Rachunek prawdopodobie´ nstwa i statystyka matematyczna 13. Estymacja przedzia lowa - zadania do samodzielnego
rozwi¸ azania
Zad. 13.1 Przypu´s´cmy, ˙ze waga noworodka ma rozk lad normalny o wariancji 0, 25 kg2. Zwa˙zono 100 noworodk´ow i okaza lo si¸e, ˙ze ´srednia waga wynios la 3,5 kg. Wyznaczy´c przedzia l ufno´sci dla warto´sci oczekiwanej wagi noworodka na poziomie ufno´sci 95%.
Zad. 13.2 Zmierzono obj¸eto´sci 5 losowo wybranych kulek z partii kulek lo˙zyskowych otrzymuj¸ac (w cm): 1,24 1,38 1,25 1,17 1,27. Na poziomie ufno´sci 0,9 skon- struowa´c przedzia l ufno´sci dla ´sredniej obj¸eto´sci kulki. Zak ladamy, ˙ze rozk lad obj¸eto´sci kulek jest normalny.
Zad. 13.3 Wylosowano 48 ziaren pszenicy i zbadano w nich zawarto´s´c bia lka. Otrzy- mano ´sredni¸a r´own¸a 16,8% i odchylenie standardowe z pr´oby s = 2, 1%. Przy za lo˙zeniu, ˙ze zawarto´s´c bia lka jest cech¸a o rozk ladzie normalnym, znale´z´c 99%
przedzia l ufno´sci dla jej warto´sci oczekiwanej.
Zad. 13.4 Zu˙zycie wody w fabryce podlega losowym wahaniom w kolejnych dniach roku.
Na podstawie 365 obserwacji stwierdzono, ˙ze ´srednie dzienne zu˙zycie wody wynosi 102 hl, a wariancja ˆs2 = 81 hl2. Zak ladaj¸ac, ˙ze zu˙zycie wody ma rozk lad normalny, wyznaczy´c przedzia l ufno´sci dla warto´sci oczekiwanej na poziomie ufno´sci 0,98.
Zad. 13.5 Przeprowadzono obserwacje dotycz¸ace op´o´znie´n w ruchu poci¸ag´ow. Stwier- dzono, ˙ze spo´sr´od 1000 losowo wybranych poci¸ag´ow 160 przyjecha lo z op´o´znieniem.
Zak ladaj¸ac, ˙ze op´o´znienia poszczeg´olnych poci¸ag´ow s¸a niezale˙zne od siebie i jed- nakowo prawdopodobne dla ka˙zdego poci¸agu, znale´z´c przedzia l ufno´sci dla praw- dopodobie´nstwa wyst¸epowania op´o´znienia na poziomie ufno´sci 0,9.
Zad. 13.6 Wiadomo, ˙ze wysoko´s´c drzew lasu brzozowego ma rozk lad normalny o warian- cji 0,1. Wyznaczy´c liczb¸e drzew, jak¸a nale˙zy wylosowa´c do badania, aby oszacowa´c warto´s´c przeci¸etn¸a wysoko´sci drzewa, przyjmuj¸ac poziom ufno´sci 0,95 i b l¸ad osza- cowania nie wi¸ekszy ni˙z 0,05.
Zad. 13.7 W oparciu o pr´ob¸e 150 gospodarstw domowych uzyskano informacj¸e, ˙ze prze- ci¸etne wydatki tygodniowe na pras¸e wynosz¸a 2,5 z l, przy odchyleniu standardowym s = 0, 8. Zak ladamy, ˙ze rozk lad wydatk´ow na pras¸e jest normalny. Ile nale˙zy wylosowa´c gospodarstw do bada´n, aby oszacowa´c przeci¸etny poziom wydatk´ow na ten cel z b l¸edem co najwy˙zej 0,05 na poziomie ufno´sci 0,95?
Zad. 13.8 Na pr´obie 200 doros lych Polak´ow przeprowadzono sonda˙z opinii dotycz¸acej zabezpieczenia finansowego na przysz lo´s´c. Uzyskano 35% pozytywnych odpowiedzi.
Ile os´ob nale˙za loby wylosowa´c do nast¸epnego badania, aby na poziomie ufno´sci 98%
b l¸ad oszacowania nie przekroczy l 3%?
Zad. 13.9 Jak liczn¸a nale˙zy wzi¸a´c pr´ob¸e, aby okre´sli´c udzia l os´ob posiadaj¸acych telefony kom´orkowe w populacji generalnej, zak ladaj¸ac, ˙ze b l¸ad szacunku powinien wynosi´c maksymalnie 6%, a poziom ufno´sci 0,99.
Zad. 13.10 W oparciu o badania przeprowadzone w Polsce i USA, dotycz¸ace zadowolenia z pracy, uzyskano wyniki: spo´sr´od 1167 zbadanych Polak´ow 78% odpowiedzia lo twierdz¸aco, natomiast spo´sr´od 2000 Amerykan´ow 20% by lo niezadowolonych. Po- r´ownaj b l¸ad oszacowania frakcji os´ob zadowolonych z pracy w tych krajach.
