• Nie Znaleziono Wyników

Denicja 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Denicja 1"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Wªasno±ci estymatorów

Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ losow¡ na przestrzeni próbkowej Xn, za± {Pθ : θ ∈ Θ}b¦dzie rodzin¡ rozkªadów prawdopodobie«stwa na Xn.

Denicja 1. Estymator ˆg(X) wielko±ci g(θ) jest nieobci¡»ony, je»eli dla ka»dego θ ∈ Θ Eθˆg(X) = g(θ).

Denicja 2. Je»eli statystyka ˆg(X) jest estymatorem g(θ), to wielko±¢

b(θ) = Eθ(ˆg(X) − g(θ)), θ ∈ Θ nazywamy obci¡»eniem tego estymatora.

Denicja 3. Bª¦dem ±redniokwadratowym estymatora ˆg(X) wielko±ci g(θ) nazywamy funkcj¦ postaci

R(θ) = Eθ(ˆg(X) − g(θ))2, θ ∈ Θ.

Bª¡d ±redniokwadratowy estymatora nazywa si¦ tak»e funkcj¡ ryzyka przy kwadratowej funkcji straty.

Fakt 1. R(θ) = V arθˆg(X) + b(θ)2.

Fakt 2. Je»eli estymator ˆg(X) wielko±ci g(θ) jest nieobci¡»ony, to R(θ) = V arθˆg(X).

Denicja 4. Mówimy, »e estymator g1(X)jest lepszy ni» g2(X), je»eli dla ka»dego θ ∈ Θ R1(θ) ≤ R2(θ)

i dla pewnego θ ∈ Θ mamy R1(θ) < R2(θ).

Denicja 5. Estymator ˆg(X) wielko±ci g(θ) jest mocno zgodny, je»eli

θ∈Θ g(X) −→ˆ p.w.g(θ), n → ∞, czyli dla ka»dego θ ∈ Θ mamy

Pθ

n→∞lim g(X) = g(θ)ˆ 

= 1.

Twierdzenie (Mocne Prawo Wielkich Liczb). Niech X1, X2, . . . b¦dzie ci¡giem parami niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie. Je»eli E|X1| < ∞,

to X1+ . . . + Xn

n

n→∞−→ EX1, P-prawie wsz¦dzie.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wyznaczy¢ ±rednie i wariancje dla: ocen z matematyki studen- tów Biotechnologii, omawianego przykªadu zmiennej typu ci¡gªego i rozkªadu jednostajnego na odcinku [−1, 1]..

[r]

Wtedy zbiór Th(Mod F ((F , C, R))) wszystkich zda« prawdziwych w ka»dym modelu sko«czonym j¦zyka (F, C, R) nie jest rekurencyjnie przeliczalny, ale jego dopeªnienie jest.

b¦dzie ci¡giem nie- zale»nych zmiennych losowych o

będzie ciągiem nie- zależnych zmiennych losowych o

b¦dzie ci¡giem pa- rami niezale»nych zmiennych losowych o

Rozkªad gamma, chi-kwadrat, t-studenta, F-Snedecora..

Rozkłady zmiennych