siły wewnętrzne w belkach poddanych zginaniu, twierdzenie Swedlera – Żurawskiego,

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

Wykład Nr 11

Zginanie prętów prostych

siły wewnętrzne w belkach poddanych zginaniu, twierdzenie Swedlera – Żurawskiego,

wyznaczanie wykresów sił poprzecznych i momentów zginających

11.1. Zginanie – przypadki „z życia” bioinżynierów – i nie tylko…

pikdit.com

© T. Machniewicz

11.2. Zginanie – równowaga sił wewnętrznych i naprężeń

𝑴

𝑴

𝑷 _𝟏

𝑷 _𝒏 𝑴 _𝒊

𝒒 _𝒊

z≡ n x

y

O≡C

dA

y

A

𝝉 _𝒛𝒚

𝑻

𝑵

𝑻

𝝈 _𝒛

𝑴

𝑵 = 𝝈 _𝒛

𝑨 𝒅𝑨

𝑻 _𝒙 = 𝝉 _𝒛𝒙

𝑨 𝒅𝑨

𝑻 _𝒚 = 𝝉 _𝒛𝒚

𝑨 𝒅𝑨

𝑴 _𝒙 = 𝝈 _𝒛

𝑨

𝒚 𝒅𝑨

𝑴 _𝒚 = 𝝈 _𝒛

𝑨 𝒙 𝒅𝑨

𝑴 _𝑺 = 𝝉 _𝒛𝒚 𝒙 − 𝝉 _𝒛𝒙 𝒚

𝑨 𝒅𝑨

- rozciąganie/ściskanie

- ścinanie

- zginanie

- skręcanie

© T. Machniewicz

11.3. Siły wewnętrzne w belkach

𝑷 _𝟏 𝑷 _𝒊 𝑷 _𝒋 𝑷 _𝒏

𝑹 _𝒊 𝑹 _𝒋

𝒒

𝑴

Belka – element konstrukcji o kształcie pręta, tj. o długości znacznie większej od wymiarów poprzecznych, poddany w dominującym stopniu zginaniu.



 𝑷 _𝟏 𝑷 _𝒊

𝑹 _𝒊

𝑴

𝑾

𝑴

𝑴

𝑷 _𝟏 𝑷 _𝒊

𝑹 _𝒊

𝑴

𝑻 𝑴

𝑷 _𝒋 𝑷 _𝒏

𝑹 _𝒋 𝒒

𝑴

𝑷 _𝒋 𝑷 _𝒏

𝑹 _𝒋 𝒒

𝑻 𝑵

C 𝑾 C

C 𝑵 C

© T. Machniewicz

Umowa dotycząca znaków sił poprzecznych:

11.3. Siły wewnętrzne w belkach

𝑵

𝑷 _𝟏 𝑷 _𝒊

𝑹 _𝒊

𝑴

𝑻 𝑴

𝑴

𝑷 _𝒋 𝑷 _𝒏

𝑹 _𝒋 𝒒

𝑵 𝑻

Siła poprzeczna (siła tnąca) w danym przekroju belki, jest algebraiczną sumą wszystkich sił poprzecznych (prostopadłych do osi belki) działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju.

𝑻 𝑻

𝑻 < 𝟎

𝑻

𝑻 𝑻 > 𝟎

C C

© T. Machniewicz

Umowa dotycząca znaków momentów zginających:

11.3. Siły wewnętrzne w belkach

𝑵

𝑷 _𝟏 𝑷 _𝒊

𝑹 _𝒊

𝑴

𝑻 𝑴

𝑴

𝑷 _𝒋 𝑷 _𝒏

𝑹 _𝒋 𝒒

𝑵 𝑻

Moment zginający (M

) w dowolnym przekroju belki poddanej działaniu płaskiego dowolnego układu sił jest algebraiczną sumą momentów pochodzących od wszystkich obciążeń działających po jednej ze stron tego przekroju, obliczanych względem jego środka ciężkości.

