻¹ = np.

(6)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

Dowód: EX =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=1

k n(n − 1)!

k(k − 1)!(n − 1 − (k − 1))!p^k(1 − p)^n−k =

= np

n

X

k=1

n − 1 k − 1

p^k−1(1 − p)^{n−1−(k−1)} =

= np

n−1

X

l =0

n − 1 l

p^l(1 − p)^n−1−l = np(p + 1 − p)ⁿ⁻¹ = np.

(7)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

Dowód: EX =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=1

k n(n − 1)!

k(k − 1)!(n − 1 − (k − 1))!p^k(1 − p)^n−k =

= np

n

X

k=1

n − 1 k − 1

p^k−1(1 − p)^{n−1−(k−1)} =

= np

n−1

X

l =0

n − 1 l

p^l(1 − p)^n−1−l = np(p + 1 − p)ⁿ⁻¹ = np.

(8)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

Dowód: EX =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=1

k n(n − 1)!

k(k − 1)!(n − 1 − (k − 1))!p^k(1 − p)^n−k =

= np

n

X

k=1

n − 1 k − 1

p^k−1(1 − p)^{n−1−(k−1)} =

= np

n−1

X

l =0

n − 1 l

p^l(1 − p)^n−1−l = np(p + 1 − p)ⁿ⁻¹ = np.

(9)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

Dowód: EX =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=1

k n(n − 1)!

k(k − 1)!(n − 1 − (k − 1))!p^k(1 − p)^n−k =

= np

n

X

k=1

n − 1 k − 1

p^k−1(1 − p)^{n−1−(k−1)} =

= np

n−1

X

l =0

n − 1 l

p^l(1 − p)^n−1−l =

np(p + 1 − p)ⁿ⁻¹ = np.

(10)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

Dowód: EX =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=1

k n(n − 1)!

k(k − 1)!(n − 1 − (k − 1))!p^k(1 − p)^n−k =

= np

n

X

k=1

n − 1 k − 1

p^k−1(1 − p)^{n−1−(k−1)} =

= np

n−1

X

l =0

n − 1 l

p^l(1 − p)^n−1−l =np(p + 1 − p)ⁿ⁻¹ =

np.

(11)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

Dowód: EX =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=1

k n(n − 1)!

k(k − 1)!(n − 1 − (k − 1))!p^k(1 − p)^n−k =

= np

n

X

k=1

n − 1 k − 1

p^k−1(1 − p)^{n−1−(k−1)} =

= np

n−1

X

l =0

n − 1 l

p^l(1 − p)^n−1−l =np(p + 1 − p)ⁿ⁻¹ = np.

(12)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

EX² =

n

X

k=0

k²n k

p^k(1 − p)^n−k =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k+

+

n

X

k=2

k(k − 1) n(n − 1)(n − 2)!

k(k − 1)(k − 2)!(n − 2 − (k − 2))!p^k(1 − p)^n−k =

= EX + n(n − 1)p²

n

X

k=2

n − 2 k − 2

p^k−2(1 − p)^{n−2−(k−2)} =

= np + n(n − 1)p²(p + 1 − p)ⁿ⁻² = np(1 − p) + (np)² =

= np(1 − p) + (EX )².

Zatem D²X = EX²− (EX )² = np(1 − p).

(13)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

EX² =

n

X

k=0

k²n k

p^k(1 − p)^n−k =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k+

+

n

X

k=2

k(k − 1) n(n − 1)(n − 2)!

k(k − 1)(k − 2)!(n − 2 − (k − 2))!p^k(1 − p)^n−k =

= EX + n(n − 1)p²

n

X

k=2

n − 2 k − 2

p^k−2(1 − p)^{n−2−(k−2)} =

= np + n(n − 1)p²(p + 1 − p)ⁿ⁻² = np(1 − p) + (np)² =

= np(1 − p) + (EX )².

Zatem D²X = EX²− (EX )² = np(1 − p).

(14)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

EX² =

n

X

k=0

k²n k

p^k(1 − p)^n−k =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k+

+

n

X

k=2

k(k − 1) n(n − 1)(n − 2)!

k(k − 1)(k − 2)!(n − 2 − (k − 2))!p^k(1 − p)^n−k =

= EX + n(n − 1)p²

n

X

k=2

n − 2 k − 2

p^k−2(1 − p)^{n−2−(k−2)} =

= np + n(n − 1)p²(p + 1 − p)ⁿ⁻² = np(1 − p) + (np)² =

= np(1 − p) + (EX )².

