1. Spośród trójkatów o danym obwodzie 2p wybierz ten, którego pole jest najwi eksze.
2. Obliczyć wymiary otwartego zbiornika prostopadłościennego o objetości 32cm 3 tak, aby jego pole powierzchni było minimalne.
3. W okrag wpisać trójk at o najwi ekszym polu.
4. Znaleźć trójkat o danym obwodzie 2p, który przy obrocie dookoła jednego ze swoich boków tworzy bryłe o najwi ekszej obj etości.
5. Znaleźć odległość punktu (x0, y0, z0) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0.
6. Światło porusza sie w ten sposób, aby osi agn ać każdy punkt jak najszybciej. Dane s a dwa ośrodki: I i II oraz dwa punkty P1 i P2 - pierwszy w ośrodku I i drugi w ośrodku II. Niech v1 - oznacza predkość poruszania si e światła w ośrodku I, a v 2 - w ośrodku II. Wyprowadzić wzór:
sinα sinβ = v1
v2,
jeśli α jest katem mi edzy prost a pionow a a prost a zawieraj ac a drog e, jak a pokonuje światło od punktu P1 do granicy ośrodków, a β jest katem mi edzy prost a pionow a a prost a zawieraj ac a droge, jak a pokonuje światło od punktu P 2 do granicy ośrodków.
7. Na płaszczyźnie dany jest trójkat o bokach a, b, c; można na nim zbudować jako na podsta- wie nieskończenie wiele ostrosłupów o danej wysokości h. Znaleźć spośród nich taki, który ma najmniejsza powierzchni e boczn a S.
8.
(i) Spośród wszystkich trójkatów wpisanych w dane koło o promieniu R znaleźć ten, którego pole jest najwieksze.
(ii) Uogólnić to zadanie dla dowolnego n-kata o najwi ekszym polu P , wpisanego w dane koło o promieniu R.
9. W kule o średnicy 2R wpisać prostopadłościan o najwi ekszej obj etości; wyznaczyć długość jego krawedzi.
10. Na płaszczyźnie Oxy znaleźć punkt M(x, y), dla którego suma kwadratów odległości od trzech prostych x = 0, y = 0, x − y + 1 = 0 jest najmniejsza.
11. Na płaszczyźnie dane sa trzy punkty materialne P 1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3), o masach odpowiednio m1, m2, m3. Zbadać, przy jakim położeniu punktu P (x, y) moment bezwładności danego układu punktów wzgledem P b edzie najmniejszy. (Wsk. moment bezwładności wyraża sie: m 1|P1P |2+m2|P2P |2+m3|P3P |2).
Arkusz 11