C C

M

M

M

>0 M

<0

M

M

© T. Machniewicz

11.4. Więzy belek

a) podpora przegubowa przesuwna

reakcja prostopadła do płaszczyzny przesuwu

b) podpora przegubowa stała siła reakcji o dowolnym kierunku (dwie składowe reakcji)

c) utwierdzenie (wspornik)

siła reakcji o dowolnym kierunku (dwie składowe reakcji) oraz

moment utwierdzenia

𝑹

𝑴

𝑹

𝑹

𝑹

𝑹

𝑹 𝑹

Charakterystyczne rodzaje więzów belek i związane z nimi siły reakcji.

𝑷 M

© T. Machniewicz

11.5. Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi a obciążeniem ciągłym belek – tw. Schwedlera–Żurawskiego

𝑹 _𝒊 𝑹 _𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)

z

𝑹 _𝒊

y

z 𝑴

𝑻





z+dz

𝑹 _𝒊

𝑴

+ 𝒅𝑴𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻





dz

𝑹 _𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)



𝑴



y 𝑻

z

y

z





𝒒(𝒛)

𝑴

𝑻 𝑴

+ 𝒅𝑴𝒈

𝑻 + 𝒅𝑻 y

z

dz





© T. Machniewicz O

11.5. Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi a obciążeniem ciągłym belek – tw. Schwedlera–Żurawskiego

𝑹 _𝒊 𝑹 _𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)

z









y

z





𝒒(𝒛)

𝑴

𝑻

𝑴

+ 𝒅𝑴𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻

y

z

dz





O

𝑭 _𝒊𝒚

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 −𝑻 + 𝒒(𝒛)𝒅𝒛 + 𝑻 + 𝒅𝑻 = 𝟎

𝒒 𝒛 = − 𝒅𝑻 𝒅𝒛

Wniosek:

W zakresie długości belki gdzie obciążona jest ona stałym co do wartości obciążeniem ciągłym ( 𝒒 𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 ≠ 𝟎 ) siła tnąca opisana jest równaniem pierwszego stopnia (zmienia się liniowo)

© T. Machniewicz

11.5. Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi a obciążeniem ciągłym belek – tw. Schwedlera–Żurawskiego

𝑹 _𝒊 𝑹 _𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)

z









y

z 𝑴 _𝒊𝑶

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎

−𝑴𝒈 − 𝒒 𝒛 (𝒅𝒛) ^𝟐

𝟐 − 𝑻 + 𝒅𝑻 𝒅𝒛 + (𝑴𝒈 + 𝒅𝑴𝒈) = 𝟎

𝑻 𝒛 = 𝒅𝑴

𝒅𝒛 Wnioski:

 Pochodna funkcji momentu zginającego po współrzędnej wzdłuż osi belki jest równa sile poprzecznej.

 Ekstremum momentu zginającego wystąpi w przekroju gdzie siła poprzeczna jest równa zero.

−𝑴𝒈 − 𝒒 𝒛 (𝒅𝒛) ^𝟐

𝟐 − 𝑻𝒅𝒛 + 𝒅𝑻𝒅𝒛 + 𝑴𝒈 + 𝒅𝑴𝒈 = 𝟎





𝒒(𝒛)

𝑴

𝑻 𝑴

+ 𝒅𝑴𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻

y

z

dz





O

−𝑻𝒅𝒛 + 𝒅𝑴

= 𝟎

© T. Machniewicz

11.5. Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi a obciążeniem ciągłym belek – tw. Schwedlera–Żurawskiego

𝑹 _𝒊 𝑹 _𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)

z









y

z

𝑻 𝒛 = 𝒅𝑴

𝒅𝒛

Wniosek:

W zakresie długości belki gdzie obciążona jest ona stałym co do wartości obciążeniem ciągłym (𝒒 𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 ≠ 𝟎) moment zginający jest opisany równaniem drugiego





𝒒(𝒛)