Zatem D²X = EX²− (EX )² = np(1 − p).

(15)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

EX² =

n

X

k=0

k²n k

p^k(1 − p)^n−k =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k+

+

n

X

k=2

k(k − 1) n(n − 1)(n − 2)!

k(k − 1)(k − 2)!(n − 2 − (k − 2))!p^k(1 − p)^n−k =

= EX + n(n − 1)p²

n

X

k=2

n − 2 k − 2

p^k−2(1 − p)^{n−2−(k−2)} =

= np + n(n − 1)p²(p + 1 − p)ⁿ⁻² =

np(1 − p) + (np)² =

= np(1 − p) + (EX )².

Zatem D²X = EX²− (EX )² = np(1 − p).

(16)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

EX² =

n

X

k=0

k²n k

p^k(1 − p)^n−k =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k+

+

n

X

k=2

k(k − 1) n(n − 1)(n − 2)!

k(k − 1)(k − 2)!(n − 2 − (k − 2))!p^k(1 − p)^n−k =

= EX + n(n − 1)p²

n

X

k=2

n − 2 k − 2

p^k−2(1 − p)^{n−2−(k−2)} =

= np + n(n − 1)p²(p + 1 − p)ⁿ⁻² =np(1 − p) + (np)² =

= np(1 − p) + (EX )².

Zatem D²X = EX²− (EX )² = np(1 − p).

(17)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

EX² =

n

X

k=0

k²n k

p^k(1 − p)^n−k =

n

X

k=0

kn k

p^k(1 − p)^n−k+

+

n

X

k=2

k(k − 1) n(n − 1)(n − 2)!

k(k − 1)(k − 2)!(n − 2 − (k − 2))!p^k(1 − p)^n−k =

= EX + n(n − 1)p²

n

X

k=2

n − 2 k − 2

p^k−2(1 − p)^{n−2−(k−2)} =

= np + n(n − 1)p²(p + 1 − p)ⁿ⁻² =np(1 − p) + (np)² =

= np(1 − p) + (EX )².

Zatem D²X = EX²− (EX )² = np(1 − p).

(18)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

Funkcja charakterystyczna rozkładu Bernoulliego ma postać ϕX(t) = (pe^it + (1 − p))ⁿ.

Dowód: ϕX(t) = Ee^itX =

n

X

k=0

e^itkn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=0

n k

(pe^it)^k(1 − p)^n−k = (pe^it+ (1 − p))ⁿ.

(19)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

n

X

k=0

e^itkn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=0

n k

(pe^it)^k(1 − p)^n−k = (pe^it+ (1 − p))ⁿ.

(20)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

n

X

k=0

e^itkn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=0

n k

(pe^it)^k(1 − p)^n−k =

(pe^it+ (1 − p))ⁿ.

(21)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

n

X

k=0

e^itkn k

p^k(1 − p)^n−k =

=

n

X

k=0

n k

(pe^it)^k(1 − p)^n−k = (pe^it+ (1 − p))ⁿ.

(22)

Rozkład dwumianowy B(n, p)

x

_k

= k, p

_k

=

ⁿ_k

p

^k

(1 − p)

^n−k

dla k = 0, 1, . . . , n

n = 7

(23)

Rozkład ujemny dwumianowy (in. Pascala) z parametrami m ∈ N, 0 < p < 1; w skrócie N B(m, p)

xk = k, pk = k − 1 m − 1

p^m(1 − p)^k−m dla k = m, m + 1, . . .

I Jest to rozkład czasu oczekiwania na m-ty sukces w ciągu doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p.

I Wzór na pk można uogólnić na dowolne m > 0. X nie ma wtedy interpretacji czasu oczekiwania na m-ty sukces. Nazwa „rozkład Pascala” odnosi się tylko do m ∈ N.

Blaise Pascal (1623-1662)

(24)

Rozkład ujemny dwumianowy (in. Pascala) z parametrami m ∈ N, 0 < p < 1; w skrócie N B(m, p)

xk = k, pk = k − 1 m − 1

p^m(1 − p)^k−m dla k = m, m + 1, . . .