𝑴

𝑻 𝑴

+ 𝒅𝑴𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻

y

z

dz





O

𝒒 𝒛 = − 𝒅𝑻

𝒅𝒛 𝒒 𝒛 = − 𝒅 ^𝟐 𝑴

𝒅𝒛 ^𝟐 Tw . Schwedlera – Żurawskiego

© T. Machniewicz

11.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 11.1

A

𝑷

Dane: a, b, P Szukane: Wykresy T(z), M _g (z)

y

B z

a b

𝑹

𝑹

^𝒏 𝑴 _𝒊𝑨

𝒊=𝟏 = 𝟎 −𝑷𝒂 + 𝑹 _𝐁 (𝐚 + 𝐛) = 𝟎 𝑹

= 𝑷𝒂

𝒂 + 𝒃

𝑻

𝑻 𝑻 < 𝟎

𝑻 𝑻 𝑻 > 𝟎

𝑴 _𝒊𝑩

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 𝑹 _𝐀 (𝐚 + 𝐛) − 𝑷𝒂 = 𝟎 𝑹

= 𝑷𝒃

𝒂 + 𝒃

𝑷𝒂/(𝒂 + 𝒃) 𝑷𝒃/(𝒂 + 𝒃)

T

z

𝑹

𝑷

𝑹

M

z

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂

z

𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝑹 _𝑨 ∙ 𝒛 = 𝑷𝒃 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒛

𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎; 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝒂)} = 𝑷𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃

z

𝒂 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂 + 𝒃

𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝑹 _𝑨 ∙ 𝒛 − 𝑷(𝒛 − 𝒂) = 𝑷𝒃

𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒛 − 𝑷(𝒛 − 𝒂) 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝒂)} = 𝑷𝒂𝒃

𝒂 + 𝒃 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝒂+𝒃)} = 𝟎 M

>0

𝑹

z

M

<0

z 𝑷

𝑷𝒃 𝒂 + 𝒃 Spostrzeżenia:

W miejscu działania skupionej siły poprzecznej występuje skokowa zmiana wartości siły tnącej.

Na końcach belki, o ile nie działa tam moment skupiony, moment zginający jest równy zeru.

© T. Machniewicz

11.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 11.2

A

Dane: l, q Szukane: Wykresy T(z), M _g (z)

y

B z

l

𝑴 _𝒊𝑨

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 −𝒒𝒍 ∙ 𝒍

𝟐 + 𝑹 _𝐁 𝒍 = 𝟎

𝑹

= 𝑹

= 𝒒𝒍 𝟐

𝑻

𝑻 𝑻 < 𝟎

𝑻 𝑻 𝑻 > 𝟎

𝑴 _𝒊𝑩

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎

T

z 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒍

𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝑹 _𝑨 ∙ 𝒛

𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝒍)} = 𝟎 M

>0

𝑹

z

M

<0

𝑹

𝑹

z 𝒒𝒍 ∙ 𝒍

𝟐 − 𝑹 _𝐀 𝒍 = 𝟎

𝒒𝒍/𝟐

−𝒒𝒍/𝟐 𝑹

𝑹

z

=l/2 𝑻 _(𝒛) = 𝑹 _𝑨 − 𝒒𝒛

𝒒

Q

=qz

= 𝒒𝒍

𝟐 − 𝒒𝒛 𝑻 _(𝒛=𝟎) = 𝒒𝒍

𝟐 𝑻 _(𝒛=𝒍) = − 𝒒𝒍 𝟐 𝑻 _(𝒛=𝒛

₎ = 𝒒𝒍

𝟐 − 𝒒𝒛 _𝟎 = 𝟎 𝒛 _𝟎 = 𝒍 𝟐

𝒒

−𝒒 ∙ 𝒛 ∙ 𝒛

𝟐 = 𝒒𝒍

𝟐 𝒛 − 𝒒 ∙ 𝒛 ^𝟐 𝟐

𝑴 = 𝒒𝒍

∙ 𝒍

− 𝒒 ∙ 𝒍 ^𝟐

= 𝒒𝒍 ^𝟐 M

z

𝒒𝒍

/𝟖 Spostrzeżenia:

W zakresie działania niezerowego obciążenia ciągłego siła tnąca zmienia się liniowo, zaś moment zginający według paraboli.