I Wzór na pk można uogólnić na dowolne m > 0. X nie ma wtedy interpretacji czasu oczekiwania na m-ty sukces. Nazwa „rozkład Pascala” odnosi się tylko do m ∈ N.

(25)

Rozkład ujemny dwumianowy (in. Pascala) z parametrami m ∈ N, 0 < p < 1; w skrócie N B(m, p)

xk = k, pk = k − 1 m − 1

p^m(1 − p)^k−m dla k = m, m + 1, . . .

I Wzór na pk można uogólnić na dowolne m > 0.

X nie ma wtedy interpretacji czasu oczekiwania na m-ty sukces. Nazwa „rozkład Pascala”

odnosi się tylko do m ∈ N.

(26)

Rozkład ujemny dwumianowy N B(m, p)

x

_k

= k, p

_k

=

_m−1^k−1

p

^m

(1 − p)

^k−m

dla k = m, m + 1, . . .

I Jeżeli X ma rozkład N B(m, p), to EX = m

p oraz D²X = m(1 − p) p² .

I Funkcja charakterystyczna tego rozkładu ma postać ϕ_X(t) =

pe^it 1 − (1 − p)e^it

m

.

(27)

Rozkład ujemny dwumianowy N B(m, p)

x

_k

= k, p

_k

=

_m−1^k−1

p

^m

(1 − p)

^k−m

dla k = m, m + 1, . . .

I Jeżeli X ma rozkład N B(m, p), to EX = m

p oraz D²X = m(1 − p) p² .

I Funkcja charakterystyczna tego rozkładu ma postać ϕ_X(t) =

pe^it 1 − (1 − p)e^it

m

.

(28)

Rozkład ujemny dwumianowy N B(m, p)

x

_k

= k, p

_k

=

_m−1^k−1

p

^m

(1 − p)

^k−m

dla k = m, m + 1, . . .

(29)

Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p < 1;

w skrócie Geo(p).

xk = k, pk = p(1 − p)^k−1 dla k = 1, 2, . . .

I Jest to rozkład czasu oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, czyli rozkład N B(1, p).

I Rozkład ten ma własność braku pamięci: dla X o rozkładzie Geo(p)

P(X > k + n|X > k) = P(X > n), k, n ∈ N.

(30)

Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p < 1;

w skrócie Geo(p).

xk = k, pk = p(1 − p)^k−1 dla k = 1, 2, . . .

I Jest to rozkład czasu oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, czyli rozkład N B(1, p).

I Rozkład ten ma własność braku pamięci:

dla X o rozkładzie Geo(p)

P(X > k + n|X > k) = P(X > n), k, n ∈ N.

(31)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Dowód: P(X > n) =

∞

X

j =n+1

p(1 − p)^{j −1} = p(1 − p)ⁿ

∞

X

i =0

(1 − p)ⁱ =

= p(1 − p)ⁿ· 1

1 − (1 − p) = (1 − p)ⁿ Zatem P(X > k + n|X > k) = P(X > k + n)

P(X > k) = (1 − p)^k+n (1 − p)^k =

= (1 − p)ⁿ = P(X > n).

(32)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Dowód: P(X > n) =

∞

X

j =n+1

p(1 − p)^{j −1} =

p(1 − p)ⁿ

∞

X

i =0

(1 − p)ⁱ =

= p(1 − p)ⁿ· 1

P(X > k) = (1 − p)^k+n (1 − p)^k =

= (1 − p)ⁿ = P(X > n).

(33)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Dowód: P(X > n) =

∞

X

j =n+1

p(1 − p)^{j −1} = p(1 − p)ⁿ

∞

X

i =0

(1 − p)ⁱ =

= p(1 − p)ⁿ· 1

P(X > k) = (1 − p)^k+n (1 − p)^k =

= (1 − p)ⁿ = P(X > n).

(34)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Dowód: P(X > n) =

∞

X

j =n+1

p(1 − p)^{j −1} = p(1 − p)ⁿ

∞

X

i =0

(1 − p)ⁱ =

= p(1 − p)ⁿ· 1

1 − (1 − p) =

(1 − p)ⁿ Zatem P(X > k + n|X > k) = P(X > k + n)

P(X > k) = (1 − p)^k+n (1 − p)^k =

= (1 − p)ⁿ = P(X > n).