W miejscu gdzie siła poprzeczna osiąga wartość

zero występuje © T. ekstremum momentu Machniewicz

11.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 11.3

A

Dane: a, b, M Szukane: Wykresy T(z), M _g (z)

y

B z

a b

𝑹

𝑹

𝑴 _𝒊𝑨

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 𝑴 − 𝑹 _𝐁 (𝐚 + 𝐛) = 𝟎 𝑹

= 𝑴

𝒂 + 𝒃

𝑻

𝑻 𝑻 < 𝟎

𝑻 𝑻 𝑻 > 𝟎

𝑴 _𝒊𝑩

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 𝑴 − 𝑹 _𝐀 (𝐚 + 𝐛) = 𝟎 𝑹

= 𝑴

𝒂 + 𝒃

𝑴/(𝒂 + 𝒃)

T

z

𝑹

𝑹

𝟎 ≤ 𝒛 < 𝒂

z

𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝑹 _𝑨 ∙ 𝒛 = 𝑴

𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒛

𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎; 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝒂)} = 𝑴𝒂 𝒂 + 𝒃

z

𝒂 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂 + 𝒃

𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝑹 _𝑨 ∙ 𝒛 − 𝑴 𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝑴

𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒛 − 𝑴 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝒂)} = 𝑴𝒂

𝒂 + 𝒃 − 𝑴 = 𝑴 𝒂

𝒂 + 𝒃 − 𝟏 = − 𝑴𝒃 𝒂 + 𝒃 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝒂+𝒃)} = 𝟎

M

>0

𝑹

z

M

<0

z 𝑴

M

z

− 𝑴𝒂 𝒂 + 𝒃

Spostrzeżenie:

W miejscu działania skupionego momentu występuje skokowa zmiana wartości momentu zginającego.

𝑴

𝑴𝒃 𝒂 + 𝒃

𝑴

© T. Machniewicz

11.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 11.3

A

Dane: a, q Szukane: Wykresy T(z), M _g (z)

y

z B

2a

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐𝒂

𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝑴 − 𝒒𝒛 ∙ 𝒛 𝟐 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝒒𝒂 ^𝟐

𝑹

𝑻 _(𝒛) = 𝒒𝒛 𝒒

𝑻 _(𝒛=𝟎) = 𝟎 𝑻 _{(𝒛=𝟐𝒂)} = 𝟐𝒒𝒂

𝑷 = 𝟒𝒒𝒂 z a

𝑴 = 𝒒𝒂

T z

𝑴

Q

=qz

𝑷 𝟐𝒒𝒂

𝑹

−𝟐𝒒𝒂

z

𝟐𝒂 ≤ 𝒛 ≤ 𝟑𝒂

𝑻 _(𝒛) = 𝒒 ∙ 𝟐𝒂 − 𝑷 = 𝟐𝒒𝒂 − 𝟒𝒒𝒂 = −𝟐𝒒𝒂

𝑻

𝑻 𝑻 < 𝟎

𝑻 𝑻 𝑻 > 𝟎 ^M

z

M

>0 M

<0

= 𝒒𝒂 ^𝟐 − 𝒒 𝒛 ^𝟐 𝟐 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟐𝒂)} = −𝒒𝒂 ^𝟐

𝒒𝒂

−𝒒𝒂

𝑴 𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝑴 −𝒒 ∙ 𝟐𝒂 ∙ (𝒛 − 𝒂) +𝑷(𝒛 − 𝟐𝒂)

𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝒒𝒂 ^𝟐 + 𝟐𝒒𝒂 ^𝟐 − 𝟐𝒒𝒂𝒛 + 𝟒𝒒𝒂𝒛 − 𝟖𝒒𝒂 ^𝟐 𝑴 _𝒈(𝒛) = 𝟐𝒒𝒂𝒛 − 𝟓𝒒𝒂 ^𝟐

𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟐𝒂)} = −𝒒𝒂 ^𝟐 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟑𝒂)} = 𝒒𝒂 ^𝟐

𝒒𝒂

𝑴

© T. Machniewicz