(35)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Dowód: P(X > n) =

∞

X

j =n+1

p(1 − p)^{j −1} = p(1 − p)ⁿ

∞

X

i =0

(1 − p)ⁱ =

= p(1 − p)ⁿ· 1

1 − (1 − p) = (1 − p)ⁿ

Zatem P(X > k + n|X > k) = P(X > k + n)

P(X > k) = (1 − p)^k+n (1 − p)^k =

= (1 − p)ⁿ = P(X > n).

(36)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Dowód: P(X > n) =

∞

X

j =n+1

p(1 − p)^{j −1} = p(1 − p)ⁿ

∞

X

i =0

(1 − p)ⁱ =

= p(1 − p)ⁿ· 1

P(X > k) =

(1 − p)^k+n (1 − p)^k =

= (1 − p)ⁿ = P(X > n).

(37)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Dowód: P(X > n) =

∞

X

j =n+1

p(1 − p)^{j −1} = p(1 − p)ⁿ

∞

X

i =0

(1 − p)ⁱ =

= p(1 − p)ⁿ· 1

P(X > k) = (1 − p)^k+n (1 − p)^k =

= (1 − p)ⁿ = P(X > n).

(38)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Dowód: P(X > n) =

∞

X

j =n+1

p(1 − p)^{j −1} = p(1 − p)ⁿ

∞

X

i =0

(1 − p)ⁱ =

= p(1 − p)ⁿ· 1

P(X > k) = (1 − p)^k+n (1 − p)^k =

= (1 − p)ⁿ=

P(X > n).

(39)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Dowód: P(X > n) =

∞

X

j =n+1

p(1 − p)^{j −1} = p(1 − p)ⁿ

∞

X

i =0

(1 − p)ⁱ =

= p(1 − p)ⁿ· 1

P(X > k) = (1 − p)^k+n (1 − p)^k =

= (1 − p)ⁿ= P(X > n).

(40)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Jeżeli X ma rozkład Geo(p), to EX = 1

p oraz D²X = (1 − p) p² . Dowód: Skorzystamy ze wzorów

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1

(1 − x )² oraz

∞

X

n=1

n²xⁿ⁻¹= 1 + x

(1 − x )³ dla |x | < 1.

EX =

∞

X

k=1

kp(1 − p)^k−1 = p 1 p² = 1

p. EX² =

∞

X

k=1

k²p(1 − p)^k−1 = p2 − p

p³ = 2 − p p² Zatem D²X = EX²− (EX )² = 2 − p

p² − 1

p² = 1 − p p² .

(41)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1

(1 − x )² oraz

∞

X

n=1

n²xⁿ⁻¹= 1 + x

(1 − x )³ dla |x | < 1.

EX =

∞

X

k=1

kp(1 − p)^k−1 =

p 1 p² = 1

p. EX² =

∞

X

k=1

k²p(1 − p)^k−1 = p2 − p

p² − 1

p² = 1 − p p² .

(42)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1

(1 − x )² oraz

∞

X

n=1

n²xⁿ⁻¹= 1 + x

(1 − x )³ dla |x | < 1.

EX =

∞

X

k=1

kp(1 − p)^k−1 = p 1 p² =

1 p. EX² =

∞

X

k=1

k²p(1 − p)^k−1 = p2 − p

p² − 1

p² = 1 − p p² .

(43)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1

(1 − x )² oraz

∞

X

n=1

n²xⁿ⁻¹= 1 + x

(1 − x )³ dla |x | < 1.

EX =

∞

X

k=1

kp(1 − p)^k−1 = p 1 p² = 1

p.

EX² =

∞

X

k=1

k²p(1 − p)^k−1 = p2 − p

p² − 1

p² = 1 − p p² .

(44)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1

(1 − x )² oraz

∞

X

n=1

n²xⁿ⁻¹= 1 + x

(1 − x )³ dla |x | < 1.

EX =

∞

X

k=1

kp(1 − p)^k−1 = p 1 p² = 1

p. EX² =

∞

X

k=1

k²p(1 − p)^k−1 =

p2 − p

p² − 1

p² = 1 − p p² .

(45)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1

(1 − x )² oraz

∞

X

n=1

n²xⁿ⁻¹= 1 + x

(1 − x )³ dla |x | < 1.

EX =

∞

X

k=1

kp(1 − p)^k−1 = p 1 p² = 1

p. EX² =

∞

X

k=1

k²p(1 − p)^k−1 =p2 − p p³ =

2 − p p² Zatem D²X = EX²− (EX )² = 2 − p

p² − 1

p² = 1 − p p² .

(46)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1

(1 − x )² oraz

∞

X

n=1

n²xⁿ⁻¹= 1 + x

(1 − x )³ dla |x | < 1.

EX =

∞

X

k=1

kp(1 − p)^k−1 = p 1 p² = 1

p. EX² =

∞

X

k=1

k²p(1 − p)^k−1 =p2 − p

p³ = 2 − p p²

Zatem D²X = EX²− (EX )² = 2 − p p² − 1

p² = 1 − p p² .

(47)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1

(1 − x )² oraz

∞

X

n=1

n²xⁿ⁻¹= 1 + x

(1 − x )³ dla |x | < 1.

EX =

∞

X

k=1

kp(1 − p)^k−1 = p 1 p² = 1

p. EX² =

∞

X

k=1

k²p(1 − p)^k−1 =p2 − p

p² − 1

p² = 1 − p p² .

(48)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

Funkcja charakterystyczna tego rozkładu ma postać ϕ_X(t) = pe^it

1 − (1 − p)e^it.

Dowód: ϕ_X(t) = Ee^itX =

∞

X

k=1

e^itkp(1 − p)^k−1 =

= pe^it

∞

X

k=1

((1 − p)e^it)^k−1 = pe^it 1

1 − (1 − p)e^it.

(49)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

1 − (1 − p)e^it. Dowód: ϕ_X(t) = Ee^itX =

∞

X

k=1

e^itkp(1 − p)^k−1 =

= pe^it

∞

X

k=1

((1 − p)e^it)^k−1 = pe^it 1

1 − (1 − p)e^it.

(50)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

∞

X

k=1

e^itkp(1 − p)^k−1 =

= pe^it

∞

X

k=1

((1 − p)e^it)^k−1 =

pe^it 1

1 − (1 − p)e^it.

(51)

Rozkład geometryczny Geo(p) x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

∞

X

k=1

e^itkp(1 − p)^k−1 =

= pe^it

∞

X

k=1

((1 − p)e^it)^k−1 = pe^it 1

1 − (1 − p)e^it.

(52)

Rozkład geometryczny Geo(p)

x

_k

= k, p(1 − p)

^k−1

dla k = 1, 2, . . .

(53)

Rozkład Poissona z parametrem λ > 0;

w skrócie P(λ)

xk = k, pk = λ^k

k!e^−λ dla k = 0, 1, . . .

(54)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Jeżeli X ma rozkład P(λ), to EX = λ oraz D²X = λ.

Dowód: EX =

∞

X

k=0

kλ^k

k!e^−λ = λe^−λ

∞

X

k=1

λ^k−1

(k − 1)! = λe^−λe^λ = λ. EX² =

∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ = e^−λ

∞

X

k=2

k(k − 1)λ^k k! +

∞

X

k=1

kλ^k k!e^−λ =

= e^−λλ²e^λ+ λ = λ²+ λ

Zatem D²X = EX²− (EX )² = λ²+ λ − λ² = λ.

(55)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Dowód: EX =

∞

X

k=0

kλ^k k!e^−λ =

λe^−λ

∞

X

k=1

λ^k−1

(k − 1)! = λe^−λe^λ = λ. EX² =

∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ = e^−λ

∞

X

k=2

k(k − 1)λ^k k! +

∞

X

k=1

kλ^k k!e^−λ =

= e^−λλ²e^λ+ λ = λ²+ λ

(56)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Dowód: EX =

∞

X

k=0

kλ^k

∞

X

k=1

λ^k−1 (k − 1)! =

λe^−λe^λ = λ.

EX² =

∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ = e^−λ

∞

X

k=2

k(k − 1)λ^k k! +

∞

X

k=1

kλ^k k!e^−λ =

= e^−λλ²e^λ+ λ = λ²+ λ

(57)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Dowód: EX =

∞

X

k=0

kλ^k

∞

X

k=1

λ^k−1

(k − 1)! = λe^−λe^λ =

λ.

EX² =

∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ = e^−λ

∞

X

k=2

k(k − 1)λ^k k! +

∞

X

k=1

kλ^k k!e^−λ =

= e^−λλ²e^λ+ λ = λ²+ λ

(58)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Dowód: EX =

∞

X

k=0

kλ^k

∞

X

k=1

λ^k−1

(k − 1)! = λe^−λe^λ = λ.

EX² =

∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ = e^−λ

∞

X

k=2

k(k − 1)λ^k k! +

∞

X

k=1

kλ^k k!e^−λ =

= e^−λλ²e^λ+ λ = λ²+ λ

(59)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Dowód: EX =

∞

X

k=0

kλ^k

∞

X

k=1

λ^k−1

(k − 1)! = λe^−λe^λ = λ.

EX² =

∞

X

k=0

k²λ^k k!e^−λ =

e^−λ

∞

X

k=2

k(k − 1)λ^k k! +

∞

X

k=1

kλ^k k!e^−λ =

= e^−λλ²e^λ+ λ = λ²+ λ

(60)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Dowód: EX =

∞

X

k=0

kλ^k

∞

X

k=1

λ^k−1

(k − 1)! = λe^−λe^λ = λ.

EX² =

∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ =e^−λ

∞

X

k=2

k(k − 1)λ^k k! +

∞

X

k=1

kλ^k k!e^−λ =

= e^−λλ²e^λ+ λ = λ²+ λ

(61)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Dowód: EX =

∞

X

k=0

kλ^k

∞

X

k=1

λ^k−1

(k − 1)! = λe^−λe^λ = λ.

EX² =

∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ =e^−λ

∞

X

k=2

k(k − 1)λ^k k! +

∞

X

k=1

kλ^k k!e^−λ =

= e^−λλ²e^λ+ λ = λ²+ λ

(62)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Dowód: EX =

∞

X

k=0

kλ^k

∞

X

k=1

λ^k−1

(k − 1)! = λe^−λe^λ = λ.

EX² =

∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ =e^−λ

∞

X

k=2

k(k − 1)λ^k k! +

∞

X

k=1

kλ^k k!e^−λ =

= e^−λλ²e^λ+ λ = λ²+ λ

(63)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

Funkcja charakterystyczna tego rozkładu ma postać ϕX(t) = e^λ(e^it⁻¹⁾.

∞

X

k=0

e^itkλ^k k!e^−λ =

=

∞

X

k=0

(λe^it)^k

k! e^−λ = e^λe^ite^−λ = e^λ(e^it⁻¹⁾.

(64)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

∞

X

k=0

=

∞

X

k=0

(λe^it)^k

(65)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

∞

X

k=0

=

∞

X

k=0

(λe^it)^k k! e^−λ =

e^λe^ite^−λ = e^λ(e^it⁻¹⁾.

(66)

Rozkład Poissona P(λ) x

_k

= k, p

_k

= λ

^k

k! e

^−λ

dla k = 0, 1, . . .

∞

X

k=0

=

∞

X

k=0

(λe^it)^k

(67)

Rozkład jednostajny dyskretny na odcinku [a, b] z parametrem n ∈ N; w skrócie DU(a, b, n)

xk = a +k(b − a)

n , pk = 1

n + 1 dla k = 0, 1, . . . , n

I Jeżeli X ma rozkład DU (a, b, n), to EX = a + b

2 oraz D²X =

1 + 2

n

(b − a)² 12 .

I Funkcja charakterystyczna tego rozkładu ma postać ϕ_X(t) = eîta− eîtbeît(b−a)/n

(n + 1)(1 − e^it(b−a)/n).

(68)

Rozkład jednostajny dyskretny na odcinku [a, b] z parametrem n ∈ N; w skrócie DU(a, b, n)

xk = a +k(b − a)

n , pk = 1

n + 1 dla k = 0, 1, . . . , n

2 oraz D²X =

1 + 2

n

(b − a)² 12 .

(n + 1)(1 − e^it(b−a)/n).

(69)

Rozkład jednostajny dyskretny na odcinku [a, b] z parametrem n ∈ N; w skrócie DU(a, b, n)

xk = a +k(b − a)

n , pk = 1

n + 1 dla k = 0, 1, . . . , n

2 oraz D²X =

1 + 2

n

(b − a)² 12 .

(n + 1)(1 − e^it(b−a)/n).

(70)

Rozkład jednostajny na odcinku [a, b];

w skrócie U (a, b)

Jest to rozkład o gęstości

f (x) =

( 0 dla x /∈ [a, b], 1

b − a dla x ∈ [a, b].